人教A版(新教材)高中数学选择性必修第一册学案：1 2 第二课时 空间向量基本定理的应用

人教A版(新教材)高中数学选择性必修第一册PAGEPAGE1第二课时空间向量基本定理的应用课标要求素养要求通过运用空间向量基本定理，结合数量积运算，能证明空间线面的位置关系及求直线的夹角、两点间距离(线段长度).通过利用空间向量基本定理，培养学生的直观想象和数学运算素养.新知探究如图，已知正四面体ABCD的棱长为2，G为△BCD的重心，H为棱AD的中点.设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，eq\o(AD,\s\up6(→))＝c.问题1.你能利用空间向量求AG的长度吗？2.你会求异面直线AB与GH夹角的余弦吗？〖提示〗1.利用AG＝|eq\o(AG,\s\up6(→))|＝eq\r(（\o(AG,\s\up6(→))）2)＝eq\r(\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)（a＋b＋c）))\s\up12(2)).2.利用cos〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(GH,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(AB,\s\up6(→))·\o(GH,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|·|\o(GH,\s\up6(→))|)解决.1.空间向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.2.利用空间向量基本定理，结合数量积运算，可解决空间中平行、垂直关系的判断，异面直线所成的角及求线段的长等问题.拓展深化〖微判断〗1.要证明AB∥CD，只需证明eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(CD,\s\up6(→))即可.(×)〖提示〗还需说明AB，CD无公共点.2.要证明AB⊥CD，只需证明eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝0即可.(√)〖微训练〗1.棱长为1的正四面体ABCD中，直线AB与CD()A.相交 B.平行C.垂直 D.无法判位置关系〖解析〗eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→))，所以eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))·(eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→)))＝eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝1×1×eq\f(1,2)－1×1×eq\f(1,2)＝0，故eq\o(BA,\s\up6(→))⊥eq\o(CD,\s\up6(→))，即直线AB与CD垂直.〖答案〗C2.已知a，b是异面直线，点A，B∈a，点C，D∈b，AC⊥a，BD⊥a，且AB＝1，CD＝eq\r(2)，则a，b所成的角为________________.〖解析〗∵eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))，∴eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))·(eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))2＝1，∴cos〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(AB,\s\up6(→))·\o(CD,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|·|\o(CD,\s\up6(→))|)＝eq\f(1,1×\r(2))＝eq\f(\r(2),2)，∴异面直线a，b所成的角为45°.〖答案〗45°〖微思考〗怎么利用空间向量求线段的长？〖提示〗首先利用空间向量基本定理，将所求线段表示的向量用其他已知夹角和模的向量表示出来，再利用|a|＝eq\r(a2)，通过计算得出|a|，即得所求线段长.题型一证明空间直线、平面的位置关系角度1证明垂直问题〖例1－1〗在空间四边形OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝eq\f(π,3)，求证：OA⊥BC.证明如图所示，因为eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))·(eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))＝eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝|eq\o(OA,\s\up6(→))||eq\o(OC,\s\up6(→))|·cos∠AOC－|eq\o(OA,\s\up6(→))|·|eq\o(OB,\s\up6(→))|·cos∠AOB＝0，所以eq\o(OA,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→))，所以OA⊥BC.角度2证明平行问题〖例1－2〗如图，在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，E，F，G分别是A′D′，DD′，D′C′的中点，请选择恰当的基底向量证明：(1)EG∥AC；(2)平面EFG∥平面AB′C.证明取基底{eq\o(AA′,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))}，(1)因为eq\o(EG,\s\up6(→))＝eq\o(ED′,\s\up6(→))＋eq\o(D′G,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝2eq\o(EG,\s\up6(→))，所以eq\o(EG,\s\up6(→))∥eq\o(AC,\s\up6(→))，又EG，AC无公共点，所以EG∥AC.(2)因为eq\o(FG,\s\up6(→))＝eq\o(FD′,\s\up6(→))＋eq\o(D′G,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AA′,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AB′,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AA′,\s\up6(→))＝2eq\o(FG,\s\up6(→))，所以eq\o(FG,\s\up6(→))∥eq\o(AB′,\s\up6(→))，又FG，AB′无公共点，所以FG∥AB′.又FG⊄平面AB′C，AB′⊂平面AB′C，∴FG∥平面AB′C.又由(1)知EG∥AC，可得EG∥平面AB′C，又FG∩EG＝G，FG，EG⊂平面EFG，所以平面EFG∥平面AB′C.规律方法(1)当直接证明线线垂直但条件不易利用时，常常考虑证明两线段所对应的向量的数量积等于零.利用向量证明垂直的一般方法是把线段转化为向量，并用已知向量表示未知向量，然后通过向量的运算以及数量积和垂直条件来完成位置关系的判定.(2)证明直线与直线平行一般转化为向量共线问题，利用向量共线的充要条件证明.〖训练1〗如图所示，已知△ADB和△ADC都是以D为直角顶点的直角三角形，且AD＝BD＝CD，∠BAC＝60°.求证：BD⊥平面ADC.证明不妨设AD＝BD＝CD＝1，则AB＝AC＝eq\r(2).eq\o(BD,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))，由于eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))·(eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→)))＝eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))＝1，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|·|eq\o(AC,\s\up6(→))|cos60°＝eq\r(2)×eq\r(2)×eq\f(1,2)＝1.∴eq\o(BD,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝0，即BD⊥AC.又∵BD⊥AD，AC∩AD＝A，AC，AD⊂平面ADC，∴BD⊥平面ADC.题型二求线段的长度或两点间的距离〖例2〗在正四面体ABCD中，棱长为a，M，N分别是棱AB，CD上的点，且MB＝2AM，CN＝eq\f(1,2)ND，求MN.解∵eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CN,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＋eq\f(1,3)(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＝－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，∴|eq\o(MN,\s\up6(→))|2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)\o(AB,\s\up6(→))＋\f(1,3)\o(AD,\s\up6(→))＋\f(2,3)\o(AC,\s\up6(→))))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,9)eq\o(AB,\s\up6(→))2－eq\f(2,9)eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(4,9)eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(4,9)eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,9)eq\o(AD,\s\up6(→))2＋eq\f(4,9)eq\o(AC,\s\up6(→))2＝eq\f(1,9)a2－eq\f(1,9)a2－eq\f(2,9)a2＋eq\f(2,9)a2＋eq\f(1,9)a2＋eq\f(4,9)a2＝eq\f(5,9)a2.故|eq\o(MN,\s\up6(→))|＝eq\f(\r(5),3)a，即MN＝eq\f(\r(5),3)a.规律方法求两点间的距离或线段长度的方法(1)将此线段用向量表示；(2)用其他已知夹角和模的向量表示该向量；(3)利用|a|＝eq\r(a2)，通过计算求出|a|，即得所求距离.〖训练2〗如图所示，在平行四边形ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠ADC＝60°，PA⊥平面ABCD，PA＝6，求线段PC的长.解∵eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))，∴|eq\o(PC,\s\up6(→))|2＝(eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→)))2＝|eq\o(PA,\s\up6(→))|2＋|eq\o(AD,\s\up6(→))|2＋|eq\o(DC,\s\up6(→))|2＋2eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＋2eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))＋2eq\o(DC,\s\up6(→))·eq\o(PA,\s\up6(→))＝62＋42＋32＋2|eq\o(AD,\s\up6(→))||eq\o(DC,\s\up6(→))|cos120°＝61－12＝49，∴|eq\o(PC,\s\up6(→))|＝7，即PC＝7.题型三求两直线的夹角〖例3〗如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝1，AA1＝eq\r(2)，求异面直线BA1与AC所成角的余弦值.解∵eq\o(BA1,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BB1,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(BA,\s\up6(→))，且eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(BB1,\s\up6(→))·eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(BB1,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0，∴eq\o(BA1,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(BA,\s\up6(→))2＋eq\o(BB1,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(BB1,\s\up6(→))·eq\o(BA,\s\up6(→))＝－eq\o(BA,\s\up6(→))2＝－1.又∵|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝eq\r(2)，|eq\o(BA1,\s\up6(→))|＝eq\r(1＋2)＝eq\r(3)，∴cos〈eq\o(BA1,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(BA1,\s\up6(→))·\o(AC,\s\up6(→)),|\o(BA1,\s\up6(→))||\o(AC,\s\up6(→))|)＝eq\f(－1,\r(6))＝eq\f(－\r(6),6)，则异面直线BA1与AC所成角的余弦值为eq\f(\r(6),6).规律方法(1)求几何体中两个向量的夹角，可以把其中一个向量平移到与另一个向量的起点重合，转化为求平面中的角的大小.(2)由两个向量的数量积定义得cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)，求〈a，b〉的大小，转化为求两个向量的数量积及两个向量的模，求出〈a，b〉的余弦值，进而求〈a，b〉的大小.在求a·b时注意结合空间图形，把a，b用基向量表示出来，进而化简得出a·b的值.(3)直线AB，CD的夹角α∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，而〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))〉∈〖0，π〗，故α＝〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))〉或α＝π－〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))〉.〖训练3〗如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求BC1与AC夹角的大小.解不妨设正方体的棱长为1，则eq\o(BC1,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CC1,\s\up6(→)))·(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＝(eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→)))·(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＝eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))2＋eq\o(AA1,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝0＋eq\o(AD,\s\up6(→))2＋0＋0＝eq\o(AD,\s\up6(→))2＝1，又∵|eq\o(BC1,\s\up6(→))|＝eq\r(2)，|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝eq\r(2)，∴cos〈eq\o(BC1,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(BC1,\s\up6(→))·\o(AC,\s\up6(→)),|\o(BC1,\s\up6(→))||\o(AC,\s\up6(→))|)＝eq\f(1,\r(2)×\r(2))＝eq\f(1,2).∵〈eq\o(BC1,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))〉∈〖0，π〗，∴〈eq\o(BC1,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))〉＝eq\f(π,3).∴BC1与AC夹角的大小为eq\f(π,3).一、素养落地1.通过应用空间向量证明空间线面的位置关系及求直线的夹角和距离，提升直观想象和数学运算素养.2.证明空间中的直线、平面的垂直和平行，要分别结合相关的判定定理，转化为向量的运算；求空间两点间的距离或线段的长度一般转化为求对应向量的模；求两直线的夹角则转化为求向量的夹角(或其补角).二、素养训练1.设a，b都是非零向量，eq\o(AB,\s\up6(→))＝2a＋3b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝a＋eq\f(3,2)b，则不重合的直线AB与CD()A.相交 B.平行C.垂直 D.无法判位置关系〖解析〗由已知可得eq\o(AB,\s\up6(→))＝2eq\o(CD,\s\up6(→))，所以eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(CD,\s\up6(→))，则直线AB与CD平行.〖答案〗B2.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为AB，B1C的中点，若AB＝a，则MN＝________.〖解析〗eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(－eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AA1,\s\up6(→))，故|eq\o(MN,\s\up6(→))|2＝eq\f(1,4)a2＋eq\f(1,4)a2＋eq\f(1,4)a2＝eq\f(3,4)a2,所以MN＝eq\f(\r(3),2)a.〖答案〗eq\f(\r(3),2)a3.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线AC1与BC所成角的余弦值为________.〖解析〗设AB＝1，则由eq\o(AC1,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))，得eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(AC1,