线性代数教案第八节课

线性代数教案章节题目§4.线性方程组的解课型理论教学目的掌握线性方程组有解的充分必要条件.掌握判断非齐次线性方程组是否有解方法，掌握利用初等变换方程求解方程组.重点利用初等变换求非齐次方程组的解.难点关于n元线性方程组的相关定理.参考书目同上教具教学后记教学过程备注复习上节内容。§4线性方程组的解：1.给出n元线性方程组无解、有唯一解、无穷多解的充要条件.2.进行求解练习3.介绍关于矩阵方程有解的充分必要条件.对书后较难题进行讲解.作业：P8012。（1）1315§4线性方程组的解我们知道n未知数m个方程的线性方程组可以写成Axb其中A(aij)x(x1x2xn)Tb(b1b2bm)T矩阵B(Ab)称为线性方程组的增广矩阵线性方程组如果有解就称它是相容的如果无解就称它不相容利用系数矩阵A和增广矩阵B(Ab)的秩可以方便地讨论线性方程组是否有解以及有解时是否唯一等问题其结论是定理1n元线性方程组Axb(1)无解的充分必要条件是R(A)R(Ab)(2)有唯一解的充分必要条件是R(A)R(Ab)n(3)有无限多解的充分必要条件是R(A)R(Ab)n注Axb无解R(A)R(Ab)的几种等价叙述①Axb有解R(A)R(Ab)②Axb无解R(A)R(Ab)R(A)R(Ab)Axb无解③R(A)R(Ab)Axb有解R(A)R(Ab)Axb无解只需证明R(A)R(Ab)Axb无解R(A)R(Ab)nAxb有唯一解R(A)R(Ab)nAxb有无限多解定理1还可叙述为线性方程组Axb有解的充分必要条件是R(A)R(Ab)在有解的情况下若如R(A)R(Ab)n则有唯一解如果R(A)R(Ab)n则有无限多解证明只需证明条件的充分性因为(1)、(2)、(3)中条件的必要性依次是(2)(3)、(1)(3)、(1)(2)中条件的充分性的逆否命题设R(A)r为叙述方便不妨设B(Ab)的行最简形为(1)若R(A)R(B)则中的dr11于是的第r1行对应矛盾方程01故方程Axb无解(2)若R(A)R(Ab)n则中的dr10(或dr1不出现)且bij都不出现于是对应方程组故方程Axb有唯一解(3)若R(A)R(Ab)n则中的dr10(或dr1不出现)对应方程组令自由未知数xr1c1xncnr即得方程Axb的含nr个参数的解由于参数可任意取值故方程Axb有无限多个解方程Axb的含参数的解称为方程Axb的通解注Axb无解R(A)R(Ab)的几种等价叙述①Axb有解R(A)R(Ab)②Axb无解R(A)R(Ab)R(A)R(Ab)Axb无解③R(A)R(Ab)Axb有解R(A)R(Ab)Axb无解只需证明R(A)R(Ab)Axb无解R(A)R(Ab)nAxb有唯一解R(A)R(Ab)nAxb有无限多解R(A)R(Ab)Axb无解的证明若R(A)rR(Ab)则B=(Ab)的行最简形必具有如下形式于是B0的第r1行对应矛盾方程01故方程Axb无解R(A)R(Ab)nAxb有唯一解的证明若R(A)R(Ab)n则B=(Ab)的行最简形必具有如下形式B0对应方程组为故方程Axb有唯一解R(A)R(Ab)nAxb有无限多解的证明若R(A)R(Ab)=rn则B=(Ab)的行最简形必具有如下形式B0对应方程组为令自由未知数xr1c1xncnr即得方程Axb的含nr个参数的解由于参数可任意取值故方程Axb有无限多个解当方程组有无限多个解时其解的形式为令自由未知数xr1c1xncnr即得方程Axb的含n这种含参数的解称为方程Axb的通解求解线性方程组Axb的步骤(1)对于非齐次线性方程组把它的增广矩阵B化成行阶梯形从B的行阶梯形可同时看出R(A)和R(B)若R(A)R(B)则方程组无解(2)若R(A)R(B)则进一步把B化成行最简形而对于齐次线性方程组则把系数矩阵A化成行最简形(3)设R(A)R(B)r把行最简形中r个非零行的首非零元所对应的未知数取作非自由未知数其余nr个未知数取作自由未知数并令自由未知数分别等于c1c2cnr由B(或A)的行最简形即可写出含nr个参数的通解例11求解齐次线性方程组解对系数矩阵A施行初等行变换变为行最简形矩阵即得与原方程组同解的方程组由此得(x3x4可任意取值)令x3c1x4c2其中c1c2例12求解齐次线性方程组解对系数矩阵A施行初等行变换变为行最简形矩阵即得与原方程组同解的方程组由此得或其中c1c2例13求解非齐次线性方程组.解对增广矩阵B施行初等行变换,.可见R(A)=2,R(B)=3,故方程组无解.例14求解非齐次线性方程组.解因为所以即(c1c2为任意实数)例15设有线性方程组问取何值时此方程组(1)有唯一解(2)无解(3)有无限多个解？并在有无限多解时求其通解解法一对增广矩阵B(Ab)作初等行变换把它变为行阶梯形矩阵有(1)当0且3时R(A)R(B)3方程组有唯一解(2)当0时R(A)1R(B)2方程组有无解(3)当3时R(A)R(B)2方程组有无限多个解这时由此便得通解(x3可任意取值)即(cR)解法二因系数矩阵A为方阵故方程有唯一解的充分必要条件是系数行列式|A|0而(3)2因此当0且3时方程组有唯一解当0时知R(A)1R(B)2故方程组无解当3时知R(A)R(B)2故方程组有无限多个解并通解为(cR)定理2线性方程组Axb有解的充分必要条件是R(A)R(Ab)定理3n元齐次线性方程组Ax0有非零解的充分必要条件是R(A)n定理4矩阵方程AXB有解的充分必要件是R(A)R(AB)证明设A为mn矩阵B为nl矩阵则X为ml矩阵把X和B按列分块记为X(x1x2xl)B(b1b2bl)则矩阵方程AXB等价于l个向量方程Axibi(i12l)先证充分性设R(A)R(AB)由于R(A)R(Abi)R(AB)故有R(A)R(Abi)从而根据定理2知l个向量方程Axibi(i12l再证必要性设矩阵方程AXB有解从而l个向量方程Axibi(i12l)都有解xi(1i2ini)T(i12l)记A(a1a2an1ia12ia2nianbi对矩阵(AB)(a1a2anb1b2bcn11ic1nicn(i12l)便把(AB)的第n1列、、第nl列都变为0即因此R(AB)R(A)证明设X=(x1,x2,×××,xl),B=(b1,b2,×××,bl),则AX=B可写成AX=(b1,b2,×××,bl).于是方程AX=B有解的充要条件是方程Axi=bi(i=1,2,×先证充分性.设R(A)=R(A,B),由于R(A)£R(A,bi)£R(A,B),故有R(A)=R(A,bi),从而方程Axi=bi(i=1,2,×××,l)都有解再证必要性.设R(A)¹R(A,B),即R(A)R(A,B)则至少可以找到一个bi(1il)使得R(A)R(A,bi)因此方程Axi=bi无解从而方程AX=B也无解定理5设ABC则R(C)min{R(A)R(B)}