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文档简介

广东省高州市大井中学2025届高考适应性考试数学试卷注意事项1.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.2.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.4.作答选择题,必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑;如需改动,请用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.作答非选择题,必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效.5.如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.在中,“”是“”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件2.函数在的图象大致为()A. B.C. D.3.的展开式中的系数为()A. B. C. D.4.复数为纯虚数,则()A.i B.﹣2i C.2i D.﹣i5.已知函数,若对任意,都有成立,则实数的取值范围是()A. B. C. D.6.设,其中a,b是实数,则()A.1 B.2 C. D.7.已知函数,,若方程恰有三个不相等的实根,则的取值范围为()A. B.C. D.8.已知在中,角的对边分别为,若函数存在极值,则角的取值范围是()A. B. C. D.9.已知命题:是“直线和直线互相垂直”的充要条件;命题:函数的最小值为4.给出下列命题:①;②;③;④,其中真命题的个数为()A.1 B.2 C.3 D.410.已知集合,,且、都是全集(为实数集)的子集,则如图所示韦恩图中阴影部分所表示的集合为()A. B.或C. D.11.已知直线:与圆:交于,两点,与平行的直线与圆交于,两点,且与的面积相等,给出下列直线:①,②,③,④.其中满足条件的所有直线的编号有()A.①② B.①④ C.②③ D.①②④12.已知类产品共两件,类产品共三件,混放在一起,现需要通过检测将其区分开来,每次随机检测一件产品,检测后不放回,直到检测出2件类产品或者检测出3件类产品时,检测结束,则第一次检测出类产品,第二次检测出类产品的概率为()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.给出下列四个命题,其中正确命题的序号是_____.(写出所有正确命题的序号)因为所以不是函数的周期;对于定义在上的函数若则函数不是偶函数;“”是“”成立的充分必要条件;若实数满足则.14.在的二项展开式中,所有项的系数的和为________15.函数的定义域是__________.16.的展开式中,x5的系数是_________.(用数字填写答案)三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)某机构组织的家庭教育活动上有一个游戏,每次由一个小孩与其一位家长参与,测试家长对小孩饮食习惯的了解程度.在每一轮游戏中,主持人给出A,B,C,D四种食物,要求小孩根据自己的喜爱程度对其排序,然后由家长猜测小孩的排序结果.设小孩对四种食物排除的序号依次为xAxBxCxD,家长猜测的序号依次为yAyByCyD,其中xAxBxCxD和yAyByCyD都是1,2,3,4四个数字的一种排列.定义随机变量X=(xA﹣yA)2+(xB﹣yB)2+(xC﹣yC)2+(xD﹣yD)2,用X来衡量家长对小孩饮食习惯的了解程度.(1)若参与游戏的家长对小孩的饮食习惯完全不了解.(ⅰ)求他们在一轮游戏中,对四种食物排出的序号完全不同的概率;(ⅱ)求X的分布列(简要说明方法,不用写出详细计算过程);(2)若有一组小孩和家长进行来三轮游戏,三轮的结果都满足X<4,请判断这位家长对小孩饮食习惯是否了解,说明理由.18.(12分)已知等比数列,其公比,且满足,和的等差中项是1.(Ⅰ)求数列的通项公式;(Ⅱ)若,是数列的前项和,求使成立的正整数的值.19.(12分)已知离心率为的椭圆经过点.(1)求椭圆的方程;(2)荐椭圆的右焦点为,过点的直线与椭圆分别交于,若直线、、的斜率成等差数列,请问的面积是否为定值?若是,求出此定值;若不是,请说明理由.20.(12分)如图,在四棱锥中,平面,,为的中点.(1)求证:平面;(2)求二面角的余弦值.21.(12分)记抛物线的焦点为,点在抛物线上,且直线的斜率为1,当直线过点时,.(1)求抛物线的方程;(2)若,直线与交于点,,求直线的斜率.22.(10分)已知数列的各项均为正数,为其前n项和,对于任意的满足关系式.(1)求数列的通项公式;(2)设数列的通项公式是,前n项和为,求证:对于任意的正数n,总有.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】

通过列举法可求解,如两角分别为时【详解】当时,,但,故充分条件推不出;当时,,但,故必要条件推不出;所以“”是“”的既不充分也不必要条件.故选:D.【点睛】本题考查命题的充分与必要条件判断,三角函数在解三角形中的具体应用,属于基础题2、B【解析】

先考虑奇偶性,再考虑特殊值,用排除法即可得到正确答案.【详解】是奇函数,排除C,D;,排除A.故选:B.【点睛】本题考查函数图象的判断,属于常考题.3、C【解析】由题意,根据二项式定理展开式的通项公式,得展开式的通项为,则展开式的通项为,由,得,所以所求的系数为.故选C.点睛:此题主要考查二项式定理的通项公式的应用,以及组合数、整数幂的运算等有关方面的知识与技能,属于中低档题,也是常考知识点.在二项式定理的应用中,注意区分二项式系数与系数,先求出通项公式,再根据所求问题,通过确定未知的次数,求出,将的值代入通项公式进行计算,从而问题可得解.4、B【解析】

复数为纯虚数,则实部为0,虚部不为0,求出,即得.【详解】∵为纯虚数,∴,解得..故选:.【点睛】本题考查复数的分类,属于基础题.5、D【解析】

先将所求问题转化为对任意恒成立,即得图象恒在函数图象的上方,再利用数形结合即可解决.【详解】由得,由题意函数得图象恒在函数图象的上方,作出函数的图象如图所示过原点作函数的切线,设切点为,则,解得,所以切线斜率为,所以,解得.故选:D.【点睛】本题考查导数在不等式恒成立中的应用,考查了学生转化与化归思想以及数形结合的思想,是一道中档题.6、D【解析】

根据复数相等,可得,然后根据复数模的计算,可得结果.【详解】由题可知:,即,所以则故选:D【点睛】本题考查复数模的计算,考验计算,属基础题.7、B【解析】

由题意可将方程转化为,令,,进而将方程转化为,即或,再利用的单调性与最值即可得到结论.【详解】由题意知方程在上恰有三个不相等的实根,即,①.因为,①式两边同除以,得.所以方程有三个不等的正实根.记,,则上述方程转化为.即,所以或.因为,当时,,所以在,上单调递增,且时,.当时,,在上单调递减,且时,.所以当时,取最大值,当,有一根.所以恰有两个不相等的实根,所以.故选:B.【点睛】本题考查了函数与方程的关系,考查函数的单调性与最值,转化的数学思想,属于中档题.8、C【解析】

求出导函数,由有不等的两实根,即可得不等关系,然后由余弦定理可及余弦函数性质可得结论.【详解】,.若存在极值,则,又.又.故选:C.【点睛】本题考查导数与极值,考查余弦定理.掌握极值存在的条件是解题关键.9、A【解析】

先由两直线垂直的条件判断出命题p的真假,由基本不等式判断命题q的真假,从而得出p,q的非命题的真假,继而判断复合命题的真假,可得出选项.【详解】已知对于命题,由得,所以命题为假命题;关于命题,函数,当时,,当即时,取等号,当时,函数没有最小值,所以命题为假命题.所以和是真命题,所以为假命题,为假命题,为假命题,为真命题,所以真命题的个数为1个.故选:A.【点睛】本题考查直线的垂直的判定和基本不等式的应用,以及复合命题的真假的判断,注意运用基本不等式时,满足所需的条件,属于基础题.10、C【解析】

根据韦恩图可确定所表示集合为,根据一元二次不等式解法和定义域的求法可求得集合,根据补集和交集定义可求得结果.【详解】由韦恩图可知:阴影部分表示,,,.故选:.【点睛】本题考查集合运算中的补集和交集运算,涉及到一元二次不等式和函数定义域的求解;关键是能够根据韦恩图确定所求集合.11、D【解析】

求出圆心到直线的距离为:,得出,根据条件得出到直线的距离或时满足条件,即可得出答案.【详解】解:由已知可得:圆:的圆心为(0,0),半径为2,则圆心到直线的距离为:,∴,而,与的面积相等,∴或,即到直线的距离或时满足条件,根据点到直线距离可知,①②④满足条件.故选:D.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的应用,涉及点到直线的距离公式.12、D【解析】

根据分步计数原理,由古典概型概率公式可得第一次检测出类产品的概率,不放回情况下第二次检测出类产品的概率,即可得解.【详解】类产品共两件,类产品共三件,则第一次检测出类产品的概率为;不放回情况下,剩余4件产品,则第二次检测出类产品的概率为;故第一次检测出类产品,第二次检测出类产品的概率为;故选:D.【点睛】本题考查了分步乘法计数原理的应用,古典概型概率计算公式的应用,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】

对①,根据周期的定义判定即可.对②,根据偶函数满足的性质判定即可.对③,举出反例判定即可.对④,求解不等式再判定即可.【详解】解:因为当时,所以由周期函数的定义知不是函数的周期,故正确;对于定义在上的函数,若,由偶函数的定义知函数不是偶函数,故正确;当时不满足则“”不是“”成立的充分不必要条件,故错误;若实数满足则所以成立,故正确.正确命题的序号是.故答案为:.【点睛】本题主要考查了命题真假的判定,属于基础题.14、1【解析】

设,令,的值即为所有项的系数之和。【详解】设,令,所有项的系数的和为。【点睛】本题主要考查二项式展开式所有项的系数的和的求法─赋值法。一般地,对于,展开式各项系数之和为,注意与“二项式系数之和”区分。15、【解析】由,得,所以,所以原函数定义域为,故答案为.16、-189【解析】由二项式定理得,令r=5得x5的系数是.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(ⅰ)(ⅱ)分布表见解析;(2)理由见解析【解析】

(1)(i)若家长对小孩子的饮食习惯完全不了解,则家长对小孩的排序是随意猜测的,家长的排序有种等可能结果,利用列举法求出其中满足“家长的排序与对应位置的数字完全不同”的情况有9种,由此能求出他们在一轮游戏中,对四种食物排出的序号完全不同的概率.

(ii)根据(i)的分析,同样只考虑小孩排序为1234的情况,家长的排序一共有24种情况,由此能求出X的分布列.

(2)假设家长对小孩的饮食习惯完全不了解,在一轮游戏中,P(X<4)=P(X=0)+P(X=2)=,三轮游戏结果都满足“X<4”的概率为,这个结果发生的可能性很小,从而这位家长对小孩饮食习惯比较了解.【详解】(1)(i)若家长对小孩子的饮食习惯完全不了解,则家长对小孩的排序是随意猜测的,先考虑小孩的排序为xA,xB,xC,xD为1234的情况,家长的排序有=24种等可能结果,其中满足“家长的排序与对应位置的数字完全不同”的情况有9种,分别为:2143,2341,2413,3142,3412,3421,4123,4312,4321,∴家长的排序与对应位置的数字完全不同的概率P=.基小孩对四种食物的排序是其他情况,只需将角标A,B,C,D按照小孩的顺序调整即可,假设小孩的排序xA,xB,xC,xD为1423的情况,四种食物按1234的排列为ACDB,再研究yAyByCyD的情况即可,其实这样处理后与第一种情况的计算结果是一致的,∴他们在一轮游戏中,对四种食物排出的序号完全不同的概率为.(ii)根据(i)的分析,同样只考虑小孩排序为1234的情况,家长的排序一共有24种情况,列出所有情况,分别计算每种情况下的x的值,X的分布列如下表:X02468101214161820P(2)这位家长对小孩的饮食习惯比较了解.理由如下:假设家长对小孩的饮食习惯完全不了解,由(1)可知,在一轮游戏中,P(X<4)=P(X=0)+P(X=2)=,三轮游戏结果都满足“X<4”的概率为()3=,这个结果发生的可能性很小,∴这位家长对小孩饮食习惯比较了解.【点睛】本题考查概率的求法,考查古典概型、排列组合、列举法等基础知识,考查运算求解能力,是中档题.18、(Ⅰ).(Ⅱ).【解析】

(Ⅰ)由等差数列中项性质和等比数列的通项公式,解方程可得首项和公比,可得所求通项公式;(Ⅱ),由数列的错位相减法求和可得,解方程可得所求值.【详解】(Ⅰ)等比数列,其公比,且满足,和的等差中项是即有,解得:(Ⅱ)由(Ⅰ)知:则相减可得:化简可得:,即为解得:【点睛】本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用,考查数列的错位相减法求和,以及方程思想和运算能力,属于中档题.19、(1);(2)是,【解析】

(1)根据及可得,再将点代入椭圆的方程与联立解出,即可求出椭圆的方程;(2)可设所在直线的方程为,,,,将直线的方程与椭圆的方程联立,用根与系数的关系求出,然后将直线、、的斜率、、分别用表示,利用可求出,从而可确定点恒在一条直线上,结合图形即可求出的面积.【详解】(1)因为椭圆的离心率为,所以,即,又,所以,①因为点在椭圆上,所以,②由①②解得,所以椭圆C的方程为.(1)可知,,可设所在直线的方程为,由,得,设,,,则,,设直线、、的斜率分别为、、,因为三点共线,所以,即,所以,又,因为直线、、的斜率成等差数列,所以,即,化简得,即点恒在一条直线上,又因为直线方程为,且,所以是定值.【点睛】本题主要考查椭圆的方程,直线与椭圆的位置关系及椭圆中的定值问题,属于中档题.20、(1)见解析;(2)【解析】

(1)取的中点,连接,根据中位线的方法证明四边形是平行四边形.再证明与从而证明平面,从而得到平面即可.(2)以所在的直线为轴建立空间直角坐标系,再求得平面的法向量与平面的法向量进而求得二面角的余弦值即可.【详解】(1)证明:如图,取的中点,连接.又为的中点,则是的中位线.所以且.又且,所以且.所以四边形是平行四边形.所以.因为,为的中点,所以.因为,所以.因为平

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