2025版新教材高中数学第六章平面向量及其应用6.2平面向量的运算6.2.3向量的数乘运算预习案新人教A版必修第二册_第1页
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6.2.3向量的数乘运算一、向量的数乘❶定义实数λ与向量a的积是一个________记法λa长度|λa|＝|λ||a|方向λ＞0方向与a的方向________λ＜0方向与a的方向________【即时练习】推断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)对于随意的向量a，总有0·a＝0.()(2)当λ＞0时，|λa|＝λa.()(3)若a≠0，λ≠0，则a与－λa的方向相反．()(4)向量－8a(a≠0)的模是向量4a的模的2倍．()二、向量数乘的运算律❷设λ，μ为随意实数①λ(μa)＝________；②(λ＋μ)a＝________；③λ(a＋b)＝________．特殊地，(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝________．向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．对于随意向量a、b，以及随意实数λ、μ1、μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝____________．【即时练习】3(2a－4b)＝()A．5a＋7bB．5a－7bC．6a＋12bD．6a－12b三、向量共线定理❸向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使________.【即时练习】1．已知a＝－e，b＝e，则下列式子正确的是()A．b＝aB．b＝－aC．b＝2aD．b＝－2a2．若|a|＝5，b与a的方向相反，且|b|＝7，则a＝________b.微点拨❶(1)向量数乘仍是一个向量．λa中的实数λ叫做向量a的系数．(2)不要忽视特殊状况：当λ＝0时，λa＝0.当λ≠0时，若a＝0，也有λa＝0.(3)实数与向量可以求积，但是不能进行加减运算．(4)向量的数乘的几何意义就是把向量a沿着a的方向或a的反方向扩大或缩小．当λ＞0时，沿着a的方向扩大(λ＞1)λ倍或缩小(0<λ<1)λ；当λ＜0时，沿着a的反方向扩大(|λ|＞1)λ倍或缩小(|λ|<1)|λ|.微点拨❷(1)向量数乘运算律与实数乘法运算律很相像，只是向量数乘安排律由于因子的不同，可分为(λ＋μ)a＝λa＋μa和λ(a＋b)＝λa＋λb.(2)向量数乘运算律的理论依据是两个向量相等的定义．微点拨❸(1)由a＝λb⇒a∥b中，若λ＝0，则a＝0，零向量与任一向量都平行．若λ＞0，则a与b同向；若λ＜0，则a与b反向．(2)由a∥b⇒a＝λb中，由λ的唯一性，得b≠0.(3)该定理有两方面的应用，一是一个向量可以由另一个向量线性表示，则可以判定两向量平行；二是若两向量平行，则一个向量可以由另一非零向量线性表示，可以用来求参数λ，它是轴上向量坐标化的依据．6．2.3向量的数乘运算一、向量相同相反[即时练习]答案：(1)×(2)×(3)×(4)√二、①(λμ)a②λa＋μa③λa＋λbλa－λbλμ1a±λμ2b[即时练习]解析：3(2a－4b)＝6a－12b.故选D.答案：D三、b＝λa[即时练习]1．解析：因为a＝－e，b＝e，所以a＝－2b，则b＝－a.故选B.答案：B2

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