2025版新教材高中数学第三章圆锥曲线的方程3.2双曲线3.2.2双曲线的简单几何性质第1课时双曲线的简单几何性质课时作业新人教A版选择性必修第一册

第1课时双曲线的简洁几何性质必备学问基础练进阶训练第一层1．[2024·河南商丘高二检测]双曲线eq\f(x2,2)－y2＝－1的焦点坐标为()A．(－3，0)，(3，0)B．(0，－3)，(0，3)C．(－eq\r(3)，0)，(eq\r(3)，0)D．(0，－eq\r(3))，(0，eq\r(3))2．下列双曲线中，以(2，0)为一个焦点，以(1，0)为一个顶点的双曲线方程是()A．eq\f(x2,4)－y2＝1B．eq\f(x2,3)－y2＝1C．x2－eq\f(y2,3)＝1D．x2－y2＝13．若双曲线C两条渐近线方程是y＝±x，则双曲线C的离心率是()A．eq\r(2)B．eq\r(3)C．2D．eq\r(5)4．[2024·福建厦门外国语学校高二测试]若双曲线eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，则其两条渐近线所成的锐角为()A．eq\f(π,3)B．eq\f(π,4)C．eq\f(π,6)D．eq\f(2π,3)5．[2024·重庆九龙坡高二测试]若双曲线C：eq\f(x2,m)－y2＝1的焦距为2eq\r(2)，则双曲线C的渐近线方程为()A．x±y＝0B．2x±y＝0C．x±eq\r(3)y＝0D．x±eq\r(7)y＝06．[2024·江苏南通高二检测](多选)设双曲线C：eq\f(x2,3)－eq\f(y2,b2)＝1(b>0)的焦点为F1，F2，若点P(2，1)在双曲线C上，则()A．双曲线C的离心率为2B．双曲线C的渐近线方程为y＝±xC．||PF1|－|PF2||＝2eq\r(3)D．PF1·PF2＝27．双曲线eq\f(y2,9)－x2＝1的实轴长为________．8．[2024·湖北华中师大附中高二检测]已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一条渐近线为y＝eq\r(3)x，一个焦点为(2，0)，则a＝________．关键实力综合练进阶训练其次层1．若离心率为eq\f(5,3)的双曲线与椭圆eq\f(x2,40)＋eq\f(y2,15)＝1的焦点相同，则双曲线的方程是()A．eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1B．eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1C．eq\f(y2,9)－eq\f(x2,16)＝1D．eq\f(y2,16)－eq\f(x2,9)＝12．已知幂函数y＝x－1的图象是等轴双曲线C，且它的焦点在直线y＝x上，则下列曲线中，与曲线C的实轴长相等的双曲线是()A．eq\f(x2,2)＋eq\f(y2,2)＝1B．eq\f(x2,2)－eq\f(y2,2)＝1C．x2－y2＝1D．eq\f(x2,4)－eq\f(y2,4)＝13．已知双曲线C：eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)的一个焦点与虚轴的两个端点构成等边三角形，则C的渐近线方程为()A．y＝±eq\f(\r(2),2)xB．y＝±eq\f(\r(3),2)xC．y＝±eq\r(2)xD．y＝±eq\r(3)x4．[2024·福建厦门一中高二检测]若双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,4)＝1的一条渐近线被圆(x－2)2＋y2＝4所截得的弦长为2eq\r(3)，则C的焦距为()A．8B．10C．12D．165．双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点为F(3，0)，且点F到双曲线C的一条渐近线的距离为1，则双曲线C的离心率为()A．eq\f(3\r(2),4)B．eq\r(2)C．2eq\r(3)D．eq\f(2\r(3),3)6．[2024·江苏宿迁高二测试](多选)双曲线eq\f(y2,9)－eq\f(x2,16)＝1的焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，下列结论正确的是()A．该双曲线的离心率为eq\f(5,4)B．该双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(3,4)xC．若PF1⊥PF2，则△PF1F2的面积为16D．点P到两渐近线的距离乘积为eq\f(144,25)7．已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)过三点(－2eq\r(2)，0)，(－2，2)，(4，－2)中的两点，则C的方程为________．8．设双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是渐近线上一点，且满意|PF2|＝|F1F2|，PF2·F1F2＝0，则双曲线C的离心率为________．9．[2024·山东烟台高二测试]双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为e＝eq\r(5)，且过点M(－2，2eq\r(3)).(1)求a，b的值；(2)求与双曲线C有相同渐近线，且过点P(eq\r(3)，2eq\r(5))的双曲线的标准方程．10．[2024·湖南益阳高二检测]已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点M在双曲线C的右支上，且|MF1|－|MF2|＝2，离心率e＝2.(1)求双曲线C的标准方程；(2)若∠F1MF2＝60°，求△F1MF2的面积．核心素养升级练进阶训练第三层1．[2024·山西吕梁高二检测]已知双曲线Γ：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点为F(c，0)(c>0)，M是双曲线的左支上的一点，线段MF与圆B：(x－eq\f(c,2))2＋y2＝eq\f(b2,64)相切于点D，且|MF|＝4|DF|，则双曲线Γ的渐近线方程为()A．2x±y＝0B．2x±3y＝0C．2x±7y＝0D．4x±7y＝02．如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线E：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，从F2发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和D，且cos∠BAC＝－eq\f(3,5)，AB⊥BD，则E的离心率为________．3．已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是双曲线的右支上一点．(1)求|PF1|的最小值；(2)若右支上存在点P满意|PF1|＝4|PF2|，求双曲线的离心率的取值范围．第1课时双曲线的简洁几何性质必备学问基础练1．答案：D解析：方程eq\f(x2,2)－y2＝－1可化为y2－eq\f(x2,2)＝1，所以双曲线eq\f(x2,2)－y2＝－1的焦点在y轴上，且a＝1，b＝eq\r(2)，所以c＝eq\r(a2＋b2)＝eq\r(3)，所以双曲线y2－eq\f(x2,2)＝1的焦点坐标为(0，－eq\r(3))，(0，eq\r(3)).故选D.2．答案：C解析：因为双曲线的一个焦点是(2，0)，故可设双曲线方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1，且a2＋b2＝4；又(1，0)为一个顶点，故可得a＝1，解得b2＝3，则双曲线方程为x2－eq\f(y2,3)＝1.故选C.3．答案：A解析：由渐近线方程可知eq\f(b,a)＝1，则eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\f(b2,a2))＝eq\r(2).故选A.4．答案：A解析：因为双曲线eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1的渐近线方程为y＝±eq\f(a,b)x，而e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(a2＋b2),a)＝2，所以eq\f(a,b)＝eq\f(\r(3),3)，故两条渐近线中一条的倾斜角为eq\f(π,6)，一条的倾斜角为eq\f(5π,6)，它们所成的锐角为eq\f(π,3).故选A.5．答案：A解析：因为双曲线C：eq\f(x2,m)－y2＝1的焦距为2eq\r(2)，所以c＝eq\r(2)，所以a2＋b2＝m＋1＝(eq\r(2))2，解得m＝1，所以a＝1，b＝1，所以双曲线C的渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x＝±x，即x±y＝0.故选A.6．答案：BC解析：依题意，eq\f(4,3)－eq\f(1,b2)＝1，解得b＝eq\r(3)，双曲线C：eq\f(x2,3)－eq\f(y2,3)＝1的实半轴长a＝eq\r(3)，半焦距c＝eq\r(6)，双曲线C的离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(2)，A不正确；双曲线C的渐近线方程为y＝±x，B正确；||PF1|－|PF2||＝2a＝2eq\r(3)，C正确；F1(－eq\r(6)，0)，F2(eq\r(6)，0)，则PF1＝(－eq\r(6)－2，－1)，PF2＝(eq\r(6)－2，－1)，有PF1·PF2＝(－eq\r(6)－2)(eq\r(6)－2)＋(－1)·(－1)＝－1，D不正确．故选BC.7．答案：6解析：由eq\f(y2,9)－x2＝1得，a＝3，所以实轴长为2a＝6.8．答案：1解析：依题意双曲线的渐近线y＝eq\f(b,a)x＝eq\r(3)x，eq\f(b,a)＝eq\r(3)，由焦点(2，0)得c＝2，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)＝\r(3),c＝2,a2＝c2－b2))，解得a＝1，b＝eq\r(3).关键实力综合练1．答案：A解析：由题知在椭圆中c2＝40－15＝25，∴焦点坐标为(－5，0)，(5，0)，∴在双曲线中，焦点坐标为(－5，0)，(5，0)，c＝5，∵e＝eq\f(c,a)＝eq\f(5,3)，∴a＝3，a2＝9，b2＝c2－a2＝16，故双曲线的方程为eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1.故选A.2．答案：B解析：由双曲线几何性质知，双曲线的焦点在实轴上，实轴与双曲线的交点A1(－1，－1)，A2(1，1)是双曲线的顶点，故双曲线C的实轴长＝|A1A2|＝2eq\r(2)，明显选项A表示的是圆；选项B的双曲线实轴长为2eq\r(2)；选项C双曲线的实轴长为2；选项D的双曲线实轴长为4.故选B.3．答案：C解析：由已知及双曲线的对称性可得tan30°＝eq\f(b,c)，所以c＝eq\r(3)b.所以a＝eq\r(c2－b2)＝eq\r(2)b，所以eq\f(a,b)＝eq\r(2)，所以C的渐近线方程为y＝±eq\f(a,b)x＝±eq\r(2)x.故选C.4．答案：A解析：由eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,4)＝1，则该双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(2,a)x，不妨设直线2x－ay＝0被圆(x－2)2＋y2＝4所截得的弦长为2eq\r(3)，则4－(eq\f(4,\r(a2＋4)))2＝(eq\r(3))2，解得a2＝12，所以c2＝a2＋4＝16，所以c＝4.故该双曲线的焦距为2c＝8.故选A.5．答案：A解析：因为双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点为F(3，0)，且渐近线方程为bx±ay＝0，所以焦点F到渐近线的距离为d＝eq\f(3b,\r(a2＋b2))＝1，化简得a2＝8b2，所以双曲线的离心率e＝eq\r(1＋\f(b2,a2))＝eq\r(\f(9,8))＝eq\f(3\r(2),4).故选A.6．答案：BCD解析：由双曲线的标准方程可知：a2＝9⇒a＝3，b2＝16⇒b＝4，c2＝9＋16＝25⇒c＝5，A：e＝eq\f(c,a)＝eq\f(5,3)，故A错误；B：渐近线为y＝±eq\f(a,b)x⇒y＝±eq\f(3,4)x，故B正确；C：设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|m－n|＝2a,m2＋n2＝（2c）2))⇒eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m2＋n2－2mn＝4a2,m2＋n2＝4c2))⇒2mn＝4c2－4a2⇒mn＝32，S△PF1F2＝eq\f(1,2)mn＝16，故C正确；D：设P(x0，y0)，则eq\f(yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0)),9)－eq\f(xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0)),16)＝1⇒16yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))－9xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))＝144，双曲线渐近线为3x＋4y＝0，3x－4y＝0，∴点P到两渐近线的距离乘积为eq\f(|3x0＋4y0|,5)·eq\f(|3x0－4y0|,5)＝eq\f(|9xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))－16yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))|,25)＝eq\f(144,25)，故D正确．故选BCD.7．答案：eq\f(x2,8)－eq\f(y2,4)＝1解析：依据双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的对称性可知，点(－2eq\r(2)，0)，(4，－2)在双曲线图象上，将其代入双曲线方程，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(8,a2)＝1，,\f(16,a2)－\f(4,b2)＝1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＝8，,b2＝4.))所以双曲线C：eq\f(x2,8)－eq\f(y2,4)＝1.8．答案：eq\r(5)解析：不妨设P在第一象限，因为PF2·F1F2＝0，则P(c，eq\f(bc,a))，依题意eq\f(bc,a)＝2c，所以eq\f(b,a)＝2，离线率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\f(b2,a2))＝eq\r(5).9．解析：(1)因为离心率为e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(a2＋b2),a)＝eq\r(1＋\f(b2,a2))＝eq\r(5)，所以b2＝4a2.又因为点Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，2\r(3)))在双曲线C上，所以eq\f(4,a2)－eq\f(12,b2)＝1.联立上述方程，解得a2＝1，b2＝4，即a＝1，b＝2.(2)设所求双曲线的方程为x2－eq\f(y2,4)＝λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(λ≠0))，由双曲线经过点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)，2\r(5)))，得3－eq\f(20,4)＝λ，即λ＝－2.所以双曲线的方程为x2－eq\f(y2,4)＝－2，其标准方程为eq\f(y2,8)－eq\f(x2,2)＝1.10．解析：(1)由题意|MF1|－|MF2|＝2a，∴2a＝2⇒a＝1，又e＝eq\f(c,a)＝2⇒c＝2，∴b2＝c2－a2＝3，故双曲线C的方程为x2－eq\f(y2,3)＝1.(2)令|MF1|＝m，|MF2|＝n，则由双曲线定义可得m－n＝2，①由三角形余弦定理得m2＋n2－2mn·cos60°＝4c2＝16，②①2－②有mn＝12，∴△F1MF2的面积S＝eq\f(1,2)mn·sin60°＝3eq\r(3).核心素养升级练1．答案：D解析：设双曲线的左焦点为F′(如图所示)，由|BF|＝eq\f(c,2)，|BF′|＝eq\f(3,2)c，可知|F′F|＝4|BF|，又由|MF|＝4|DF|，可知BD∥MF′，有F′M⊥MF，|MF′|＝4×eq\f(b,8)＝eq\f(b,2)，|MF|＝2a＋eq\f(b,2)，在Rt△MFF′中，4c2＝eq\f(1,4)b2＋(2a＋eq\f(1,2)b)2，得eq\f(b,a)＝eq\f(4,7)，故双曲线Γ的渐近线方程为y＝±eq\f(4,7)x.故选D.2．答案：eq\f(\r(17),3)解析：由cos∠BAC＝－eq\f(3,5)，AB⊥BD，则cos∠BAF1＝eq\f(3,5)，∠ABF1＝eq