2025届湖南省衡阳市衡阳县高三一模数学试题

届湖南省衡阳市衡阳县高三一模数学试题姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={y|y=lg(x2−x−2)}A．(−1,2) B．[32,+∞) 2．复数z满足z+z=|z|，则A．32 B．−32 C．13．已知古典概型的样本空间Ω={1,2,3,4,5,6}，“事件A={1,2}”，则命题“事件B=Ω”是命题“事件A与事件A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件4．已知α,β∈(0,π2)，sin(α+β)=5A．π3 B．π4 C．π65．(x2−A．30 B．−30 C．60 D．−606．某城市随机选取n个人参加活动，假设该城市人口年龄分布均匀，要使得参加该活动有人生肖相同的概率大于50%A．3 B．4 C．5 D．67．已知双曲线C:x2a2−y2b2=1，两焦点分别为F1，F2，过右焦点F2A．32 B．53 C．758．平面直角坐标系xOy中，若过点Ak(kπ2,0)，k∈Z作斜率不为0的直线lk，使得lk与正弦曲线y=sinx的交点中，存在点Pk，Qk满足PA．k为偶数时，存在“平均割线”B．若存在“平均割线”lk，则lC．若存在“平均割线”lkD．若存在“平均割线”lk，则所有“平衡点”Pk,j(xk,j二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．已知一组样本数据：−1,5,a,b.其中a≤0，b≥0，将该组数据排列，下列关于该组数据结论正确的是（）A．序列不可能既是等比数列又是等差数列B．若成等比数列，a和b有3组可能取值C．若成等差数列，a和b有3组可能取值D．若该数据平均数是1，则方差最小值为2110．按指对数运算律定义两个函数f(x)=xx(x∈A．f(x)在定义域上单调递增B．g(x)在定义域上单调递减C．3D．若存在f(x111．∀x，y∈R，非常数函数f(x)都有f(x+y)+f(x)f(y)=f(xy+1)，则下列结论正确的是（）A．f(0)=−1B．若f(2)≠1，f(x)是偶函数C．若f(2)=f(−2)=1，则f(2k+1)=0(k∈Z)D．f(2)的值不可能是3三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．已知三角形ABC中，E，F是AC上中线BD的三等分点满足DE=EF=FB，记DF=xAB+yCE13．函数f(x)=6sin2x+214．已知由系列圆构成的点集为C={(x,y)|(x−①图形内部空白区域的面积最小值为π②图形到原点的最小距离为1③φ=π2时，图形关于直线④φ=π2其中正确的有.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．如图所示，在三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=AC，侧面BCC1B1⊥（1）求证：EF//平面ABB（2）若AA1=BC=AB，且平面ABC⊥平面AEF16．已知函数f(x)=（1）若f(x)在x=π处的切线方程为2x+y+2π(ln2π−1)=0，求a、（2）若b=1时，在(−1,π2]上f(x)≥017．如图，已知点F1、F2分别是椭圆E:x22+y2=1的左、右焦点，点D是负半轴上的一点，|DO|=2，过点D（1）求△ABF（2）设直线PA的斜率为k1和直线PB的斜率为k2，椭圆E上是否存在点P，使得k1⋅k18．学校教学楼的每两层楼之间的上下楼梯有15个台阶，从下至上记台阶所在位置为1−15，同学甲在上楼的过程中，每一步等可能地跨1或2个台阶（位置+1或+2）.（1）记甲迈3步后所在的位置为X，写出X的分布列和期望值.（2）求甲6步内到过位置8的概率；（3）求10步之内同时到过位置10和12的有多少种走法，及发生的概率.19．某次生日会上，餐桌上有一个披萨饼，小华同学准备用刀切的方式分给在座的15位小伙伴，由此思考一个数学问题：假设披萨近似可看成平面上的一个圆，第k条切痕看作直线lk，设切n下，最多能切出的块数为bn，如图易知b1（1）试写出b3，b4，作出对应简图，并指出要将披萨分给在座的（2）这是一个平面几何问题，利用“降维打击”思想，联想到一条线段被切n下能划分成n+1段，由此求出数列{b（3）若将披萨换成一个蛋糕（近似看成空间中的一个圆柱体），同样用刀切方式分蛋糕，可以从上下底面和侧面各方向切入，每次切面都看作一个平面.若切n下，最多能切出的块数为cn，求出{cn}的通项公式，并指出这时最多需要切几下能分给

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】解：令t=x2−x−2>0，解得x>2或x<−1，t∈(0,+∞)⇒y=lgt⇒y∈R，y=(x−12)2+74，因为(x−12)2+74故答案为：D.【分析】由题意，根据对数型函数求值域得集合A；根据二次函数求得函数定义域得集合B，再根据集合的交集运算求解即可.2．【答案】C【解析】【解答】解：设复数z=a+bi，a，b∈R，则由z+z=2a=|z|=a则z|z|=aa2故答案为：C.【分析】设复数z=a+bi，a，b∈3．【答案】A【解析】【解答】解：样本空间Ω={1,2,3,4,5,6}中事件B包含样本点个数可能为B=1，2，3，4，5，6其对应的概率P(B)可能值分别为16，13，12，23，56事件A与事件B相互独立⇔P(AB)=P(A)P(B)，B=Ω，则P(B)=1，P(AB)=即“事件B=Ω”是命题“事件A与事件B若B=1,3,4，则P(B)=12，P(AB)=所以事件A与事件B相互独立，所以命题“事件B=Ω”不是命题“事件A与事件B故命题“事件B=Ω”是命题“事件A与事件B故答案为：A.【分析】由题意，根据相互独立事件的定义事件A与事件B相互独立判断即可.4．【答案】C【解析】【解答】解：因为sin(α+β)=56，所以sinα⋅cosβ+cosα⋅sinβ联立解得sinα⋅cosβ=又因为α，β∈(0,π2)，所以α−β∈(−故答案为：C.【分析】由题意，根据两角和的正弦公式以及同角三角函数基本关系化简求得sinαcosβ,cosα5．【答案】D【解析】【解答】解：(x2−当r=1时，T故(x2−1x故答案为：D.【分析】由题意，写出(x6．【答案】C【解析】【解答】解：将12个生肖，按先后顺序选择n个人，每次选中的人有12种等概率可能，由分步乘法原理共有12n种情况；若选取n个人中生肖均不相同，有A12n(n≤12)种可能，故选取n个人中生肖均不相同概率P(n)=A由于PnPn+1P(4)=A124124故答案为：C.【分析】由题意，利用分步计数原理及排列，先求得选取n个人中生肖均不相同概率P(n)=A12n7．【答案】C【解析】【解答】解：因为AB→=53AF2由双曲线定义可得：|AF1|=|A在△ABF1中，∠F即(3t+2a)2整理得15t2−6at=0，解得t=则|AF1|=3t+2a=3×故在△AF1F即(165a)2+故答案为：C.【分析】由AB→=53AF2→，令|AF8．【答案】A,C【解析】【解答】解：A、当k=2n，n∈Z时，A2n(nπ,0)，设直线L的方程为y=m(x−nπ)（联立y=m(x−nπ)y=sinx，化简可得sinx=m(x−nπ)，令当x=nπ时，f(nπ)=sin(nπ)−m(nπ−nπ)=0，根据函数的连续性，一定存在x1≠nπ使得B、设k=0时，A0(0,0)，设直线L的方程为y=mx（m≠0），联立y=mxy=对于不同的m值，都能找到满足条件的直线L，所以L不唯一，故B错误；C、设直线L的方程为y=m(x−kπ2)，设交点P(x1因为P是线段AkQ的中点，根据中点坐标公式x1又因为y1=sinx1设“平衡点”Pk(xk,D、设直线L的方程为y=m(x−kπ2)，设交点P(联立y=m(x−kπ2)y=sinx，因为P是线段又因为y1=sinx1，y2=sinx故答案为诶：AC.

【分析】由题意，根据“平均割线”和“平衡点”的定义逐项分析，我通过假设存在“平均割线”，设出直线方程，联立直线与正弦曲线方程求解交点，再根据条件逐项判断即可.9．【答案】A,B【解析】【解答】解：A、若−1,5,a,b为等比数列，则等比数列的公比小于0，正负交替，与等差数列具有单调性相互矛盾，故不可能既是等比数列又是等差数列，故A正确；B、若排列后成等比数列，设公比绝对值大于1有：①公比为−5，数列为a，b，−1，5⇒a=−125，数列为−1，5，a，b⇒a=−25，b=125.②公比为3−5，数列为−1，b，a，5⇒a=−325公比绝对值小于1，对应同解，故a，b有3组可能取值，故B正确；C、由a≤0，b≥0，若−1，5，a，b若排序后成等差数列，设公差大于0有：①公差d=6，数列为a，−1，5，b⇒a=−7，b=11；②公差d=3，数列为−1，a，5，b⇒a=2，b=8不符；③公差d=2，数列为−1，a，b，5⇒a=1，b=3不符；公差小于0，对应上述倒序排列，同解，故a，b有1组可能取值，故C错误；D、数据平均数是1，x=方差DX故答案为：AB.【分析】由题意，根据等差数列和等比数列的定义逐项判断即可，注意数据的顺序可以打乱.10．【答案】B,C,D【解析】【解答】解：A、函数f(x)=xx=当x∈(0,1e)时，f当x∈(1e,+∞)B、g(x)=logx2x=C、f(x)min=f(1e由(54)D、由f(x1)=f(x2故f(x令F(x)=xlnx−(2e−x)F'又ex2−ex≤ex+2−ex22故0<ex2−ex<1，故F'(x)<0，故故F(x)>F(1e)=0而f(x)在(1e,+∞)故答案为：BCD.【分析】由题意，根据指对数运算将原函数变形后即可判断AB；利用估值即可判断C；构建新函数F(x)=xlnx−(211．【答案】A,B,C【解析】【解答】解：∀x，y∈R，非常数函数f(x)都有f(x+y)+f(x)f(y)=f(xy+1)①，A、令y=0，则f(x)+f(x)f(0)=f(1)，即f(x)(1+f(0))=f(1)（*），若f(0)+1≠0，则f(x)=f(1)1+f(0)为常数，与题意矛盾，即B、由A可得f(0)+1=0,代入（*），可得f(1)=0，在①式中，取y=−1，有f(x−1)+f(x)f(−1)=f(−x+1)②，再取x=2，有f(1)+f(2)f(−1)=f(−1)，可得f(−1)[f(2)−1]=0，则有f(2)=1或f(−1)=0.因f(2)≠1，故f(−1)=0，代入②式，可得f(x−1)=f(−x+1)，用x+1替换x，即得f(x)=f(−x)，故f(x)为偶函数，故B正确；C、若f(2)=f(−2)=1，在①式中取x=y=−1，可得f(−2)+f2(−1)=f(2),则有f(−1)=0在①式中，取y=2，有f(x+2)+f(x)f(2)=f(2x+1)，即f(x+2)+f(x)=f(2x+1)③，再取y=−2，有f(x−2)+f(x)f(−2)=f(1−2x),即f(x−2)+f(x)=f(2x−1)，用x+1替换x，即得f(x−1)+f(x+1)=f(2x+1)④，由③④，易得f(x+2)+f(x)=f(x−1)+f(x+1)，即f(x+2)=f(x+1)−f(x)+f(x−1)，由上已得f(−1)=0，f(0)=−1，f(1)=0，f(2)=1，依次代入，可得f(1)=f(3)=f(5)=⋯=f(2k+1)=0，(k∈Z)，故C正确；D、取f(x)=x2−1而f(xy+1)=(xy+1)2−1=x2此时f(2)=3，故D错误.故答案为：ABC.【分析】只需赋值y=0推理即得f(0)=−1即可判断A；先推得f(1)=0，再分别赋值y=−1和x=2，推得f(−1)=0，用x+1替换x，推得f(x)=f(−x)即可判断B；结合条件f(2)=f(−2)=1，赋值x=y=−1，推得f(x)为偶函数，继续分别赋值y=2和y=−2，推出f(x+2)=f(x+1)−f(x)+f(x−1)，即可验证得到结论判断C；构造函数f(x)=x2−112．【答案】1【解析】【解答】解：如图所示：

E，F是AC上中线BD的三等分点满足DE=EF=FB，

DF→=23DB→=23(AB13．【答案】[−【解析】【解答】解：函数f(x)=6sin2x+2sinxf(−x)=6所以f(x+2π)+f−x则函数f(x)周期T=2π，且关于点(π,0)对称，故只要考虑[0,π]的值域，f=设x1，x2∈(0,π)，满足cos可知x1<x2，x∈(0,x1)x∈(x1,x2)，由x1∈(0,π)且cosx由cosx2=−f(x1)>f(fmax(x)=f(x1)，fmin(x)=−f(x1故答案为：[−5【分析】由题意，先求函数的周期及对称中心，把研究范围缩小到[0,π]的值域，再利用导函数研究函数的单调性，结合周期的性质得出到[0,2π]的值域，据此求解即可．14．【答案】①②③【解析】【解答】解：①、易知点集C是以(cosθ,sinθ)为圆心，2为半径的圆，如图1所示：当φ≥2π时，内部空白区域是以(0,0)为圆心，1为径的圆，此时空白区域面积最小，即内部空白区域的面积最小值为π，故①正确；②、因为图形上点(x,y)到原点距离为r=x由构成该图形的动圆Oi中，圆心到原点距离|OOi故每个圆到原点最小距离均为2−1=1，故图形到原点的最小距离为1，故②正确；③、当φ=π2时，设点P(x0,则点P'(y0,x0)与点代入(y即点P'(y0,x0)也在④、φ=π2时，如图2所示：

内边界的长度AB其中CE为14圆，半径为2−1=1BC、EF为14圆半径为2外边界DH而由AB=DE，AF=CD，DH+CD+DG为半圆CG半径为2，GH为14CE为14圆，半径为2−1=1故内外边界和为π2⋅1+2⋅π故答案为：①②③.【分析】由题知当φ≥2π时，内部空白区域是以(0,0)为圆心，1为径的圆，即可求解判断①；利用圆的几何性，即可求解判断②；设点P(x0,y0)，存在参数θ1满足(x0−cos15．【答案】（1）证明：取A1B1的中点G，连接BG，FG在△A1B1C1中，因F是在三棱柱ABC−A1B1C又E为棱BC的中点，故得FG//BE，且FG=BE，故得▱BEFG，则EF//BG，又因为BG⊂平面ABB1A，EF⊄所以EF//平面ABB（2）解：由题意，三棱柱中所有棱长都相等，则△ABC与△A如图，取B1C1上的四等分点H取B1C1的中点M则HF//MA1，易知EM//BB1//A则有MA1//EA，故有HF//EA,因平面BCC1B1⊥平面ABC且平面BCC1B1∩平面AEF=HE,可得HE⊥建立以E为原点，EC，EA，EH所在直线分别为x，y，z轴的空间直角坐标系，如图所示：

不妨取CE=2，则CC1=BC=4，由则有C1(1,0,15)，则CC设平面AA1C则n⃗取z=1，可得x=15，y=故n=(15,因HE⊥平面ABC，故m=(0,0,1)为底面ABC则cos⟨设二面角B−AC−C1的平面角为θ，由图知二面角故二面角B−AC−C1的余弦值为【解析】【分析】（1）取A1B1的中点G，连接BG，FG（2）取B1C1上的四等分点H，满足B1H=3C1H，取B1C1的中点M，连接A1M,EM（1）如图，取A1B1的中点G，连接BG，在△A1B1C1中，因F是在三棱柱ABC−A1B1C又E为棱BC的中点，故得FG//BE，且FG=BE，故得▱BEFG，则有EF//BG，又因为BG⊂平面ABB1A，EF⊄所以EF//平面ABB（2）由题意，三棱柱中所有棱长都相等，则△ABC与△A1如图，取B1C1上的四等分点H取B1C1的中点M则HF//MA1，易知EM//BB1//A则有MA1//EA，故有HF//EA,因平面BCC1B1⊥平面ABC且平面BCC1B1∩平面AEF=HE,可得HE⊥故可建立以E为原点，EC，EA，EH所在直线分别为x，y，z轴的空间直角坐标系.不妨取CE=2，则CC1=BC=4，由则有C1(1,0,15)，则CC设平面AA1C则n⃗取z=1，可得x=15，y=故n=(15,因HE⊥平面ABC，故m=(0,0,1)为底面ABC则cos⟨设二面角B−AC−C1的平面角为θ，由图知二面角故二面角B−AC−C1的余弦值为16．【答案】（1）解：函数f(x)=sinx−aln(b+x)定义域为因为f(x)在x=π处的切线方程为2x+y+2π(ln2π−1)=0，所以f'(π)=cosπ−a又因为f(π)=sinπ−aln故a=2π，b=π；（2）解：f(0)=sin若(−1,π2]上f(x)≥0故f(0)是f(x)在(−1,π2]f'(x)=cosx−a下证a=1时，f(x)令g(x)=(1+x)cosx−1，①在(0,π2]上g'(x)由零点存在定理，∃x0∈(0,在(0,x0]上，g在[x0,π2g(π2)=−1，g(0)=0由零点存在定理∃x1∈(在(x0,x1在(x1,π2所以(0,π2]上，f(0)=0，f(②在(−1,0]上，f'f'(x)≤f'(0)=0综上，只有当a=1时，在(−1,π2]上f【解析】【分析】（1）由题意，易知f(x)在x=π处的切线方程的斜率k=−2，再根据导数的几何意义，结合点(π,f(π))在切线上，求解即可；（2）由题意得f(0)=0，且在(−1,π2]上，f(x)min（1）f'由题意得f'所以ab+π=1，即f(π)=sin所以aln故a=2π，b=π.（2）f(0)=sin若(−1,π2]上f(x)≥0故f(0)是f(x)在(−1,π2]f'(x)=cosx−a下证a=1时，f(x)令g(x)=(1+x)cosx−1，①在(0,π2]上g'(x)由零点存在定理，∃x0∈(0,在(0,x0]上，g在[x0,π2g(π2)=−1，g(0)=0由零点存在定理∃x1∈(在(x0,x1在(x1,π2所以(0,π2]上，f(0)=0，f(②在(−1,0]上，f'f'(x)≤f'(0)=0综上，只有当a=1时，在(−1,π2]上f17．【答案】（1）解：因为E:x22所以|OF由D−2,0，设直线l:x=my−2由题意m≠0，联立x=my−2x22设A(x1,则Δ=16m2−8(m则△ABF1的面积令t=m2−2>0当且仅当t=16t=4，即m故△ABF1面积的最大值为（2）解：设椭圆上存在满足条件的点P(x0,由（1）知A(x1,y1)，k1⋅k2=y1所以x1x2所以k1当x02=2，x0=±此时λ=28(1±2)+4=3±222，故满足条件的椭圆上的点【解析】【分析】（1）由题意，设直线l:x=my−2，联立x=my−2x（2）设P(x0,y0)，表示出k1（1）因为E:x22所以|OF由D−2,0，可设l:x=my−2由题意m≠0，联立x=my−2x22设A(x1,则Δ=16m2−8(m所以△ABF1的面积令t=m2−2>0当且仅当t=16t=4，即m2=6故△ABF1面积的最大值为（2）设椭圆上存在满足条件的点P(x0,由（1）知A(x1,y1)，k1⋅k2=y1所以x1x2所以k1当x02=2，x0=±此时λ=28(1±2)+4=3±222，故满足条件的椭圆上的点18．【答案】（1）解：由题意可知甲每步跨1或2个台阶的概率都为12X可能的取值为3，4，5，6.取值分别对应3步中分别有0，1，2，3次跨两个台阶，故P(X=i)=CX的分布列如下，X3456P1331EX（2）解：6步内到过位置8记为事件A8可分为：4步到达位置8（记为A5步到达位置8（记为A5,8）和6步到达位置8（记为AA4,8即4步中每步都+2；A5,8即5步中有两步+1，3步A6,8即6步中有两步+2，4步+1则P(A)=P(A（3）解：记n步内到过位置n为事件An，走法为an，则由题意an+2=a递推a3∼a10，依次为3,5,8,13,21,34,55,89，其中9步和10步到达位置10的走法分别为9步到达位置10情况下再到达位置12只有1种走法，10步到达位置10不可能再到达位置12，其他到达位置10的情况再到达位置12都有2种走法.故10步之内同时到过位置10和12的走法为：a10记P(An)为p数列{pn−23}是以−1记9步和10步到达位置10为分别为事件A9,10，A10,10，P(A记10步内到过位置12为事件B，则P(A10A10,10A其余情况下P(B|AP(AB)=P(A故10步之内同时到过位置10和12的概率为5071024【解析】【分析】（1）列出X的所有可能取值，分别求出概率，列出分布列，求期望即可；（2）6步内到过位置8可以有三种情况，4步，5步，6步，再分别讨论每种情况发生的概率相加即可求解；（3）由题意an+2=an+（1）由题意可知甲每步跨1或2个台阶的概率都为12X可能的取值为3，4，5，6.取值分别对应3步中分别有0，1，2，3次跨两个台阶，故P(X=i)=CX的分布列如下，X3456P1331EX（2）6步内到过位置8记为事件A8可分为：