全国统考高考数学复习-平面向量满分限时练

平面向量平面向量主要考查平面向量的模、数量积的运算、线性运算等，难度一般偏简单，有时也会与三角函数、圆锥曲线结合考查，难度中等．一、选择题．1．已知平面向量a，b满足|aA． B．C．D．【答案】D【解析】∵a⊥(a．，，故选D．【点评】本题考查了向量的数量积，向量的夹角，以及向量垂直的条件，属于基础题．2．在等腰梯形ABCD中，AB=2CD，若AD=a，AB=A． B．C． D．【答案】A【解析】解法一：如图，取AB的中点E，连结DE，因为四边形ABCD为等腰梯形，AB=2CD，所以，所以四边形BCDE为平行四边形，所以，故选A．解法二：如图，取AB的中点E，连结DE，因为四边形ABCD为等腰梯形，AB=2CD，所以，所以四边形BCDE为平行四边形，所以，故选A．【点评】在几何图形中进行向量运算：（1）构造向量加、减法的三角形法则和平行四边形法则；（2）树立“基底”意识，利用基向量进行线性运算．3．若平面向量a与b的夹角为，a=1，b=2，则2A．32 B．23C．18【答案】B【解析】2a+b2【点评】本题主要考了向量的运算以及向量的模长，属于基础题．4．已知向量，b=(3，−2)，c=(1，m)A．1 B．2C．3D．2【答案】B【解析】由题设可得a−因为(a−b)⊥所以c=1，1【点评】本题考了向量的坐标运算以及向量的垂直的条件，模长的计算，属于基础题．5．若向量，BC=3，1A． B．C．D．【答案】A【解析】因为，BC=3所以，BA=1，BC=2则，，所以，故选A．【点评】本题考点为向量夹角的计算，以及三角形面积的计算，属于基础题．6．已知△ABC为等边三角形，AB=2，设点D，E满足BD=DC，，AD与交于点P，则（）A． B．C．1D．2【答案】D【解析】因为，所以，所以EC=2AE，所以E为AC的一个靠近又因为BD=DC，所以D为过E作EF⊥AD交AD于F点，如下图所示：因为且BD=CD，所以，所以，所以，所以，故选D．【点评】解答本题的关键是确定点E，D，即可直接根据数量积的计算公式完成求解．7．若向量a，b满足a=2，a+2b⋅aA．1 B．C．D．【答案】B【解析】设a，b的夹角为θ，则，则，即b在a方向上的投影为，故选B．【点评】本题考查了向量数量积的运算，向量投影的计算公式，考查了计算能力，属于基础题．8．已知向量a，b为平面内的单位向量，且，向量c与a+b共线，则|A．1 B．C．D．【答案】D【解析】因为向量c与a+b共线，所以存在唯一的实数t，使得所以a+所以(a又向量a，b为平面内的单位向量，所以|a|=1，又，所以，所以，所以|a+c|的最小值为【点评】本题主要考查共线定理的应用及平面向量数量积，关键是根据共线，利用共线定理将c用向量a，b表示，再通过平方转化为二次函数最值问题．9．如图，延长正方形ABCD的边CD至点E，使得DE=CD，动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周后回到点A，若，则下列判断正确的是（）A．满足的点P必为BC的中点B．满足的点P有且只有一个C．满足的点P有且只有一个D．的点P有且只有一个【答案】C【解析】如图建系，取AB=1，∵AE=∴，动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A点，当P∈AB时，有0≤λ−μ≤1且μ=0，∴0≤λ≤1，∴0≤λ+μ≤1，当P∈BC时，有λ−μ=1且0≤μ≤1，则λ=μ+1，∴1≤λ≤2，∴1≤λ+μ≤3，当P∈CD时，有0≤λ−μ≤1且μ=1，则μ≤λ≤μ+1，∴1≤λ≤2，∴2≤λ+μ≤3，当P∈AD时，有λ−μ=0且0≤μ≤1，则λ=μ，∴0≤λ≤1，∴0≤λ+μ≤2，综上，0≤λ+μ≤3．选项A，取λ=μ=1，满足λ+μ=2，此时AP=AB+AE=故A错误；选项B，当点P取B点或AD的中点时，均满足λ+μ=1，此时点P不唯一，故B错误；选项C，当点P取C点时，λ−μ=1且μ=1，解得λ=2，λ+μ为3，故C正确；选项D，当点P取BC的中点或DE的中点时，均满足，此时点P不唯一，故D错误，故选C．【点评】求解本题的关键在于根据题中所给条件，利用建系的方法，讨论P的位置，根据，确定λ+μ的范围，即可求解．（向量用坐标表示后，向量的计算和证明都归结为数的运算，这使问题大大简化）10．在△ABC中，点M是AB的中点，，线段CM与BN交于点O，动点P在△BOC内部活动（不含边界），且AP=λAB+μAN，其中λ，μ∈A． B．C． D．【答案】D【解析】如下图所示，连接BP并延长交AC于点G，设NG=mAN，PG=nBG，则AG=，又∵AP=λAB+μAN∴λ+μ=m+1−mn=m，0<1−n<1，则，即，即，因此，λ+μ的取值范围是，故选D．【点评】本题考查利用平面向量的基本定理求与参数有关的代数式的取值范围，解题的关键在于引入参数表示λ、μ，并结合不等式的基本性质求出λ+μ的取值范围．二、填空题．11．已如|AB|=1，|BC【答案】【解析】因为|AB|=1，|BC所以，因为<AB，BC>∈[0，π]，所以AB与因为AD⋅DC=0，所以AD⊥DC以B为原点，BC为x轴正方向建系，如图所示：所以，，，设以AC为直径的圆的圆心为P，所以，且，所以D的轨迹的方程为，BD的最大值为，故答案为．【点评】解题的关键是根据题意，分析可得D点的轨迹为圆，进而求得圆的方程，根据圆的几何性质求解，考查分析理解，数形结合的能力，属中档题．12．如图梯形ABCD，且AB=5，AD=2DC=4，E在线段BC上，AC⋅BD=0，则【答案】【解析】因为，所以向量AD与AB的夹角和向量AD与DC的夹角相等，设向量AD与AB的夹角为θ，因为AC⋅BD=0即AD2整理得16+8cosθ−20cosθ如图，过点D作AB垂线，垂足为O易知A−2，0，B3，则BC=−1，23E=3−λ，23λAE⋅因为0≤λ≤1，所以当时，取最小值，最小值为，故答案为．【点评】本题考查向量的数量积的求法，可通过建立直角坐标系的方式进行求解，考查向量的运算法则，考查向量的数量积的坐标表示，考查计算能力，考查转化与化归思想，是难题．13．已知向量的模长为1，平面向量m，n满足：|m−2【答案】−1【解析】由题意知：不妨设e=1，则根据条件可得x−22+y根据柯西不等式得m⋅因为a−1x+bya−1x+by+x≤4x+x当且仅当bx=a−1令t=4x，则，又x−22+y所以t∈0，4，当t=4时，，即，而t∈0，4，所以当t=2时，，即m故m⋅n的取值范围是【点评】设e=1，0，a−1214．已知，，是平面向量，且，是互相垂直的单位向量，若对任意λ∈R均有的最小值为，则的最小值为___________．【答案】3【解析】，即，所以，即，设为x轴的方向向量，为y轴方向向量，所以，对应的坐标为，所以x2−2y+1=0，得，因为为抛物线x2=2y向上平移个单位，所以焦点坐标为(0，1)，准线为y=0，所以点到(0，1)(1，当且仅当x=y=1时，取最小值．故答案为3．【点评】关于向量模长的问题，一般没有坐标时，利用平方公式展开计算；有坐标时，代入坐标公式求解，涉及模长的最值问题，一般需要转化为点与点之间的距离，或者点到线的距离等问题，利用几何方法求解．三、解答题．15．已知向量，，函数fx=m（1）若，求函数fx的最值；（2）若，且fθ=1，，求的值．【答案】（1）最大值为，最小值为；（2）．【解析】（1）因为，，所以，因为，所以，所以当，即时，最小，最小值为0，此时fx最大，最大值为；所以当，即时，最大，最大值为1，此时fx最小，最小值为．即fx的最大值为，最