新高考2025届高考数学二轮复习专题突破精练第51讲概率与统计综合问题学生版

第51讲概率与统计综合问题一、解答题1．（2024·山东·肥城市教学探讨中心模拟预料）十三届全国人大四次会议3月11日表决通过了关于国民经济和社会发展第十四个五年规划和2035年远景目标纲要的决议，确定批准这个规划纲要.纲要指出：“加强原创性引领性科技攻关”.某企业集中科研骨干，攻克系列“卡颈项”技术，已成功实现离子注入机全谱系产品国产化，包括中束流､大束流､高能､特种应用及第三代半导体等离子注入机，工艺段覆盖至28，为我国芯片制造产业链补上重要一环，为全球芯片制造企业供应离子注入机一站式解决方案.此次技术的突破可以说为国产芯片的制造做出了重大贡献.该企业运用新技术对某款芯片进行试生产.（1）在试产初期，该款芯片的批次生产有四道工序，前三道工序的生产互不影响，第四道是检测评估工序，包括智能自动检测与人工抽检.已知该款芯片在生产中，前三道工序的次品率分别为，，.①求批次芯片的次品率；②第四道工序中智能自动检测为次品的芯片会被自动淘汰，合格的芯片进入流水线并由工人进行抽查检验.已知批次的芯片智能自动检测显示合格率为，求工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个芯片恰为合格品的概率（百分号前保留两位小数）.（2）已知某批次芯片的次品率为，设个芯片中恰有个不合格品的概率为，记的最大值点为，改进生产工艺后批次的芯片的次品率.某手机生产厂商获得批次与批次的芯片，并在某款新型手机上运用.现对运用这款手机的用户回访，对开机速度进行满足度调查.据统计，回访的名用户中，安装批次有部，其中对开机速度满足的有人；安装批次有部，其中对开机速度满足的有人.求，并推断是否有的把握认为芯片质量与用户对开机速度满足度有关？附：.2．（2024·广西·模拟预料（理））十三届全国人大常委会其次十次会议审议通过的《未成年人爱护法》针对监护缺失、校内欺凌、烟酒损害、网络沉迷等问题，进一步压实监护人、学校、住宿经营者及网络服务供应者等主体责任，加大对未成年人的爱护力度．某中学为宣扬未成年人爱护法，特实行一次未成年人爱护法学问竞赛，竞赛规则是：两人一组，每一轮竞赛中，小组两人分别答两题，若答对题数不少于3题，被称为“优秀小组”，已知甲乙两位同学组成一组，且同学甲和同学乙答对每道题的概率分为，．（1）若，，则在第一轮竞赛中，求他们获“优秀小组”的概率；（2）当，且每轮竞赛互不影响，假如甲乙同学在此次竞赛活动中要想获得“优秀小组”的次数为9次，那么理论上至少要进行多少轮竞赛？3．（2024·江苏泰州·模拟预料）现有一批疫苗试剂，拟进入动物试验阶段，将1000只动物平均分成100组，任选一组进行试验．第一轮注射，对该组的每只动物都注射一次，若检验出该组中有9只或10只动物产生抗体，说明疫苗有效，试验终止；否则对没有产生抗体的动物进行其次轮注射，再次检验．假如被二次注射的动物都产生抗体，说明疫苗有效，否则须要改进疫苗．设每只动物是否产生抗体相互独立，两次注射疫苗互不影响，且产生抗体的概率均为．（1）求该组试验只需第一轮注射的概率（用含的多项式表示）；（2）记该组动物须要注射次数的数学期望为，求证：．4．（2024·全国·高三专题练习）冠状病毒是一个大型病毒家族，已知可引起感冒以及中东呼吸综合征（）和严峻急性呼吸综合征（）等较严峻疾病.而今年出现在湖北武汉的新型冠状病毒（）是以前从未在人体中发觉的冠状病毒新毒株.人感染了新型冠状病毒后常见体征有呼吸道症状、发热、咳嗽、气促和呼吸困难等.在较严峻病例中，感染可导致肺炎、严峻急性呼吸综合征、肾衰竭，甚至死亡.某医院为筛查冠状病毒，须要检验血液是否为阳性，现有n（）份血液样本，有以下两种检验方式：方式一：逐份检验，则须要检验n次.方式二：混合检验，将其中k（且）份血液样本分别取样混合在一起检验.若检验结果为阴性，这k份的血液全为阴性，因而这k份血液样本只要检验一次就够了，假如检验结果为阳性，为了明确这k份血液原委哪几份为阳性，就要对这k份再逐份检验，此时这k份血液的检验次数总共为.假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为p（）.现取其中k（且）份血液样本，记采纳逐份检验方式，样本须要检验的总次数为，采纳混合检验方式，样本须要检验的总次数为.（1）若，试求p关于k的函数关系式；（2）若p与干扰素计量相关，其中（）是不同的正实数，满足且（）都有成立.（i）求证：数列等比数列；（ii）当时，采纳混合检验方式可以使得样本须要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数的期望值更少，求k的最大值5．（2024·河南南阳·高三期末（理））某单位为患病员工集体筛查新型流感病毒，须要去某医院检验血液是否为阳性，现有份血液样本，有以下两种检验方案，方案一：逐份检验，则须要检验k次；方案二：混合检验，将k份血液样本分别取样混合在一起检验一次，若检验结果为阴性，则k份血液样本均为阴性，若检验结果为阳性，为了确定k份血液中的阳性血液样本，则对k份血液样本再逐一检验.逐份检验和混合检验中的每一次检验费用都是元，且k份血液样本混合检验一次须要额外收元的材料费和服务费.假设在接受检验的血液样本中，每份样本是否为阳性是相互独立的，且据统计每份血液样本是阳性的概率为.（1）若份血液样本采纳混合检验方案，须要检验的总次数为X，求X分布列及数学期望；（2）①若，以检验总费用为决策依据，试说明该单位选择方案二的合理性；②若，采纳方案二总费用的数学期望低于方案一，求k的最大值.参考数据：，，，，6．（2024·全国·高三期中）接近元旦，高三（1）班共50名同学，大家希望能邀请数学张老师参与元旦文艺表演．张老师确定和同学们进行一个嬉戏，依据嬉戏的结果确定是否参与表演．嬉戏规则如下：班长先确定班上参与嬉戏的同学人数（）；每位同学手里均有张除颜色外无其他区分的卡片；第（，，，，）位同学手中有张红色卡片，张白色卡片；老师任选其中一位同学，并且从该同学的手中随机连续取出两张卡片，若其次次取出的卡片为白色，则学生获胜，张老师同意参与文艺表演，否则，张老师将不参与文艺表演．（1）若，求张老师同意参与文艺表演的概率；（2）若希望张老师参与文艺表演的可能最大，班长应当邀请多少同学参与嬉戏？7．（2024·山东·广饶一中高三月考）为落实立德树人根本任务，坚持五育并举全面推动素养教化，某学校实行了乒乓球竞赛，其中参与男子乒乓球决赛的12名队员来自3个不同校区，三个校区的队员人数分别是3，4，5.本次决赛的竞赛赛制实行单循环方式，即每名队员进行11场竞赛（每场竞赛都实行5局3胜制），最终依据积分选出最终的冠军.积分规则如下：竞赛中以或取胜的队员积3分，失败的队员积0分；而在竞赛中以取胜的队员积2分，失败的队员的队员积1分.已知第10轮张三对抗李四，设每局竞赛张三取胜的概率均为.（1）竞赛结束后冠亚军恰好来自不同校区的概率是多少？（2）第10轮竞赛中，记张三取胜的概率为.①求出的最大值点；②若以作为的值，这轮竞赛张三所得积分为，求的分布列及期望.8．（2024·重庆·西南高校附中高三月考）甲、乙两人进行对抗竞赛，每场竞赛均能分出输赢．已知本次竞赛的主办方供应8000元奖金并规定：①若有人先赢4场，则先赢4场者获得全部奖金同时竞赛终止；②若无人先赢4场且竞赛意外终止，则甲、乙便依据竞赛接着进行各自赢得全部奖金的概率之比安排奖金．已知每场竞赛甲赢的概率为p（0＜p＜1），乙赢的概率为1-p，且每场竞赛相互独立．（1）当时，假设竞赛不会意外终止，记竞赛场次为随机变量Y，求Y的分布列；（2）当时，若已进行了5场竞赛，其中甲赢了3场，乙赢了2场，此时竞赛因意外终止，主办方确定颁发奖金，求甲获得的奖金金额；（3）规定：若随机事务发生的概率小于0.05，则称该随机事务为小概率事务，我们可以认为该事务不行能发生，否则认为该事务有可能发生．若本次竞赛，且在已进行的3场竞赛中甲赢2场、乙赢1场，请推断：竞赛接着进行乙赢得全部奖金是否有可能发生，并说明理由．9．（2024·全国·高三课时练习）系统中每个元件正常工作的概率都是，各个元件是否正常工作相互独立.假如系统中有多于一半的元件正常工作，系统就能正常工作，系统正常工作的概率称为系统的牢靠性.已知该系统配置有个元件，为正整数.（1）求该系统正常工作的概率的表达式；（2）现为改善系统的性能，拟增加2个元件，试探讨增加2个元件后，系统牢靠性的改变.10．（2024·全国·高三课时练习）为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，须要进行动物与人体试验.探讨人员将疫苗注射到200只小白鼠体内，一段时间后测量小白鼠的某项指标值，按，，，，分组，绘制频率分布直方图如图所示.试验发觉小白鼠体内产生抗体的共有160只，其中该项指标值不小于60的有110只.假设小白鼠注射疫苗后是否产生抗体相互独立.（1）填写下面的列联表，并依据列联表及的独立性检验，推断能否认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关.单位：只抗体指标值合计小于60不小于60有抗体没有抗体合计（2）为检验疫苗二次接种的免疫抗体性，对第一次注射疫苗后没有产生抗体的40只小白鼠进行其次次注射疫苗，结果又有20只小白鼠产生抗体.（i）用频率估计概率，求一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率；（ii）以（i）中确定的概率作为人体注射2次疫苗后产生抗体的概率，进行人体接种试验，记个人注射2次疫苗后产生抗体的数量为随机变量.试验后统计数据显示，当时，取最大值，求参与人体接种试验的人数及.参考公式：(其中为样本容量)参考数据：0.500.400.250.150.1000.0500.0250.4550.7081.3232.0722.7063.8415.02411．（2024·辽宁·高三月考）个人所得税起征点是个人所得税工薪所得减除费用标准或免征额，个税起征点与个人税负凹凸的关系最为干脆，因此成为广阔工薪阶层关注的焦点.随着我国人民收入的逐步增加，国家税务总局综合考虑人民群众消费支出水平增长等各方面因素，规定从2024年1月1日起，我国实施个税新政.实施的个税新政主要内容包括:①个税起征点为元②每月应纳税所得额(含税)收入个税起征点专项附加扣除;③专项附加扣除包括住房、子女教化和赡养老人等.新旧个税政策下每月应纳税所得额(含税)计算方法及其对应的税率表如下:旧个税税率表(个税起征点元)新个税税率表(个税起征点元)缴税级数每月应纳税所得额(含税)收入个税起征点税率/%每月应纳税所得额(含税）收入个税起征点专项附加扣除税率/%1不超过元不超过元2部分超过元至元部分部分超过元至元部分3超过元至元的部分超过元至元的部分4超过元至元的部分超过元至元的部分5超过元至元部分超过元至元部分············随机抽取某市名同一收入层级的无亲属关系的男性互联网从业者(以下互联网从业者都是指无亲属关系的男性)的相关资料，经统计分析，预估他们2024年的人均月收入为元.统计资料还表明，他们均符合住房专项扣除，同时他们每人至多只有一个符合子女教化扣除的孩子，并且他们之中既不符合子女教化扣除又不符合赡养老人扣除、只符合子女教化扣除但不符合赡养老人扣除、只符合赡养老人扣除但不符合子女教化扣除、既符合子女教化扣除又符合赡养老人扣除的人数之比是.此外，他们均不符合其他专项附加扣除.新个税政策下该市的专项附加扣除标准为:住房元/月，子女教化每孩元/月，赡养老人元/月等.假设该市该收入层级的互联网从业者都独自享受专项附加扣除，将预估的该市该收入层级的互联网从业者的人均月收入视为其个人月收入.依据样本估计总体的思想，解决下列问题.（1）按新个税方案，设该市该收入层级的互联网从业者2024年月缴个税为元，求的分布列和数学期望;（2）依据新旧个税方案，估计从2024年1月起先，经过几个月，该市该收入层级的互联网从业者各月少缴的个税之和就能购买一台价值为元的华为才智屏巨幕电视?12．（2024·全国·模拟预料）2024年我国科技成果斐然，其中北斗三号全球卫星导航系统7月31日正式开通．北斗三号全球卫星导航系统由24颗中圆地球轨道卫星、3颗地球静止轨道卫星和3颗倾斜地球同步轨道卫星，共30颗卫星组成．北斗三号全球卫星导航系统全球范围定位优于10米，实测的导航定位精度都是2~3米，全球服务可用性99%，亚太地区性能更优．（Ⅰ）南美地区某城市通过对1000辆家用汽车进行定位测试，发觉定位精确度近似满足，预估该地区某辆家用汽车导航精确度在的概率；（Ⅱ）（ⅰ）某地基站工作人员30颗卫星中随机选取4颗卫星进行信号分析，选取的4颗卫星中含3颗倾斜地球同步轨道卫星数记为，求的分布列和数学期望；（ⅱ）某日北京、上海、拉萨、巴黎、里约5个基地同时独立随机选取1颗卫星进行信号分析，选取的5颗卫星中含中圆地球轨道卫星的数目记为，求的数学期望．附：若，则，，．13．（2024·湖南·双峰县第一中学高三开学考试）有甲、乙两个袋子，甲袋中有2个白球2个红球，乙袋中有2个白球2个红球，从甲袋中随机取出一球与乙袋中随机取出一球进行交换．（1）一次交换后，求乙袋中红球与白球个数不变的概率；（2）二次交换后，记X为“乙袋中红球的个数”，求随机变量X的分布列与数学期望．14．（2024·福建·模拟预料）班级里共出名学生，其中有，，．已知，，中随意两人均为挚友，且三人中每人均与班级里中超过一半的学生为挚友．若对于某三个人，他们当中随意两人均为挚友，则称他们组成一个“挚友圈”．（1）求班级里挚友圈个数的最大值．（2）求班级里挚友圈个数的最小值．15．（2024·江苏省前黄高级中学高三月考）公元1651年，法国学者德梅赫向数学家帕斯卡请教了一个问题：设两名赌徒约定谁先赢满4局，谁便赢得全部赌注元，已知每局甲赢的概率为，乙赢的概率为，且每局赌博相互独立，在甲赢了2局且乙赢了1局后，赌博意外终止，则赌注该怎么分才合理？帕斯卡先和费尔马探讨了这个问题，后来惠更斯也加入了探讨，这三位当时欧洲乃至全世界著名的数学家给出的安排赌注的方案是：假如出现无人先赢4局且赌博意外终止的状况，则甲、乙依据赌博再接着进行下去各自赢得全部赌注的概率之比安排赌注．（友情提示：珍爱生命，远离赌博）（1）若，甲､乙赌博意外终止，则甲应分得多少元赌注？（2）若，求赌博接着进行下去甲赢得全部赌注的概率，并推断“赌博接着进行下去乙赢得全部赌注”是否为小概率事务（发生概率小于的随机事务称为小概率事务）．16．（2024·湖南师大附中高三月考）一疫苗生产单位通过验血方法检验某种疫苗产生抗体状况，须要检验血液是否有抗体现有份血液样本每份样本取到的可能性均等有以下两种检验方式：（1）逐份检验，则须要检验n次；（2）混合检验将其中（且）份血液样本分别取样混合在一起检验若检验结果无抗体，则这k份的血液全无抗体，因而这k份血液样本只需检验一次就够了，若检验结果有抗体，为了明确这k份血液原委哪几份有抗体就要对这k份再逐份检验，此时这k份血液的检验总次数为k+1次假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果有无抗体都是相互独立的，且每份样本有抗体的概率均为．（1）假设有5份血液样本，其中只有2份血液样本有抗体，若采纳逐份检验方式，求恰好经过3次检验就能把有抗体的血液样本全部检验出来的概率；（2）现取其中（且）份血液样本，记采纳逐份检验方式，样本须要检验的总次数为，采纳混合检验方式样本须要检验的总次数为．若，求关于k的函数关系式，并证明．17．（2024·全国·高三专题练习（理））某市为提升农夫的年收入，更好地实现2024年精准扶贫的工作支配，统计了2024年位农夫的年收入并制成频率分布直方图，如图．[Failedtodownloadimage:s://img.xkw/dksih/QBM/2024/7/10/2761416923308032/2776847444451328/STEM/98da53a0dc174d8faf0b102e862ddbb3.png]（1）依据频率分布直方图，估计这位农夫的年平均收入（单位：千元）（同一数据用该组数据区间的中点值表示）；（2）由频率分布直方图，可以认为该市农夫年收入听从正态分布，其中近似为年平均收入，近似为样本方差，经计算得，利用该正态分布，求：①在扶贫攻坚工作中，若使该市约有占农夫人数的的农夫的年收入高于本市规定的最低年收入标准，则此最低年收入标准大约为多少千元？②该市为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策落实状况，随机走访了位农夫．若每位农夫的年收入相互独立，问：这位农夫中的年收入不少于千元的人数最有可能是多少？附：；若，则，，．18．（2024·重庆八中高三月考）为丰富学生课外生活，某市组织了中学生钢笔书法竞赛，竞赛分两个阶段进行：第一阶段由评委为全部参赛作品评分，并确定优胜者；其次阶段为附加赛，参赛人员由组委会按规则另行确定.数据统计员对第一阶段的分数进行了统计分析，这些分数X都在内，再以5为组距画分数的频率分布直方图（设“”）时，发觉Y满足：.（1）试确定n的全部取值，并求k；（2）组委会确定：在第一阶段竞赛中低于85分的同学无缘获奖也不能参与附加赛；分数在内的同学评为一等奖；分数在内的同学评为二等奖，但通过附加赛有的概率提升为一等奖；分数在内的同学评为三等奖，但通过附加赛有的概率提升为二等奖（全部参与附加赛的获奖人员均不降低获奖等级，且附加赛获奖等级在第一阶段获奖等级基础上，最多上升一级）.已知学生A和B均参与了本次竞赛，且学生A在第一阶段获得二等奖.①求学生B最终获奖等级不低于学生A最终获奖等级的概率；②已知学生A和B都获奖，记A，B两位同学最终获得一等奖的人数为，求的分布列和数学期望.19．（2024·湖南·长郡中学模拟预料）某商城玩具柜台五一期间促销，购买甲、乙系列的盲盒，并且集齐全部的产品就可以赠送节日送礼，现有甲、乙两个系列盲盒，每个甲系列盲盒可以开出玩偶，，中的一个，每个乙系列盲盒可以开出玩偶，中的一个.（1）记事务：一次性购买个甲系列盲盒后集齐玩偶，，玩偶；事务：一次性购买个乙系列盲盒后集齐，玩偶；求概率及；（2）某礼品店限量出售甲、乙两个系列的盲盒，每个消费者每天只有一次购买机会，且购买时，只能选择其中一个系列的一个盲盒.通过统计发觉：第一次购买盲盒的消费者购买甲系列的概率为，购买乙系列的概率为；而前一次购买甲系列的消费者下一次购买甲系列的概率为，购买乙系列的概率为，前一次购买乙系列的消费者下一次购买甲系列的概率为，购买乙系列的概率为；如此往复，记某人第次购买甲系列的概率为.①求的通项公式；②若每天购买盲盒的人数约为，且这人都已购买过许多次这两个系列的盲盒，试估计该礼品店每天应打算甲、乙两个系列的盲盒各多少个.20．（2024·全国·高三专题练习）在创建“全国文明城市”过程中，我市“创城办”为了调查市民对创城工作的了解状况，进行了一次创城学问问卷调查（一位市民只能参与一次）通过随机抽样，得到参与问卷调查的100人的得分统计结果如表所示：组别[30，40)[40，50)[50，60)[60，70)[70，80)[80，90)[90，100]频数213212524114（1）由频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分，近似为这100人得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的左端点值作代表），①求的值；②利用该正态分布，求；（2）在（1）的条件下，“创城办”为此次参与问卷调查的市民制定如下嘉奖方案：①得分不低于的可以获赠2次随机话费，得分低于的可以获赠1次随机话费；②每次获赠的随机话费和对应的概率为：赠送话费的金额（单位：元）2050概率现有市民甲参与此次问卷调查，记（单位：元）为该市民参与问卷调查获赠的话费，求的分布列与数学期望．参考数据与公式：．若，则，，.21．（2024·全国·高三专题练习）一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，．（1）已知，求；（2）设p表示该种微生物经过多代繁殖后接近灭亡的概率，p是关于x的方程：的一个最小正实根，求证：当时，，当时，；（3）依据你的理解说明（2）问结论的实际含义．22．（2024·江西·南昌市豫章中学高三开学考试（理））某篮球队为提高队员的训练主动性，进行小组投篮嬉戏，每个小组由两名队员组成，队员甲与队员乙组成了一个小组.嬉戏规则：每个小组的两名队员在每轮嬉戏中分别投篮两次，每小组投进的次数之和不少于3次的称为“神投小组”，已知甲乙两名队员投进篮球的概率为别为，.（1）若，，则在第一轮嬉戏他们获“神投小组”的概率；（2）若，则在嬉戏中，甲乙两名队员想要获得“神投小组”的称号16次，则理论上他们小组要进行多少轮嬉戏才行？并求此时，的值.23．（2024·全国·高三专题练习）2024年是中国共产党百年华诞.中国站在“两个一百年”的历史交汇点，全面建设社会主义现代化国家新征程即将开启.2024年3月23日，中宣部介绍中国共产党成立100周年庆祝活动八项主要内容，其中第一项是结合巩固深化“不忘初心､牢记使命”主题教化成果，在全体党员中开展党史学习教化.这次学习教化贯穿2024年全年，总的要求是学史明理､学史增信､学史崇德､学史力行，教化引导党员干部学党史､悟思想､办实事，开新局.为了协作这次学党史活动，某地组织全体党员干部参与党史学问竞赛，现从参与人员中随机抽取100人，并对他们的分数进行统计，得到如图所示的频率分布直方图.（1）现从这100人中随机抽取2人，记其中得分不低于80分的人数为，试求随机变量的分布列及期望；（2）由频率分布直方图，可以认为该地参与党史学问竞赛人员的分数听从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差，经计算.现从全部参与党史学问竞赛的人员中随机抽取500人，且参与党史学问竞赛的人员的分数相互独立，试问这500名参赛者的分数不低于82.3的人数最有可能是多少？参考数据：，，，.24．（2024·广东·东莞市东方明珠学校模拟预料）某医院为筛查冠状病毒，须要检验血液是不是阳性，现有份血液样本，有以下两种检验方式：方式一：逐份检验，则须要检验次．方式二：混合检验，将其中（且）份血液样本分别取样混合在一起检验．若检验结果为阴性，这份血液样本全为阴性，因而这份血液样本只要检验一次就够了；若检验结果为阳性，为了明确这份血液样本原委哪几份为阳性，就要对这份血液样本再逐份检验，此时这份血液样本的检验次数总共为．假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为．现取其中份血液样本，记采纳逐份检验方式，须要检验的总次数为，采纳混合检验方式，须要检验的总次数为．（1）若，试求关于的函数关系式；（2）若与干扰素计量相关，其中是不同的正整数，且，都有成立．①求证：数列是等比数列；②当时，采纳混合检验方式可以使样本须要检验的总次数的期望值比采纳逐份检验方式的检验总次数的期望值更少，求的最大值．参考数据：，．25．（2024·全国·高三专题练习）安庆市某学校高三年级开学之初增加晚自习，晚饭在校食堂就餐人数增多，为了缓解就餐压力，学校在原有一个餐厅的基础上增加了一个餐厅，分别记做餐厅甲和餐厅乙，经过一周左右统计调研分析：前一天选择餐厅甲就餐其次天选择餐厅甲就餐的概率是25%､选择餐厅乙就餐的概率为75%，前一天选择餐厅乙就餐其次天选择餐厅乙就餐的概率是50%､选择餐厅甲就餐的概率也为50%，如此往复.假设学生第一天选择餐厅甲就餐的概率是，择餐厅乙就餐的概率是，记某同学第n天选择甲餐厅就餐的概率为.（1）记某班级的3位同学其次天选择餐厅甲的人数为X，求X的分布列，并求E(X)；（2）请写出与的递推关系；（3）求数列的通项公式并帮助学校解决以下问题：为提高学生服务意识和团队合作精神，学校每天从20个班级中每班抽调一名学生志愿者为全体学生供应就餐服务工作，依据上述数据，如何合理安排到餐厅甲和餐厅乙志愿者人数？请说明理由.26．（2024·山东·模拟预料）某商场拟在年末进行促销活动，为吸引消费者，特殊推出“玩嬉戏，送礼券“的活动，嬉戏规则如下：每轮嬉戏都抛掷一枚质地匀称的骰子（形态为正方体，六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6），若向上点数不超2点，获得1分，否则获得2分，进行若干轮嬉戏，若累计得分为19分，则嬉戏结束，可得到200元礼券，若累计得分为20分，则嬉戏结束，可得到纪念品一份，最多进行20轮嬉戏．（1）当进行完3轮嬉戏时，总分为X，求X的期望；（2）若累计得分为i的概率为，（初始得分为0分，）．①证明数列，（i＝1，2，…，19）是等比数列；②求活动参与者得到纪念品的概率．27．（2024·重庆一中模拟预料）某5G传输设备由奇数根相同的光导纤维并联组成，每根光导纤维能正常传输信号的概率均为，且每根光导纤维能否正常传输信号相互独立．已知该设备中有超过一半的光导纤维能正常传输信号，这个5G传输设备才可以正常工作．记根光导纤维组成的这种5G传输设备可以正常工作的概率为．（1）用p表示；（2）当时，证明：；（3）为提高这个5G传输设备正常工作的概率，在这个传输设备上再并联两根相同规格的光导纤维，且新增光导纤维后的5G传输设备有超过一半的光导纤维能正常传输信号才可以正常工作．确定的取值范围，使新增两根光导纤维可以提高这个5G传输设备正常工作的概率．28．（2024·山东·烟台二中三模）为纪念中国共产党成立100周年，加深青少年对党的历史、党的学问、党的理论和路途方针的相识，激发爱党爱国热忱，坚决走新时代中国特色社会主义道路的信念，某校举办了党史学问竞赛．竞赛规则是：两人一组，每一轮竞赛中，小组两人分别答3道题，若答对题目不少于5道题，则获得一个积分．已知甲乙两名同学一组，甲同学和乙同学对每道题答对的概率分别是和，且每道题答对与否互不影响．（1）若，，求甲乙同学这一组在一轮竞赛中获得一个积分的概率；（2）若，且每轮竞赛互不影响，若甲乙同学这一组想至少获得5个积分，那么理论上至少要进行多少轮竞赛？29．（2024·全国·模拟预料）某学校聘请在职老师，甲､乙两人同时应聘.应聘者需进行笔试和面试，笔试分为三个环节，每个环节都必需参与，甲笔试部分每个环节通过的概率均为，乙笔试部分每个环节通过的概率依次为，，，笔试三个环节至少通过两个才能够参与面试，否则干脆淘汰；面试分为两个环节，每个环节都必需参与，甲面试部分每个环节通过的概率依次为，，乙面试部分每个环节通过的概率依次为，，若面试部分的两个环节都通过，则可以成为该学校的在职老师.甲､乙两人通过各个环节相互独立.（1）求乙未能参与面试的概率；（2）记甲本次应聘通过的环节数为，求的分布列以及数学期望；（3）若该校仅聘请1名在职老师，试通过概率计算，推断甲､乙两人谁更有可能入职.30．（2024·山东泰安·模拟预料）国际竞赛赛制常见的有两种，一种是单败制，一种是双败制．单败制即每场竞赛的失败者干脆淘汰，常见的有等等．表示双方进行一局竞赛，获胜者晋级．表示双方最多进行三局竞赛，若连胜两局，则干脆晋级；若前两局两人各胜一局，则须要进行第三局决输赢．现在四人进行乒乓球竞赛，竞赛赛制采纳单败制，A与B一组，C与D一组，第一轮两组分别进行，胜者晋级，败者淘汰；其次轮由上轮的胜者进行，胜者为冠军．已知A与竞赛，A的胜率分别为；B与竞赛，B的胜率分别；C与D竞赛，C的胜率为．随意两局竞赛之间均相互独立．（1）在C进入其次轮的前提下，求A最终获得冠军的概率；（2）记A参与竞赛获胜的局数为X，求X的分布列与数学期望．31．（2024·山东济南·二模）某企业对生产设备进行优化升级，升级后的设备限制系统由个相同的元件组成，每个元件正常工作的概率均为，各元件之间相互独立．当限制系统有不少于个元件正常工作时，设备正常运行，否则设备停止运行，记设备正常运行的概率为（例如：表示限制系统由3个元件组成时设备正常运行的概率；表示限制系统由5个元件组成时设备正常运行的概率）．（1）若每个元件正常工作的概率．（i）当时，求限制系统中正常工作的元件个数的分布列和期望；（ii）计算．（2）已知设备升级前，单位时间的产量为件，每件产品的利润为1元，设备升级后，在正常运行状态下，单位时间的产量是原来的4倍，且出现了髙端产品，每件产品成为高端产品的概率为，每件髙端产品的利润是2元．请用表示出设备升级后单位时间内的利润（单位：元），在确保限制系统中元件总数为奇数的前提下，分析该设备能否通过增加限制系统中元件的个数来提高利润．32．（2024·河北省唐县第一中学高三月考）某病毒在进入人体后有潜藏期，患者在潜藏期内无任何症状，但已具传染性.假设一位病毒携带者在潜藏期内每天有n位密接者，每位密接者被感染的概率为p，（1）若，，求一天内被一位病毒携带者干脆感染人数X的分布列和均值：（2）某定点医院为筛查某些人员是否感染此病毒，须要检测血液样本是否为阳性，有以下两种检验方式：①逐份检验，即k份血液样本须要检验k次；②混合检验，即将k份（且）血液样本分别取样混合在一起检验，若检验结果为阴性，则这k份血液样本全为阴性，因而这k份血液样本只要检验一次就够了：假如检验结果为阳性，为了明确这k份血液样本究竞哪份为阳性，就要对k份血液样本再逐份检验，此时这k份血液样本的检验次数为k+1次.假设样本的检验结果相互独立，且每份样本检验结果是阳性的概率为，为使混合检验须要的检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数的期望值更少，求k的取值范围.参考数据：，，，，.33．（2024·湖北·汉阳一中模拟预料）2024年12月16日至18日，中心经济工作会议在北京召开，会议确定，2024年要抓好八个重点任务，其中第五点就是：保障粮食平安，关键在于落实藏粮于地､藏粮于技战略.要加强种质资源爱护和利用，加强种子库建设.要敬重科学､严格监管，有序推动生物育种产业化应用.某“种子银行”对某种珍稀珍贵植物种子实行“活态保存”方法进行保存，即对种子实行定期更换和种植.通过以往的相关数据表明，该植物种子的出芽率为，每颗种子是否发芽相互独立.现任取该植物种子颗进行种植，若种子的出芽数超过半数，则可认为种植成功().（1）当，时，求种植成功的概率及的数学期望；（2）现拟加种两颗该植物种子，试分析能否提高种植成功率？34．（2024·全国·高三专题练习）品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试，通常采纳的测试方法如下：拿出（且）瓶外观相同但品质不同的酒让品酒师品尝，要求其按品质优劣为它们排序；经过一段时间，等其记忆渐忘之后，再让其品尝这瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序.这称为一轮测试，依据一轮测试中的两次排序的偏离程度的凹凸为其评分.现分别以、、、、表示第一次排序时被排在、、、、的种酒在其次次排序时的序号，并令，则是对两次排序的偏离程度的一种描述.（1）证明：无论取何值，的可能取值都为非负偶数；（2）取，假设在品酒师仅凭随机揣测来排序的条件下，、、、等可能地为、、、的各种排列，且各轮测试相互独立.①求的分布列和数学期望；②若某品酒师在相继进行的三轮测试中，都有，则认为该品酒师有较好的酒味鉴别功能.求出现这种现象的概率，并据此说明该测试方法的合理性.35．（2024·湖北·汉阳一中三模）设是给定的正整数（），现有个外表相同的袋子，里面均装有个除颜色外其他无区分的小球，第个袋中有个红球，个白球．现将这些袋子混合后，任选其中一个袋子，并且从中连续取出三个球（每个取后不放回）．（1）若，假设已知选中的恰为第2个袋子，求第三次取出为白球的概率；（2）若，求第三次取出为白球的概率；（3）对于随意的正整数，求第三次取出为白球的概率．36．（2024·安徽·高三月考（理））公元1651年，法国一位著名的统计学家德梅赫（Demere）向另一位著名的数学家帕斯卡（B.Pascal）提出了一个问题，帕斯卡和费马（Fermat）探讨了这个问题，后来惠更斯（C.Huygens）也加入了探讨，这三位当时全欧洲乃至全世界最优秀的科学家都给出了正确的解答.该问题如下：设两名运动员约定谁先赢局，谁便赢得全部奖金元.每局甲赢的概率为，乙赢的概率为，且每场竞赛相互独立.在甲赢了局，乙赢了局时，竞赛意外终止.奖金该怎么分才合理？这三位数学家给出的答案是：假如出现无人先赢局则竞赛意外终止的状况，甲、乙便依据竞赛再接着进行下去各自赢得全部奖金的概率之比安排奖金.（1）规定假如出现无人先赢局则竞赛意外终止的状况，甲、乙便依据竞赛再接着进行下去各自赢得全部奖金的概率之比安排奖金.若，，，，求.（2）记事务为“竞赛接着进行下去乙赢得全部奖金”，试求当，，时竞赛接着进行下去甲赢得全部奖金的概率，并推断当时，事务是否为小概率事务，并说明理由.规定：若随机事务发生的概率小于0.05，则称该随机事务为小概率事务.37．（2024·湖南·雅礼中学高三开学考试）某新型双轴承电动机须要装配两个轴承才能正常工作，且两个轴承互不影响．现支配购置甲，乙两个品牌的轴承，两个品牌轴承的运用寿命及价格状况如下表：品牌价格（元/件）运用寿命（月）甲或乙或已知甲品牌运用个月或个月的概率均为，乙品牌运用个月或个月的概率均为．（1）若从件甲品牌和件乙品牌共件轴承中，任选件装入电动机内，求电动机可工作时间不少于个月的概率；（2）现有两种购置方案，方案一：购置件甲品牌；方案二：购置件甲品牌和件乙品牌（甲、乙两品牌轴承搭配运用）．试从性价比（即电动机正常工作时间与购置轴承的成本之比）的角度考虑，选择哪一种方案更实惠？38．（2024·全国·高三专题练习（理））为落实《关于全面加强和改进新时代学校体育工作的看法》，完善学校体育“健康学问＋基本运动技能＋专项运动技能”教学模式，建立“校内竞赛－校级联赛－选拔性竞赛－国际沟通竞赛”为一体的竞赛体系，构建校、县（区）、地（市）、省、国家五级学校体育竞赛制度．某校开展“阳光体育节”活动，其中传统项目“定点踢足球”深受同学们宠爱．其间甲、乙两人轮番进行足球定点踢球竞赛（每人各踢一次为一轮），在相同的条件下，每轮甲、乙两人在同一位置，甲先踢，每人踢一次球，两人有1人命中，命中者得1分，未命中者得分；两人都命中或都未命中，两人均得0分，设甲每次踢球命中的概率为，乙每次踢球命中的概率为，且各次踢球互不影响．（1）经过1轮踢球，记甲的得分为，求的数学期望；（2）若经过轮踢球，用表示经过第轮踢球累计得分后甲得分高于乙得分的概率．①求，，；②规定，且有，请依据①中，，的值求出、，并求出数列的通项公式．39．（2024·全国·模拟预料）当前，全国上下正处在新冠肺炎疫情“外防输入，内防反弹”的关键时期，为深化实行习近平总书记关于疫情防控的重要指示要求，始终把师生生命平安和身体健康放在第一位．结合全国第个爱国卫生月要求，学校某班组织开展了“战疫有我，爱卫同行”防控疫情学问竟赛活动，抽取四位同学，分成甲、乙两组，每组两人，进行对战答题．规则如下：每次每位同学给出道题目，其中有道是送分题(即每位同学至少答对题)．若每次每组答对的题数之和为的倍数，原答题组的人再接着答题；若答对的题数之和不是的倍数，就由对方组接着答题．假设每位同学每次答题之间相互独立，无论答对几道题概率都一样，且每次答题依次不作考虑，第一次由甲组起先答题．求：(1)若第次由甲组答题的概率为，求；(2)前次答题中甲组恰好答题次的概率为多少？40．（2024·全国·高三专题练习（理））甲、乙、丙三人参与学校“元旦嘉年华”竞答嬉戏，活动的规则为：甲、乙、丙三人先分别坐在圆桌的，，三点，第一轮从甲起先通过掷骰子确定甲的竞答对手，假如点数是奇数，则按逆时针选择乙，假如是偶数，则按顺时针选丙，下一轮由上一轮掷骰子选中的对手接着通过掷骰子确定竟答对手，假如点数是奇数按逆时针选对手，点数是偶数按顺时针选对手，已知每场竞答甲对乙、甲对丙、乙对丙获胜的概率分别为，，且甲、乙、丙之间竞答互不影响，各轮嬉戏亦互不影响，竞赛中某选手累计获胜场数达到场，嬉戏结束，该选手为晋级选手．（1）求竞赛进行了场且甲晋级的概率；（2）当竞赛进行了场后结束，记甲获胜的场数为，求的分布列与数学期望．41．（2024·重庆南开中学高三月考）中国职业篮球联赛（CBA联赛）分为常规赛和季后赛.由于新冠疫情关系，今年联赛采纳赛会制：全部球队集中在同一个地方竞赛，分两个阶段进行，每个阶段采纳循环赛，分主场竞赛和客场竞赛，积分排名前8的球队进入季后赛.季后赛的总决赛采纳五场三胜制（“五场三胜制”是指在五场竞赛中先胜三场者获得竞赛成功，胜者成为本赛季的总冠军）.下表是队在常规赛60场竞赛中的竞赛结果记录表.阶段竞赛场数主场场数获胜场数主场获胜场数第一阶段30152010其次阶段30152515（1）依据表中信息，是否有90%的把握认为竞赛的“主客场”与“输赢”之间有关？（2）已知队与队在季后赛的总决赛中相遇，假设每场竞赛结果相互独立，队除第五场竞赛获胜的概率为外，其他场次竞赛获胜的概率等于队常规赛60场竞赛获胜的频率.记为队在总决赛中获胜的场数.（ⅰ）求的分布列；（ⅱ）求队获得本赛季的总冠军的概率.附：.（）0.1000.0500.0252.7063.8415.02442．（2024·江苏省天一中学三模）最近考试频繁，为了减轻同学们的学习压力，班上确定进行一次减压嬉戏.班主任把除颜色不同外其余均相同的8个小球放入一个纸箱子，其中白色球与黄色球各3个，红色球与绿色球各1个.现甲、乙两位同学进行摸球得分竞赛，摸到白球每个记1分，黄球每个记2分，红球每个记3分，绿球每个记4分，规定摸球人得分不低于8分获胜.竞赛规则如下：①只能一个人摸球；②摸出的球不放回；③摸球的人先从袋中摸出1球；若摸出的是绿色球，则再从袋子里摸出2个球；若摸出的不是绿色球，则再从袋子里摸出3个球，他的得分为两次摸出的球的记分之和；④剩下的球归对方，得分为剩下的球的记分之和.（1）若甲第一次摸出了绿色球，求甲获胜的概率；（2）假如乙先摸出了红色球，求乙得分的分布列和数学期望；（3）第一轮竞赛结束，有同学提出竞赛不公允，提出你的看法，并说明理由.43．（2024·全国·高三专题练习）网络是第五代移动通信网络的简称，是新一轮科技革命最具代表性的技术之一.年初以来，我国网络正在大面积铺开.A市某调查机构为了解市民对该市网络服务质量的满足程度，从运用了手机的市民中随机选取了人进行了问卷调查，并将这人依据其满足度得分分成以下组：、、、、，统计结果如图所示：（1）由直方图可认为市市民对网络满足度得分（单位：分）近似地听从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本的标准差，并已求得.若市恰有万名手机用户，试估计这些手机用户中满足度得分位于区间的人数（每组数据以区间的中点值为代表）；（2）该调查机构为参与本次调查的手机用户实行了抽奖活动，每人最多有轮抽奖活动，每一轮抽奖相互独立，中奖率均为.每一轮抽奖，若中奖，奖金为元话费且接着参与下一轮抽奖；若未中奖，则抽奖活动结束，现小王参与了此次抽奖活动.（ⅰ）求小王获得元话费的概率；（ⅱ）求小王所获话费总额的数学期望（结果精确到）.参考数据：若随机变量z听从正态分布，即，则，.44．（2024·全国·高三月考（理））“博弈”原指下棋，出自我国《论语·阳货》篇，现在多指一种决策行为，即一些个人､团队或组织，在肯定规则约束下，同时或先后，一次或多次，在各自允许选择的策略下进行选择和实施，并从中各自取得相应结果或收益的过程.生活中有许多嬉戏都蕴含着博弈，比如现在有两个人玩“亮”硬币的嬉戏，甲､乙约定若同时亮出正面，则甲付给乙3元，若同时亮出反面，则甲付给乙1元，若亮出结果是一正一反，则乙付给甲2元.（1）若两人各自随机“亮”出正反面，求乙收益的期望.（2）因为各自“亮”出正反面，而不是抛出正反面，所以可以限制“亮”出正面或反面的频率(假设进行多次嬉戏，频率可以代替概率)，因此双方就面临竞争策略的博弈.甲､乙可以依据对手出正面的概率调整自己出正面的概率，进而增加自己赢得收益的期望，以收益的期望为决策依据，甲､乙各自应当如何选择“亮”出正面的概率，才能让结果对自己最有利？并分析嬉戏规则是否公允.45．（2024·重庆·西南高校附中高三开学考试）“T2钻石联赛”是世界乒联推出一种新型乒乓球赛事，其赛制如下：采纳七局四胜制，竞赛过程中可能出现两种模式：“常规模式”和“FAST5模式”.在前24分钟内进行的常规模式中，每小局竞赛均为11分制，领先拿满11分的选手赢得该局；假如两名球员在24分钟内都没有人赢得4局竞赛，那么将进入“FAST5”模式，“FAST5”模式为5分制的小局竞赛，领先拿满5分的选手赢得该局.24分钟计时后起先的全部小局均采纳“FAST5”模式.某位选手领先在7局竞赛中拿下4局，竞赛结束.现有甲、乙两位选手进行竞赛，经统计分析甲、乙之间以往竞赛数据发觉，24分钟内甲、乙可以完整打满2局或3局，且在11分制竞赛中，每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为；在“FAST5”模式，每局竞赛双方获胜的概率都为，每局竞赛结果相互独立.（Ⅰ）求4局竞赛决出输赢的概率；（Ⅱ）设在24分钟内，甲、乙竞赛了3局，竞赛结束时，甲乙总共进行的局数记为，求的分布列及数学期望.46．（2024·江西南昌·三模（理））高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来探讨随机现象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落的过程中与层层小木块碰撞，且等可能向左或向右滚下，最终掉入高尔顿板下方的某一球槽内.如图1所示的高尔顿板有7层小木块，小球从通道口落下，第一次与第2层中间的小木块碰撞，以的概率向左或向右滚下，依次经过6次与小木块碰撞，最终掉入编号为1，2，…，7的球槽内.例如小球要掉入3号球槽，则在6次碰撞中有2次向右4次向左滚下.（1）如图1，进行一次高尔顿板试验，求小球落入5号球槽的概率；（2）小红､小明同学在探讨了高尔顿板后，利用高尔顿板来到社团文化节上进行盈利性“抽奖”活动.小红运用图1所示的高尔顿板，付费6元可以玩一次嬉戏，小球掉入m号球槽得到的奖金为元，其中.小明改进了高尔顿板(如图2)，首先将小木块削减成5层，然后使小球在下落的过程中与小木块碰撞时，有的概率向左，的概率向右滚下，最终掉入编号为1，2，……，5的球槽内，改进高尔顿板后只需付费4元就可以玩一次嬉戏，小球掉入n号球槽得到的奖金为元，其中.两位同学的高尔顿板嬉戏火爆进行，许多同学参与了嬉戏，你觉得小红和小明同学谁的盈利多？请说明理由.47．（2024·湖南·长郡中学高三月考）一支担负勘探任务的队伍有若干个勘探小组和两类勘探人员，甲类人员应用某种新型勘探技术的精准率为0.6，乙