安徽省2024-2025学年高二数学上学期第一次自主检测试题含解析

2024-2025学年度高二数学上学期第一次自主检测测试时间：150分钟满分：150分一､选择题（共60分）1.已知，向量，则点的坐标是（）A.B.C.D.2.若，则的值为（）A.B.5C.7D.363.下列命题中为真命题的是（）A.向量与的长度相等B.空间向量就是空间中的一条有向线段C.若将空间中全部的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆D.不相等的两个空间向量的模必不相等4.若点关于平面及轴对称的点的坐标分别是则与的和为（）A.7B.C.D.15.已知两个向量，且，则的值为（）A.1B.2C.4D.86.已知向量，且，则的值为（）A.4B.3C.2D.17.在长方体中，（）A.B.C.D.8.已知，若共面，则等于（）A.B.9C.-3D.39.如图所示，空间四边形中，，点在上，且为的中点，，则的值分别为（）A.B.C.D.10.三个顶点的坐标分别为，则的形态为（）A.钝角三角形B.锐角三角形C.正三角形D.直角三角形11.已知正方体为空间随意两点，若有，则点（）A.在平面内B.在平面内C.在平面内D.在平面内12.三棱锥中，底面为的中点，，则点到面的距离等于（）A.B.C.D.二､填空题（共20分）13.已知空间向量，若与垂直，则__________.14.若空间向量和的夹角为锐角，则的取值范围是__________.15.已知为空间的一个基底，若，，且，则的值为__________.16.正方体的棱长为1，以为原点，以正方体的三条棱所在的直线分别为轴､轴､轴建立空间直角坐标系.若点在正方体的侧面及其边界上运动，并且总是保持，则下列点的坐标：①；②；③；④；⑤中正确的是__________.三､解答题（共70分）17.（10分）已知向量.（1）计算和.（2）求.18.（12分）如图，在斜三棱柱中，向量，三个向量之间的夹角均为，点分别在上，且.（1）将向量用向量表示，并求；（2）将向量用表示.19.（12分）已知空间三点，设.（1）求和的夹角的余弦值；（2）若向量与相互垂直，求实数的值；（3）若向量与共线，求实数的值.20.（12分）如图，在直三棱柱中，分别为的中点.（1）求证；（2）求异面直线与所成角的余弦值.21.（12分）如图，直三校柱中，侧面为正方形，是的中点，是的中点.（1）证明：平面平面；（2）若，求二面角的余弦值.22.（12分）如图，在四棱锥中，侧面底面，侧棱，底面为直角梯形，其中为的中点.（1）求直线与平面所成角的余弦值；（2）线段上是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.肥东凯悦中学2024-2025学年度第一学期高二年级第一次自主检测数学答案一､单选题题号123456789101112答案BBADCADACDCB1.B【详解】设点，向量，故选B2.B【详解】，故选B3.A【详解】对于项，空间向量是既有大小又有方向的量，可以用有向线段表示，但不是有向线段，故项为假命题；对于项，将空间中全部的单位向量移到同一起点，它们的终点构成一个球面；对于项，互为相反向量的两个向量不相等，但是它们的模长相等.4.D【详解】点关于平面对称点的坐标为，关于轴对称的点的坐标为，所以，故选D5.C【详解】存在实数使得，解得，则.故选6.A【详解】由题可得，解得，故选A7.D【详解】如图所示，长方体中，.故选D.8.A【详解】由题意知解得.故选A9.C【详解】，所以，故选10.D【详解】由题得，则，，因为，所以为直角三角形，故选D.11.C【详解】由于，因为，于是四点共面，故选C.12.B【详解】底面为的中点，，面面面，在面中，作，则面，为所求.由，得，即，解得，故选：B二､填空题13.【详解】若与垂直，，空间向量，，得，，故答案为.14.且【详解】空间向量和的夹角为锐角，则且与不共线，所以且.故答案为且.15.【详解】由题意，为三个不共面的向量，所以由空间向量基本定理可知必定存在惟一的有序实数对，使..又故答案为-116.①②⑤【详解】如图：由题意可知，，设，且，，解得，故满意条件的为①②⑤.故答案为①②⑤.三､解答题17.【详解】（1）因为向量，所以，所以；（2）由题意可得：，因为，所以.18.【详解】（1），因为，所以，所以.（2）因为，所以为的中点，所以.19.【详解】（1）.和的夹角的余弦值为.（2），向量与相互垂直，或；（3）向量与共线，存在实数，使得即或.20.【详解】解：设，依据题意得（1）证明：易知..，即.（2）易知，又，，，即异面直线与所成角的余弦值为.21.【详解】（1）直三校柱中，侧面侧面为正方形，是的中点，是的中点.又，且面，面，面，平面平面，（2）如图所示，以为原点建立空间直角坐标系设，则，设平面的法向量为，则.又平面的法向量为，二面角的余弦值为.22.【详解】（1）在中，为的中点，所以，侧面底面，所以平面.又在直角梯形中，，所以两两垂直.以为坐标原点，直线为轴，直线为轴，直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示