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文档简介
广东省深圳市2024届高三下学期三模数学试题姓名:__________班级:__________考号:__________题号一二三四总分评分一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U={1,2,A.∅ B.{4} C.{5} D.{1,2}2.若复数z的实部大于0,且z(z+1)=A.1-2i B.-1-2i C.-1+2i D.1+2i3.已知向量e1,e2是平面上两个不共线的单位向量,且AB=A.A、B、C三点共线 B.A、B、D三点共线C.A、C、D三点共线 D.B、C、D三点共线4.已知数列{an}满足:a1=A.10 B.40 C.100 D.1035.如图,已知长方体ABCD−A1B1C1DA.724V B.717V C.6.已知椭圆E:x2a2A.12 B.22 C.637.某羽毛球俱乐部,安排男女选手各6名参加三场双打表演赛(一场为男双,一场为女双,一场为男女混双),每名选手只参加1场表演赛,则所有不同的安排方法有()A.2025种 B.4050种 C.8100种 D.16200种8.设函数f(x)=sinx+3cosx+1.若实数A.-1 B.0 C.1 D.±1二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.平行六面体中,各个表面的直角个数之和可能为()A.0 B.4 C.8 D.1610.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)+t(ω>0,−π2<φ<π2A.ω=π B.ω=53π C.f(9)=111.如图,三棱台ABC−A1B1C1的底面ABC为锐角三角形,点D,H,E分别为棱AA1A.该三棱台的体积最小值为74 B.C.VE−ADH三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.写出函数f(x)=x2−13.两个连续随机变量X,Y满足X+2Y=3,且X~N(3,14.双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1,F2,以实轴为直径作圆O,过圆O上一点E作圆O四、解答题:本题共5小题,第15小题13分,第16、17小题15分,第18、19小题17分,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.数列{an}中,a1=1(1)求数列{a(2)数列{bn}的前n项和为Sn,且满足bn16.如图,一个质点在随机外力的作用下,从数轴点1的位置出发,每隔向左或向右移动一个单位,设每次向右移动的概率为p(0<p<1).(1)当p=(2)记3s后质点的位置对应的数为X,若随机变量X的期望E(X)>0,求p的取值范围.17.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,PA=PB=5,点M在PD上,点N为BC的中点,且PB//平面MAC.(1)证明:CM//平面PAN,(2)若PC=3,求平面PAN与平面MAC夹角的余弦值.18.已知双曲线C1:x2−y2b2=1经过椭圆C2:x2a(1)求C1,C(2)设P为C1上一点,且在第一象限内,若直线PF1与C2交于A,B两点,直线PF2与C2交于C,D两点,设AB,CD的中点分别为M,N,记直线MN19.英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式:当f(x)在x=0处的n(n∈N∗)阶导数都存在时,f(x)=f(1)根据该公式估算sin1(2)由该公式可得:cosx=1−x22!+x4(3)设n∈N∗
答案解析部分1.【答案】C【解析】【解答】解:如图,画出Venn图,M∩N={1,故答案为:C.【分析】由Venn图即可得解.2.【答案】D【解析】【解答】解:设z=a+bi,由z(z+1)=203+i,得a2+b2故答案为:D.【分析】设z=a+bi,a>0,3.【答案】C【解析】【解答】解:A、因为AB=e1+2e2,BC=−3e1+2eB、因为AB=e1+2e2,DA=3e1−6eC、AC=AB+BC=−2e1+4e2,D、因为BC=−3e1+2e2,BD=−DA−AB=故答案为:C.【分析】根据向量共线定理判断即可.4.【答案】D【解析】【解答】解:设数列{nan}的公差为d,则d=3a9故答案为:D.【分析】设数列{nan}的公差为d,根据等差数列的性质求得5.【答案】A【解析】【解答】解:取DD1的中点F,连接EF,易知EF//DC1//AB1设长方体的长、宽、高分别为a、b、c,则V=abc.平面ABVF−A故答案为:A.【分析】根据题意,先求平面AB1E与DD16.【答案】B【解析】【解答】解:如图,
设A(x1,y1),B(由题意可知,AB中点M是直线l与y=−1由y=x−a2−由x2a2易知Δ>0,由韦达定理得x1+x所以a2=2(a故答案为:B.【分析】AB中点M是直线l与直线y=−12x的交点,求出M(237.【答案】B【解析】【解答】解:先考虑两对混双的组合有2C余下4名男选手和4名女选手各有3种不同的配对方法组成两对男双组合,两对女双组合,故共有2C故答案为:B.【分析】根据已知条件,根据分步乘法计数原理计算即可.8.【答案】C【解析】【解答】解:f(x)=sinx+3即2asin(x+π2(a+bcosφ)所以a+bcosφ=0bsinφ=0a+b−1=0,显然b≠0,则sinφ=0,若cosφ=1则所以cosφ=−1,解得a=b=12故答案为:C.【分析】利用辅助角公式化简函数f(9.【答案】A,C,D【解析】【解答】解:因为平行六面体的各个面都是平行四边形,且相对的平行四边形全等,所以六个平行四边形中的矩形个数可能为0,2,故答案为:ACD.【分析】根据平行六面体的性质判断即可.10.【答案】B,C【解析】【解答】解:因为-π2<φ<π2,f(0)=2sinφ+t=1,所以t∈(1−2当t=0时,sinφ=22,−π2<φ<π2,故φ=π34ω+π4=kπ故T=2πω≥1,ω≤2π,故ω=π当x∈(4,当t=1时,sinφ=0,−π2sin(34ω)=−ω=83kπ+5π3,k∈N或ω=83kπ+7π3,k∈N故答案为:BC.【分析】根据已知条件,确定t∈(1−2,2],t∈Z,故t=0或t=1,当t=0时,不满足单调性,排除;当11.【答案】B,D【解析】【解答】解:A、由AC+AB=4,BC=2,可知点A的轨迹为椭圆,如图所示:椭圆方程为x24+y2又因为△ABC为锐角三角形,所以0°<∠ABC<90°且0°<∠ACB<90°,所以32<|y所以(S△ABC)max=设S=S△A'B'C因为该三棱台的体积最大值为736,Smax因为S,BD、侧面BCC如图,以H为原点,建立空间直角坐标系,如图所示:则H(0,设A(x,y,0),则A1所以HD=9由于|x|∈[0,1),h∈(0,2],所以同理EH=116[C、将三棱台补成三棱锥P−ABC,如图所示:设点C到平面PAH的距离为d,则VABC−又VE−ADH=12V【分析】根据题意可知点A的轨迹为椭圆,由椭圆的几何性质从而可确定A的坐标范围,设三棱台的高为h,由三棱台的体积最大值确定h的范围,可判断A;建立空间直角坐标系,利用两点之间的距离公式求出DH,12.【答案】y=x−2【解析】【解答】解:函数f(x)=x2−xe取定义域内的一点(2,f(2))作为切点,则切线的斜率为k=f则切线的方程为:y−1+2e+ln2=故答案为:y=x−2【分析】先求定义域,根据导数的几何意义结合导数运算求导函数,取定义域内的一点作切点,求斜率与切点坐标,利用点斜式写切线方程即可.13.【答案】0.86【解析】【解答】解:因为X+2Y=3,所以X+1=4−2Y,因为P(X+1≤0)=0.14,所以P(4−2Y≤0)=0又因为Y=−12X+32,所以E(Y)=−所以P(Y+2>0)=P(Y>−2)=1−P(Y<−2)=1−P(Y>2)=1−0.故答案为:0.86.【分析】根据期望和方差的性质可得Y∼N(0,14.【答案】2或2【解析】【解答】解:设AF1与OB的交点为tan∠BOF2=b在△BOF2中,设|OB|=x,又|BF2|=c,由余弦定理可得cos在△BOE中,cos∠BOE=|OE||OB|=a焦点到渐近线的距离为b,即|F1H|=b,又|OF1|=c,故|OH|=c2−显然△AHO≅△AEO,则∠AOH=∠EOA,又∠AOH+∠EOA+∠BOE=π,又∠BOE=π所以∠AOH=π3,根据对称性,∠BOy=1所以O,E,F2显然有ba=tan同理,当一条渐近线斜率大于0小于1时,E必为(0,此时有一条渐近线的倾斜角为π6,e=故答案为:2或23【分析】根据几何关系证明点E的位置,再结合离心率计算公式,即可得解.15.【答案】(1)解:因为an+2+a所以数列{an+1−an则an+1==⋅⋅⋅=a(2)解:由(1)问知,an=(2n−1)又bnbn+1<0,则bn+1bn+2<0,两式相乘得因为b1b2<0,所以当b1当n为奇数时,Snn为偶数时,Sn当b1=−1时,b2当n为奇数时,Snn为偶数时,Sn综上,在b1=1时,Sn=(−1)【解析】【分析】(1)由题意可得:an+2−an+1=(2)由(1)可得bn=±(2n−1),由bnbn+1<0,得到16.【答案】(1)解:后5s质点移动到点O的位置,则质点向左移动了3次,向右移动了2次,所求概率为C5(2)解:X可能的取值为−2,P(X=−2)=CP(X=0)=CP(X=2)=CP(X=4)=C由E(X)=−2(1−p)又因为0<p<1,所以p的取值范围为13【解析】【分析】(1)利用独立重复实验的概率求解即可;(2)写出随机变量的所有可能值,利用期望大于0解不等式即可.17.【答案】(1)解:连接BD交AC与点O,连接OM,平面PBD与平面MAC的交线为OM,因为PB//平面MAC,PB⊂平面PBD,所以PB又因为O为BD的中点,所以点M为PD的中点,取PA的中点E,连接EM,EN,可得EM//又因为N为BC的中点,所以CN//AD且所以EM//CN且EM=CN,所以四边形EMCN为平行四边形,所以CM⊄平面PAN,EN⊂平面PAN,所以CM//平面PAN(2)解:取AB的中点S,连结PS,因为PA=PB=5,可得PS⊥AB,且PS=又因为SC=BC2所以PC2=P又因为AB∩SC=S,且AB,SC⊂平面ABCD,所以PS⊥平面以S为坐标原点,建立空间直角坐标系,如图所示:
A(−1,因为M为PD的中点,N为BC的中点,所以M(−1AP=(1设m=(x1,y令x=2,可得m=(2设n=(x2,y令x=2,可得n=(2设平面PAN与平面MAC的夹角为θ,则cosθ=|即平面PAN与平面MAC的夹角的余弦值为1121【解析】【分析】(1)连接BD交AC与点O,根据题意证得四边形EMCN为平行四边形,可得CM//(2)取AB的中点S,证得PS⊥平面ABCD,建立空间直角坐标系,分别求出平面PAN和平面MAC的法向量,结合向量的夹角公式,即可得解.18.【答案】(1)解:依题意可得a2−1=1,得由e1e2=6故C1的方程为x2−y2(2)解:易知F1(−1设P(x0,y0),直线P则k1=y0x0在C1:x可得k1设直线PF1的方程为:y=可得(2k设A(x1,y1可求得M(−2设直线PF2的方程为:y=k2同理可得N(2则k=−=−由k1k2点P在第一象限内,故k2k=−当且仅当24k1+而k1即当k取最小值时,k1+k可解得k1故PF1的方程为:y=(3−1)(x+1),联立可解得x=3y=2,即有另外可以分别设直线方程x=t1y−1此时:M(−2t12k=−也可以直接通过P(x此时:M(−2yk=−【解析】【分析】本题考查椭圆的简单几何性质,双曲线的简单几何性质,直线与椭圆的位置关系,直线与双曲线的位置关系.
(1)根据双曲线的关系式可得:a2−1=1,利用椭圆和双曲线的离心率公式可得:e12e(2)设直线PF1,PF2的斜率分别为k1,k2,利用斜率公式可求出k1k2=2,设直线PF19.【答案】(1)解:令f(x)=sinx,则f'(x)=cos故f(0)=0,f'(0)=
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