全国统考高考数学复习-解析几何满分限时练

解析几何1．直线与圆的考查也是高考的热点内容，多以选择题和填空题的形式出现，有时还会作为条件结合圆锥曲线进行考查；2．圆锥曲线的定义、方程、与性质是每年的必考热点，多以选择题和填空题的形式出现，主要考查圆锥曲线的几何性质与标准方程的求法；3．解析几何还会考一道解答题，通常难度较大，主要考直线与圆锥曲线的位置关系及最值范围，定点、定值问题等，综合性比较强．一、选择题．1．已知直线l1:ax+(a+2)y+1=0 ， lA．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】∵直线l1当“a=−2”时，直线l1:−2x+1=0，当“a=0”时，直线l1:2y+1=0，∴当时，则，解得a=−1或a=2．而由，解得a=−1，所以由“”能推出“”；由“”不能推出“”，所以“”是“”充分不必要条件，故选A．【点评】本题考查了直线平行的条件，属于基础题．2．直线y=x+2和双曲线的渐近线相交于A，B两点，则线段AB的长度为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】双曲线的渐近线为，设y=x+2与相交于A点，与相较于B点，由，解得A−3−由，解得B(3−3所以AB=【点评】该题考查的是有关两点间距离问题，解题方法如下：（1）先根据双曲线的渐近线方程求得的渐近线；（2）联立方程组，分别求得对应的交点坐标；（3）利用两点间距离公式求得结果．3．已知⊙M经过坐标原点，半径r=2，且与直线y=x+2相切，则⊙A．(x+1)2B．(x+1)2C．(x−1)2D．(x−1)2【答案】A【解析】设圆心坐标为(a，b)，半径因为圆M过坐标原点，且与直线y=x+2相切，所以，所以a=b=±1，即圆心为1，1或圆M的方程为(x−1)2+(y−1【点评】处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．4．已知直线l:mx+y+3m−3=0与圆x2+y2=12交于A，B两点．且A，B在x轴同侧，过A，B分别做x轴的垂线交x轴于C，DA． B． C． D．【答案】B【解析】因为直线的方程l:mx+y+3m−3=0化为所以直线l恒过点−3，而点−3，3满足x2+y不妨设点A−3又|CD|=3，所以点B0，2又圆x2+y2=12的半径为2故选B．【点评】求直线恒过点的方法：方法一（换元法）：根据直线方程的点斜式直线的方程变成y=kx−a+b，将x=a带入原方程之后，所以直线过定点a，b5．设A−2，0，B2，0，O为坐标原点，点P满足PA2+PBA． B．C． D．【答案】C【解析】设Px，y整理可得x2+y在△PQO中，，则，设原点到直线的距离为d，则需满足d≤4，，解得或，故选C．【点评】本题考查直线中参数范围的求解，解题的关键是得出OQ=26．已知圆C：x+12+y−12=1，P是直线x−y−1=0的一点，过点P作圆C的切线，切点为AA．14 B．27 C．32 【答案】A【解析】圆C：x+12+y−12=1设四边形PACB的面积为S，由题设及圆的切线性质得，，∵AC=r=1∴PC⋅圆心C−1，1到直线x−y−1=0∴PC的最小值为，则PC⋅AB的最小值为，【点评】本题考了直线与圆的位置关系，难度中等偏易．7．已知抛物线C:y2=8x上一点A到焦点F的距离等于6A．2 B．±2 C．22 D．【答案】D【解析】由题意，点，因为AF=xA+2=6又因为点A在抛物线上，所以y2=32，则y=±42则，故选D．【点评】本题考了抛物线的定义及其性质，属于基础题．8．已知椭圆C的焦点为F1−1，0，F2A．10 B．7 C．27 D．【答案】A【解析】设椭圆C与直线l的一个公共点为P，则（即为长轴长），问题转化为在直线l上找点P，使得PF1设F2关于l的对称点Ex，y，则，可得E则PF当且仅当F1，P，E三点共线时等号成立，即椭圆长轴长2a的最小值为10，【点评】本题考查了直线与椭圆的位置关系，椭圆的定义，点关于直线对称的点的求法，属于中档题．9．已知双曲线上存在两点A，B关于直线对称，且线段AB的中点坐标为M(2，−4)，则双曲线C的离心率为（）A．2 B．3 C．2 D．5【答案】B【解析】设A(x1，y1)，则x1又A，B关于直线对称，所以，且A，B在双曲线上，，，相减可得，即，故，即，离心率为，故选B．【点评】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．10．过抛物线y2=4x的焦点F作斜率为k的直线交抛物线于A、B两点，若AF=3A． B． C． D．【答案】C【解析】若k=0，则直线l与抛物线有且只有一个公共点，不合乎题意；设，抛物线y2=4x的焦点为F1，0，直线联立，消去x可得y2−4my−4=0，，设点Ax1，y1、B∵AF=1−x1，−y∴y1+y2解得，，故选C．【点评】利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为x1，y（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x（或y）的一元二次方程，必要时计算Δ；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为x1+x（5）代入韦达定理求解．11．如图，双曲线以梯形ABCD的顶点A，D为焦点，且经过点B，C．其中，，CD=4AB，则Γ的离心率为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】连接CA，BD，不妨设AB=1，则CD=4，BD=1+2a在△ABD中，1+4c在△ACD中，16+4c，得15+10c=12a+15，则，故选C．【点评】本题考查双曲线离心率的求解，解题的关键是正确利用焦点三角形特点进行计算．二、解答题．12．若双曲线x2−y2=9（1）求椭圆C的标准方程；（2）若椭圆C的左、右顶点分别为A1，，直线l与椭圆C交于P、Q两点，设直线A1P与A2Q的斜率分别为k1，k【答案】（1）；（2）是过定点，定点为2，【解析】（1）由已知得双曲线的离心率为2，又两曲线离心率之积为，所以椭圆的离心率为，由题意知a=3，所以c=22，b=1所以椭圆的标准万程为．（2）当直线l的斜率为零时，由对称性可知：k1=−k故直线l的斜率不为零；设直线l的方程为x=ty+n，由，得t2+9因为直线l与椭圆C交于P、Q两点，所以Δ=4t整理得t2设Px1，y1、Qx2，y因为，所以，整理得4ty4ty将，，代入整理得t(n−2)(n−3)=(2−n)t2+9要使上式恒成立，只需n=2，此时满足t2因此，直线l恒过定点2，【点评】（1）待定系数法可以求二次曲线的标准方程；（2）"设而不求"是一种在解析几何中常见的解题方法，可以解决直线与二次曲线相交的问题；（3）证明直线过定点，通常有两类：①直线方程整理为斜截式，过定点；②直线方程整理为点斜式，过定点．13．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，短轴长为23，点P在椭圆上，PF（1）求椭圆C的标准方程；（2）将椭圆C按照坐标变换得到曲线C1，若直线l与曲线C1相切且与椭圆C相交于M，N求MN的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由已知可得，2b=23⇒b=3则椭圆C的标准方程为．（2）由，则曲线C1：x当直线l斜率存在且为k时，设l：y=kx+m，由直线l与圆C1则，由，设Mx1，y1，Nx由，由m2=k令t=3+4k2，则，令，则y=−s2+2s+3，，则，；当直线l斜率不存在时，l：x=±1，，综上：．【点评】本题考查了椭圆的标准方程、弦长公式、坐标变换，解题的关键是根据直线与曲线C114．椭圆的左焦点为−2，0，且椭圆C经过点P0，1，直线y=kx+2k−1(k≠0)与C交于A（1）求椭圆C的方程；（2）证明：直线PA与直线PB的斜率之和为定值，并求出这个定值．【答案】（1）；（2）证明见解析，定值为1．【解析】（1）由题意得：c=2，b=1，∴椭圆方程为．（2）解法一（常规方法)：设，，联立，化简可得3k2∵直线y=kx+2k−1(k≠0)与椭圆C交于A、B两点，∴Δ>0，即123由韦达定理，，，∴直线PA、PB的斜率和为定值1．解法二（构造齐次式)：由题直线y=kx+2k−1(k≠0)恒过定点−2①当直线AB不过原点时，设直线AB为mx+ny−1则−2mx−2n=1，即，有，由，有x2+3则x2整理成关于x，y−1的齐次式：进而两边同时除以，则，令，则；②当直线AB过原点时，设直线AB的方程为，，，，综合①②直线PA与直线PB的斜率之和为定值1．【点评】该题考查的是有关直线与椭圆的问题，解题方法如下：（1）根据题中所给的条件，确定出b，c的值，进而求得（2）将直线方程与椭圆方程联立，韦达定理求得两根和与两根积，利用斜率公式证得结果．15．已知椭圆与抛物线C:x2=2py(p>0)有相同的焦点F，抛物线C的准线交椭圆Γ于A，B两点，且（1）求椭圆Γ与抛物线C的方程；（2）O为坐标原点，若P为椭圆Γ上任意一点，以P为圆心，OP为半径的圆P与椭圆Γ的焦点F为圆心，以5为半径的圆F交于M，N两点，求证：MN为定值．【答案】（1）椭圆Γ的方程为，抛物线C的方程为；（2）证明见解析．【解析】（1）椭圆可得焦点0，a抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为，所以①由，可得，解得，所以②，由①②可得：a2=4，所以椭圆Γ的方程为，抛物线C的方程为．（2）设P(m，n)，则，圆P的方程为(x−m圆F的方程为：x2所以直线MN的方程为：mx+(n−3设点F到直线MN的距离为d，则，|MN|=25−d2=2【点评】圆的弦长的求法：（1）几何法，设圆的半径为r，弦心距为d，弦长为L，则；（2）代数法，设直线与圆相交于Ax1，y1，Bx2，y2，联立直线与圆的方程，消去y16．已知椭圆过点(0，2)，其长轴长､焦距和短轴长三者的平方依次成等差数列，直线l与x轴的正半轴和y轴分别交于点Q、P，与椭圆Γ相交于两点M、N，各点互不重合，且满足，．（1）求椭圆Γ的标准方程；（2）若直线l的方程为y=−x+1，求的值；（3）若，试证明直线l恒过定点，并求此定点的坐标．【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析，(2，0)．【解析】（1）由题意，因为椭圆过点(0，2)，可得b=2设焦距为，又由长轴长､焦距和短轴长三者的平方依次成等差数列，可得(2a)2+(2b又因为a2=b所以椭圆Γ的标准方程为．（2）由直线l的方程为y=−x+1，可得而P(0，设M(x1，y1可得(x从而x1于是，，所以，由，整理得4x2−6x−9=0，可得，，所以．（3）显然直线l的斜率k存在且不为零，设直线l的方程为y=kx−mm>0可得P(0，由，可得(x1所以x1=λ1m