2025年高考数学二轮复习 专题一 函数与导数 第3讲　导数的几何意义及函数的单调性原卷版

第3讲导数的几何意义及函数的单调性（新高考专用）目录目录【真题自测】 2【考点突破】 2【考点一】导数的几何意义与计算 2【考点二】利用导数研究函数的单调性 4【考点三】单调性的简单应用 5【专题精练】 6考情分析：1.导数的几何意义和计算是导数应用的基础，是高考的热点，多以选择题、填空题的形式考查，难度较小.2.应用导数研究函数的单调性，是导数应用的重点内容，也是高考的常见题型，以选择题、填空题的形式考查，或为导数解答题第一问，难度中等偏上，属综合性问题．真题自测真题自测一、单选题1．（2024·全国·高考真题）设函数，则曲线y=fx在点0,1处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（

）A． B． C． D．2．（2023·全国·高考真题）曲线在点处的切线方程为（

）A． B． C． D．3．（2023·全国·高考真题）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（

）．A． B．e C． D．4．（2022·全国·高考真题）函数在区间的最小值、最大值分别为（

）A． B． C． D．5．（2022·全国·高考真题）当时，函数取得最大值，则（

）A． B． C． D．1二、填空题6．（2023·全国·高考真题）设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是.7．（2022·全国·高考真题）曲线过坐标原点的两条切线的方程为，．8．（2022·全国·高考真题）若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是．考点突破考点突破【考点一】导数的几何意义与计算核心梳理：1．导数的几何意义(1)函数在某点的导数即曲线在该点处的切线的斜率．(2)曲线在某点的切线与曲线过某点的切线不同．(3)切点既在切线上，又在曲线上．2．复合函数的导数复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x.一、单选题1．（22-23高二上·湖北襄阳·期末）若函数在处的导数为1，则（

）A．2 B．3 C． D．2．（2024·福建厦门·一模）已知直线与曲线在原点处相切，则的倾斜角为（

）A． B． C． D．二、多选题3．（2024·广东广州·二模）已知函数，则（

）A．的定义域为 B．的图像在处的切线斜率为C． D．有两个零点，且4．（23-24高二下·重庆·期末）已知三次函数有极小值点，则下列说法中正确的有（

）A．B．函数有三个零点C．函数的对称中心为D．过可以作两条直线与的图象相切5．（2024·四川成都·模拟预测）已知函数，则（

）A．有两个极值点B．有一个零点C．点是曲线的对称中心D．直线是曲线的切线6．（21-22高三上·山东菏泽·期末）已知函数的图象如图所示，令，则下列说法正确的是（

）A．B．函数图象的对称轴方程为C．若函数的两个不同零点分别为，则的最小值为D．函数的图象上存在点，使得在点处的切线斜率为规律方法：求曲线的切线方程要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点．【考点二】利用导数研究函数的单调性核心梳理：利用导数研究函数单调性的步骤(1)求函数y＝f(x)的定义域．(2)求f(x)的导数f′(x)．(3)求出f′(x)的零点，划分单调区间．(4)判断f′(x)在各个单调区间内的符号．一、单选题1．（2024·贵州贵阳·一模）已知定义域为的函数，其导函数为，且满足，，则（

）A． B．C． D．2．（22-23高二下·浙江杭州·期中）已知，则的大小为（

）A． B．C． D．二、多选题3．（2024·广东深圳·一模）设，且，则下列关系式可能成立的是（

）A． B． C． D．4．（2024·云南昆明·模拟预测）已知函数，则下列说法正确的是（

）A．若为上的单调函数，则B．若时，在上有最小值，无最大值C．若为奇函数，则D．当时，在处的切线方程为三、填空题5．（2023·贵州铜仁·模拟预测）已知，若有四个不同的零点，则t的取值范围是．6．（23-24高二下·上海·期中）函数的严格递减区间是.规律方法：(1)讨论函数的单调性是在函数的定义域内进行的，千万不要忽视了定义域的限制；(2)在能够通过因式分解求出不等式对应方程的根时，根据根的大小进行分类讨论；(3)在不能通过因式分解求出根的情况时，根据不等式对应方程的判别式进行分类讨论．【考点三】单调性的简单应用核心梳理：1．函数f(x)在区间D上单调递增(或递减)，可转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)在x∈D上恒成立．2．函数f(x)在区间D上存在单调递增(或递减)区间，可转化为f′(x)>0(或f′(x)<0)在x∈D上有解．一、单选题1．（24-25高三上·江西抚州·阶段练习）函数在R上单调，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．2．（2018·吉林·模拟预测）已知函数，，当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．二、多选题3．（23-24高三下·江苏南通·开学考试）已知非零函数及其导函数的定义域均为，与均为偶函数，则（

）A． B．C． D．4．（21-22高二下·浙江金华·阶段练习）已知函数，则下列结论正确的是（

）A．f(x)是奇函数 B．若f(x)为增函数，则C．当时，函数f(x)恰有两个零点 D．当时，函数f(x)恰有1个极值点三、填空题5．（2024·江西上饶·一模）若函数在区间上单调递增，则的取值范围为．6．（22-23高二下·浙江·期中）已知函数，若不等式对恒成立，则实数a的取值范围为.规律方法：利用导数比较大小或解不等式的策略利用导数比较大小或解不等式，常常要构造新函数，把比较大小或解不等式的问题，转化为利用导数研究函数单调性问题，再由单调性比较大小或解不等式．专题精练专题精练一、单选题1．（23-24高三下·江西抚州·阶段练习）如图1，现有一个底面直径为10cm，高为25cm的圆锥容器，以的速度向该容器内注入溶液，随着时间（单位：）的增加，圆锥容器内的液体高度也跟着增加，如图2所示，忽略容器的厚度，则当时，圆锥容器内的液体高度的瞬时变化率为（

）

A． B． C． D．2．（2024·四川宜宾·模拟预测）若曲线在处的切线也是曲线的切线，则（

）A．-2 B．1 C． D．3．（2024·河南开封·二模）已知函数，则函数的图象在点处的切线方程为（

）A． B．C． D．4．（2024·贵州六盘水·三模）已知曲线的一条切线方程为，则实数（）A．-2 B． C．1 D．25．（2024·广东·一模）设点在曲线上，点在直线上，则的最小值为（

）A． B．C． D．6．（2024·辽宁·模拟预测）已知直线与曲线相切，则的方程不可能是（

）A． B．C． D．7．（2024·湖南永州·三模）已知函数，其中是自然对数的底数.若，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．8．（2024·陕西安康·模拟预测）已知命题为假命题，则的取值范围为（

）A． B． C． D．二、多选题9．（2024·全国·模拟预测）设，曲线在点处切线的斜率为，与x轴的交点为，与y轴的交点为，则（

）A．B．C．D．10．（2024·湖南·模拟预测）已知定义在上的函数满足为偶函数，为奇函数，当时，，则下列说法正确的是（

）A． B．函数为周期函数C．函数为上的偶函数 D．11．（2024·福建南平·模拟预测）已知函数是的导函数，则（

）A．“”是“为奇函数”的充要条件B．“”是“为增函数”的充要条件C．若不等式的解集为且，则的极小值为D．若是方程的两个不同的根，且，则或三、填空题12．（2023·福建厦门·模拟预测）已知函数，若曲线与曲线存在公切线，则实数的最大值为．13．（2024·山东滨州·二模）若函数在区间上单调递减，则的取值范围是．14．（2024·