《奇偶项递推关系数列的求解问题》教学设计

《奇偶项递推关系数列的求解问题》教学设计【教学内容】奇偶项递推关系数列。【学习目标】1.识别奇偶项递推关系数列的标识性特征。2.掌握奇偶项递推关系数列的解题思路。【学习重难点】奇偶项递推关系数列的解决方法。【教学过程】一、问题引入：引题：已知数列满足且，，则数列的通项公式=_________.分析：从递推关系可以发现，这是一种隔项递推关系，即通过，可以得到，，...，同理，通过，可以得到，，...，不难猜出通项公式是所谓奇偶项递推关系数列就是数列中的奇数项和偶数项各具有自己的规律的数列问题。对于引题，学生一般通过列举前几项得出的结果，缺乏一般性的解决方法，下面通过例1说明处理此类问题的通用方法和解题过程。例题分析：例１已知数列满足且，（1）求数列的通项公式（2）求数列的前项和解：（1）由知，所以，数列的奇数项与偶数项分别构成等差数列．当为奇数时，当为偶数时，综合可得,数列的通项公式为．解：当为偶数时，.当为奇数时，小结：有隔项递推关系的数列是一种典型的奇偶项递推关系数列，可以分奇数项和偶数项分别研究其通项公式，再以分段函数的形式或合并的形式写出结果；奇偶项递推关系数列求和时，往往也要分n取奇数偶数两种情况来讨论。例2已知数列满足，（1）记，写出，，并求数列通项公式；（2）求的前20项和.解：(1)依题意得b1＝a2＝a1＋1＝2，b2＝a4＝a3＋1＝a2＋2＋1＝a2＋3＝5.∵bn＋1＝a2n＋2＝a2n＋1＋1＝a2n＋2＋1＝a2n＋3，∴bn＋1＝bn＋3，∴bn＋1－bn＝3，∴{bn}是首项为2，公差为3的等差数列，∴bn＝2＋(n－1)×3＝3n－1. （2）解：由(1)可知a2＋a4＋a6＋…＋a20＝b1＋b2＋…＋b10＝eq\f(10×2＋29,2)＝155.∴a1＋a3＋a5＋…＋a19＝a2－1＋a4－1＋…＋a20－1＝155－10＝145.∴S20＝155＋145＝300.小结：数列的递推关系是一种邻项递推关系，分段给出，同时出现了与奇偶相关的条件，解题思路是利用已知的关系得到奇数项或偶数项的递推关系，也就是隔项递推关系，再利用隔项递推关系求出奇数项或偶数项其中一个通项公式，另一个可直接由邻项递推公式求出。变式：为等差数列，记，分别为数列，的前项和，，．（1）求的通项公式；（2）证明：当时，．（1）解：设等差数列的公差为．由得则由得所以（2）证明：由（1）知，，，当为偶数时，，当为偶数且时，，因此.当为奇数时，.当为奇数且时，，因此.综上，当时，.三、总结归纳：常见奇偶项数列的四大类型出现隔项递推公式标志是出现型的递推关系解题思路：由隔项递推关系分别求奇数项和偶数项的通项公式，然后采用分段函数形式或合并形式写出通项。2.出现邻项递推公式，同时会出现与奇偶相关的条件标志是出现分段形式给出的递推关系解题思路：①根据条件找到隔项递推关系；由隔项递推关系求出奇数项或偶数项其中一个的通项公式后，另一个可直接由邻项递推关系求出。3.数列中出现连续两项和或积的问题标志：或解题思路：构造与上式作差可得隔项递推公式，然后借鉴类型一的思路解决；型的递推数列也是采用类似的思路解决.4..含有型摆动数列标志：递推公式中出现数列中的奇偶项问题实质上是分段函数问题，处理的关键在于分类讨论