2025届新高考数学专题复习专题18情境问题的探究之函数部分教师版

专题18情境问题的探究之函数部分一、题型选讲题型一、指对数模型例1、【2024年高考全国Ⅲ卷理数】Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者依据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：，其中K为最大确诊病例数．当I()=0.95K时，标记着已初步遏制疫情，则约为（ln19≈3）A．60 B．63 C．66 D．69【答案】C【解析】，所以，则，所以，，解得.故选：C．例2、【2024年新高考全国Ⅰ卷】基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的改变规律，指数增长率r与R0，T近似满意R0=1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍须要的时间约为(ln2≈0.69)A．1.2天 B．1.8天C．2.5天 D．3.5天【答案】B【解析】因为，，，所以，所以，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍须要的时间为天，则，所以，所以，所以天.故选：B．题型二、分段函数模型黎曼函数（Riemannfunction）是一个特别函数，由德国数学家黎曼发觉并提出，黎曼函数定义在上，其定义为：，若函数是定义在上的奇函数，且，当时，，则______.【答案】【解析】由知：关于对称，又为奇函数，图象关于原点对称为周期函数，周期例4、电影《流浪地球》中反复出现这样的人工语音：“道路千万条，平安第一条，行车不规范，亲人两行泪”成为网络热句．讲的是“开车不喝酒，喝酒不开车”．2024年，公安部交通管理局下发《关于治理酒驾醉驾违法犯罪行为的指导看法》，对综合治理酒驾醉驾违法犯罪行为提出了新规定，依据国家质量监督检验检疫总局下发的标准，车辆驾驶人员饮酒后或者醉酒后驾车血液中的酒精含量阅值见表。经过反复试验，一般状况下，某人喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的改变规律的“散点图”见图，且图表所示的函数模型．假设该人喝一瓶啤酒后至少经过n(n)小时才可以驾车，则n的值为（参考数据：ln15≈2.71，ln30≈3.40）驾驶行为类别阁值（mg/100mL）饮酒驾车[20，80)醉酒驾车[80，)车辆驾驶人员血液酒精含量阁值A．5B．6C．7D．8【答案】B【解析】当酒精含量低于20时才可以开车，故结合分段函数建立不等式：取整数故为6小时。题型三、函数与不等式结合例5、（2024届山东省枣庄、滕州市高三上期末）如图所示，一座小岛距离海岸线上最近的P点的距离是2km，从P点沿海岸正东12km处有一个城镇.假设一个人驾驶的小船的平均速度为，步行的速度为，时间t（单位：h）表示他从小岛到城镇的时间，x（单位：km）表示此人将船停在海岸处距P点的距离.设，则（）A．函数为减函数 B．C．当时，此人从小岛到城镇花费的时间最少 D．当时，此人从小岛到城镇花费的时间不超过3h【答案】AC【解析】A.∵，∴，由题意，在上是减函数，A正确．B.，整理得，B错误；C.由A、B得，即时取等号，由，解得，C正确；D.时，，，，D错．故选：AC.例6、【2024年高考北京理数】李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付胜利后，李明会得到支付款的80%．①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，须要支付__________元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为__________．【答案】①130；②15【解析】①时，顾客一次购买草莓和西瓜各一盒，须要支付元.②设顾客一次购买水果的促销前总价为元，当元时，李明得到的金额为，符合要求；当元时，有恒成立，即，因为，所以的最大值为.综上，①130；②15.【名师点睛】本题主要考查函数的最值，不等式的性质及恒成立，数学的应用意识，数学式子变形与运算求解实力.以实际生活为背景，创设问题情境，考查学生身边的数学，考查学生的数学建模素养.例7、【2024年高考全国I卷理数】古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（≈0.618，称为黄金分割比例)，闻名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是．若某人满意上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至颈项下端的长度为26cm，则其身高可能是A．165cm B．175cm C．185cm D．190cm【答案】B【解析】方法一：如下图所示.依题意可知：，腿长为105cm得，即，，，所以AD>169.89.②头顶至颈项下端长度为26cm，即AB<26，，，，，所以.综上，.故选B.方法二：设人体颈项下端至肚脐的长为xcm，肚脐至腿根的长为ycm，则，得．又其腿长为105cm，头顶至颈项下端的长度为26cm，所以其身高约为42.07+5.15+105+26=178.22，接近175cm．故选B．二、达标训练1、【2024年高考北京理数】在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满意m2−m1=，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1，2）．已知太阳的星等是−26.7，天狼星的星等是−1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为A．1010.1 B．10.1C．lg10.1 D．10−10.1【答案】A【解析】两颗星的星等与亮度满意，令，则从而.故选A.2、【2024年高考全国Ⅱ卷理数】在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压．为解决困难，很多志愿者踊跃报名参与配货工作．已知该超市某日积压500份订单未配货，预料其次天的新订单超过1600份的概率为0.05．志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使其次天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少须要志愿者A．10名 B．18名 C．24名 D．32名【答案】B【解析】由题意，其次天新增订单数为，设须要志愿者x名，，,故须要志愿者名.故选：B3、（2024•香坊区校级三模）1614年纳皮尔在探讨天文学的过程中为了简化计算而独创对数；1637年笛卡尔起先运用指数运算；1770年，欧拉发觉了指数与对数的互逆关系，指出：对数源于指数，对数的独创先于指数，称为历史上的珍闻．若，lg2＝0.3010，则x的值约为（）A．1.322 B．1.410 C．1.507 D．1.669【答案】．A【解析】：由，lg2＝0.3010，所以x＝log2＝＝＝＝≈1.322；即x的值约为1.322．故选：A．4、一种药在病人血液中的量保持以上才有效，而低于病人就有危急．现给某病人注射了这种药，假如药在血液中以每小时的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，那么从现在起经过（）小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效．（附：，，答案实行四舍五入精确到）A.2.3小时 B.3.5小时 C.5.6小时 D.8.8小时【答案】A【解析】设从现在起经过小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效．则，，，，．故选：A．5、函数概念最早是在17世纪由德国数学家莱布尼茨提出的，后又经验了贝努利、欧拉等人的改译．1821年法国数学家柯西给出了这样的定义：在某些变数存在着肯定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着确定时，则称最初的变数叫自变量，其他的变数叫做函数．德国数学家康托尔创立的集合论使得函数的概念更严谨．后人在此基础上构建了中学教材中的函数定义：“一般地，设A，B是两个非

空的数集，假如按某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，那么这样的对应叫做从A到B的一个函数”，因此，下列对应法则f满意函数定义的有A．B．C．D．【答案】AD【解析】对于A，可得是函数；对于B不唯一不是函数对于C不是函数对于D运用换元法可得是函数，故选AD6、历史上第一个给出函数一般定义的是19世纪德国数学家狄利克雷(Dirichlet)，当时数学家们处理的大部分数学对象都没有完全的严格的定义，数学家们习惯借助于直觉和想象来描述数学对象，狄利克雷在1829年给出了闻名函数：（其中Q为有理数集，QC为无理数集），狄利克雷函数的出现表示数学家们对数学的理解发生了深刻的改变，数学的一些“人造”特征起先呈现出来，这种思想也标记着数学从探讨“算”转变到了探讨“概念、性质、结构”．一般地，广义的狄利克雷函数可定义为：（其中a，bR且a≠b），以下对说法正确的是A．当a＞b时，的值域为[b，a]；当a＜b时，的值域为[a，b]B．随意非零有理数均是的周期，但任何无理数均不是的周期C．为偶函数D．在实数集的任何区间上都不具有单调性【答案】BCD【解析】对于A函数的值域为，所以是错误的。对于随意的,则，,所以不是周期函数，对于C,明显可以推断为偶函数对于D由于随意两个有理数之间，有无理数，随意两个无理数之间也有有理数，因此，不具有周期性。7、（2024届山东省济宁市高三上期末）年月，中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录，标记着中华五千年文明史得到国际社会认可．良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例，实证了中华五千年文明史．考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而削减”这一规律．已知样本中碳的质量随时间（单位：年）的衰变规律满意（表示碳原有的质量），则经过年后，碳的质量变为原来的________；经过测定，良渚古城遗址文物样本中碳的质量是原来的至，据此推想良渚古城存在的时期距今约在________年到年之间．（参考数据：）【答案】【解析】当时，经过年后，碳的质量变为原来的令，则良渚古城存在的时期距今约在年到年之间故答案为；8、【2024年高考浙江】我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一。凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁，鸡母，鸡雏个数分别为，，，则当时，_________