重庆市乌江新高考协作体2024届高三下学期数学第三次模拟预测试

重庆市乌江新高考协作体2024届高三下学期数学第三次模拟预测试姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知m,n表示空间中两条不同的直线，α表示一个平面，且m∥α，则“n⊥α”是“A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．已知i是虚数单位，复数z(2+i)的实部、虚部分别为3，2，则z在复平面内对应的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．假设在某种细菌培养过程中，正常细菌每小时分裂1次（1个正常细菌分裂成2个正常细菌和1个非正常细菌），非正常细菌每小时分裂1次（1个非正常细菌分裂成2个非正常细菌）.若1个正常细菌经过14小时的培养，则可分裂成的细菌的个数为（）A．215+2 B．216−2 C．4．《九章算术》是我国古代的数学专著，是“算经十书”（汉唐之间出现的十部古算书）中非常重要的一部．在《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．已知“堑堵”ABC−A1B1C1的所有顶点都在球O的球面上，且A．2+22 B．22 C．3+225．设l为某正方体的一条体对角线，S为该正方体的各顶点与各棱中点所构成的点集，若从S中任选两点连成线段，则与l垂直的线段数目是（）A．12 B．21 C．27 D．336．设A，B，C，D为抛物线x2=4y上不同的四点，A，D关于该抛物线的对称轴对称，BC平行于该抛物线在点D处的切线l.设点D到直线AB和直线AC的距离分别为d1，d2，已知A．12 B．32 C．1 7．设函数f(x)=x+ex，g(x)=x+lnx，若存在x1，xA．1e B．1 C．2 8．已知a=ln3，b=54，A．a<b<c B．a<c<b C．b<a<c D．c<a<b二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得2分。9．某电影艺术中心为了解短视频平台的观众年龄分布情况，向各大短视频平台的观众发放了线上调查问卷，共回收有效问卷4000份，根据所得信息制作了如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是（）A．a＝0.028B．在4000份有效问卷中，短视频观众年龄在10~20岁的有1320人C．估计短视频观众的平均年龄为32岁D．估计短视频观众年龄的75%分位数为39岁10．如图，将一块边长为4m的正方形铁片上有四块阴影部分，将这些阴影部分裁下来，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，下列说法正确的是（）A．当x=2m时，正四棱锥的侧面积为4B．当x=2m时，正四棱锥的体积为4C．当x=23mD．正四棱锥的体积最大值为6411．已知A(0,2),B(0A．点P的轨迹围成的图形面积为πB．|PB|的最小值为1−C．P1,P2D．过点(12,12)的直线与点P三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．已知|a|=|a−b13．若存在实数a及正整数n使得f(x)=cos2x−asinx在(014．设a,b,c>0，则四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．已知函数f(x)=2ax−lnx+1x，（1）若a=1，求函数f(x)的极值；（2）试讨论函数f(x)的单调性．16．在对于一些敏感性问题调查时，被调查者往往不愿意给出真实答复，因此需要特别的调查方法消除被调查者的顾虑，使他们能如实回答问题．某单位为提升员工的工作效率，规范管理，决定出台新的员工考勤管理方案，方案起草后，为了解员工对新方案是否满意，决定采取如下随机化回答技术进行问卷调查：随机选取150名男员工和150名女员工进行问卷调查．问卷调查中设置了两个问题：①你公历生日是奇数吗？②你对新考勤管理方案是否满意．调查分两个环节，第一个环节：确定回答的问题，让被调查者从装有4个红球，6个黑球（除颜色外完全相同）的袋子中随机摸取两个球．摸到两球同色的员工如实回答第一个问题，摸到两球异色的员工如实回答第二个问题，第二个环节：填写问卷（问卷中不含问题，只有“是”与“否”）．已知统计问卷中有198个“是”．（参考数据：186365（1）根据以上的调查结果，利用你所学的知识，估计员工对新考勤管理方案满意的概率p；（2）据核实，以上的300名员工中有15名员工对新考勤管理方案不满意，其中男3人，女12人，试判断是否有97.5%的把握认为与对新考勤管理方案是否满意与性别有关；参考公式和数据如下：K2=nP(0.150.100.050.0250.005k2.0722.7063.8415.0247.879（3）从该单位任取10人，恰有X人对考勤管理方案不满意，利用（1）中的结果，写出P(X=k)的表达式（其中0≤k≤10，k∈N），并求出X的数学期望.17．已知椭圆C:x2（1）求椭圆C的标准方程；（2）O为坐标原点，过点G(3,0)且斜率不为零的直线与椭圆C交于E，F两点，试问：在x轴上是否存在一个定点T，使得18．如图，在三棱锥P−ABC中，A1,B1,C1分别是侧棱PA（1）求证：平面A1B1（2）如果A1C=B1C,AB=BC=419．在数学中，把只能被自己和1整除的大于1自然数叫做素数（质数）.历史上研究素数在自然数中分布规律的公式有“费马数”22n+1(n∈N)；还有“欧拉质数多项式”：n2+n+41(n∈N)（1）数列{an}中a1,（2）依据a1,a2,a3的数值写出数列{（3）为研究“欧拉质数多项式”的性质，构造函数f(x)=x2+x−1,α,β是方程f(x)=0的两个根(α>β),f'

答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】解：如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，设n取为直线B1C1，满足m⊥n但n⊂α，则“n⊥α故答案为：A【分析】将直线和平面放入特殊图形中，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，设m取为直线AB，2．【答案】A【解析】【解答】解：因为复数z(2+i)的实部、虚部分别为3，2，所以z(2+i)=3+2i，所以z=3+2iz在复平面内对应的点为(8故答案为：A.【分析】根据题意可得：z(2+i)=3+2i，据此可求出z=83．【答案】C【解析】【解答】解：设经过n小时，有an个正常细菌，b则an+1=2a又a1=2，b1=1，所以则bn+12n+1所以{bn2所以bn所以bn=n⋅2故答案为：C.【分析】先设经过n小时，有an个正常细菌，bn个非正常细菌，由题意可得an+1=2an，利用等比数列的通项公式可求出an4．【答案】C【解析】【解答】解：设BC，B1C1的中点分别为M，M1，连MM直三棱柱ABC−A1B1C四边形BMM1B因为三棱柱ABC−A1B1C1的底面是直角三角形，M，M1分别是Rt△ABC，Rt△A1B1C1的外接圆圆心，因为A所以O为ABC−A连OB，由球O的表面积为4π，可得半径为1，即OB=1，AB=AC=1，则BC=2，BM=22，可得OM=所以三棱柱ABC−A1B故答案为：C．【分析】先根据条件确定球心的位置，再根据球的半径求得棱柱的高，即可求出表面积.5．【答案】C【解析】【解答】解：如图正方体ABCD−A1B1C对应棱上的点为对应棱的中点，连接BD，如下图所示，因为四边形ABCD为正方形，则AC⊥BD，∵DD1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCDDD1∩BD=D，D∴AC⊥平面BDD1，∵BD1⊂同理可证BD1⊥AB1，又AB1∩AC=A，故所有与BD1垂直的直线在平面AB易知与平面AB1C平行的平面有平面KPI、平面EFGHMN、平面A所以满足条件的且与对角线BD1垂直的线段共故答案为：C.【分析】如图正方体ABCD−A1B1C1D1，设直线l为直线BD1，利用正方体的结构特征可证明BD1⊥6．【答案】B【解析】【解答】解：由题意可设A(−x0,y0)，抛物线方程x2=4y，即y=14x2，由kAC=y2−因此kAC+kAD平行于x轴，则点D到直线AB和直线AC的距离相等，即d1=d又d1+d2=所以sin∠BAC=故答案为：B.【分析】设A(−x0,y0)，D(x0,y0)，B(x1,y1)，C(x2,7．【答案】B【解析】【解答】解：由题意可得f(x1)=g(x2又f'(x)=1+ex>0即f(x1)=f(且|x令h(x)=lnx−x，则h'(x)=1令h'(x)=0，则当x∈(0,1)时，h'当x∈(1,+∞)时，h'所以当x=1时，h(x)有极大值，即最大值，所以h(x)≤h(1)=−1，|h(x)|≥1，所以|x故答案为：B【分析】根据题意，由条件可得f(x1)=f(lnx8．【答案】A【解析】【解答】解：令f(x)=ex−x−1当x∈(−∞,0)时，f'当x∈(0,+∞)时，f'则f(x)≥f(0)=0，故c=e令g(x)=lnx−xe，则当x∈(e,+∞)时，g'则g(3)<g(e)=0，即ln3<3故a<b<c.故答案为：A.【分析】先构造函数f(x)=ex−x−1，求出导函数f'(x)，令f'(x)>0和f'(x)<0，解不等式可求出函数f(x)的单调区间，进而求出最值，利用最值可推出c>b，再构造函数g(x)=lnx−9．【答案】C,D【解析】【解答】解：A，∵(0.015＋0.033＋a＋0.011＋0.011)×10=1，∴a=0.03，A错误；B，由频率分布直方图，短视频观众年龄在10～20岁的对应频率为0.15，∴短视频观众年龄在10~20岁的有4000×0.15=600(人)，B错误；C，平均年龄为x＝(0.015×15＋0.033×25＋0.03×35＋0.011×45＋0.011×55)×10=32(岁)，C正确；D，设75%分位数为x，由年龄在10~20岁和20~30岁两组频率是(0.015＋0.033)×10=0.48，又年龄在10~20岁和20~30岁，30~40岁三组频率是(0.015＋0.033+0.03)×10=0.78，所以75%分位数位于年龄在30~40岁这一组，则0.015×10＋0.033×10＋(x-30)×0.03=0.75，解得x=39，D正确.故答案为：CD.【分析】根据各组的频率之和为1可列出方程，解方程可求出a的值，据此可判断A选项；根据频率分布直方图可推出短视频观众年龄在10～20岁的对应频率，据此求出观众年龄在10~20岁的人数，判断B选项；根据频率分布直方图求出平均数，据此可判断C选项；设75%分位数为10．【答案】B,C,D【解析】【解答】解：用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器如图所示：A：当x=2m时，即AB=2，由题意可得△ABP的边AB上的高为2，所以侧面面积为4SB：当x=2m时，由题意可得侧面斜高PE=2，OE=12AB=1，可得PO=4−1=C：当x=23时，可得OE=12AB=3，PO=4−3=1则(r−1)2+(D：可得OE=12AB=V=1令t=16−x2∈(令f'(t)=0当t∈(0,433)所以f(t)≤f(433故答案为：BCD.【分析】先作出示意图，利用三角形的面积计算公式可求出正四棱锥的侧面积为4S△ABP=8m2，据此可判断A选项；当x=2m时，利用勾股定理可求出PO=3，利用棱锥的体积计算公式可推出V=433m311．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：由|PA|=2|PB|得：x2+(y−2)2=2[对A：面积为πrB：点B在圆内，如图所示：

由图知|BP|+|OB|≥OP，当O,B,P共线的时候等号成立，所以|BP|C：因为|OA|=2，r=1，所以过A向圆引切线，切线长等于1，则两条切线夹角为πD：斜率不存在时，过点(12,12斜率存在时，过点(12,12)的直线方程为由圆的几何性质，|MN|=21−当k=0时，|MN|=3当k>0时，|MN|=3+当k<0时，|MN|=3+2k1+k2综上所述，MN的最小值为2，D正确.故答案为：ABD.【分析】由|PA|=2|PB|，利用两点间的距离公式可推出x2+y2=1，据此可得点P的轨迹为圆心O(0,0)，半径r=1的圆.，进而计算围成图象的面积，判断A选项；根据图形可知，当O,B,P共线的时候|BP|取值最小值，求出最小值可判断B选项；过A向圆引切线，进而求出两条切线夹角，据此可判断C选项；分别用斜率存在和不在两种情况写出过点(12．【答案】13【解析】【解答】解：由|a|=32即18−2a⋅bf==32(x+12)2点A关于x轴的对称点为A'(−则|PA|+|PB|=|PA当且仅当A',P,B故答案为：13【分析】根据题意，利用平面向量的模长可求出数量积a⋅b，利用向量的几何意义和运算律计算可推出f(x)=32[(x+12)2+1413．【答案】5【解析】【解答】解：由题意知，f(x)=cos令f(x)=0，t=sinx，此时2t而Δ=a2+8>0，t则上述方程在实数范围内一定有两个异号的根，当t2<−1时，一个周期2π内有两个零点，则n=2024或n=2023；当t2=−1时，一个周期2π内有三个零点，2024=674×3+2，则需要674.即n=674.当−1<t2<0时，此时2−a−1>0若−1<a<1，此时0<t1<1则需要20244=506个周期，即若a=−1，此时t2=−1则一个周期2π内有三个零点，2024=674×3+2，674个周期恰好2022个零点，674.5个周期是675个周期则2025个零点，此时不符题意，若a<−1，此时t1>1一个周期2π内有两个零点，则n=2024或n=2025.综上所述，这样的正整数n有5个，分别是1012,故答案为：5【分析】利用二倍角的余弦公式化简函数解析式可得：f(x)=−2sin2x−asinx+1，令f(x)=0，采用换元法令t=sinx，利用换元法可将问题转化为方程2t2+at−1=0在实数范围内一定有两个异号的根，分三种情况：当t2<−1时；当14．【答案】2【解析】【解答】解：设m,n>0，则2ab当且仅当am=bm，故a+2ab令(m+2n+1):1m:2所以a+2ab+4aca+b+4c≤故答案为：2.【分析】设m,n>0，利用基本不等式得到a+2ab+4ac≤a(m+2n+1)+bm+15．【答案】（1）解：若a=1，f(x)=2x−lnx+1x，定义域为则f'(x)=2−1x−由f'(x)>0，可得x>1，所以f(x)在由f'(x)<0，可得0<x<1，所以f(x)在所以f(x)在x=1处取得极小值，极小值为f(1)=3，无极大值；（2）解：f(x)的定义域为(0,f'(x)=2a−1当a<0时，f'(x)<0，则f(x)在当a>0时，令f'(x)=0，可得x=1+因为1−1+8a4a<0所以当0<x<1+1+8a4a则f(x)在(0,所以当x>1+1+8a4a则f(x)在(1+综上，当a<0时，f(x)在(0,当a>0时，f(x)在(0,1+1+8a【解析】【分析】本题考查利用导函数研究函数的单调性，利用单调性研究函数的极值.

（1）当a=1，先求出导函数f'(x)，令f'(x)=0可求出方程的根，令f'(x)>0和（2）先求出导函数f'(x)，分两种情况：当a<0时；当a>0时；讨论导函数导函数f'16．【答案】（1）解：由题意摸到两球同色的概率为C4所以回答第一个问题有300×715=140由题意可知公历生日是奇数的概率是186365所以回答第一个问题，选择“是”的同学人数为140×1则回答第二个问题，选择“是”的同学人数为198−70=128人，所以员工对新考勤管理方案满意的概率p=128（2）解：由题意，列联表如下：对新考勤管理方案满意对新考勤管理方案不满意合计男员工1473150女员工13812150合计28515300K2所以有97.5%的把握认为与对新考勤管理方案是否满意与性别有关；（3）解：由题意可知X∼B(10,则P(X=k)=C所以E(X)=10×1【解析】【分析】本题考查古典型概率的计算公式，独立性检验，二项分布.

（1）由题意先求出摸到同色两球的概率，进而求出回答第一个问题的人数及选择“是”的人数，再利用古典概型概率的计算公式可求出员工对新考勤管理方案满意的概率；（2）利用公式先求出K2，再对照临界值表将K（3）由题意可得X服从二项分布，再根据二项分布的概率公式，利用二项分布的期望计算公式可求出数学期望.17．【答案】（1）解：由题意可得e=ca=所以a=2,所以椭圆C的标准方程为x2（2）解：假设存在x轴上的定点T(t,则结合图可得∠ETG+∠FTG=π，所以kET由题意，直线EF的斜率一定存在，设直线EF的方程为x=my+3，如图所示：

设E(x1,由x24