湛江市重点中学2025届高三下学期第五次调研考试数学试题含解析_第1页
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文档简介

湛江市重点中学2025届高三下学期第五次调研考试数学试题注意事项1.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.2.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.4.作答选择题,必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑;如需改动,请用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.作答非选择题,必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效.5.如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知双曲线:,,为其左、右焦点,直线过右焦点,与双曲线的右支交于,两点,且点在轴上方,若,则直线的斜率为()A. B. C. D.2.某大学计算机学院的薛教授在2019年人工智能方向招收了6名研究生.薛教授欲从人工智能领域的语音识别、人脸识别,数据分析、机器学习、服务器开发五个方向展开研究,且每个方向均有研究生学习,其中刘泽同学学习人脸识别,则这6名研究生不同的分配方向共有()A.480种 B.360种 C.240种 D.120种3.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果,哥德巴赫猜想的内容是:每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和,例如:,,,那么在不超过18的素数中随机选取两个不同的数,其和等于16的概率为()A. B. C. D.4.甲、乙、丙三人相约晚上在某地会面,已知这三人都不会违约且无两人同时到达,则甲第一个到、丙第三个到的概率是()A. B. C. D.5.已知分别为双曲线的左、右焦点,过的直线与双曲线的左、右两支分别交于两点,若,则双曲线的离心率为()A. B.4 C.2 D.6.过双曲线的右焦点F作双曲线C的一条弦AB,且,若以AB为直径的圆经过双曲线C的左顶点,则双曲线C的离心率为()A. B. C.2 D.7.已知等差数列的前n项和为,,则A.3 B.4 C.5 D.68.若、满足约束条件,则的最大值为()A. B. C. D.9.已知某超市2018年12个月的收入与支出数据的折线图如图所示:根据该折线图可知,下列说法错误的是()A.该超市2018年的12个月中的7月份的收益最高B.该超市2018年的12个月中的4月份的收益最低C.该超市2018年1-6月份的总收益低于2018年7-12月份的总收益D.该超市2018年7-12月份的总收益比2018年1-6月份的总收益增长了90万元10.()A. B. C. D.11.复数的共轭复数为()A. B. C. D.12.已知函数的图象与直线的相邻交点间的距离为,若定义,则函数,在区间内的图象是()A. B.C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知边长为的菱形中,,现沿对角线折起,使得二面角为,此时点,,,在同一个球面上,则该球的表面积为________.14.函数的最小正周期是_______________,单调递增区间是__________.15.设为等比数列的前项和,若,且,,成等差数列,则.16.已知,,,,则______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)如图,己知圆和双曲线,记与轴正半轴、轴负半轴的公共点分别为、,又记与在第一、第四象限的公共点分别为、.(1)若,且恰为的左焦点,求的两条渐近线的方程;(2)若,且,求实数的值;(3)若恰为的左焦点,求证:在轴上不存在这样的点,使得.18.(12分)如图,正方形是某城市的一个区域的示意图,阴影部分为街道,各相邻的两红绿灯之间的距离相等,处为红绿灯路口,红绿灯统一设置如下:先直行绿灯30秒,再左转绿灯30秒,然后是红灯1分钟,右转不受红绿灯影响,这样独立的循环运行.小明上学需沿街道从处骑行到处(不考虑处的红绿灯),出发时的两条路线()等可能选择,且总是走最近路线.(1)请问小明上学的路线有多少种不同可能?(2)在保证通过红绿灯路口用时最短的前提下,小明优先直行,求小明骑行途中恰好经过处,且全程不等红绿灯的概率;(3)请你根据每条可能的路线中等红绿灯的次数的均值,为小明设计一条最佳的上学路线,且应尽量避开哪条路线?19.(12分)若不等式在时恒成立,则的取值范围是__________.20.(12分)已知函数.(1)当时.①求函数在处的切线方程;②定义其中,求;(2)当时,设,(为自然对数的底数),若对任意给定的,在上总存在两个不同的,使得成立,求的取值范围.21.(12分)(Ⅰ)证明:;(Ⅱ)证明:();(Ⅲ)证明:.22.(10分)自湖北武汉爆发新型冠状病毒惑染的肺炎疫情以来,武汉医护人员和医疗、生活物资严重缺乏,全国各地纷纷驰援.截至1月30日12时,湖北省累计接收捐赠物资615.43万件,包括医用防护服2.6万套N95口軍47.9万个,医用一次性口罩172.87万个,护目镜3.93万个等.中某运输队接到给武汉运送物资的任务,该运输队有8辆载重为6t的A型卡车,6辆载重为10t的B型卡车,10名驾驶员,要求此运输队每天至少运送720t物资.已知每辆卡车每天往返的次数:A型卡车16次,B型卡车12次;每辆卡车每天往返的成本:A型卡车240元,B型卡车378元.求每天派出A型卡车与B型卡车各多少辆,运输队所花的成本最低?

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】

由|AF2|=3|BF2|,可得.设直线l的方程x=my+,m>0,设,,即y1=﹣3y2①,联立直线l与曲线C,得y1+y2=-②,y1y2=③,求出m的值即可求出直线的斜率.【详解】双曲线C:,F1,F2为左、右焦点,则F2(,0),设直线l的方程x=my+,m>0,∵双曲线的渐近线方程为x=±2y,∴m≠±2,设A(x1,y1),B(x2,y2),且y1>0,由|AF2|=3|BF2|,∴,∴y1=﹣3y2①由,得∴△=(2m)2﹣4(m2﹣4)>0,即m2+4>0恒成立,∴y1+y2=②,y1y2=③,联立①②得,联立①③得,,即:,,解得:,直线的斜率为,故选D.【点睛】本题考查直线与双曲线的位置关系,考查韦达定理的运用,考查向量知识,属于中档题.2、B【解析】

将人脸识别方向的人数分成:有人、有人两种情况进行分类讨论,结合捆绑计算出不同的分配方法数.【详解】当人脸识别方向有2人时,有种,当人脸识别方向有1人时,有种,∴共有360种.故选:B【点睛】本小题主要考查简单排列组合问题,考查分类讨论的数学思想方法,属于基础题.3、B【解析】

先求出从不超过18的素数中随机选取两个不同的数的所有可能结果,然后再求出其和等于16的结果,根据等可能事件的概率公式可求.【详解】解:不超过18的素数有2,3,5,7,11,13,17共7个,从中随机选取两个不同的数共有,其和等于16的结果,共2种等可能的结果,故概率.故选:B.【点睛】古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数,本题不可以列举出所有事件但可以用分步计数得到,属于基础题.4、D【解析】

先判断是一个古典概型,列举出甲、乙、丙三人相约到达的基本事件种数,再得到甲第一个到、丙第三个到的基本事件的种数,利用古典概型的概率公式求解.【详解】甲、乙、丙三人相约到达的基本事件有甲乙丙,甲丙乙,乙甲丙,乙丙甲,丙甲乙,丙乙甲,共6种,其中甲第一个到、丙第三个到有甲乙丙,共1种,所以甲第一个到、丙第三个到的概率是.故选:D【点睛】本题主要考查古典概型的概率求法,还考查了理解辨析的能力,属于基础题.5、A【解析】

由已知得,,由已知比值得,再利用双曲线的定义可用表示出,,用勾股定理得出的等式,从而得离心率.【详解】.又,可令,则.设,得,即,解得,∴,,由得,,,该双曲线的离心率.故选:A.【点睛】本题考查求双曲线的离心率,解题关键是由向量数量积为0得出垂直关系,利用双曲线的定义把双曲线上的点到焦点的距离都用表示出来,从而再由勾股定理建立的关系.6、C【解析】

由得F是弦AB的中点.进而得AB垂直于x轴,得,再结合关系求解即可【详解】因为,所以F是弦AB的中点.且AB垂直于x轴.因为以AB为直径的圆经过双曲线C的左顶点,所以,即,则,故.故选:C【点睛】本题是对双曲线的渐近线以及离心率的综合考查,是考查基本知识,属于基础题.7、C【解析】

方法一:设等差数列的公差为,则,解得,所以.故选C.方法二:因为,所以,则.故选C.8、C【解析】

作出不等式组所表示的可行域,平移直线,找出直线在轴上的截距最大时对应的最优解,代入目标函数计算即可.【详解】作出满足约束条件的可行域如图阴影部分(包括边界)所示.由,得,平移直线,当直线经过点时,该直线在轴上的截距最大,此时取最大值,即.故选:C.【点睛】本题考查简单的线性规划问题,考查线性目标函数的最值,一般利用平移直线的方法找到最优解,考查数形结合思想的应用,属于基础题.9、D【解析】

用收入减去支出,求得每月收益,然后对选项逐一分析,由此判断出说法错误的选项.【详解】用收入减去支出,求得每月收益(万元),如下表所示:月份123456789101112收益203020103030604030305030所以月收益最高,A选项说法正确;月收益最低,B选项说法正确;月总收益万元,月总收益万元,所以前个月收益低于后六个月收益,C选项说法正确,后个月收益比前个月收益增长万元,所以D选项说法错误.故选D.【点睛】本小题主要考查图表分析,考查收益的计算方法,属于基础题.10、D【解析】

利用,根据诱导公式进行化简,可得,然后利用两角差的正弦定理,可得结果.【详解】由所以,所以原式所以原式故故选:D【点睛】本题考查诱导公式以及两角差的正弦公式,关键在于掌握公式,属基础题.11、D【解析】

直接相乘,得,由共轭复数的性质即可得结果【详解】∵∴其共轭复数为.故选:D【点睛】熟悉复数的四则运算以及共轭复数的性质.12、A【解析】

由题知,利用求出,再根据题给定义,化简求出的解析式,结合正弦函数和正切函数图象判断,即可得出答案.【详解】根据题意,的图象与直线的相邻交点间的距离为,所以的周期为,则,所以,由正弦函数和正切函数图象可知正确.故选:A.【点睛】本题考查三角函数中正切函数的周期和图象,以及正弦函数的图象,解题关键是对新定义的理解.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】

分别取,的中点,,连接,由图形的对称性可知球心必在的延长线上,设球心为,半径为,,由勾股定理可得、,再根据球的面积公式计算可得;【详解】如图,分别取,的中点,,连接,则易得,,,,由图形的对称性可知球心必在的延长线上,设球心为,半径为,,可得,解得,.故该球的表面积为.故答案为:【点睛】本题考查多面体的外接球的计算,属于中档题.14、,,【解析】

化简函数的解析式,利用余弦函数的图象和性质求解即可.【详解】函数,最小正周期,令,,可得,,所以单调递增区间是,,.故答案为:,,,.【点睛】本题主要考查了二倍角的公式的应用,余弦函数的图象与性质,属于中档题.15、.【解析】试题分析:∵,,成等差数列,∴,又∵等比数列,∴.考点:等差数列与等比数列的性质.【名师点睛】本题主要考查等差与等比数列的性质,属于容易题,在解题过程中,需要建立关于等比数列基本量的方程即可求解,考查学生等价转化的思想与方程思想.16、【解析】

由已知利用同角三角函数的基本关系式可求得,的值,由两角差的正弦公式即可计算得的值.【详解】,,,,,,,,.故答案为:【点睛】本题主要考查了同角三角函数的基本关系、两角差的正弦公式,需熟记公式,属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1);(2);(2)见解析.【解析】

(1)由圆的方程求出点坐标,得双曲线的,再计算出后可得渐近线方程;(2)设,由圆方程与双曲线方程联立,消去后整理,可得,,由先求出,回代后求得坐标,计算;(3)由已知得,设,由圆方程与双曲线方程联立,消去后整理,可解得,,求出,从而可得,由,可知满足要求的点不存在.【详解】(1)由题意圆方程为,令得,∴,即,∴,,∴渐近线方程为.(2)由(1)圆方程为,,设,由得,(*),,,,所以,即,解得,方程(*)为,即,,代入双曲线方程得,∵在第一、四象限,∴,,∴.(3)由题意,,,,,设由得:,,由得,解得,,,所以,,,当且仅当三点共线时,等号成立,∴轴上不存在点,使得.【点睛】本题考查求渐近线方程,考查圆与双曲线相交问题.考查向量的加法运算,本题对学生的运算求解能力要求较高,解题时都是直接求出交点坐标.难度较大,属于困难题.18、(1)6种;(2);(3).【解析】

(1)从4条街中选择2条横街即可;(2)小明途中恰好经过处,共有4条路线,即,,,,分别对4条路线进行分析计算概率;(3)分别对小明上学的6条路线进行分析求均值,均值越大的应避免.【详解】(1)路途中可以看成必须走过2条横街和2条竖街,即从4条街中选择2条横街即可,所以路线总数为条.(2)小明途中恰好经过处,共有4条路线:①当走时,全程不等红绿灯的概率;②当走时,全程不等红绿灯的概率;③当走时,全程不等红绿灯的概率;④当走时,全程不等红绿灯的概率.所以途中恰好经过处,且全程不等信号灯的概率.(3)设以下第条的路线等信号灯的次数为变量,则①第一条:,则;②第二条:,则;③另外四条路线:;;,则综上,小明上学的最佳路线为;应尽量避开.【点睛】本题考查概率在实际生活中的综合应用问题,考查学生逻辑推理与运算能力,是一道有一定难度的题.19、【解析】

原不等式等价于在恒成立,令,,求出在上的最小值后可得的取值范围.【详解】因为在时恒成立,故在恒成立.令,由可得.令,,则为上的增函数,故.故.故答案为:.【点睛】本题考查含参数的不等式的恒成立,对于此类问题,优先考虑参变分离,把恒成立问题转化为不含参数的新函数的最值问题,本题属于基础题.20、(1)①;②8079;(2).【解析】

(1)①时,,,利用导数的几何意义能求出函数在处的切线方程.②由,得,由此能求出的值.(2)根据若对任意给定的,,在区间,上总存在两个不同的,使得成立,得到函数在区间,上不单调,从而求得的取值范围.【详解】(1)①∵,∴∴,∴,∵,所以切线方程为.②,.令,则,.因为①,所以②,由①+②得,所以.所以.(2),当时,函数单调递增;当时,,函数单调递减∵,,所以,函数在上的值域为.因为,,故,,①此时,当变化时、的变化情况如下:—0+单调减最小值单调增∵,,∴对任意给定的,在区间上总存在两个不同的,使得成立,当且仅当满足下列条件,即令,,,当时,,函数单调递增,当时,,函数单调递减所以,对任意,有,即②对任意恒成立.由③式解得:④综合①④可知,当时,对任意给定的,在上总存在两个不同的,使成立

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