湖北省2024届高三普通高中5月联合质量测评数学试卷

湖北省2024届高三普通高中5月联合质量测评数学试卷姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．以下数据为某学校参加数学竞赛10人的成绩：（单位：分）72，86，80，88，83，78，81，90，91，92，则这10个成绩的第75百分位数是（）A．90 B．89 C．88 D．88.52．在复平面内，若zi+1=2−iA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a2+aA．3 B．2 C．1 D．-14．已知某函数的部分图象如图所示，则下列函数中符合此图象的为（）A．y=xexC．y=x(ex−5．若正数a，b满足：a3+bA．13 B．14 C．26．在△ABC中，已知AB=x，BC=22，C=π4，若存在两个这样的三角形ABCA．[22,+∞) B．(0,227．在直角坐标系中，绕原点将x轴的正半轴逆时针旋转角α(0<α<π2)交单位圆于A点、顺时针旋转角β(π4<β<π2)交单位圆于A．−22 B．−17226 8．已知函数f(x)=lnx，g(x)为f(x)的反函数，若f(x)、g(x)的图像与直线y=−x交点的横坐标分别为x1，xA．x2>lnxC．x1∈(0,二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．已知集合A={1,2}，B={0,1,2A．1∈C，2∈C B．集合C可以为{1C．集合C的个数为7 D．集合C的个数为810．已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(−c,0)A．a+c=2bB．bC．E的离心率为5D．若E上的点P满足∠F211．在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，点M，N分别为面ABCD，面AA1D1D的中心.已知与点M关于平面ABA．AA1>ABC．55<cosθ<3三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)，设T为f(x)的最小正周期，若f(T413．(x−2x)6展开式中14．已知正方形PQRS的边长为22，两个点A，B（两点不重合）都在直线QS的同侧（但A，B与P在直线SQ的异侧），A，B关于直线PR对称，若PA⋅RB=0，则四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.15．已知函数f(x)=lnx，g(x)=ax−1（1）过原点作f(x)图象的切线l，求直线l的方程；（2）若∃x∈(0,+∞)，使f(x)≤g(x)成立，求16．某基层工会拟通过摸球的方式对会员发放节日红包.现在一个不透明的袋子中装有5个都标有红包金额的球，其中有2个球标注的为40元，有2个球标注的为50元，有1个球标注的为60元，除标注金额不同外，其余均相同，每位会员从袋中一次摸出1个球，连续摸2次，摸出的球上所标的红包金额之和为该会员所获得的红包总金额.（1）若每次摸出的球不放回袋中，求一个会员所获得的红包总金额不低于90元的概率；（2）若每次摸出的球放回袋中，记X为一个会员所获得的红包总金额，求X的分布列和数学期望.17．如图，AB，CD是圆锥底面圆O的两条互相垂直的直径，过CD的平面与PB交于点E，若E为PB的中点，OA=2，圆锥的体积为8π3（1）求证：CD⊥OE；（2）若圆O上的点F满足AF=125，求平面CED与平面18．已知F为抛物线Γ：y2=mx(m>0)的焦点，A，B，C是Γ上三个不同的点，直线AB，BC，AC分别与x轴交于F，D，E，其中（1）求Γ的标准方程；（2）△ABC的重心G位于x轴上，且D，G，E的横坐标分别为d，g，e，3219．数列{an}满足a（1）证明：任意一个正项等比数列均为下凸数列；（2）设cn=dn+en，其中{dn}，（3）若正项下凸数列的前n项和为Sn，且Sn≤1

答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】解：从小到大排序这10个数据为72，78，80，81，83，86，88，90，91，92，因为10×75%=7.故选：A.【分析】由百分位数定义即可.2．【答案】D【解析】【解答】解：zi+1=2−i1+2i=(2−i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)故答案为：D.【分析】由复数的四则运算可得z=1−i，结合复数的几何意义即可得解.3．【答案】B【解析】【解答】解：设{an}的公差为d，由a2+a4由S8=−12，可得8a1+28d=−12，即2故答案为：B.【分析】利用等差数列的性质与前n项和公式，列方程组求出首项和公差即可.4．【答案】A【解析】【解答】解：设题设函数为f(x)，由选项可知：ABCD中的函数定义域均为R，

B、若f(x)=xcosx，则f(πC、若f(x)=x(ex−D、因为图象过原点，故D错误.故答案为：A.【分析】根据图象，将选项代特值检验即可.5．【答案】B【解析】【解答】解：因为a，b为正数，所以a3因为a3+b所以1≥2a，所以a≤14，当且仅当a=故答案为：B.【分析】根据条件等式及基本不等式即可得解.6．【答案】C【解析】【解答】解：因为存在两个这样的三角形ABC，所以BCsinπ4<AB<22故答案为：C.【分析】AB=BCsinC=2时只有一个这样的三角形，要有两个解必须有7．【答案】B【解析】【解答】解：因为A点的纵坐标为1213，所以sinα=1213，cosα=而S△AOB=12×1×1×sin(α+β)=24，可得sinsinβ=sin(3π4所以B的纵坐标是−17故答案为：B.【分析】利用三角函数的定义可求出sinα,cosα，由三角形面积公式求出sin(α+β)8．【答案】D【解析】【解答】解：A、由题意得x1+lnx1=0令h(x)=x+lnx，在(0,则h(x1)=h(exB、由ex2+C、h(12)=又因为h(x)=x+lnx在(0,+∞)上单调递增，由零点存在性定理得D、x1−x2=因为12<x1<1，所以r所以r(1)<r(x1)<r(12故答案为：D.【分析】构造函数h(x)=x+lnx，可得h(x1)=h(9．【答案】A,C【解析】【解答】解：由A⊂≠C，A={1,2}得C中必含元素1和2且比元素个数大于2，故A正确，B错误；

满足题意的C集合有{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，0}，{1，2，3，4}，{1，2，3，0}，{1，2，0，4}，{1，2，3，4，0}共7个，故C正确，D错误；

10．【答案】B,C,D【解析】【解答】解：已知如图所示：

A、由b2=ac得a，b，c为等比数列，若A成立，则a,b,c为等差数列，即aC选项：因为b2=a2−方程两边同除以a2得，e2+e−1=0故离心率为e=5D选项：由椭圆定义得|PF1|+|PF2因为∠F2P两式相减得3|PF所以S△PF1又b2=ac，且所以ab+bc2所以S△AB故选：BCD.【分析】由斜率之积为-1可得B正确；由B和椭圆的性质可得A错误；由a,11．【答案】B,C【解析】【解答】解：A、不妨设AB=AD=1，AA1=x(x>0)，分别取棱AB，CD，C1D1，A1B1的中点为易知M，P，Q，R，S五点共面，且M为线段PQ的中点.因为M∈平面PQRS，且平面PQRS∩平面ABC又AB⊥平面BCC1B1，AB⊂平面ABC又平面PQRS//平面BCC1B1，所以平面所以点M关于平面ABC1D1对称的点，即为与点M关于直线当x=1时，M1即为棱PS当x>1时，∠MPR>45°，由对称性，∠MPM1>90°，此时M1在矩形当0<x<1时，∠MPR<45°，由对称性，∠MPM且由平面几何知识易得M1在△PRS内，所以M综上，0<x<1，所以AAB、已知如图所示：

A1C=C、已知如图所示：

正四棱柱ABCD−A1B1C1CN与平面BB1C1C所成角θCD⊥平面AA1D1D，则∠CND所以θ=∠CND.所以在Rt△CND中，cosθ=DN因为0<x<1，5<x2+5<6，16<所以55D、AD//BC，∠NCB（或补角）为直线AD与CN所成的角，BN=AB2+A等腰△NCB中，取BC的中点为N2，sinγ=因为0<x<1，5<x2+5<6，1所以255<sinγ<故答案为：BC.【分析】设AB=AD=1，AA1=x>0，分别取棱AB，CD，C1D1，A1B1的中点为P，Q，R，S，则点M关于平面ABC1D1对称的点即点M关于直线PR对称的点，记为M1，再分x=1、x>1、0<x<1三种情况讨论，从而确定M1的位置，即可得到x的范围，即可判断A、B；根据正四棱柱的性质可知∠CND12．【答案】π【解析】【解答】解：f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)，f(T4)=sin(ω×2π4ω+φ)=2故答案为：π4【分析】由T=2πω，代入解析式，结合0<φ<π，即可得13．【答案】30【解析】【解答】解：(x−2x)令6−2r=2，r=2，T3故答案为：30.【分析】利用二项式展开式的通项公式，即可得解.14．【答案】(2【解析】【解答】解：以PR为x轴，QS为y轴建立坐标系，如图所示：

P(−2,0)，R(2,0)，S(0设A(x,y)(x>0)，B(x,−y)，则因为PA⋅RB=0，所以(x+2)(x−2)−y2=0，即A位于双曲线直线y=x与直线PS：x−y+2=0的距离为2，即A点到直线PS的距离的取值范围是(2又因为PS=22，所以△PAS面积的范围是(2因为A,B不重合，所以A,故答案为：(2,【分析】建系，由PA⋅RB=0求出A点的轨迹方程，进而求A点到直线PS15．【答案】（1）解：f设切点坐标为(t,lnt)，则切线方程为因为切线经过原点O，所以−lnt=1t(−t)所以切线的斜率为1e，所以l的方程为x−ey=0（2）解：∃x∈(0,+∞)，f(x)≤g(x)，即则得a≥x(lnx+1)在(0,故有x∈(0,+∞)时，令h(x)=x(lnx+1)，x>0，h'令h'(x)>0得x∈(1e故h(x)在(0,1e所以h(x)则a≥−1e2，故a【解析】【分析】（1）设切点，求导，写出切线方程，代入原点，即可求出切线方程；（2）将已知条件转化为a≥x(lnx+1)在(0,+∞)上有解，只需求h(x)=x(lnx+1)在16．【答案】（1）解：设事件A=“一个会员所获得的红包总金额不低于90元”，因为每次摸出的球不放回袋中，所以P(A)=1−C（2）解：由已知得，X=80,因为每次摸出的球放回袋中，所以每次摸出40元、50元和60元红包的概率分别为25，25，所以P(X=80)=(25P(X=100)=(P(X=110)=A22所以得分布列为X8090100110120P48841所以E(X)=80×4【解析】【分析】（1）利用正难则反的思想即可得解；（2）求出分布列，再利用期望公式即可得解.17．【答案】（1）证明：因为AB，CD是圆锥底面圆O的两条互相垂直的直径，所以CD⊥AB，PO⊥底面圆O，而CD⊂底面圆O，则CD⊥PO，PO∩AB=O，PO，AB⊂平面PAB，所以CD⊥平面PAB，因为OE⊂平面PAB，所以CD⊥OE.（2）解：因为OA=2，圆锥的体积为8π3，所以13π×因为OP=OB=2，E为PB的中点，所以PB⊥OE，因为CD⊥平面PAB，PB⊂平面PAB，所以CD⊥PB，因为CD∩OE=O，CD,OE⊂平面CED，所以PB⊥平面即平面CED的法向量为PB，显然OD⊥OB，又PO⊥底面圆O，OD,OB⊂底面圆所以PO⊥OD,所以OD，OB，OP两两垂直，以O为原点，分别以直线OD，OB，OP为x，y，z轴建立空间直角坐标系Oxyz如图所示：D(2,0,0)，E(0,1,点F在圆O上，则AF⊥BF，如图所示：在Rt△ABF中，cos∠BAF=AFAB过F作y轴的垂线，垂足为H，有HA=AFcos∠BAF=3625，HF=AFsin所以DF=(−225,−设平面DEF的法向量为n=(x,y令y=−1，则x=7,z=15，所以设平面CED与平面DEF的夹角为θ，则cosθ=|所以平面CED与平面DEF夹角的余弦值为822【解析】【分析】（1）证得CD⊥平面PAB，即可得CD⊥OE；（2）以O为原点，建立空间直角坐标系，用向量法即可求出两个平面夹角的余弦.18．【答案】（1）解：已知如图所示：

因为直线AB通过抛物线Γ的焦点F，所以线段AB为抛物线Γ的焦点弦，如图，设A(x1,y1)，由抛物线的定义可得|AB|=x由平面几何的性质得当且仅当AB⊥x轴时，|AB|取得最小值为m，所以m=4，所以抛物线Γ的标准方程为y2（2）解：32g−d−e为定值1，理由如下，已知如图所示：

依题知直线AB的倾斜角不为0，则设直线AB的方程为x=ky+1设A(x1,y1由x=ky+1y2=4x，得y因为△ABC的重心G位于x轴上，所以