广西专版2024-2025学年新教材高中数学第4章指数函数与对数函数4.5函数的应用二4.5.3函数模型的应用课后训练新人教A版必修第一册

4.5.3函数模型的应用课后·训练提升基础巩固1.已知某林场安排第一年造林10000平方米,以后每年比前一年多造林20%,则第四年造林()A.14400平方米 B.172800平方米C.20736平方米 D.17280平方米答案D解析设第x年造林y平方米,则y=10000×(1+20%)x-1,当x=4时,y=17280平方米.故选D.2.Logistic模型是常用数学模型之一,可应用于流行病学领域.有学者依据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位:天)的Logistic模型:I(t)=K1+e-0.23(t-53),其中K为最大确诊病例数.当I(t*)=0A.60 B.63 C.66 D.69答案C解析由K1+e-0.23(t*-53)=0.95K,得e-0.23(t*3.已知某种植物生长发育的数量y与时间x的关系如下表:x123…y125…则下面的函数关系式中,能表达这种关系的是()A.y=log2(x+1) B.y=2x-1C.y=2x-1 D.y=(x-1)2+1答案D解析代入数值检验,把x=2代入可解除A,B,C,把x=1,2,3代入D选项,符合题意.4.某公司为激励创新,安排逐年加大研发资金投入,若该公司2024年全年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金起先超过200万元的年份是()(参考数据:lg1.12≈0.05,lg1.3≈0.11,lg2≈0.30)A.2024年 B.2024年 C.2025年 D.2026年答案B解析设x年后该公司全年投入的研发资金为200万元,由题可知,130(1+12%)x=200,解得x=log1.12200130=lg2-lg1.35.依据相关规定,机动车驾驶人血液中的酒精含量大于(或等于)20mg/100mL的行为属于饮酒驾车.假设饮酒后,血液中的酒精含量为p0mg/100mL,经过x小时,酒精含量降为pmg/100mL,且满意关系式p=p0·erx(r为常数).若某人饮酒后血液中的酒精含量为89mg/100mL,2小时后,测得其血液中酒精含量降为61mg/100mL,则此人饮酒后至少经过小时方可驾车[精确到1小时,参考数据:61892≈0.470,61893≈0.322,61894≈0.221,61答案8解析由题意,61=89·e2r,则er=6189令89·exr<20,得x≥8,故答案为8.6.为了保证信息平安传输必需运用加密方式,有一种方式其加密、解密原理如下:明文密文密文明文已知加密函数为y=ax-2(x为明文,y为密文),假如明文“3”通过加密后得到密文为“6”,再发送,那么接受方通过解密得到明文“3”.若接受方接到密文为“14”,则原发的明文是.

答案4解析依题意y=ax-2中,当x=3时,y=6,故6=a3-2,解得a=2,所以加密函数为y=2x-2,因此当y=14时,由14=2x-2,解得x=4.7.某汽车在同一时间内速度v(单位:km/h)与耗油量Q(单位:L)之间有近似的函数关系Q=0.0025v2-0.175v+4.27,则车速为km/h时,汽车的耗油量最少.

答案35解析由Q=0.0025v2-0.175v+4.27=0.0025(v2-70v)+4.27=0.0025[(v-35)2-352]+4.27=0.0025(v-35)2+1.2075.故当v=35时,耗油量最少.8.某服装厂生产一种服装,每件服装的成本为40元,出厂单价定为60元.该厂为激励销售商订购,确定当一次订购量超过100件时,每多订购一件,订购的全部服装的出厂单价就降低0.02元.依据市场调查,销售商一次订购量不会超过500件.(1)设一次订购量为x件,服装的实际出厂单价为P元,写出函数P=f(x)的解析式;(2)当销售商一次订购450件服装时,该服装厂获得的利润是多少元?(服装厂售出一件服装的利润=实际出厂的单价-一件服装的成本)解(1)当0≤x≤100,x∈N时,P=60;当100<x≤500,x∈N时,P=60-0.02(x-100)=62-x50所以P=f(x)=60(2)设销售商一次订购量为x件时,工厂获得的利润为L元,则L=(P-40)x=20当x=450时,L=5850,因此,当销售商一次订购450件服装时,该服装厂获得的利润是5850元.实力提升1.衣柜里的樟脑丸随着时间会挥发而体积缩小,刚放进的新丸体积为a,经过t天后体积V与天数t的关系式为V=ae-kt,新丸经过50天后,体积变为49a.若一个新丸体积变为827a,则经过的天数为(A.75 B.100 C.125 D.150答案A解析由题意,得49a=ae-50k,解得e-25k=2令ae-kt=827a,即e-kt=(23)3=(e-25k)3=e-75k,则t=2.某商场出售一种商品,每天可卖1000件,每件可获利4元.据阅历,若这种商品每件每降价0.1元,则比降价前每天可多卖出100件,为获得最好的经济效益,每件售价应降低()A.2元 B.2.5元 C.1元 D.1.5元答案D解析设每件降价0.1x元,则每件获利(4-0.1x)元,每天卖出商品件数为(1000+100x),利润y=(4-0.1x)·(1000+100x)=-10x2+300x+4000=-10(x2-30x+225-225)+4000=-10(x-15)2+6250.故当x=15时,ymax=6250.故每件售价降低1.5元时,可获得最好的经济效益.3.某农场种植一种农作物,为了解该农作物的产量状况,现将近四年的年产量f(x)(单位:万千克)与年份x(记2024年为第1年)之间的关系统计如下:x1234f(x)4.005.627.008.86则f(x)近似符合以下三种函数模型之一:①f(x)=ax+b;②f(x)=2x+a;③f(x)=x2+b.你认为最适合的函数模型的序号是.

答案①解析若模型为②,则f(1)=2+a=4,解得a=2,于是f(x)=2x+2,此时f(2)=6,f(3)=10,f(4)=18,与题中表格内的数据相差太大,不符合;若模型为③,则f(1)=1+b=4,解得b=3,于是f(x)=x2+3,此时f(2)=7,f(3)=12,f(4)=19,与题中表格内的数据相差太大,不符合;若模型为①,则依据题中表格内数据得f(1)=44.某工厂生产产品A,每件售价80元,每年产销80万件,工厂为了开发新产品,经过市场调查,确定提出产品A的销售金额的p%作为新产品开发费(即每销售100元提出p元),并将产品A的年产销量削减了10p万件.(1)若工厂提出的新产品开发费不少于96万元,求p的取值范围;(2)若工厂仅考虑每年提出最高的开发费,求此时p的值.解由题意知,当开发费是产品A的销售金额的p%时,销售量为(80-10p)万件,此时销售金额为80×(80-10p)万元,新产品开发费f(p)=80×(80-10p)×p%(万元).(1)由题设知80解得2≤p≤6.故当新产品开发费不少于96万元时,p的取值范围为[2,6].(2)当0<p<8时,f(p)=80×(80-10p)×p%=-8(p-4)2+128.则当p=4时,f(p)max=128.故当p=4时,开发费最多,可达到128万元.5.如图,在矩形ABCD中,已知AB=a,BC=b(b<a),在AB,AD,CD,CB上分别截取AE,AH,CG,CF,且AE=AH=CG=CF=x.问:当x为何值时,四边形EFGH的面积最大?并求出最大面积.解设四边形EFGH的面积为S,则S=ab-212x2+12(a-x)(b-x)=-2x因为0<b<a,所以0<b<a+若a+b4≤b,即a≤3b,则当x=a+b若a+b4>b,即a>3b,则当x=b时,S有最大值综上可得:当a≤3b,x=a+b4时,S有最大值(a+b)28;当a>36.某科研团队对某一生物的生长规律进行探讨,发觉其生长扩散的速度越来越快,起先在某水域投放肯定面积的该生物,经过2个月其覆盖面积为18m2,经过3个月其覆盖面积达到27m2.该生物覆盖面积y(单位:m2)与经过时间x(x∈N)个月的关系有两个函数模型y=kax(k>0,a>1)与y=px+q(p>0)可供选择.(1)试推断哪个函数模型更合适,并求出该模型的函数解析式.(2)问约经过几个月,该水域中此生物的面积是当时投放的1000倍?(参考数据:2≈1.41,3≈1.73,lg2≈0.30,lg3≈0.48)解(1)因为y=ka