2025年高考数学二轮复习 专题一 函数与导数 第7讲　导数与不等式的证明解析版

第7讲导数与不等式的证明（新高考专用）目录目录【真题自测】 2【考点突破】 13【考点一】导数与不等式的证明 13【专题精练】 31考情分析：1.利用导数研究函数的单调性与极值(最值)是高考的常见题型，而导数与函数、不等式、方程、数列等的交汇命题是高考的热点和难点.2.多以解答题的形式压轴出现，难度较大．真题自测真题自测一、解答题1．（2021·全国·高考真题）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：.2．（2023·天津·高考真题）已知函数．(1)求曲线y=fx在处的切线斜率；(2)求证：当时，；(3)证明：．3．（2021·全国·高考真题）设函数，已知是函数的极值点．（1）求a；（2）设函数．证明:．4．（2024·全国·高考真题）已知函数．(1)求的单调区间；(2)当时，证明：当时，恒成立．5．（2022·北京·高考真题）已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)设，讨论函数在上的单调性；(3)证明：对任意的，有．6．（2023·全国·高考真题）（1）证明：当时，；（2）已知函数，若是的极大值点，求a的取值范围．参考答案：1．（1）的递增区间为，递减区间为；（2）证明见解析.【分析】(1)首先确定函数的定义域，然后求得导函数的解析式，由导函数的符号即可确定原函数的单调性.(2)方法二：将题中的等式进行恒等变换，令，命题转换为证明：，然后构造对称差函数，结合函数零点的特征和函数的单调性即可证得题中的结论.【详解】(1)f(x)的定义域为．由得，，当时，；当时；当时，．故f(x)在区间内为增函数，在区间内为减函数，(2)[方法一]：等价转化由得，即．由，得．由（1）不妨设，则，从而，得，①令，则，当时，，g(x)在区间内为减函数，，从而，所以，由（1）得即．①令，则，当时，，在区间内为增函数，，从而，所以．又由，可得，所以．②由①②得．[方法二]【最优解】：变形为，所以．令．则上式变为，于是命题转换为证明：．令，则有，不妨设．由（1）知，先证．要证：．令，则，在区间内单调递增，所以，即．再证．因为，所以需证．令，所以，故在区间内单调递增．所以．故，即．综合可知．[方法三]：比值代换证明同证法2．以下证明．不妨设，则，由得，，要证，只需证，两边取对数得，即，即证．记，则.记，则，所以，在区间内单调递减．，则，所以在区间内单调递减．由得，所以，即．[方法四]：构造函数法由已知得，令，不妨设，所以．由（Ⅰ）知，，只需证．证明同证法2．再证明．令．令，则．所以，在区间内单调递增．因为，所以，即又因为，所以，即．因为，所以，即．综上，有结论得证．【整体点评】(2)方法一：等价转化是处理导数问题的常见方法，其中利用的对称差函数，构造函数的思想，这些都是导数问题必备的知识和技能.方法二：等价转化是常见的数学思想，构造对称差函数是最基本的极值点偏移问题的处理策略.方法三：比值代换是一种将双变量问题化为单变量问题的有效途径，然后构造函数利用函数的单调性证明题中的不等式即可.方法四：构造函数之后想办法出现关于的式子，这是本方法证明不等式的关键思想所在.2．(1)(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）利用导数的几何意义求斜率；（2）问题化为时，构造，利用导数研究单调性，即可证结论；（3）构造，，作差法研究函数单调性可得，再构造且，应用导数研究其单调性得到恒成立，对作放缩处理，结合累加得到，即可证结论.【详解】（1），则，所以，故处的切线斜率为；（2）要证时，即证，令且，则，所以在上递增，则，即.所以时.（3）设，，则，由（2）知：，则，所以，故在上递减，故；下证，令且，则，当时，递增，当时，递减，所以，故在x∈0,+∞上恒成立，则，所以，，…，，累加得：，而，因为，所以，则，所以，故；综上，，即.【点睛】关键点点睛：第三问，作差法研究单调性证右侧不等关系，再构造且，导数研究其函数符号得恒成立，结合放缩、累加得到为关键.3．（1）；（2）证明见详解【分析】（1）由题意求出，由极值点处导数为0即可求解出参数；（2）由（1）得，且，分类讨论和，可等价转化为要证，即证在和上恒成立，结合导数和换元法即可求解【详解】（1）由，，又是函数的极值点，所以，解得；（2）[方法一]：转化为有分母的函数由（Ⅰ）知，，其定义域为．要证，即证，即证．（ⅰ）当时，，，即证．令，因为，所以在区间内为增函数，所以．（ⅱ）当时，，，即证，由（ⅰ）分析知在区间内为减函数，所以．综合（ⅰ）（ⅱ）有．[方法二]【最优解】：转化为无分母函数由（1）得，，且，当时，要证，，，即证，化简得；同理，当时，要证，，，即证，化简得；令，再令，则，，令，，当时，，单减，故；当时，，单增，故；综上所述，在恒成立.[方法三]：利用导数不等式中的常见结论证明令，因为，所以在区间内是增函数，在区间内是减函数，所以，即（当且仅当时取等号）．故当且时，且，，即，所以．（ⅰ）当时，，所以，即，所以．（ⅱ）当时，，同理可证得．综合（ⅰ）（ⅱ）得，当且时，，即．【整体点评】（2）方法一利用不等式的性质分类转化分式不等式：当时，转化为证明，当时，转化为证明，然后构造函数，利用导数研究单调性，进而证得；方法二利用不等式的性质分类讨论分别转化为整式不等式：当时，成立和当时，成立，然后换元构造，利用导数研究单调性进而证得，通性通法，运算简洁，为最优解；方法三先构造函数，利用导数分析单调性，证得常见常用结论（当且仅当时取等号）．然后换元得到，分类讨论，利用不等式的基本性质证得要证得不等式，有一定的巧合性.4．(1)见解析(2)见解析【分析】（1）求导，含参分类讨论得出导函数的符号，从而得出原函数的单调性；（2）先根据题设条件将问题可转化成证明当时，即可.【详解】（1）定义域为，当时，，故在上单调递减；当时，时，，单调递增，当时，，单调递减.综上所述，当时，的单调递减区间为；时，的单调递增区间为，单调递减区间为.（2），且时，，令，下证即可.，再令，则，显然在上递增，则，即在上递增，故，即在上单调递增，故，问题得证5．(1)(2)在上单调递增.(3)证明见解析【分析】（1）先求出切点坐标，在由导数求得切线斜率，即得切线方程；（2）在求一次导数无法判断的情况下，构造新的函数，再求一次导数，问题即得解；（3）令，，即证，由第二问结论可知在[0,+∞）上单调递增，即得证.【详解】（1）解：因为，所以，即切点坐标为，又，∴切线斜率∴切线方程为：（2）解：因为，

所以，令，则，∴在上单调递增，∴∴在上恒成立，∴在上单调递增.（3）解：原不等式等价于，令，，即证，∵，，由（2）知在上单调递增，∴，∴∴在上单调递增，又因为，∴，所以命题得证.6．（1）证明见详解（2）【分析】（1）分别构建，，求导，利用导数判断原函数的单调性，进而可得结果；（2）根据题意结合偶函数的性质可知只需要研究在上的单调性，求导，分类讨论和，结合（1）中的结论放缩，根据极大值的定义分析求解.【详解】（1）构建，则对恒成立，则在上单调递增，可得，所以；构建，则，构建，则对恒成立，则在上单调递增，可得，即对恒成立，则在上单调递增，可得，所以；综上所述：.（2）令，解得，即函数的定义域为，若，则，因为在定义域内单调递减，在上单调递增，在上单调递减，则在上单调递减，在上单调递增，故是的极小值点，不合题意，所以.当时，令因为，且，所以函数在定义域内为偶函数，由题意可得：，（i）当时，取，，则，由（1）可得，且，所以，即当时，，则在上单调递增，结合偶函数的对称性可知：在上单调递减，所以是的极小值点，不合题意；（ⅱ）当时，取，则，由（1）可得，构建，则，且，则对恒成立，可知在上单调递增，且，所以在内存在唯一的零点，当时，则，且，则，即当时，，则在上单调递减，结合偶函数的对称性可知：在上单调递增，所以是的极大值点，符合题意；综上所述：，即，解得或，故a的取值范围为.【点睛】关键点睛：1.当时，利用，换元放缩；2.当时，利用，换元放缩.考点突破考点突破【考点一】导数与不等式的证明一、单选题1．（2024·江西·一模）已知，则（

）A． B． C． D．2．（2023·江西南昌·一模）已知，，，则（

）A． B． C． D．3．（22-23高三上·江苏南通·开学考试）设，，，则（

）A． B．C． D．4．（22-23高三下·山东·开学考试）设，则（

）A． B．C． D．二、多选题5．（2023·辽宁·一模）已知实数a，b满足，下列结论中正确的是（

）A． B．C． D．6．（2024·湖北·二模）已知，则下列不等式正确的有（

）A． B．C． D．7．（24-25高三上·安徽·开学考试）已知函数，则下列选项中正确的是（

）A．函数的极小值点为B．C．若函数有4个零点，则D．若，则8．（2024·湖北武汉·模拟预测）对于函数，下列说法正确的是（

）A．函数的单调递减区间为B．C．若方程有6个不等实数根，则D．对任意正实数，且，若，则三、填空题9．（2023·海南·模拟预测）已知函数，，若对任意，恒成立，则实数的取值范围是.10．（22-23高三上·河南·阶段练习）已知，，，其中为自然对数的底数，则，，由大到小依次为．11．（22-23高二下·四川成都·期末）已知和是函数的两个不相等的零点，则的范围是．12．（23-24高二上·山西·期末）若存在实数使得，则的值为.四、解答题13．（2024·广东深圳·二模）已知函数，是的导函数，且．(1)若曲线在处的切线为，求k，b的值；(2)在（1）的条件下，证明：．14．（2024·河南·模拟预测）已知函数.(1)讨论的单调性；(2)证明：当时，.15．（2023·天津河西·二模）已知函数，．(1)若，求函数的最小值及取得最小值时的值；(2)求证：；(3)若函数对恒成立，求实数a的取值范围．16．（22-23高三上·广东河源·期末）已知函数，其中为自然对数的底数，.(1)当时，函数有极小值，求；(2)证明：恒成立；(3)证明：.参考答案：题号12345678答案DABAABDACDACBCD1．D【分析】利用正弦函数的单调性可得，利用导数可证不等式成立，故可判断，故可得三者大小关系.【详解】，设，则，故在上为减函数，故即，所以，故，故选：D.2．A【分析】化简得，构造函数，通过导数可证得，可得，而，从而可得答案．【详解】.设，则有，单调递减，从而，所以，故，即，而，故有．故选：A．3．B【分析】令，利用导数说明函数的单调性，即可得到当时，从而说明，再比较与的大小关系，即可得解.【详解】解：令，则，所以在定义域上单调递减，所以当时，，即，所以，又，，且，，所以；故选：B4．A【分析】利用导数证明不等式当时，，进而得，再讨论与的关系即可判断.【详解】解：令，，则在上恒成立，所以，函数在上单调递减，所以，当时，，即，；令，，则，所以，函数在上单调递减，所以，当时，，即，，所以，当时，所以，，因为，所以所以，，即，即所以，故选：A【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于利用时，，结合二倍角公式，比较与的关系判断.5．ABD【分析】根据题意可得，对A：根据不等式性质分析运算；对B：利用基本不等式分析运算；对C：换元结合二次函数分析运算；对D：构建，利用导数结合基本不等式判断原函数的单调性，即可得结果.【详解】由，可得，对A：∵，则，故，A正确；对B：由选项A可得：，当且仅当，即时，等号成立，故，B正确；对C：，令，则，C错误；对D：，等价于，构建，则当时恒成立，则在上单调递增，由选项A可知：，则，故，D正确；故选：ABD.6．ACD【分析】对于A，构造函数，利用导数判断函数单调性，即可比较；对于B，举反例判断即可；对于C，构造函数，利用导数研究函数最值即可判断；对于D，构造函数，利用导数判断函数单调性，即可比较.【详解】设，则，在0,+∞单调递增，所以，即，即，A正确；令，，则，而，所以，B不正确；设，则，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增；则在时取得最小值，即，C正确；设，则，所以在0,+∞上是增函数，所以由得，即，D正确.故选：ACD7．AC【分析】求导，利用导数判断的单调性和最值，可得的图象，进而可以判断A；对于B：根据的单调性分析判断；对于C：根据偶函数性质分析可知：原题意等价于当时，与有2个交点，结合的图象分析求解；对于D：构建，结合导数可得，结合极值点偏移分析证明.【详解】由题意可知：的定义域为，且，令，解得；令，解得；可知在内单调递减，在内单调递增，则，且当趋近于0或时，趋近于，可得函数的图象，如图所示：对于选项A：可知函数的极小值点为，故A正确；对于选项B：因为，且在内单调递增，所以，故B错误；对于选项C：令，可得，可知函数有4个零点，即与有4个交点，且的定义域为，且，可知为偶函数，且当时，原题意等价于当时，与有2个交点，由题意可知：，故C正确；对于选项D：设，则，可知在内单调递增，则，即，若，不妨设，则，且，且在内单调递增，则，所以，故D错误；故选：AC.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤（1）作差或变形；（2）构造新的函数；（3）利用导数研究的单调性或最值；（4）根据单调性及最值，得到所证不等式．特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题．8．BCD【分析】对于A，分析导函数即得递减区间，不能用“并”连接；对于B，由推理得，利用函数单调性比较即得；对于C，分析函数的奇偶性，分段讨论函数的单调性和图象趋势，得图象简图，结合图象判断两函数交点个数即得；对于D，设函数，构造函数并判断其单调性，利用单调性得出即可.【详解】函数的定义域为，，对于A，由可得或，由可得，即函数的单调递减区间为和，故A错误；对于B，由A得，函数在上单调递增，因，，故，即B正确；对于C，易知为偶函数，当时，，由A项知，函数的单调减区间为和，增区间为.又当时，，当时，，当时，，时，，当时，，当时，，时，，故函数的图象如图所示.

由图可得，直线与函数有6个不同交点，等价于，故C正确；对于D，由图，不妨设，由可得，即，不妨取，设，则，则当时，，故，在上单调递增，又，又，，即.因，则，当时，，在上单调递减，因，故得，即，故D正确.故选：BCD.【点睛】关键点点睛：本题主要考查函数的零点和单调性应用,属于难题.解决该题的关键，在于对函数的图象性质的探求，通过奇偶性单调性判断，作出简图，利用函数零点与方程的根、两函数的图象交点的关系转化解决；同时要根据待证不等式特征，设法构造对应的函数，利用该函数的单调性实现相关量的比较即得.9．【分析】利用导数证明，将圆不等式转化为对恒成立，设，只需函数在上单调递增，由可得，即可求解.【详解】设，则（），令，令，所以函数在上单调递减，在上单调递增，得，即，即.由题意，对恒成立，转化为对恒成立，设，则对恒成立，只需函数在上单调递增，即在上恒成立，有在上恒成立，得，即实数a的取值范围为.故答案为：.10．a，c，b【分析】构造函数，，，利用导数研究函数单调性得；再构造函数，，，结合导数得，成立，进而得，再综合即可得答案.【详解】解：令，，令，，因为当时，，单调递增，又，所以，又，所以在成立，所以，令，，所以，当时，，所以在为减函数，所以，即，令，，则在恒成立，所以，在为减函数，所以，即，所以，成立，令，则上式变为，所以所以，所以．故答案为：a，c，b11．【分析】根据零点确定两个方程，用比值换元法转化为单变量，从而利用求导和二次求导即可.【详解】和是函数两个不相等的零点，不妨设，，两式相减得，令，，，令，所以，令恒成立，在是单调递增，恒成立，在是单调递增，恒成立，，，故答案为：．【点睛】本题考察导数双变量和构造函数证明不等式的方法.12．【分析】利用同构法将不等式转化为，再利用导数证得，进而得到，从而求得的值，由此得解.【详解】因为，所以，令，则，当时，单调递减；当时，单调递增；所以，可得，所以，即，当且仅当，即时等号成立，又，所以，故，此时的值为.故答案为：.【点睛】结论点睛：两个常见的重要不等式：（1）；（2）.13．(1)，；(2)证明见解析.【分析】（1）根据题意，求导可得的值，再由导数意义可求切线，得到答案；（2）设函数，利用导数研究函数的单调性从而求出最小值大于0，可得证.【详解】（1）因为，所以，因为，所以．则曲线在点处的切线斜率为．又因为，所以曲线在点处的切线方程为，即得，．（2）设函数，，则，设，则，所以，当时，，单调递增．又因为，所以，时，，单调递增；时，，单调递减．又当时，，综上在上单调递减，在上单调递增，所以当时，取得最小值，即，所以，当时，．14．(1)答案见解析；(2)证明见解析.【分析】（1）求出函数的导数，分类讨论求解导函数为正为负的不等式解集即得.（2）由（1）中信息，求出函数的最小值，再构造函数，结合不等式性质推理即得.【详解】（1）函数的定义域为，求导得，当时，，函数在上单调递增，当时，由，得，函数在上单调递减，由，得，函数在上单调递增，所以当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减，在上单调递增.（2）证明：由（1）知，函数在上单调递减，在上单调递增，则，令函数，求导得，当时，，函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递减，则，于是，有，当时，则，因此，所以.15．(1)时，；(2)证明见解析；(3)【分析】（1）根据导数研究函数单调性求解函数最值即可；（2）结合（1）将问题转化为证明，进而构造函数证明即可；（3）由题知对恒成立，进而构造函数，结合函数性质，分当，，时三种情况讨论求解即可.【详解】（1）解：当时，，定义域为，所以，令得，所以，当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以，函数在处取得最小值，.（2）解：由（1）知，当时，，即，所以，要证成立，只需证，令，则，所以，当时，恒成立，所以，函数为单调递增函数，所以，，即，所以，所以成立（3）解：因为函数对恒成立所以对恒成立，令，则，当时，，在上单调递增，

所以，由可得，即满足对恒成立；当时，则，，在上单调递增，

因为当趋近于时，趋近于负无穷，不成立，故不满足题意；当时，令得令，恒成立，故在上单调递增，因为当趋近于正无穷时，趋近于正无穷，当趋近于时，趋近于负无穷，所以，使得，，所以，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，只需即可；所以，，，因为，所以，所以，解得，所以，，综上，实数a的取值范围为【点睛】关键点点睛：本题第三问解题的关键在于讨论当时，结合函数的性质得，使得，，进而转化为解.16．(1)(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）求导，求极值点，讨论函数单调性，找到极小值即可解决问题；（2）不等式恒成立，即恒成立，设，构造新函数求导利用函数导数单调性进行分析即可证明结论.（2）由（2）知，，令，则从而有，由的不同值，分别写出不等式，然后累加，结合等比数列求和进行放缩，分析得到结论.【详解】（1），令，解得，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以有极小值，所以，即.（2）证明：不等式恒成立，即恒成立，设，则，易知是定义域上的增函数，又，则在上有一个根，即当时，，当时，此时在单调递减，在单调递增，的最小值为，，，，恒成立，故结论成立.（3）证明：由（2）知，，令，则.由此可知，当时，，当时，，当时，，，当时，，累加得：，又，所以.【点睛】函数与导数综合简答题常常以压轴题的形式出现，难度相当大，主要考向有以下几点：1、求函数的单调区间（含参数）或判断函数（含参数）的单调性；2、求函数在某点处的切线方程，或知道切线方程求参数；3、求函数的极值（最值）；4、求函数的零点（零点个数），或知道零点个数求参数的取值范围；5、证明不等式；解决方法：对函数进行求导，结合函数导数与函数的单调性等性质解决，在证明不等式或求参数取值范围时，通常会对函数进行参变分离，构造新函数，对新函数求导再结合导数与单调性等解决.规律方法：利用导数证明不等式问题的方法(1)直接构造函数法：证明不等式f(x)>g(x)(或f(x)<g(x))转化为证明f(x)－g(x)>0(或f(x)－g(x)<0)，进而构造辅助函数h(x)＝f(x)－g(x)．(2)适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论．(3)构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同结构变形，根据相似结构构造辅助函数．专题精练专题精练一、单选题1．（2023·湖南长沙·一模）已知，，，则a，b，c的大小关系是（

）A． B．C． D．2．（22-23高三上·江苏南通·期末）设,,,则（

）A． B．C． D．3．（2023·上海奉贤·二模）设是一个无穷数列的前项和,若一个数列满足对任意的正整数,不等式恒成立,则称数列为和谐数列,有下列3个命题:①若对任意的正整数均有,则为和谐数列;②若等差数列是和谐数列,则一定存在最小值;③若的首项小于零,则一定存在公比为负数的一个等比数列是和谐数列．以上3个命题中真命题的个数有(

)个A．0 B．1 C．2 D．34．（2022·山东临沂·三模）已知定义在R上的奇函数满足，且当时，则不等式在上的解集为（

）A． B．C． D．5．（22-23高三上·浙江·期末）已知，则（

）A． B． C． D．6．（22-23高三上·浙江杭州·阶段练习）设，则（

）A． B．C． D．7．（22-23高二下·湖南株洲·开学考试），，，则的大小关系为（

）.A． B．C． D．8．（23-24高三上·广东·期末）若，则的大小关系为（

）A． B．C． D．二、多选题9．（21-22高二下·湖南·阶段练习）已知，则（

）A． B． C． D．10．（22-23高二上·湖南张家界·期末）已知，且，下列不等式恒成立的是（

）A． B．C． D．11．（2023·山东潍坊·三模）已知函数，实数满足不等式，则的取值可以是（

）A．0 B．1 C．2 D．3三、填空题12．（23-24高三上·上海闵行·期中）已知，若函数的值域为，则实数的取值范围是．13．（22-23高三上·湖北·阶段练习）请写出一个满足以下条件的函数的解析式.①为偶函数；②当时，.14．（23-24高三上·上海杨浦·期中）已知函数，，若有且仅有一个正整数，使得不等式成立，则实数a的取值范围是.四、解答题15．（22-23高二下·河南·期末）已知函数，．(1)当时，证明：在上恒成立；(2)若有2个零点，求a的取值范围．16．（2024·北京平谷·模拟预测）设函数，曲线在点处的切线斜率为1．(1)求a的值；(2)设函数，求的单调区间；(3)求证：．17．（2024·重庆·模拟预测）已知函数(1)讨论函数的单调性；(2)证明：当时，18．（2024·云南贵州·二模）已知函数.(1)若，求证：当时，(2)若有两个不同的极值点且.（i）求的取值范围；（ii）求证：.19．（2024·辽宁大连·一模）已知函数．(1)若恒成立，求a的取值范围；(2)当时，证明：．参考答案：题号12345678910答案DDDADCBAACDABD题号11答案CD1．D【分析】转化为比较比较的大小，构造函数，先证明，，中最大，设，先证明，再证明，即得解.【详解】要比较，，等价于比较的大小,等价于比较,即比较,构造函数,,令得,令得,所以在单调递增,单调递减.所以,因为，所以最大，即，，中最大，设，结合的单调性得，，先证明，其中，即证，令，，其中，则，所以，函数在上为增函数，当时，，所以，当时，，则有，由可知，所以，因为，所以即，因为，在单调递增，所以，即，因为所以所以，即，因为，在单调递减.所以，即，即，综上，.故选：D【点睛】关键点睛：应用对数平均不等式（需证明）证明极值点偏移：①由题中等式中产生对数；②将所得含对数的等式进行变形得到；③利用对数平均不等式来证明相应的问题.2．D【分析】三个数中有指数和对数,用到放缩,即,则,即可得,根据,可得,取可得,选出选项即可.【详解】解:由题知,记,,所以,所以,所以,在时成立,所以,即,即,记,,所以,所以在上,,单调递减,在上,,单调递增,所以,所以,则,即,即,,即有,因为,所以,综上:.故选:D3．D【分析】先得出的等价条件,然后再进行判断,对于③可以取一个公比为负数的等比数列说明其存在性即可.【详解】对于①,，若,则,所以①正确;对于②,设等差数列的公差为，则,所以，即为公差为的等差数列,若为和谐数列,即,则，所以关于的二次函数,开口向上，所以在上一定存在最小值,所以②正确;对于③,取,则,,下面证明,即说明存在公比为负数的一个等比数列是和谐数列,即证,即证,即证,当,上式左边为负数,显然成立,当,时,即证,即证，（*）设,所以,即（*）式成立,所以③正确.故选：D4．A【分析】先得出的周期以及对称轴，再证明在上恒成立，通过对称性画出函数和在上的简图，由图象得出解集.【详解】由题意可得，，即是周期为的函数，且图像关于对称.令时，，时，函数在0,1上单调递增当时，，即设，即函数在上单调递减，则，即故在上恒成立结合对称性可画出函数和在上的简图，如下图所示由图象可知，不等式在上的解集为故选：A5．D【分析】对已知等式化简可以得到，结合导数的性质逐一判断即可.【详解】，展开得，对A项：，令单调递增，所以，所以不成立，故A错误；对B项：，因为，所以不一定成立，故B错误；对C项：，这与矛盾，故C错误；对D项：，显然成立，故D正确．故选：D.【点睛】关键点睛：由已知等式得到是解题的关键.6．C【分析】构造函数，求出导数，利用导数性质判断函数的单调性，由此能求出结果．【详解】解：令，所以，当时，当时，即函数fx在上单调递减，在上单调递增，所以，即，当且仅当时取等号，令，可得，令，，则在时，，在上单调递增，，时，．，令，则，所以当时，当时，即函数在上单调递增，在上单调递减，所以，即，当且仅当时取等号，所以当，可得，所以最小，设，则，在上单调递增，，，，综上可得；故选：C7．B【分析】分别构造函数证明与，利用这两个不等式可判断；构造函数，可证得，即可判断，从而得出答案.【详解】令，则，则在上单调递增，故，则．令，则，则在上单调递增，故，则．所以，即；令，则，因为，所以，则，故，所以在上单调递增，则，即，易知，所以，则，即；综上：.故选：B.8．A【分析】由题意可得，构造函数，利用导数求出函数的最值，作出函数的图象，结合图象即可得解.【详解】由，可得，所以，故，所以，令，则，当时，f'x>0，当时，f所以在上单调递增，在0,1上单调递减，所以，即，所以，当且仅当时取等号，如图，作出函数的图象，由图可知，可知.故选：A.9．ACD【分析】令，根据导数可得到在上单调递增，通过对数运算和的单调性即可判断每个选项【详解】设，，则在上恒成立，所以在上单调递增，因为，所以，即，即，因为单调递增，所以，A项正确；因为，所以，即，所以，因为单调递增，所以，B项错误；因为，所以，D项正确；因为单调递增，，所以，所以，C项正确，故选：ACD10．ABD【分析】分别构造函数，，，利用导函数讨论单调性和最值即可一一证明.【详解】设函数恒成立，所以在单调递增，所以，所以对恒成立，所以恒成立，A正确；设函数，，令解得，所以在单调递增，所以，即对恒成立，所以恒成立，B正确；设函数，，令解得，令解得，所以当时，有增有减，所以时，的大小关系不一定，即不恒成立，也即不恒成立，C错误；因为，所以令，设，因为，所以恒成立，所以单调递增，所以，即，即即，也即，D正确，故选:ABD.11．CD【分析】根据函数解析式判断出函数对称性，根据函数导数判断函数单调性，根据函数单调性将外函数的大小比较转化为内函数大小比较即可.【详解】因为，所以，所以关于对称，，当且仅当，即时等号成立，又因，所以恒成立，则是增函数，因为，所以，则.故选：CD.12．【分析】求出分段函数在各段上的函数值集合，再根据给定值域，列出不等式求解即可.【详解】由对数函数的定义和单调性可知，且当时，，当时因为一元二次函数的对称轴为，所以当时，，若函数的值域为，则解得；当时，，若函数的值域为，则，令，所以，令，表示对称轴为，开口向下的抛物线，因为，，所以存在使得，所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，又因为，，所以由解得，综上，故答案为：13．（答案不唯一）【分析】根据题意，结合函数的性质写出一个符合题意的函数即可.【详解】记，则.所以当时，有，函数gx单调递减；当时，有，函数gx单调递增，所以，即.所以恒成立.所以当时，可取满足.因为为偶函数，所以可以找到一个符合题意的函数：故答案为：（答案不唯一）.14．【分析】根据函数解析式，分情况作图，利用图象可得的取值，建立不等式，可得答案.【详解】函数，，当时，可得作图如下：由题意，若，则，化简可得，解得，当时，，，此时不符合题意，当时，令，，令，且函数图象的对称轴为直线，由，则或，所以函数在上单调递减，可得，则，在上单调递减，，则在上恒成立，所以此时不符合题意；当时，可作图如下：显然不存在符合题意的.综上所述，的取值范围为.故答案为：.15．(1)证明见解析(2)【分析】（1）设，对函数求导得，根据指数函数和幂函数的性质知函数在上单调递增且，结合导数研究函数的单调性求出即可；（2）函数有2个零点等价于函数与的图象有2个交点，利用导数讨论函数的单调性，结合图形即可求解.【详解】（1）当时，设，则，设，由函数和在上单调递增，知函数在上单调递增，且，所以当时，，即在上单调递减，当时，，即在上单调递增，所以即在上恒成立；（2）由，得，令，则有2个零点，等价于函数与的图象有2个交点，令，得，当时，当时，则函数在上单调递增，在上单调递减，故，且当时，，当趋向于正无穷时，趋向于正无穷的速率远远比大，故趋向于0，作出函数的大致图象如下：结合图象可知，当时，与的图象有2个交点，故a的取值范围是．16．(1)(2)单调递减区间为，单