高中数列知识点总结

中国领先的个性化教育品牌高中数列知识点总结1、数列的概念：（1）已知，则在数列的最大项为（答：）（2）数列的通项为，其中均为正数，则与的大小关系为（答：）；（3）已知数列中，，且是递增数列，求实数的取值范围（答：）；等差数列的有关概念：一、复习目标1．理解等差数列的概念和性质；2．掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能用公式解决简单问题二、知识网络1．定义：2．通项公式：，推广：d=，d=是点列（n，an）所在直线的斜率.3．前n项的和：变式：=4．等差中项：若a、b、c等差数列，则b为a与c的等差中项:2b=a+c5．性质:设{an}是等差数列，公差为d,则(1)m+n=p+q,则am+an=ap+aq(2)an,an+m,an+2m……组成公差为md的等差数列.(3)Sn,S2n-Sn,S3n-S2n……组成公差为n2d的等差数列.(4)当n=2k-1为奇数时，Sn=nak；S奇=kak，S偶=(k-1)ak(ak=a中)6．等差数列的判定方法(n∈N*)(1)定义法:an+1-an=d是常数(2)等差中项法:(3)通项法:(4)前n项和法:7．知三求二,可考虑统一转化为两个基本量;或利用数列性质,三数:,四数8.会从函数角度理解和处理数列问题.三、练练手1.（2006全国Ⅱ）设是等差数列的前项和，若，则()（A）（B）（C）（D）2.(2006广东)已知等差数列共有10项，其中奇数项之和15，偶数项之和为30，则其公差是()A5B4C3D23.等差数列{an}中，a10＜0，a11＞0且a11＞|a10|，Sn为其前n项和，则()A.S10小于0，S11大于0B.S19小于0，S20大于0C.S5小于0，S6大于0D.S20小于0，S21大于04.(2006天津)已知数列、都是公差为1的等差数列，其首项分别为、，且，、．设（），则数列的前10项和等于A．55 B．70 C．85 D．100（）5.等差数列{an}的前n项和记为Sn，若a2+a4+a15=p是一常数，则S13=6.在等差数列中,已知,则n=.简答:1-4.ACBC;3.a11＞|a10|=－a10，∴a10+a11=a1+a20＞0.∴S20=10（a1+a20）＞0.选B4.5.a2+a4+a15=p（常数），∴3a1+18d=p，即a7=p.∴S13==13a7=p.6.设首项为,公差为,则四、经典例题【例1】(1)若一个等差数列前3项和为34,后3项和为146,且所有项的和为390,求这个数列项数.(2)解(1),(2)分析一:方程的思想,将题目条件应用公式表示成关于首项与公差的两个方程.解法一:设的首项为,公差,则分析二:运用前n项和变式:解法二:为等差数列,故可设,则解法三：方法提炼:本题是等差数列的基本计算,要求熟练准确.题(1)利用了等差数列的性质和前Sn公式的特点;题(2)法一:转化为两个基本量,是重要的方法;法二利用了前n项和公式的函数式特征.【例2】数列{an}的前n项和为Sn=npan（n∈N*）且a1≠a2，（1）求常数p的值；（2）证明：数列{an}是等差数列.分析：（1）注意讨论p的所有可能值.（2）运用公式an=求an.解：（1）当n=1时，a1=pa1，若p=1时，a1+a2=2pa2=2a2，∴a1=a2，与已知矛盾，故p≠1.则a1=0.当n=2时，a1+a2=2pa2，∴（2p－1）a2=0.∵a1≠a2，故p=.（2）由已知Sn=nan，a1=0.n≥2时，an=Sn－Sn－1=nan－（n－1）an－1.∴=.则=，…，=.(n≥3)∴=n－1.∴an=（n－1）a2，an－an－1=a2.(n≥3)又a2-a1=a2,所以从第二项起每项减去前项的差是同一常数.故{an}是以a2为公差，以a1为首项的等差数列.提炼拓展:证明等差数列的方法:1.由定义an-an-1=d,2.等差中项,3.通项公式an=pn+q,4.Sn=Pn2=qn例3．已知两个等差数列5，8，11，…和3，7，11…都有100项，问它们有多少相同的项？并求出所相同项的和。分析一：两个等差数列的相同的项按原来的先后次序组成一个等差数列，且公差为原来两个公差的最小公倍数。解：设两个数列相同项按原来的前后次序组成的新数列为，则又因为数列5，8，11，…和3，7，11…的第100项分别是302和399，所以两个数列有25个相同的项。其和分析二：由条件可知两个等差数列的通项公式，可用不定方程的求解法来求解。解：设数列5，8，11，…和3，7，11…分别为设中的第n项与中的第m项相同，即根据题意得：从而有25个相同的项，且公差为12，其和(另法:由m=3r知第r个相同的项为b3r=12r-1…)方法提炼：法1:设两数列中an=bm,求出n(或m)应满足的关系,再代回an(或bm)法2:两等差数列中相同的项成等差数列,且公差是两等差数列公差的最小公倍数.例4、等差数列{an}中，前m项的和为77（m为奇数），其中偶数项的和为33，且a1-am=18，求这个数列的通项公式。①②解法1:由已知①②又,两式相除得,从而由②得：a1+a7=22,又已知a1-a7=18,可解得a1=20,a7=2.公差d=-3,an=-3n+23.解法2:利用前奇数项和与中项的关系令m=2n-1，n∈N+则∴,n=4,m=7,an=11∴a1+am=2an=22,又a1-am=18∴a1=20，am=2∴d=-3∴an=-3n+23提炼拓展；利用求和公式和性质；转化为两个基本量行吗？行．【欣赏】已知数列，其中是首项为1，公差为1的等差数列；是公差为的等差数列；是公差为的等差数列（）.（1）若，求；（2）试写出关于的关系式，并求的取值范围；（3）续写已知数列，使得是公差为的等差数列，……，依次类推，把已知数列推广为无穷数列.[解]（1）.（2），，当时，.（3）所给数列可推广为无穷数列，其中是首项为1，公差为1的等差数列，当时，数列是公差为的等差数列.解题回顾：方法是基本的——转化为基本量,利用通项公式.题(3)考查类比的能力.五．总结1.等差数列的概念和性质，证明数列{an}是等差数列的方法：2.等差数列的通项公式与前n项和公式的求法与应用;五个元素a1，an，n，d，Sn中知三，可求另两个.3.思想.方法:转化为基本量,利用性质,方程的思想,同步练习等差数列【选择题】1.在等差数列{an}中,am=n,an=m,则am+n的值为（）（A）m+n（B）（C）（D）02.(2006全国Ⅰ)设是公差为正数的等差数列，若，，则()ABCD3.如果，，…，为各项都大于零的等差数列，公差，则（）（A）（B）（C）++（D）=4.（2004重庆）若数列是等差数列，首项，则使前n项和成立的最大自然数n是：（）A4005B4006C4007D40084．【填空题】5.（2005天津）在数列{an}中,a1=1,a2=2,且则S100=__6.（2003全国）已知方程（x2－2x+m）（x2－2x+n）=0的四个根组成一个首项为的等差数列，则|m－n|=简答.提示：1-4.DBBB;5.2600;6.设4个根分别为x1、x2、x3、x4，则x1+x2=2，x3+x4=2∵m+n=p+q时，am+an=ap+aq.设x1为第一项，x2必为第4项，可得数列为，，，，∴m=，n=.∴|m－n|=.【解答题】7.如果一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和之比为32:27，求公差；

分析：等差数列的奇数项成等差数列，偶数项也成等差数列，等差数列中通项公式和前n项和公式中五个量，只要知道其中三个，就可以求其它两个，而是基本量

解：设等差数列首项为，公差为d，则

8.项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，求这个数列的中间项及项数解：设数列共2m+1（m∈N*）把该数列记为｛an｝依题意a1+a3+……+a2m+1=44且a2+a4+……+a2m=33即(a2+a2m)=33（1）(a1+a2m)=44（2）（1）÷（2）得∴m=3代入（1）得a2+a2m=22∴am+1==11即该数列有7项，中间项为119.已知数列{an}的前n项和Sn=n2-2n，bn=，证明:数列{bn}是等差数列.证明:Sn=n2－2n，a1=S1=－1.∵an+1－an=2（n+1）－3－2n+3=2，∴数列{an}是首项为－1，公差为2的等差数列.∴a2+a4+…+a2n===n（2n－1），即bn==2n－1.∴bn+1－bn=2（n+1）－1－2n+1=2.又b2==1，∴{bn}是以1为首项，2为公差的等差数列.数列的首项,通项与前n项和之间满足(1)求证:是等差数列,并求公差;(2)求数列的通项公式;(3)数列中是否存在正整数k,使得不等式对任意不小于k的正整数都成立?若存在,求出最小的k,若不存在,请说明理由.解:(1)当(2)(3)所求最小k=3.【探索题】已知数列{an}的各项均为正整数，且满足an+1=an2－2nan+2（n∈N*），又a5=11.（1）求a1，a2，a3，a4的值，并由此推测出{an}的通项公式（不要求证明）；（2）设bn=11－an，Sn=b1+b2+…+bn，Sn′=|b1|+|b2|+…+|bn|，求的值.解：（1）由a5=11，得11=a42－8a4+2，即a42－8a4－9=0.解得a4=9或a4=－1（舍）.由a4=9，得a32－6a3－7=0.解得a3=7或a3=－1（舍）.同理可求出a2=5，a1=3.由此推测an的一个通项公式an=2n+1（n∈N*）.（2）bn=11－an=10－2n（n∈N*），可知数列{bn}是等差数列.Sn===－n2+9n.当n≤5时，Sn′=Sn=－n2+9n；当n＞5时，Sn′=－Sn+2S5=－Sn+40=n2－9n+40.当n≤5时，=1；备选题6.在等差数列{an}中，公差为，且a1+a3+a5+…+a99=60，则a2+a4+a6+…+a100=_________.解析：由等差数列的定义知a2+a4+a6+…+a100=a1+a3+a5+…+a99+50d=60+25=85.答案：853.（2004年春季上海，7）在数列{an}中，a1=3，且对任意大于1的正整数n，点（，）在直线x－y－=0上，则an=___________________.解析：将点代入直线方程得－=，由定义知{}是以为首项，以为公差的等差数列，故=n，即an=3n2.答案：3n27.（2003年春季上海，12）设f（x）=，利用课本中推导等差数列前n项和的公式的方法，可求得f（－5）+f（－4）+…+f（0）+…+f（5）+f（6）的值为________.f（2）=，f（0）+f（1）=，故所求的值为3.答案：38.设等差数列{an}的前n项和为Sn已知a3=12,S12＞0,S13＜0

(Ⅰ)求公差d的取值范围；

(Ⅱ)指出S1,S2,…,S12,中哪一个值最大,并说明理由

解：(Ⅰ)依题意,有

，即

由a3=12,得a1=12－2d

(3)将(3)式分别代入(1),(2)式,得，∴

(Ⅱ)由d＜0可知a1＞a2＞a3＞…＞a12＞a13

因此,若在1≤n≤12中存在自然数n,使得an＞0,an+1＜0,

则Sn就是S1,S2,…,S12中的最大值

由于S12=6(a6+a7)＞0,S13=13a7＜0，即a6+a7＞0,a7＜0

由此得a6＞－a7＞0因为a6＞0,a7＜0,故在S1,S2,…,S12中S6的值最大(a-2d)2+(a-d)2+a2+(a+d)2+(a+2d)2=且(a-2d)+(a-d)+a+(a+d)+(a+2d)=5即a2+2d2=且a=1∴a=1且d=当d=时，这5个数分别是－、、1、、；当d=－时，这5个数分别是、、1、、－（2006江苏）设数列、、满足：，（n=1,2,3,…），证明为等差数列的充分必要条件是为等差数列且（n=1,2,3,…）证明：必要性．设{an}是公差为d1的等差数列，则bn+1bn=(an+1an+3)(anan+2)=(an+1an)(an+3an+2)=d1d1=0所以bn≤bn+1(n=1,2,3,…)成立.又cn+1-cn=(an+1-an)+2(an+2-an+1)+3(an+3-an+2)=d1+2d1+3d1=6d1(常数)(n=1,2,3,…)，所以数列{cn}为等差数列.充分性。设数列{cn}是公差为d2的等差数列，且bn≤bn+1(n=1,2,3,…).证法一：∵cn=an+2an+1+3an+2①∴cn+2=an+2+2an+3+3an+4 ②①-②得cn-cn+2=(an-an+2)+2(an+1-an+3)+3(an+2-an+4)=bn+2bn+1+3bn+2.∵cn-cn+2=(cn-cn+1)+(cn+1-cn+2)=-2d2.∴bn+2bn+1+3bn+2=-2d2.③从而有bn+1+2bn+2+3bn+3=-2d2.④④-③得(bn+1-bn)+2(bn+2-bn+1)+3(bn+3-bn+2)=0.⑤∵bn+1-bn≥0，bn+2-bn+1≥0,bn+3-bn+2≥0，∴由⑤得bn+1-bn=0(n=1,2,3,…).由此不妨设bn=d3(n=1,2,3,…)，则an-an+2=d3(常数).由此cn=an+2an+1+3an+2=4an+2an+1–3d3,从而cn+1=4an+1+2an+2-3d3=4an+1+2an-5d3.两式相减得cn+1-cn=2(an+1-an)-2d3,因此an+1-an=(cn+1-cn)+d3=d2+d3（常数）(n=1,2,3,…),所以数列{an}是等差数列.证法二：令An=an+1-an，由bn≤bn+1知an-an+2≤an+1-an+3,从而an+1-an≥an+3-an+2,即An≥An+2（n=1,2,3,…）.由cn=an+2an+1+3an+2,cn+1=an+1+2an+2+3an+3得cn+1-cn=(an+1-an)+2(an+2-an+1)+3(an+3-an+2)，即An+2An+1+3An+2=d2.⑥由此得An+2+2An+3+3An+4=d2.⑦⑥-⑦得(An-An+2)+2(An+1-An+3)+3(An+2-An+4)=0.⑧因为An-An+2≥0，An+1-An+3≥0，An+2-An+4≥0,所以由⑧得An-An+2=0(n=1,2,3,…).于是由⑥得4An+2An+1=An+2An+1+3An+2=d2,⑨从而2An+4An+1=4An+1+2An+2=d2.⑩由⑨和⑩得4An+2An+1=2An+4An+1,故An+1=An,即an+2-an+1=an+1-an(n=1,2,3,…)，所以数列{an}是等差数列.（1）等差数列中，，，则通项（答：）；（2）首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是______（答：）（3）数列中，，，前n项和，则＝＿，＝＿（答：，）；（4）已知数列的前n项和，求数列的前项和（答：）.3.等差数列的性质：（1）等差数列中，，则＝____（答：27）；（2）在等差数列中，，且，是其前项和，则（答：B）A、都小于0，都大于0B、都小于0，都大于0C、都小于0，都大于0D、都小于0，都大于0（3）等差数列的前n项和为25，前2n项和为100，则它的前3n和为。（答：225）（4）在等差数列中，S11＝22，则＝______（答：2）；（5）项数为奇数的等差数列中，奇数项和为80，偶数项和为75，求此数列的中间项与项数（答：5；31）.（6）设{}与{}是两个等差数列，它们的前项和分别为和，若，那么___________（答：）（7）等差数列中，，，问此数列前多少项和最大？并求此最大值。（答：前13项和最大，最大值为169）；（8）若是等差数列，首项，，则使前n项和成立的最大正整数n是（答：4006）4.等比数列的有关概念：（1）等比数列的判断方法：①一个等比数列{}共有项，奇数项之积为100，偶数项之积为120，则为____（答：）；②数列中，=4+1()且=1，若，求证：数列｛｝是等比数列。（2）等比数列的通项：设等比数列中，，，前项和＝126，求和公比.（答：，或2）（3）等比数列的前和：①等比数列中，＝2，S99=77，求（答：44）；②的值为__________（答：2046）；（4）等比中项：①已知两个正数的等差中项为A，等比中项为B，则A与B的大小关系为______（答：A＞B）②有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个成等比数列，且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和为12，求此四个数。（答：15，,9，3,1或0,4，8,16）奇数个数成等比，可设为…，…（公比为）；但偶数个数成等比时，不能设为…，…，因公比不一定为正数，只有公比为正时才可如此设，且公比为。5.等比数列的性质：（1）在等比数列中，，公比q是整数，则=___（答：512）；（2）各项均为正数的等比数列中，若，则（答：10）。（3）已知且，设数列满足，且，则（答：）；（4）在等比数列中，为其前n项和，若，则的值为______（答：40）（5）若是等比数列，且，则＝（答：－1）（6）设等比数列的公比为，前项和为，若成等差数列，则的值为_____（答：－2）（7）设数列的前项和为（），关于数列有下列三个命题：①若，则既是等差数列又是等比数列；②若，则是等差数列；③若，则是等比数列。这些命题中，真命题的序号是（答：②③）6.数列的通项的求法：（1）已知数列试写出其一个通项公式：__________（答：）（2）已知的前项和满足，求（答：）；（3）数列满足，求（答：）（4）数列中，对所有的都有，则______（答：）（5）已知数列满足，，则=________（答：）（6）已知数列中，，前项和，若，求（答：）（7）已知，求（答：）；（8）已知，求（答：）；（9）已知，求（答：）；（10）已知数列满足=1，，求（答：）（11）数列满足，求（答：）7.数列求和的常用方法：（1）公式法：①等比数列的前项和Sｎ＝2ｎ－１，则＝_____（答：）；②计算机是将信息转换成二进制数进行处理的。二进制即“逢2进1”，如表示二进制数，将它转换成十进制形式是，那么将二进制转换成十进制数是_______（答：）（2）分组求和法：（答：）（3）倒序相加法：求证：1．定义：2．通项公式：，推广：d=，d=是点列（n，an）所在直线的斜率.3．前n项的和：变式：=4．等差中项：若a、b、c等差数列，则b为a与c的等差中项:2b=a+c5．性质:设{an}是等差数列，公差为d,则(1)m+n=p+q,则am+an=ap+aq(2)an,an+m,an+2m……组成公差为md的等差数列.(3)Sn,S2n-Sn,S3n-S2n……组成公差为n2d的等差数列.(4)当n=2k-1为奇数时，Sn=nak；S奇=kak，S偶=(k