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文档简介
2025届河北省唐山开滦一中高三六校第一次联考数学试卷注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.答题时请按要求用笔。3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.设复数满足(为虚数单位),则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.抛物线的焦点为,则经过点与点且与抛物线的准线相切的圆的个数有()A.1个 B.2个 C.0个 D.无数个3.已知集合,,则集合子集的个数为()A. B. C. D.4.在平面直角坐标系中,已知角的顶点与原点重合,始边与轴的非负半轴重合,终边落在直线上,则()A. B. C. D.5.已知向量,满足,在上投影为,则的最小值为()A. B. C. D.6.已知双曲线:的左、右两个焦点分别为,,若存在点满足,则该双曲线的离心率为()A.2 B. C. D.57.设集合,集合,则=()A. B. C. D.R8.设i是虚数单位,若复数()是纯虚数,则m的值为()A. B. C.1 D.39.过抛物线的焦点的直线与抛物线交于、两点,且,抛物线的准线与轴交于,的面积为,则()A. B. C. D.10.元代数学家朱世杰的数学名著《算术启蒙》是中国古代代数学的通论,其中关于“松竹并生”的问题:松长五尺,竹长两尺,松日自半,竹日自倍,松竹何日而长等.下图是源于其思想的一个程序图,若,,则输出的()A.3 B.4 C.5 D.611.已知函数的定义域为,且,当时,.若,则函数在上的最大值为()A.4 B.6 C.3 D.812.已知随机变量满足,,.若,则()A., B.,C., D.,二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知数列的前项和为,且满足,则______14.已知椭圆与双曲线有相同的焦点、,其中为左焦点.点为两曲线在第一象限的交点,、分别为曲线、的离心率,若是以为底边的等腰三角形,则的取值范围为________.15.已知是抛物线的焦点,过作直线与相交于两点,且在第一象限,若,则直线的斜率是_________.16.已知抛物线的焦点为,过点且斜率为1的直线交抛物线于两点,,若线段的垂直平分线与轴交点的横坐标为,则的值为_________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)的内角的对边分别为,且.(1)求;(2)若,点为边的中点,且,求的面积.18.(12分)在新中国成立70周年国庆阅兵庆典中,众多群众在脸上贴着一颗红心,以此表达对祖国的热爱之情,在数学中,有多种方程都可以表示心型曲线,其中有著名的笛卡尔心型曲线,如图,在直角坐标系中,以原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.图中的曲线就是笛卡尔心型曲线,其极坐标方程为(),M为该曲线上的任意一点.(1)当时,求M点的极坐标;(2)将射线OM绕原点O逆时针旋转与该曲线相交于点N,求的最大值.19.(12分)为了保障全国第四次经济普查顺利进行,国家统计局从东部选择江苏,从中部选择河北、湖北,从西部选择宁夏,从直辖市中选择重庆作为国家综合试点地区,然后再逐级确定普查区域,直到基层的普查小区,在普查过程中首先要进行宣传培训,然后确定对象,最后入户登记,由于种种情况可能会导致入户登记不够顺利,这为正式普查提供了宝贵的试点经验,在某普查小区,共有50家企事业单位,150家个体经营户,普查情况如下表所示:普查对象类别顺利不顺利合计企事业单位401050个体经营户10050150合计14060200(1)写出选择5个国家综合试点地区采用的抽样方法;(2)根据列联表判断是否有的把握认为“此普查小区的入户登记是否顺利与普查对象的类别有关”;(3)以该小区的个体经营户为样本,频率作为概率,从全国个体经营户中随机选择3家作为普查对象,入户登记顺利的对象数记为,写出的分布列,并求的期望值.附:0.100.0100.0012.7066.63510.82820.(12分)在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数).以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为.(1)求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程;(2)设点,若直线与曲线相交于、两点,求的值21.(12分)在直角坐标系中,圆的参数方程为:(为参数),以坐标原点为极点,以轴的正半轴为极轴建立极坐标系,且长度单位相同.(1)求圆的极坐标方程;(2)若直线:(为参数)被圆截得的弦长为,求直线的倾斜角.22.(10分)已知函数,.(1)当时,讨论函数的单调性;(2)若,当时,函数,求函数的最小值.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】
先把变形为,然后利用复数代数形式的乘除运算化简,求出,得到其坐标可得答案.【详解】解:由,得,所以,其在复平面内对应的点为,在第四象限故选:D【点睛】此题考查了复数代数形式的乘除运算,考查了复数的代数表示法及其几何意义,属于基础题.2、B【解析】
圆心在的中垂线上,经过点,且与相切的圆的圆心到准线的距离与到焦点的距离相等,圆心在抛物线上,直线与抛物线交于2个点,得到2个圆.【详解】因为点在抛物线上,又焦点,,由抛物线的定义知,过点、且与相切的圆的圆心即为线段的垂直平分线与抛物线的交点,这样的交点共有2个,故过点、且与相切的圆的不同情况种数是2种.故选:.【点睛】本题主要考查抛物线的简单性质,本题解题的关键是求出圆心的位置,看出圆心必须在抛物线上,且在垂直平分线上.3、B【解析】
首先求出,再根据含有个元素的集合有个子集,计算可得.【详解】解:,,,子集的个数为.故选:.【点睛】考查列举法、描述法的定义,以及交集的运算,集合子集个数的计算公式,属于基础题.4、C【解析】
利用诱导公式以及二倍角公式,将化简为关于的形式,结合终边所在的直线可知的值,从而可求的值.【详解】因为,且,所以.故选:C.【点睛】本题考查三角函数中的诱导公式以及三角恒等变换中的二倍角公式,属于给角求值类型的问题,难度一般.求解值的两种方法:(1)分别求解出的值,再求出结果;(2)将变形为,利用的值求出结果.5、B【解析】
根据在上投影为,以及,可得;再对所求模长进行平方运算,可将问题转化为模长和夹角运算,代入即可求得.【详解】在上投影为,即又本题正确选项:【点睛】本题考查向量模长的运算,对于含加减法运算的向量模长的求解,通常先求解模长的平方,再开平方求得结果;解题关键是需要通过夹角取值范围的分析,得到的最小值.6、B【解析】
利用双曲线的定义和条件中的比例关系可求.【详解】.选B.【点睛】本题主要考查双曲线的定义及离心率,离心率求解时,一般是把已知条件,转化为a,b,c的关系式.7、D【解析】试题分析:由题,,,选D考点:集合的运算8、A【解析】
根据复数除法运算化简,结合纯虚数定义即可求得m的值.【详解】由复数的除法运算化简可得,因为是纯虚数,所以,∴,故选:A.【点睛】本题考查了复数的概念和除法运算,属于基础题.9、B【解析】
设点、,并设直线的方程为,由得,将直线的方程代入韦达定理,求得,结合的面积求得的值,结合焦点弦长公式可求得.【详解】设点、,并设直线的方程为,将直线的方程与抛物线方程联立,消去得,由韦达定理得,,,,,,,,可得,,抛物线的准线与轴交于,的面积为,解得,则抛物线的方程为,所以,.故选:B.【点睛】本题考查抛物线焦点弦长的计算,计算出抛物线的方程是解答的关键,考查计算能力,属于中等题.10、B【解析】分析:根据流程图中的可知,每次循环的值应是一个等比数列,公比为;根据流程图中的可知,每次循环的值应是一个等比数列,公比为,根据每次循环得到的的值的大小决定循环的次数即可.详解:记执行第次循环时,的值记为有,则有;记执行第次循环时,的值记为有,则有.令,则有,故,故选B.点睛:本题为算法中的循环结构和数列通项的综合,属于中档题,解题时注意流程图中蕴含的数列关系(比如相邻项满足等比数列、等差数列的定义,是否是求数列的前和、前项积等).11、A【解析】
根据所给函数解析式满足的等量关系及指数幂运算,可得;利用定义可证明函数的单调性,由赋值法即可求得函数在上的最大值.【详解】函数的定义域为,且,则;任取,且,则,故,令,,则,即,故函数在上单调递增,故,令,,故,故函数在上的最大值为4.故选:A.【点睛】本题考查了指数幂的运算及化简,利用定义证明抽象函数的单调性,赋值法在抽象函数求值中的应用,属于中档题.12、B【解析】
根据二项分布的性质可得:,再根据和二次函数的性质求解.【详解】因为随机变量满足,,.所以服从二项分布,由二项分布的性质可得:,因为,所以,由二次函数的性质可得:,在上单调递减,所以.故选:B【点睛】本题主要考查二项分布的性质及二次函数的性质的应用,还考查了理解辨析的能力,属于中档题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】
对题目所给等式进行赋值,由此求得的表达式,判断出数列是等比数列,由此求得的值.【详解】解:,可得时,,时,,又,两式相减可得,即,上式对也成立,可得数列是首项为1,公比为的等比数列,可得.【点睛】本小题主要考查已知求,考查等比数列前项和公式,属于中档题.14、【解析】
设,由椭圆和双曲线的定义得到,根据是以为底边的等腰三角形,得到,从而有,根据,得到,再利用导数法求的范围.【详解】设,由椭圆的定义得,由双曲线的定义得,所以,因为是以为底边的等腰三角形,所以,即,因为,所以,因为,所以,所以,即,而,因为,所以在上递增,所以.故答案为:【点睛】本题主要考查椭圆,双曲线的定义和几何性质,还考查了运算求解的能力,属于中档题.15、【解析】
作出准线,过作准线的垂线,利用抛物线的定义把抛物线点到焦点的距离转化为点到准线的距离,利用平面几何知识计算出直线的斜率.【详解】设是准线,过作于,过作于,过作于,如图,则,,∵,∴,∴,∴,,∴,∴直线斜率为.故答案为:.【点睛】本题考查抛物线的焦点弦问题,解题关键是利用抛物线的定义,把抛物线上点到焦点距离转化为该点到准线的距离,用平面几何方法求解.16、1【解析】
设,写出直线方程代入抛物线方程后应用韦达定理求得,由抛物线定义得焦点弦长,求得,再写出的垂直平分线方程,得,从而可得结论.【详解】抛物线的焦点坐标为,直线的方程为,据得.设,则.线段垂直平分线方程为,令,则,所以,所以.故答案为:1.【点睛】本题考查抛物线的焦点弦问题,根据抛物线的定义表示出焦点弦长是解题关键.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1);(2).【解析】
(1)利用正弦定理边化角,再利用余弦定理求解即可.(2)为为的中线,所以再平方后利用向量的数量积公式进行求解,再代入可解得,再代入面积公式求解即可.【详解】(1)由,可得,由余弦定理可得,故.(2)因为为的中线,所以,两边同时平方可得,故.因为,所以.所以的面积.【点睛】本题主要考查了利用正余弦定理与面积公式求解三角形的问题,同时也考查了向量在解三角形中的运用,属于中档题.18、(1)点M的极坐标为或(2)【解析】
(1)令,由此求得的值,进而求得点的极坐标.(2)设出两点的极坐标,利用勾股定理求得的表达式,利用三角函数最值的求法,求得的最大值.【详解】(1)设点M在极坐标系中的坐标,由,得,∵∴或,所以点M的极坐标为或(2)由题意可设,.由,得,.故时,的最大值为.【点睛】本小题主要考查极坐标的求法,考查极坐标下两点间距离的计算以及距离最值的求法,属于中档题.19、(1)分层抽样,简单随机抽样(抽签亦可)(2)有(3)分布列见解析,【解析】
(1)根据题意可以选用分层抽样法,或者简单随机抽样法.(2)由已知条件代入公式计算出结果,进而可以得到结果.(3)由已知条件计算出的分布列,进而求出的数学期望.【详解】(1)分层抽样,简单随机抽样(抽签亦可).(2)将列联表中的数据代入公式计算得所以有的把握认为“此普查小区的入户登记是否顺利与普查对象的类别有关”.(3)以频率作为概率,随机选择1家个体经营户作为普查对象,入户登记顺利的概率为.可取0,1,2,3,计算可得的分布列为:0123【点睛】本题考查了运用数学模型解答实际生活问题,运用合理的抽样方法,计算以及数据的分布列和数学期望,需要正确运用公式进行求解,本题属于常考题型,需要掌握解题方法.20、(1)的普通方程为,的直角坐标方程为;(2).【解析】
(1)在曲线的参数方程中消去参数可得出曲线的普通方程,利用两角和的正弦公式以及可将直线的极坐标方程化为普通方程;(2)设直线的参数方程为(为参数),并设点、所对应的参数分别为、,利用韦达定理可求得的值.【详解】(1)由,得,,曲线的普通方程为,由,得,直线的直角坐标方程为;(2)设直线的参数方程为(为参数),代入,得,则,设、两点对应参数分别为、,,,,,.【点睛】本题考查了参数方程、极坐标方程与普通方程之间的转化,同时也考查了直线参数方程几何意义的应用,考查计算能力,属于中等题.21、(
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