2025年高考数学二轮复习 专题四 立体几何 第3讲 空间向量与空间角原卷版

第3讲空间向量与空间角（新高考专用）目录目录【真题自测】 2【考点突破】 5【考点一】异面直线所成的角 5【考点二】直线与平面的夹角 7【考点三】平面与平面的夹角 9【专题精练】 11考情分析：以空间几何体为载体考查空间角是高考命题的重点．空间向量是将空间几何问题坐标化的工具，利用空间向量求平面与平面的夹角或线面角是高考热点，通常以解答题的形式出现，难度中等．真题自测真题自测一、解答题1．（2024·全国·高考真题）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，，，，为的中点．(1)证明：平面；(2)求二面角的正弦值．2．（2024·全国·高考真题）如图，平面四边形ABCD中，，，，，，点E，F满足，，将沿EF翻折至，使得．(1)证明：；(2)求平面PCD与平面PBF所成的二面角的正弦值．3．（2023·全国·高考真题）如图，在正四棱柱中，．点分别在棱,上，．

(1)证明：；(2)点在棱上，当二面角为时，求．4．（2023·全国·高考真题）如图，三棱锥中，，，，E为BC的中点．(1)证明：；(2)点F满足，求二面角的正弦值．5．（2022·全国·高考真题）如图，是三棱锥的高，，，E是的中点．

(1)证明：平面；(2)若，，，求二面角的正弦值．6．（2022·全国·高考真题）在四棱锥中，底面．(1)证明：；(2)求PD与平面所成的角的正弦值．7．（2022·全国·高考真题）如图，四面体中，，E为的中点．(1)证明：平面平面；(2)设，点F在上，当的面积最小时，求与平面所成的角的正弦值．8．（2022·全国·高考真题）如图，直三棱柱的体积为4，的面积为．(1)求A到平面的距离；(2)设D为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值．考点突破考点突破【考点一】异面直线所成的角核心梳理：设异面直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，异面直线l与m的夹角为θ.则(1)θ∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))；(2)cosθ＝|cos〈a，b〉|＝eq\f(|a·b|,|a||b|)＝eq\f(|a1a2＋b1b2＋c1c2|,\r(a\o\al(2,1)＋b\o\al(2,1)＋c\o\al(2,1))\r(a\o\al(2,2)＋b\o\al(2,2)＋c\o\al(2,2))).一、单选题1．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．2．（2024·河南信阳·模拟预测）已知三棱柱满足，，，则异面直线与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．二、多选题3．（2024·四川南充·一模）如图，在边长为2的正方体中，E为AD的中点，F为的中点，过点、E、B作正方体的截面α，则下列结论中正确的是（

）A．三棱锥的体积为B．与所成角的余弦值为C．D．二面角的余弦值为4．（2024·天津蓟州·模拟预测）如图，在棱长为1的正方体中，为平面内一动点，则下列说法不正确的是（

）A．若在线段上，则的最小值为B．平面被正方体内切球所截，则截面面积为C．若与所成的角为，则点的轨迹为椭圆D．对于给定的点，过有且仅有3条直线与直线所成角为三、填空题5．（2024·广东·一模）在正方体中，点P、Q分别在、上，且，，则异面直线与所成角的余弦值为6．（23-24高二上·江苏苏州·期末）已知圆台的高为2，上底面圆的半径为2，下底面圆的半径为4，，两点分别在圆、圆上，若向量与向量的夹角为60°，则直线与直线所成角的大小为．规律方法：用向量法求异面直线所成的角的一般步骤(1)建立空间直角坐标系．(2)用坐标表示两异面直线的方向向量．(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值．(4)注意两异面直线所成角的范围是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，即两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对值．【考点二】直线与平面所成的角核心梳理：设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ，则(1)θ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))；(2)sinθ＝|cos〈a，n〉|＝eq\f(|a·n|,|a||n|).一、单选题1．（2024·河北·模拟预测）已知正方体的棱长为，点N是四边形内一点，且满足，则DN与平面所成角的正切值的最小值为（

）A． B． C． D．2．（23-24高二上·全国·期中）PA，PB，PC是从点P引出的三条射线，每两条的夹角均为60°，则直线PC与平面PAB所成角的余弦值为（）A． B． C． D．二、多选题3．（2024·福建泉州·模拟预测）刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容．用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制）．已知正三棱台中，，棱，的中点分别为，．若该棱台顶点，的曲率之差为，则（

）A．B．平面C．直线与平面所成角的正弦值等于D．多面体顶点D的曲率的余弦值等于4．（2024·山西吕梁·三模）已知正方体的棱长为是空间中的一动点，下列结论正确的是（

）A．若点在正方形内部，异面直线与所成角为，则的范围为B．平面平面C．若，则的最小值为D．若，则平面截正方体所得截面面积的最大值为三、填空题5．（2024·广东茂名·模拟预测）已知四棱柱的底面是正方形，，，点在底面的射影为中点H，则直线与平面所成角的正弦值为．6．（2024·全国·模拟预测）在棱长为2的正方体中，动点，分别在棱，上，且满足，当的体积最小时，与平面所成角的正弦值是．四、解答题7．（24-25高二上·河北张家口·阶段练习）如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，，且底面，点P、Q分别是棱的中点.(1)在底面内是否存在点，满足平面?若存在，请说明点的位置，若不存在，请说明理由；(2)设平面交棱于点T，平面将四棱台分成上，下两部分，求与平面所成角的正弦值.8．（24-25高三上·安徽·开学考试）如图，在三棱台中，上､下底面是边长分别为4和6的等边三角形，平面，设平面平面，点分别在直线和直线上，且满足.(1)证明：平面；(2)若直线和平面所成角的余弦值为，求该三棱台的体积.规律方法：(1)线面角θ与直线的方向向量a和平面的法向量n所成的角〈a，n〉的关系是〈a，n〉＋θ＝eq\f(π,2)或〈a，n〉－θ＝eq\f(π,2)，所以应用向量法求的是线面角的正弦值，而不是余弦值．(2)利用方程思想求法向量，计算易出错，要认真细心．【考点三】平面与平面的夹角核心梳理：设平面α，β的法向量分别为u，v，平面α与平面β的夹角为θ，则(1)θ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))；(2)cosθ＝|cos〈u，v〉|＝eq\f(|u·v|,|u||v|).一、单选题1．（2024·江西宜春·模拟预测）在正方体中，平面经过点，平面经过点，当平面分别截正方体所得截面面积最大时，平面与平面的夹角的余弦值为（

）A． B． C． D．2．（24-25高二上·福建·阶段练习）在矩形中，，，将沿着翻折，使点在平面上的投影恰好在直线AB上，则此时二面角的余弦值为（

）A． B． C． D．二、多选题3．（23-24高一下·浙江宁波·期中）如图，已知正方体的棱长为2，，，分别为，，的中点，以下说法正确的是（

）A．三棱锥的体积为 B．平面C．平面 D．二面角的余弦值为4．（2024·江西景德镇·三模）正方体的棱长为6，，分别是棱，的中点，过，，作正方体的截面，则（

）A．该截面是五边形B．四面体外接球的球心在该截面上C．该截面与底面夹角的正切值为D．该截面将正方体分成两部分，则较小部分的体积为75三、填空题5．（2024·江苏苏州·模拟预测）在平面直角坐标系中，设，若沿直线把平面直角坐标系折成大小为的二面角后，，则的余弦值为．四、解答题6．（2024·广东·模拟预测）如图，在四棱锥中，平面，底面为等腰梯形，其中，．(1)证明：平面平面．(2)若，求二面角的余弦值．7．（2024·云南·模拟预测）如图，已知四棱锥中，平面，，．

(1)求证：平面平面；(2)若平面与平面所成角的余弦值为，求线段的长．规律方法：平面与平面夹角的取值范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，两向量夹角的取值范围是[0，π]，两平面的夹角与其对应的两法向量的夹角不一定相等，而是相等或互补．专题精练专题精练一、单选题1．（2024·全国·模拟预测）在正方体中，，则异面直线与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．2．（2023·贵州贵阳·模拟预测）古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥面的方法来研究圆锥曲线，如图1，设圆锥轴截面的顶角为，用一个平面去截该圆锥面，随着圆锥的轴和所成角的变化，截得的曲线的形状也不同．据研究，曲线的离心率为，比如，当时，，此时截得的曲线是抛物线．如图2，在底面半径为，高为的圆锥中，、是底面圆上互相垂直的直径，是母线上一点，，平面截该圆锥面所得的曲线的离心率为（

）

A． B． C． D．二、多选题3．（2024·广东·三模）已知正方体的棱长为分别为棱的中点，则（

）A．三棱锥的体积为B．与所成的角为C．过三点的平面截正方体所得截面图形为等腰梯形D．平面与平面夹角的正切值为4．（2024·重庆·三模）如图，已知正方体中，分别为棱、的中点，则下列说法正确的是（

）A．四点共面 B．与异面C． D．RS与所成角为5．（2024·辽宁·模拟预测）已知正三棱柱的底面边长为，高为，记异面直线与所成角为，则（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则6．（2024·江苏连云港·模拟预测）在棱长为2的正方体中，E，F，G分别为棱，CD，的中点，则（

）A．B．平面EFG截正方体所得到的截面面积是C．直线AB和直线与平面EFG所成的角相等D．点E到平面BFG的距离为三、填空题7．（2024·全国·模拟预测）如图，在四棱锥中，平面，，，四边形为直角梯形，，，给出下列结论：①平面；②三棱锥的外接球的表面积为；③异面直线与所成角的余弦值为；④直线与平面所成角的正弦值为.则所有正确结论的序号是.8．（2024·全国·模拟预测）在正四棱锥中，点分别为的中点，，异面直线所成角的余弦值为，则正四棱锥的高为，外接球的表面积为．四、解答题9．（2024·浙江嘉兴·模拟预测）如图，已知四棱锥的底面是边长为6的正方形，侧面底面，点分别是的中点，点在棱上且.(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成的角的正弦值.10．（2024·安徽·一模）如图，四棱锥中，底面是矩形，，，，M是