2025年高考数学二轮复习 专项训练11 平面向量（解析版）

2025二轮复习专项训练11平面向量[考情分析]1.平面向量是高考的热点和重点，命题突出向量的基本运算与工具性，在解答题中常与三角函数、直线和圆锥曲线的位置关系问题相结合，主要以条件的形式出现，涉及向量共线、数量积等.2.常以选择题、填空题的形式考查平面向量的基本运算，中低等难度；平面向量在解答题中一般为中等难度．【练前疑难讲解】一、平面向量的线性运算常用结论：(1)已知O为平面上任意一点，则A，B，C三点共线的充要条件是存在s，t，使得eq\o(OC,\s\up6(→))＝seq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(OB,\s\up6(→))，且s＋t＝1，s，t∈R.(2)在△ABC中，AD是BC边上的中线，则eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))．(3)在△ABC中，O是△ABC内一点，若eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，则O是△ABC的重心．二、平面向量的数量积1．若a＝(x，y)，则|a|＝eq\r(a·a)＝eq\r(x2＋y2).2．若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).3．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角，则cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))·\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2))).三、平面向量的综合运算解决向量的综合性问题时，根据向量的几何意义或者数量积的定义与坐标运算研究最值问题及图形的几何性质．一、单选题1．（2023·全国·高考真题）已知向量满足，且，则（

）A． B． C． D．2．（2024·吉林延边·一模）如图，在中，，为上一点，且，若，则的值为（

）

A． B． C． D．二、多选题3．（2024·广东·一模）已知向量，，则下列结论正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若与的夹角为，则D．若与方向相反，则在上的投影向量的坐标是4．（2022·广东·二模）如图，已知扇形OAB的半径为1，，点C、D分别为线段OA、OB上的动点，且，点E为上的任意一点，则下列结论正确的是（

）A．的最小值为0 B．的最小值为C．的最大值为1 D．的最小值为0三、填空题5．（2022·上海虹口·二模）已知向量，满足，，，则.6．（2023·上海杨浦·三模）对任意两个非零的平面向量和，定义，若平面向量、满足，与的夹角，且和都在集合中，则参考答案：题号1234答案DDABDBCD1．D【分析】作出图形,根据几何意义求解.【详解】因为,所以,即,即,所以.如图,设,由题知,是等腰直角三角形,AB边上的高,所以,,.故选:D.2．D【分析】结合题意可知三点共线，进而得到，利用向量基本定理表示出,进而表示出计算即可.【详解】因为，所以所以，因为，所以，即，因为三点共线，所以，解得，所以，而,所以,即.故选：D.3．ABD【分析】利用向量共线的坐标表示判断A；利用垂直的坐标表示判断B；利用数量积的运算律求解判断C；求出投影向量的坐标判断D.【详解】向量，，对于A，由，得，因此，A正确；对于B，由，得，因此，B正确；对于C，与的夹角为，，，因此，C错误；对于D，与方向相反，则在上的投影向量为，D正确.故选：ABD4．BCD【分析】以为原点建立如图所示的直角坐标系，得，，设，则，求出，利用的范围可判断A；求出、的坐标，由，利用的范围可判断B；设，可得，求出、，由，利用、、，的范围可判断CD.【详解】以为原点建立如图所示的直角坐标系，所以，，设，则，，，所以，因为，所以，所以，所以，的最小值为，故A错误；，，所以，因为，所以，所以，所以，，的最小值为，故B正确；设，又，所以，可得，，，所以，其中，又，所以，所以，，，，所以，的最小值为0，故CD正确.故选：BCD.5．【分析】根据模长公式及向量的数量积公式求解即可.【详解】由可得，，即，解得：，所以．故答案为：．6．【分析】由题意可设，，，，得，对，进行赋值即可得出，的值，进而得出结论．【详解】因为，故．又由，则，，可设，，令，，且，又夹角，所以，对，进行赋值即可得出，所以．故答案为：．【基础保分训练】一、单选题1．（2024·山西朔州·一模）已知，且，则（

）A． B． C．4 D．2．（2023·广东茂名·一模）在中，，，若点M满足，则（

）A． B． C． D．3．（2023·安徽·一模）在三角形中，，，，则（

）A．10 B．12 C． D．4．（2024·广东江苏·高考真题）已知向量，若，则（

）A． B． C．1 D．25．（2023·重庆·模拟预测）在正方形中，动点从点出发，经过，，到达，，则的取值范围是（

）A． B． C． D．6．（2023·浙江温州·二模）物理学中，如果一个物体受到力的作用，并在力的方向上发生了一段位移，我们就说这个力对物体做了功，功的计算公式：（其中是功，是力，是位移）一物体在力和的作用下，由点移动到点，在这个过程中这两个力的合力对物体所作的功等于（

）A．25 B．5 C． D．7．（23-24高三上·宁夏银川·阶段练习）如果向量，的夹角为，我们就称为向量与的“向量积”，还是一个向量，它的长度为，如果，，，则（

）A． B．16 C． D．208．（2023·福建福州·二模）已知，若与的夹角为，则在上的投影向量为（

）A． B． C． D．二、多选题9．（2023·河北·模拟预测）下列命题不正确的是（

）A．若，则B．三个数成等比数列的充要条件是C．向量共线的充要条件是有且仅有一个实数，使D．已知命题时，，则命题的否定为：时，10．（2023·广东汕头·二模）在中，已知，，，BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P，下列结论正确的是（

）A． B．C．的余弦值为 D．11．（22-23高一下·浙江衢州·阶段练习）已知向量，，则正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若与的夹角为钝角，则 D．若向量是与同向的单位向量，则三、填空题12．（2023·广西·模拟预测）已知向量，且，则.13．（22-23高三下·湖南长沙·阶段练习）设平面向量，的夹角为，且，则在上的投影向量是.14．（21-22高一下·北京·阶段练习）如图，四边形为平行四边形，，若，则的值为．参考答案：题号12345678910答案CAADBABBABCABD题号11答案ABD1．C【分析】利用向量的数量积可求.【详解】因为，，则，，则，故，故选：C.2．A【分析】根据题意结合向量的线性运算求解.【详解】由题意可得：.故选：A.3．A【分析】根据向量的数量积公式求得结果.【详解】记，则，，，．故选：A.4．D【分析】根据向量垂直的坐标运算可求的值.【详解】因为，所以，所以即，故，故选：D.5．B【分析】建立平面直角坐标系，写成点的坐标，分点在，，三种情况，求出的取值范围.【详解】以为坐标原点，，所在直线分别为轴，轴，建立平面直角坐标系，设，则，当点在上时，设，则，即，故，当点在上时，设，则，即，解得，故，当点在上时，设，则，即，故综上，的取值范围是.故选：B6．A【分析】利用条件，先求出两个力的合力及，再利用功的计算公式即可求出结果.【详解】因为，，所以，又，，所以，故.故选：A.7．B【分析】根据向量的新定义和向量数量积计算即可.【详解】因为，，，所以，所以，所以，所以.故选：B8．B【分析】先计算，再根据投影向量公式即可计算.【详解】在上的投影向量为故选：B9．ABC【分析】利用不等式的性质判断A，利用等比中项的概念判断B，利用向量共线的概念判断C，利用全程命题的否定是特称命题判断D.【详解】对于A，当时，命题不成立，故错误；对于B，三个数成等比数列的必要条件是，当时，满足，但不满足三个数成等比数列，故错误；对于C，非零向量与共线的充要条件是有且仅有一个实数使，当均为零向量时，共线，但存在无数个实数，使，故错误；对于D，命题时，，为全称量词命题，根据全称量词命题的否定是存在量词命题可得命题的否定为：时，，故正确.故选：ABC.10．ABD【分析】求得的长度判断选项A；求得的长度判断选项B；求得的余弦值判断选项C；求得的化简结果判断选项D.【详解】连接PC，并延长交AB于Q，中，，，，则，,，，，选项A:.判断正确；选项B:.判断正确；选项C:.判断错误；选项D:.判断正确.故选：ABD11．ABD【分析】根据向量坐标的线性运算及向量的模的坐标表示即可判断A；根据向量共线的坐标表示即可判断B；若与的夹角为钝角，则，且与不共线，列出不等式组，即可判断C；若向量是与同向的单位向量，则，从而可判断D.【详解】对于A，若，则，所以，故A正确；对于B，若，则，所以，故B正确；对于C，若与的夹角为钝角，则，且与不共线，即，解得，且，故C不正确；对于D，若向量是与同向的单位向量，则，故D正确.故选：ABD.12．【分析】利用向量共线的坐标运算即可求出结果.【详解】因为，，所以，又，所以，解得，所以，故.故答案为：.13．【分析】根据题意，求得，进而求得在上的投影向量，得到答案.【详解】由题意知，平面向量，的夹角为，且，则，所以则在上的投影向量为.故答案为：14．1【分析】选取为基底将向量进行分解，然后与条件对照后得到的值．【详解】选取为基底，则，又，将以上两式比较系数可得．故答案为：1.【能力提升训练】一、单选题1．（2023·陕西铜川·一模）已知单位向量，的夹角为，向量，且，则的值为（

）A．1 B． C． D．22．（2022·全国·一模）如图，在△中，点M是上的点且满足，N是上的点且满足，与交于P点，设，则（）A． B．C． D．3．（2022·山东烟台·三模）如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆，为圆上任一点，若，则的最大值为（

）A． B．2 C． D．14．（2023·四川绵阳·模拟预测）在中，点满足与交于点，若，则（

）A． B． C． D．5．（2023·湖北·模拟预测）已知平面非零向量满足，则的最小值为（

）A．2 B．4 C．8 D．166．（23-24高三上·河南·阶段练习）在中，点是边的中点，且，点满足（），则的最小值为（

）A． B． C． D．7．（2024·山西长治·模拟预测）平面上的三个力作用于一点，且处于平衡状态.若与的夹角为45°，则与夹角的余弦值为（

）A． B． C． D．8．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知是边长为1的正三角形，是上一点且，则（

）A． B． C． D．1二、多选题9．（2023·全国·模拟预测）已知，，且，的夹角为，点P在以O为圆心的圆弧上运动，若，x，，则的值可能为（

）A．2 B． C． D．110．（2023·福建·一模）平面向量满足，对任意的实数t，恒成立，则（

）A．与的夹角为 B．为定值C．的最小值为 D．在上的投影向量为11．（2023·福建·模拟预测）已知向量，，则（

）A． B．C．在上的投影向量是 D．在上的投影向量是三、填空题12．（2023·广东广州·一模）已知向量，且，则，在方向上的投影向量的坐标为.13．（2023·山东菏泽·一模）已知夹角为的非零向量满足，，则.14．（23-24高三上·全国·阶段练习）已知向量满足，则．参考答案：题号12345678910答案CBACCBAACDAD题号11答案BC1．C【分析】根据已知向量，且，得出，根据已知单位向量，的夹角为，得出，且，即可代入得出，即可解出答案.【详解】由已知得，单位向量，的夹角为，，且，所以，解得，故选：C．2．B【分析】根据三点共线有，使、，由平面向量基本定理列方程组求参数，即可确定答案.【详解】，，由，P，M共线，存在，使①，由N，P，B共线，存在，使得②，由①②，故.故选：B.3．A【分析】等和线的问题可以用共线定理，或直接用建系的方法解决.【详解】作BC的平行线与圆相交于点P，与直线AB相交于点E，与直线AC相交于点F，设，则，∵BC//EF，∴设，则∴，∴∴故选：A.4．C【分析】法一，根据向量共线可得，再得，又，再表示出，利用向量相等解出，即可得解；法二，建立平面直角坐标系，利用坐标法求出即可.【详解】法一:因为在上，故，所以存在唯一实数，使得，又，故为的中点，所以，所以;同理存在，使得，又，所以，所以，所以，所以，所以.故选：C.法二:不妨设为等腰直角三角形，其中，以为原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，如图，，则直线的方程分别为，联立解得，由，得，解得，则.故选：C.5．C【分析】根据向量数量积的定义和关系，把的两边平方，利用基本不等式进行转化求解即可．【详解】设非零向量，的夹角为.，所以，由两边平方得：，，，即，即，，，即当时，取得最小值，最小值为8.故选：C．6．B【分析】由向量共线定理知，点在线段上，设，则，结合二次函数的性质即可得出答案.【详解】因为（），所以，又，所以点在线段上，所以.设（），所以，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为.故选：B.7．A【分析】根据,先求得，再由，即可求解.【详解】∵三个力平衡，∴，∴.设与的夹角为，则，即，解得故选：A8．A【分析】根据题意得，由三点共线求得，利用向量数量积运算求解.【详解】，，且，而三点共线，，即，，所以.故选：A.9．CD【分析】以O为坐标原点，OM所在直线为x轴建立平面直角坐标系，得到点P的坐标为,结合题意可得，又知点P在以O为圆心，2为半径的圆上，整理得，变形结合基本不等式即可求解的取值范围，进而得解．【详解】如图，以O为坐标原点，OM所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则，，则，，所以，则点P的坐标为．由题意可知，，则，易知点P在以O为圆心，2为半径