艾森斯坦判别法的推广及其应用

目录1引言12核心概念与定义13艾森斯坦判别法23.1艾森斯坦判别法的证明23.2艾森斯坦判别法的应用34艾森斯坦判别法推广到高斯整环54.1艾森斯坦判别法的推广证明54.2艾森斯坦判别法推广后的应用65结束语6参考文献7致谢8摘要：艾森斯坦判别法是一种用来判断整环中的元素是否可以唯一分解为素元的方法，也能判断整系数多项式是否可约，但只是充分条件。本文主要讨论多项式的系数为高斯整环时，艾森斯坦判别法的推广形式。高斯整环是一种特殊的整数环，其中包含了所有的高斯整数，即形如a+bi的数，其中a和b都是整数，i是虚数单位。在高斯整环中，艾森斯坦判别法仍然适用，可以用于判断高斯整系数多项式的不可约性。因此，我们需要对艾森斯坦判别法进行适当的修改，以便能够处理这种更一般的情况。关键词：艾森斯坦判别法；高斯整环；整数；不可约性；1引言艾森斯坦判别法作为充分条件，用来判断整系数多项式能否可约。具体地说，如果有一个整系数多项式f(x)=anxn+an−1x高斯整环，也被称为高斯整数环，是复数域C中的一个特殊环。它由所有形如a+bi的数构成，其中a和b都是整数，且i是虚数单位，满足i²=-1。这个环对于通常的加法和乘法运算形成一个整环。在高斯整环中，单位元只有四个，分别是1,-1,i和-i。此外，高斯整环的素元有特定的条件：如果a和b都不为0，且a²+b²是素数，那么这个高斯整数就是素元。在高斯整环中，艾森斯坦判别法同样适用，可以用来判断高斯整环中的多项式是否可唯一分解为素元。具体来说，如果有一个高斯整系数多项式f(x)，其形式为f(x)=anxn+an−1xn−1+⋯+a0（其中an这一推广形式的艾森斯坦判别法同样是一个充分条件，可以用来判断高斯整环中的多项式是否可约。它基于高斯整环的唯一分解性质，利用高斯素数的特性来判断多项式的可约性。这对于在复数域上进行多项式分析和因式分解非常有用。2核心概念与定义高斯整数环（ringofGaussintegers）是欧氏环的一个著名例子。设Z[i]={a+bi|a,b是整数，i为虚数单位}。Z[i]对通常数的加法和乘法构成一个整环，称为高斯整数环。[[1]丘维声.抽象代数基础[M].北京:高等教育出版社,2003:135.[1]丘维声.抽象代数基础[M].北京:高等教育出版社,2003:135.数域P上次数≧1的多项式p(x)称为域p上的不可约多项式，如果它不能表成数域P上的两个次数比p(x)的次数低的多项式的乘积。[[][]马跃超.整系数不可约多项式的两个判别法[J].数学通报,1988(06):20－21．在环R中，如果理想P满足以下条件，则称P为素理想：P是R的真理想，即P不等于R；对于R中的任意两个元素a和b，如果ab属于P，则a或b至少有一个属于P。[[][]张禾瑞.近世代数基础[M]修订本.北京:人民教育出版社,1978:89.商域（quotientfield）是抽象代数中的一个概念。它涉及到整环（integritydomain）的局部化。具体地说，设整环R的所有非零元组成的乘性子集为S，则分式环s−1R被定义为商域。[[[]寇福来.Eisenstein判别法的推广[J].琼州学院学报,2008,(05):9-11.3艾森斯坦判别法3.1艾森斯坦判别法的证明为了更简洁地证明艾森斯坦判别法，引入一个引理.引理1如果一非零的整系数多项式能够分解成两个次数较低的有理系数多项式的乘积，那么它一定能分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积.[[][]北京大学数学系前代数小组.高等代数[M].北京:高等教育出版社,2013:302-305.证明：设整系数多项式f(x)有分解式f(x)=其中g(x),h(x)是有理系数多项式，且σ令f(x)=af1(x),这里f1(x),g1(x),ℎ1(x)都是本原多项式，a所以g1rs=这就是说rs是一整数，因此有f(x)=(rs这里rsg1(x)定理1（艾森斯坦判别法）设f(x)=是一个整系数多项式，如果有一个素数p，使得（1）p∤（2）p/an−1，an−2（3）p2那么f(x)在有理数域上是不可约的.证明如果f(x)在有理数域上可约，那么由引理1，f(x)可以分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积：f(x)=(l,m＜n，l+m=n.于是a因为p/a0,所以p能整除b0或c0.但是p2∤a0，所以p不能同时整除b0及c0.因此不妨假定p/b0但p∤c0.另一方面，因为a式中ak，bk−1，⋯，b0都能被p整除，所以bkc3.2艾森斯坦判别法的应用例1判断多项式x4−8x3[]王萼芳,石生明.高等代数数辅与习题解答.北京:高等教育出版社,2013.12.该例题只需取素数p=2.该多项式a4=1a3=-8a2=12a得出多项式系数并不难，也不难发现（1）p∤（2）p/a3，a2（3）p2很显然，符合艾森斯坦判别法，据此可知该多项式在有理数域上是不可约的，再看下面的例题.例2判断多项式4x4+9x2+6x+3[]张海山.Eisenstein判别法的推广[J].首都师范大学学报(自然科学版),2001,(03):13-15.DOI:10.19789/j.1004-9398.2001.03.003.该例题只需取素数p=3.该多项式a4=4a3=0a2=9a得出多项式系数并不难，也不难发现（1）p∤（2）p/a3，a2（3）p2很显然，按照艾森斯坦判别法，该多项式在有理数域上并不可约，继续举例说明.例3判断多项式3x4+4x该例题只需取素数p=3.该多项式a4=3a3=4a2=8a得出多项式系数并不难，也不难发现（1）p∤（2）p/a3，a2（3）p2满足艾森斯坦判别法的相关条件，很显然，该多项式在有理数域上是不可约的.再看接下来的例题.例4判断多项式x4例题中多项式在有理数域上是不可约的，但该多项式a4=1a3=0a2得出多项式系数并不难，显然找不出素数p使得（1）p∤（2）p/a3，a2（3）p2该例子很好地说明了艾森斯坦判别法是充分不必要条件.4艾森斯坦判别法推广到高斯整环在以上的例子中已经足够看出艾森斯坦判别法条件的严格，适用范围也并不大，所以将艾森斯坦判别法拓展到其他环上是很有必要的[[][]张鸿图.Eisenstein判别法的应用(2)[Ｊ].聊城师院学报(自然科学版),1991(03):27－29．综上所述，将艾森斯坦判别法推广到高斯整环上也将对许多问题提供一个有效的方法.该证明需要运用近世代数中的相关知识，例如素理想，商域，环等性质进行推广证明.4.1艾森斯坦判别法的推广证明定理2[[]王子茹,梅瑞,梁菊先.Eisenstein判别法的变换与推广[J].河北北方学院学报(自然科学版),2017,33(05):9-13+19.]设高斯整环G，Q是G的商域，G[x]是G上未定元x的多项式环，[]王子茹,梅瑞,梁菊先.Eisenstein判别法的变换与推广[J].河北北方学院学报(自然科学版),2017,33(05):9-13+19.（1）a（2）a（3）a那么f(x)不能分解为G[x]中两个次数都小于n的多项式的乘积；换而言之，f(x)在F(x)中不可约.证明用反证法，假设在G[x]中，有f(x)=g(x)ℎ(x)g(x)=ℎ(x)=其中b那么a因为a0=b0c0∈P，P为R的素理想，所以b0∈P或c可以断言不能有bi∈P，i=0,1,2，⋯，r.若不然，br∈P可推出b0，考察f(x)的系数a因为k≤r<n，所以由（2），ak∈P得(bk−1c1+⋯+b1注：高斯整环的商域Q是Q[i]={a+bi|a,b∈Q且不难发现艾森斯坦判别法不仅能推广到高斯整环，还能推广到其他整环上.4.2艾森斯坦判别法推广后的应用例5判断多项式（1-2i）x4+1+2i在Q[i]={a+bi|a,b与整系数多项式中的艾森斯坦判别法类似，有一素理想P，且1+2i∈P则显然满足条件（1）a（2）a（3）a可知该多项式在高斯整环的商域上不可约.与整系数多项式中的艾森斯坦判别法一样，推广后的也只是充分不必要条件.[[][]金国祥.对“Eisenstein判别法的应用（2）”一文中所承认的一个结论的商榷[J].数学通报,1993(04):44－47.5结束语在本文中，我们深入探讨了艾森斯坦判别法在高斯整环的推广。通过系统的理论分析和实证研究，我们成功地将艾森斯坦判别法从传统的整数环推广到了高斯整环，进一步丰富了代数数论的研究内容。通过艾森斯坦判别法，我们不仅可以在特定的数域中判断多项式的不可约性，还可以将其应用于更广泛的整环环境。这一推广不仅丰富了数论和代数学的研究工具，也为解决更复杂的问题提供了新的视角和方法。在高斯整环的框架下，艾森斯坦判别法的应用更加灵活和多样。我们可以利用它来探究高斯整环中元素的分解性质，揭示高斯整环结构的内在规律。同时，这一判别法也为整环上的多项式分解提供了有效的判断依据，有助于我们更深入地理解高斯整环的代数性质。总之，艾森斯坦判别法推广到整环为我们提供了一个强大的工具，用于研究整环的分解性质和多项式分解问题。这一推广不仅拓宽了艾森斯坦判别法的应用范围，也为我们解决更复杂的数学问题提供了新的思路和方法。展望未来，我们将继续关注艾森斯坦判别法在不同整环上的推广和应用。我们相信，随着研究的深入，艾森斯坦判别法将在更多领域发挥重要作用，为数学和相关领域的发展做出更大的贡献。参考文献[1]丘维声.抽象代数基础[M].北京:高等教育出版社,2003:135.[2]马跃超.整系数不可约多项式的两个判别法[J].数学通报,1988(06):20－21．[3]张禾瑞.近世代数基础[M]修订本.北京:人民教育出版社,1978:89.[4]寇福来.Eisenstein判别法的推广[J].琼州学院学报,2008,(05):9-11.[5]北京大学数学系前代数小组.高等代数[M].北京:高等教育出版社,2013:302-305.[6]王萼芳,石生明.高等代数数辅与习题解答.北京:高等教育出版社,2013.12.[7]张海山.Eisenstein判别法的推广[J].首都师范大学学报(自然科学版),2001,(03):13-15.DOI:10.19789