新教材2025版高中数学第十一章立体几何初步11.1空间几何体11.1.6祖暅原理与几何体的体积学案新人教B版必修第四册

11．1.6祖暅原理与几何体的体积课程标准1.相识柱、锥、台、球及简洁组合体的结构特征，能运用这些特征描述现实生活中简洁物体的结构．2．知道球、棱柱、棱锥、棱台的体积的计算公式，能用公式解决简洁的实际问题．新知初探·自主学习——突出基础性教材要点学问点一祖暅原理(1)“幂势既同，则积不容异”，即“夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的随意平面所截，假如截得的两个截面的面积________，那么这两个几何体的体积________”．(2)作用：等底面积、等高的两个柱体或锥体的体积________．学问点二柱体、锥体、台体和球的体积公式其中S′、S分别表示上、下底面的面积，h表示高，r′和r分别表示上、下底面圆的半径，R表示球的半径．名称体积(V)柱体棱柱________________圆柱πr2h锥体棱锥________________圆锥13πr2台体棱台________________圆台13πh(r2＋rr′＋r′2球________________基础自测1．若长方体的长、宽、高分别为3cm、4cm、5cm，则长方体的体积为()A．27cm3 B．60cm3C．64cm3 D．125cm32．圆锥的母线长为5，底面半径为3，则其体积为()A．15π B．30πC．12π D．36π3．假如轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于()A．π B．2πC．4π D．8π4．若一个球的直径是12cm，则它的体积为________cm3.课堂探究·素养提升——强化创新性题型1求柱体的体积例1如图所示的几何体，上面是圆柱，其底面直径为6cm，高为3cm，下面是正六棱柱，其底面边长为4cm，高为2cm，现从中间挖去一个直径为2cm的圆柱，求此几何体的体积．方法归纳计算柱体体积的关键及常用技巧(1)计算柱体体积的关键：确定柱体的底面积和高．(2)常用技巧：①充分利用多面体的截面及旋转体的轴截面，构造直角三角形，从而计算出底面积和高．②由于柱体的体积仅与它的底面积和高有关，而与柱体是几棱柱，是直棱柱还是斜棱柱没有关系，所以我们往往把求斜棱柱的体积通过作垂直于侧棱的截面转化成求直棱柱的体积．跟踪训练1一个正方体的底面积和一个圆柱的底面积相等，且侧面积也相等，求正方体和圆柱的体积之比．题型2求锥体的体积例2(1)半径为R的半圆卷成一个圆锥，这个圆锥的体积是()A．324πR3 B．38πC．524πR3 D．58π(2)如图三棱台ABC-A1B1C1中，AB∶A1B1＝1∶2，求三棱锥A1-ABC，三棱锥B-A1B1C，三棱锥C-A1B1C1的体积之比．状元随笔AB:A1B1=1:2→S△(3)如图，已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体，E为AA1的中点，F为CC1上一点，求三棱锥A1-D1EF的体积．状元随笔三棱锥A1-D1EF的高不易求出，可以转换为求三棱锥F-A1D1E的体积．方法归纳1．三棱柱、三棱台可以分割成三个三棱锥，分割后可求锥体的体积和柱体或台体的体积关系，割补法在立体几何中是一种重要的方法．2．求几何体体积的常用方法跟踪训练2(1)如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，则三棱锥D1-ADC的体积是()A．16 B．C．12 D．(2)如图，正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为4，动点E，F在棱AB上且EF＝2，动点Q在棱D′C′上，则三棱锥A′-EFQ的体积()A．与点E，F的位置有关B．与点Q的位置有关C．与点E，F，Q的位置都有关D．与点E，F，Q的位置均无关，是定值(3)如图所示，三棱锥P-ABC的全部棱长都为1，求此三棱锥的体积．状元随笔将此三棱锥放在正方体中，看作正方体切去四个三棱锥得到，据此设计算法求解．题型3求台体的体积例3已知正四棱台两底面边长分别为20cm和10cm，侧面积是780cm2.求正四棱台的体积．状元随笔可以尝试借助四棱台内的直角梯形．求出棱台底面积和高，从而求出体积．方法归纳求台体的体积关键是求出上、下底面的面积和台体的高．要留意充分运用棱台内的直角梯形或圆台的轴截面寻求相关量之间的关系．跟踪训练3本例若改为“正四棱台的上、下两底的底面边长分别为2cm和4cm，侧棱长为2cm，求该棱台的体积．”题型4求球的体积例4(1)过球面上三点A，B，C的截面到球心O的距离等于球的半径的一半，且AB＝BC＝CA＝3cm，求球的体积和表面积．解决本题要充分利用已知条件，尤其是球半径，截面圆半径和球心距构成的直角三角形．(2)如图，圆柱内有一内切球(圆柱各面与球面均相切)，若内切球的体积为43π，则圆柱的侧面积为(A．π B．2πC．4π D．8π方法归纳球的基本性质是解决与球有关的问题的依据，球半径、截面圆半径和球心到截面的距离所构成的直角三角形是把空间问题转化为平面问题的主要方法．跟踪训练4假如三个球的半径之比是1∶2∶3，那么最大球的体积是其余两个球的体积之和的()A．1倍B．2倍C．3倍D．4倍教材反思1．本节课的重点是驾驭柱体、锥体、台体和球的体积的求法，难点是组合体的表面积．2．本节课要重点驾驭的规律方法(1)求空间几何体的体积的方法．(2)求与组合体有关的体积的方法．3．本节课的易错点是求与三视图有关的几何体的体积时，易把相关数据弄错．11．1.6祖暅原理与几何体的体积新知初探·自主学习[教材要点]学问点一(1)总相等肯定相等(2)相等学问点二Sh13Sh13h(S＋SS'＋S′)4[基础自测]1．解析：长方体的体积为3×4×5＝60(cm3)．答案：B2．解析：圆锥的高h＝52-32＝4，故V＝答案：C3．解析：设轴截面正方形的边长为a，由题意知S侧＝πa·a＝πa2.又∵S侧＝4π，∴a＝2.∴V圆柱＝π×2＝2π.答案：B4．解析：由题意，知球的半径R＝6cm，故其体积V＝43πR3＝43×π×63＝288π(cm答案：288π课堂探究·素养提升例1【解析】V六棱柱＝34×42×6×2＝483(cm3V圆柱＝π·32×3＝27π(cm3)，V挖去圆柱＝π·12×(3＋2)＝5π(cm3)，∴此几何体的体积：V＝V六棱柱＋V圆柱－V挖去圆柱＝(483＋22π)(cm3)．跟踪训练1解析：设正方体边长为a，圆柱高为h，底面半径为r，则有a由①得r＝ππa由②得πrh＝2a2，∴V圆柱＝πr2h＝2ππa∴V正方体∶V圆柱＝a3∶2ππa3＝例2【解析】(1)设圆锥的底面半径为r，则2πr＝l＝π·R.所以r＝12R所以圆锥的高h＝R2-14所以V锥＝13πr2·h＝π3·R24·32R＝(2)设棱台的高为h，S△ABC＝S，则S△A1∴VA1-ABC＝13S△ABC·VC-A1B1C1又V台＝13h(S＋4S＋2S)＝73∴VB-A1B1C1＝V台-V∴体积比为1∶2∶4.(3)由V三棱锥A1因为S△A1D1E＝12EA1·A1又三棱锥F-A1D1E的高为CD＝a，所以V三棱锥F-A1D1E＝13×aV三棱锥A1-D【答案】(1)A(2)见解析(3)见解析跟踪训练2解析：(1)三棱锥D1-ADC的体积V＝13S△ADC×D1D＝13×12×AD×DC×D1D(2)V三棱锥A′-EFQ＝V三棱锥Q-A′EF＝13×12×EF×AA′×A′所以其体积为定值，与点E，F，Q的位置均无关．(3)如图所示，把三棱锥放在正方体中．三棱锥P-ABC可看作正方体切去四个三棱锥得到，因为正四面体的棱长为1，所以正方体的棱长为22，所以三棱锥P-ABC的体积为223－4×1答案：(1)A(2)D(3)见解析例3【解析】如图所示，正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，A1B1＝10cm，AB＝20cm.取A1B1的中点E1，AB的中点E，则E1E是侧面ABB1A1的高．设O1、O分别是上、下底面的中心，则四边形EOO1E1是直角梯形．由S侧＝4×12(10＋20)·E1E＝780，得EE1在直角梯形EOO1E1中，O1E1＝12A1B1OE＝12AB∴O1O＝E1V正四棱台＝13×12×(102＋202＋10×20)＝2800(cm3故正四棱台的体积为2800cm3.跟踪训练3解析：如图，正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，上、下底面边长分别为2cm和4cm，则O1B1＝2cm，OB＝22cm，过点B1作B1M⊥OB于点M，那么B1M为正四棱台的高，在Rt△BMB1中，BB1＝2cm，MB＝(22-2)＝依据勾股定理MB1＝BB12S上＝22＝4(cm2)，S下＝42＝16(cm2)，∴V正四棱台＝13×2＝13×2×28＝28例4【解析】(1)如图，设过A，B，C三点的截面为圆O′，连接OO′、AO、AO′.∵AB＝BC＝CA＝3(cm)，∴O′为正三角形ABC的中心，∴AO′＝33AB＝3设OA＝R，则OO′＝12R∵OO′⊥截面ABC，∴OO′⊥AO′，∴AO′＝32R＝3(cm)，∴R∴V球＝43πR3＝323π(cm3)，S球＝4πR2＝16π(cm即球的体积为