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文档简介

四川省眉山市2024届高三下学期第三次诊断考试数学(文)试卷姓名:__________班级:__________考号:__________题号一二三四总分评分一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.在复平面内,(1+2i)(1+i)对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.设全集U={−3,−2,−1,0,A.{3} B.{−3C.{−3,−2,3.采购经理指数(PMI),是国际上通用的监测宏观经济走势的先行性指数之一,具有较强的预测、预警作用,综合PMI产出指数是PMI指标体系中反映当期全行业(制造业和非制造业)产出变化情况的综合指数,指数高于50%时,反映企业生产经营活动较上月扩张;低于50%,则反映企业生产经营活动较上月收缩.2023年我国综合PMI产出指数折线图如下图所示:根据该折线图判断,下列结论正确的是()A.2023年各月综合PMI产出指数的中位数高于53%B.2023年各月,我国企业生产经营活动景气水平持续扩张C.2023年第3月至12月,我国企业生产经营活动景气水平持续收缩D.2023年上半年各月综合PMI产出指数的方差小于下半年各月综合PMI产出指数的方差4.已知向量a=(2,0),b=(1,A.1314 B.3314 C.−5.已知α∈(π,2π),cos(3πA.−55 B.−255 6.执行如图所示的程序框图,则输出的i=()A.3 B.4 C.5 D.67.下列各选项对应的函数中,其大致图象是如图所示的一项为()A.f(x)=x4+C.f(x)=x4+8.设O为坐标原点,过点(2,0)的直线与抛物线C:y2=4x的交于A.−4 B.−2 C.0 D.49.如图,该组合体由一个正四棱柱ABCD−A1B1C1D1和一个正四棱锥A.PA1∥平面ABC1C.PC1⊥平面BDC110.给出下述三个结论:①函数f(x)=cos|x|的最小正周期为;②函数f(x)=|cos2x|在区间(π4,π2)单调递增;A.①②③ B.②③ C.①③ D.②11.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2A.324 B.2 C.3 12.若关于x的不等式lnx≤ax3−bA.1e2 B.2e2 C.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.若x,y满足约束条件x−y+2≥0,2x−y−2≤0,2x+y−2≥0,14.已知△ABC的三边长AB=4cm,BC=2cm,AC=3cm,则△ABC的面积为15.已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,且当x<0时,f(x)=−eax.若f(ln3)=9,则a=16.已知相互垂直的两个平面分别截球O的球面,得到两个圆O1,O2,其半径分别为r1,r2,若O1O2=62三、解答题:共70分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生依据要求作答。(一)必考题:共60分。17.某公司为改进生产,现对近5年来生产经营情况进行分析.收集了近5年的利润y(单位:亿元)与5年份代码x共5组数据(其中5年份代码x=1,2,3,4,5分别指2019年,2020年,…,2023年),并得到如下值:y=70.5,i=1附:①6.②若|r|≥0.75,相关程度很强;0.③一组数据(x1,y1),(x2,y(1)若用线性回归模型拟合变量y与x的相关关系,计算该样本相关系数r,并判断变量y与x的相关程度(r精确到0.01);(2)求变量y关于x的线性回归方程,并求2024年利润y的预报值.18.已知数列{an}的前n项和为Sn,且(1)求数列{a(2)若bn=3nlog319.如图,在多面体ABCDEF中,四边形ABCD为矩形,平面FCD⊥平面ABCD,平面EAB⊥平面ABCD,△AEB,△CFD是等腰直角三角形且∠DFC=∠BEA=π2,AB=2(1)证明:平面ABF∥平面CDE;(2)求平面ABF与平面CDE的距离.20.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)离心率是3(1)求椭圆C的方程;(2)若点P为直线l:x=4上的动点,直线PA1,PA2分别交椭圆C于21.已知函数f(x)=xlnx−ax(1)若f(x)在(1,+∞)上单调递增,求(2)若f(x)有两个不同极值点x1,x①求a的取值范围;②当x1>4x四、(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分。22.[选修4-4:坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy中,⊙C的圆心为C(2,2),半径为2,以坐标原点O为极点,(1)求⊙C的极坐标方程;(2)过点O的直线交⊙C于P,Q两点,求|OP|+|OQ|的最大值.23.[选修4-5:不等式选讲]已知函数f(x)=|2−x|+2|x+2|.(1)若对任意x∈R,使得f(x)≥a2−3a(2)令f(x)的最小值为M.若正数a,b,c满足1a+1

答案解析部分1.【答案】B【解析】【解答】解:(1+2i)(1+i)=1+i+2i-2=-1+3i,对应的点为-1,3,位于第二象限.

故答案为:B.

【分析】根据复数的乘法运算化简复数,再结合复数的几何意义判断即可.2.【答案】D【解析】【解答】解:因为全集U={−3,−2,−1,0,1,2,3},集合A={−2,3.【答案】B【解析】【解答】解:根据图表可知,2023年各月综合PMI产出指数呈单峰、右拖尾型,则中位数靠右,即各月PMI的中位数小于53%,故A错误;2023年各月,我国综合PMI产出指数均大于50%,表明我国企业生产经营活动持续扩张,故C错误,B正确;2023年上半年各月PMI比下半年各月PMI的波动大,则2023年上半年各月综合PMI产出指数的方差大于下半年各月综合PMI产出指数的方差,故D错误.故答案为:B.【分析】根据中位数定义即可判断A;利用扩张和收缩情况即可判断BC;根据数据波动情况即可判断D.4.【答案】A【解析】【解答】解:因为向量a=(2,0),b=(1,3),c=(−3,−3),

所以a→5.【答案】B【解析】【解答】解:因为α∈(π,2π),cos(3π2+α)=2cosα,所以cos(3π2+α)=cosπ+π2+α=-cosπ2+α=sinα=2cosα6.【答案】C【解析】【解答】解:i=1时,21=2=1×1+1=2;

i=2时,22=4<2×2+1=6;

i=3时,23=8<3×3+1=12;

i=4时,27.【答案】C【解析】【解答】解:由图可知:函数fx的图象关于y轴对称,则函数fx为偶函数,且fx>0,函数在0处无意义,排除AB;

当0<x<1时,f(x)=x4−x−48.【答案】A【解析】【解答】解:设点Mx1y1,Nx2,y2,直线MN的方程为:x=my+2,

联立y2=4xx=my+2,消元整理可得y2-4my-8=0,

9.【答案】C【解析】【解答】解:连接AC,交BD于点O,连接PO,如图所示:

因为PA1=PC1=2,A1C1=22,OC=CC1=2,在平面ACC1PA1中,∠PA1C1=∠A1C1O=∠C1OC=π4,所以PA1∥OC1,PA1∥平面BDC10.【答案】B【解析】【解答】解:①、因为f(x)=cos|x|=cosx,所以函数fx最小正周期为2π,故①②、当x∈(π4,π2)时,2x∈(π2,③、f(x)=cos2x=1+cos2x2=12cos2x+12故答案为:B.【分析】化简函数f(x),确定最小正周期即可判断①;由x∈(π4,π2),判断出11.【答案】D【解析】【解答】解:因为AB=−32记|F2A→|=2m由双曲线定义和对称性可得|F1B→|=|所以AF1=4m,F1故答案为:D.【分析】记|F2A→|=2m,分别用m12.【答案】C【解析】【解答】解:易知a≠0,x>0,不等式转化为设f(x)=lnx+1x2当x∈(0,e−12当x∈(e−12,所以函数f(x)在x=e−12处取得极大值,最大值e2,又x>由题知不等式lnx+1x2≤a(x−ba)恒成立,所以y=a(x−ba)的图象恒在f(x)的图象的上方,

显然a<0不符题意;

当a>0时,ba为直线y=a(x−ba)的横截距,其最大值为f(x)此时,切线方程为y=e3(x−1e故答案为:C.【分析】将不等式化为lnx+1x2≤a(x−ba)恒成立,即y=a(x−ba)的图象恒在f(x)=lnx+1x13.【答案】-6【解析】【解答】解:约束条件x−y+2≥0,2x−y−2≤0,2x+y−2≥0,表示的可行域,如图阴影部分所示:

作出直线-3x+y=0并平移,当直线y=−3x+z经过点A(4,6)时,在y轴上的截距最小,此时目标函数z=−3x+y取最小值,最小值为zmin14.【答案】3【解析】【解答】解:因为AB=4cm,BC=2cm,AC=3cm,

所以由余弦定理可得:cosA=A又因为A∈(0,π),所以则△ABC的面积S=1故答案为:315【分析】由题意,利用余弦定理结合同角三角函数基本关系求得角A的正弦值,再利用三角形的面积公式求解即可.15.【答案】-2【解析】【解答】解:因为函数f(x)是定义域为R的奇函数,且x<0时,f(因为ln3>0,所以f(所以3−a=32,所以故答案为:−2.【分析】由题意,结合指数函数的运算性质求解即可.16.【答案】2【解析】【解答】解:如图所示:

设OO1=O2M=d,OM=在△O2MN中,2在△O1MN中,r12故答案为:2.【分析】由题意,分别在△O1MO,△17.【答案】(1)解:依题意,x=i=1(则r=i=1则r>0.(2)解:令变量y与x的线性回归方程为y=b=i=15所以,变量y关于x的回归方程为y=2.2024年,即x=6时,y=2.所以该公司2024年利润y的预报值为78(亿元).【解析】【分析】(1)根据题意,先计算平均值,再根据相关系数的计算公式代入计算判断即可;(2)根据题意,由最小二乘法的计算公式代入计算即可得到b,a,从而得到线性回归方程,再2024年利润y的预报值即可.18.【答案】(1)解:由2S当n=1时,2a1=3当n≥2时,2a整理得,an又an−1≠0,所以所以数列{a所以an(2)解:由(1)可得bn所以Tn3T两式相减得−2==(1所以Tn【解析】【分析】(1)利用an、Sn的关系可得(2)由(1)得bn=319.【答案】(1)证明:取AB,CD的中点M,N,连接ME,EN,NF,FM,如图所示:因为FN⊥DC,平面FCD⊥平面ABCD,平面FCD∩平面ABCD=CD,所以FN⊥平面ABCD,同理,EM⊥平面ABCD,所以FN∥ME,又△AEB和△CFD是等腰直角三角形,所以四边形MENF为平行四边形,所以MF∥EN,又因为AB∥CD,AB∩MF=M,CD∩NE=N,所以平面ABF∥平面CDE.(2)解:连接MN,过M作MH⊥NE于H,如图所示:因为EM⊥平面ABCD,DC⊂平面ABCD,所以DC⊥EM,因为DA⊥AB,平面ABE⊥平面ABCD,平面ABE∩平面ABCD=AB,所以DA⊥平面ABE,所以DA⊥AE,同理可得CB⊥BE,又因为AD=BC,EA=EB,所以△ADE≌△BCE因为N是DC的中点,所以DC⊥NE,又因为NE∩EM=E,所以DC⊥平面MEN,所以MH⊥DC,因为MH⊥NE,NE∩DC=N,所以MH⊥平面DCE,因为M∈平面ABF,所以MH是平面ABF与平面CDE的距离,在Rt△MEN中,易得MN=2,ME=2所以MH=ME⋅MNNE=233,即平面【解析】【分析】(1)取AB,CD的中点M,N,连接ME,EN,NF,FM,由题意,结合面面平行的判定定理证明即可;

(2)连接MN,过M作MH⊥NE于H,根据线面垂直的判断定理可得DA⊥AE,同理CB⊥BE,再推出△ADE≌△BCE,结合N是DC的中点,推出DC⊥NE,得到MH⊥平面DCE,即MH是平面ABF与平面CDE20.【答案】(1)解:由题意e=32,则故椭圆C的方程可表示为x2由点(3,12)在椭圆C上知,3即椭圆C的方程为x2(2)解:由(1)知A1(−2,0),A2(2,则直线PA1:y=m6(x+2)联立直线PA1与椭圆C方程得,故−2x1=4m联立直线PA2与椭圆C方程得,故2x2=4m取Q(1,0),则QN=(从而(x故QM∥QN,即直线MN过定点【解析】【分析】(1)根据椭圆的离心率以及点(3,12)再椭圆上列式求得a,b,从而可得椭圆的方程;

(2)由(1)可知A1(−2,0),A2(2,0)21.【答案】(1)解:函数f(x)=xlnx−ax2−2x因为f(x)在(1,+∞)上单调递增,所以x>1,f'(x)≥0恒成立,即令g(x)=lnx−1x(x>1)可知1<x<e2时,g'(x)>0,当x>e2时,g'(x)<0,故x>1时,g(x)∈(−1,1e2]所以,f(x)在(1,+∞)上单调递增时,a的取值范围是(2)解:①由(1)知,f'因为f(x)有两个极值点x1,x2,f'(x)=0即2a=lnx−1由(1)知g(x)=lnx−1x,可知0<x<e2时,g'(x)>0,当x>e2时,g'(x)<0,所以f'(x)=0即2a=lnx−1则f(x)有两个极点时,a∈(0,②由lnx1−2ax1要证明x1x2由题,lnx令t=x1x欲证明lnx1+2ln只需证明lnt−4ln2⋅t−1令h(t)=lnt−4ln2⋅t−1可知h'则φ(t)=t+4+4t−12ln2在t>4则h'(t)>0,令h(t)在t>4时单调递增,则故(t

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