2025年高考数学二轮复习 专题六 解析几何 第5讲　定点(定直线)问题原卷版

第5讲定点(定直线)问题（新高考专用）目录目录【真题自测】 2【考点突破】 2【考点一】定点(定直线)问题 2【专题精练】 4考情分析：解析几何中的定点问题是高考考查的热点，难度较大，是高考的压轴题，其类型一般为直线过定点与圆过定点等.真题自测真题自测一、解答题1．（2023·全国·高考真题）已知椭圆的离心率是，点在上．(1)求的方程；(2)过点的直线交于两点，直线与轴的交点分别为，证明：线段的中点为定点．2．（2022·全国·高考真题）已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过两点．(1)求E的方程；(2)设过点的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足．证明：直线HN过定点．考点突破考点突破【考点一】定点(定直线)问题一、单选题1．（2024·江苏苏州·模拟预测）设椭圆的离心率等于，抛物线的焦点是椭圆的一个顶点，A、B分别是椭圆的左右顶点．动点P、Q为椭圆上异于A、B两点，设直线、的斜率分别为，且．则（

）A．的斜率可能不存在，且不为0B．点纵坐标为C．直线的斜率D．直线过定点2．（2023·山东·模拟预测）已知抛物线：，过直线：上的动点可作的两条切线，记切点为，则直线（

）A．斜率为2 B．斜率为 C．恒过点 D．恒过点二、多选题3．（2024·云南昆明·模拟预测）设O为坐标原点，直线l过抛物线C：的焦点F且与C交于A，B两点（点A在第一象限），，l为C的准线，，垂足为M，，则下列说法正确的是（

）A．B．的最小值为C．若，则D．x轴上存在一点N，使为定值4．（2024·安徽安庆·二模）抛物线的焦点为，经过点F且倾斜角为的直线l与抛物线C交于A，B两点，分别过点A、点B作抛物线C的切线，两切线相交于点E，则（

）A．当时，B．面积的最大值为2C．点E在一条定直线上D．设直线倾斜角为，为定值三、解答题5．（2024·浙江杭州·二模）已知是椭圆的左，右顶点，点与椭圆上的点的距离的最小值为1.(1)求点的坐标.(2)过点作直线交椭圆于两点（与不重合），连接，交于点.（ⅰ）证明：点在定直线上；（ⅱ）是否存在点使得，若存在，求出直线的斜率；若不存在，请说明理由.6．（2024·浙江·二模）已知双曲线左右焦点分别为，，点在双曲线上，且点到双曲线两条渐近线的距离乘积为，过分别作两条斜率存在且互相垂直的直线，，已知与双曲线左支交于，两点，与左右两支分别交于，两点.(1)求双曲线的方程；(2)若线段，的中点分别为，，求证：直线恒过定点，并求出该定点坐标.7．（2024·辽宁葫芦岛·一模）已知双曲线G的中心为坐标原点，离心率为，左、右顶点分别为A-4,0，B4,0(1)求的方程；(2)过右焦点的直线l与G的右支交于M，N两点，若直线与交于点．（i）证明：点在定直线上：（ii）若直线与交于点，求证：PF2⊥QF8．（23-24高二上·辽宁大连·期末）已知双曲线，点，经过点M的直线交双曲线C于不同的两点A、B，过点A，B分别作双曲线C的切线，两切线交于点E．（二次曲线在曲线上某点处的切线方程为）(1)求证：点E恒在一条定直线L上；(2)若两直线与L交于点N，，求的值；(3)若点A、B都在双曲线C的右支上，过点A、B分别作直线L的垂线，垂足分别为P、Q，记，，的面积分别为，问：是否存在常数m，使得？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．规律方法：动线过定点问题的两大类型及解法(1)动直线l过定点问题，解法：设动直线方程(斜率存在)为y＝kx＋t，由题设条件将t用k表示为t＝mk，得y＝k(x＋m)，故动直线过定点(－m,0)．(2)动曲线C过定点问题，解法：引入参变量建立曲线C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点．专题精练专题精练一、单选题1．（2024·海南·模拟预测）在平面直角坐标系中，椭圆的左、右顶点分别为，点是椭圆上异于的点，为平面内一点，且满足，过点作直线的垂线与直线交于点，则（

）A．12 B．16 C．24 D．322．（2024·甘肃定西·一模）已知椭圆的离心率为是上任意一点，为坐标原点，到轴的距离为，则（

）A．为定值 B．为定值C．为定值 D．为定值3．（2024·湖北黄石·三模）已知为双曲线上的动点，，，直线：与双曲线的两条渐近线交于，两点（点在第一象限），与在同一条渐近线上，则的最小值为（

）A． B． C．0 D．4．（2024·四川宜宾·模拟预测）已知抛物线，过动点作两条相互垂直的直线，分别与抛物线相切于点，则面积的最小值是（

）A．6 B．9 C．12 D．185．（2024·浙江·模拟预测）设点，，是抛物线上3个不同的点，且，若抛物线上存在点，使得线段总被直线平分，则点的横坐标是（

）A．1 B．2 C．3 D．4二、多选题6．（2024·河北沧州·三模）已知椭圆的上顶点、左顶点为为椭圆上异于点的两个不同点，则下列结论正确的是（

）A．若直线的斜率之和为，则直线恒过定点B．若直线的斜率之积为，则直线恒过定点C．若直线的斜率之和为，则直线恒过定点D．若直线的斜率之积为.则直线恒过定点7．（2023·全国·模拟预测）已知双曲线：的右焦点为F，动点M，N在直线：上，且，线段，分别交C于P，Q两点，过P作的垂线，垂足为.设的面积为，的面积为，则（

）A．的最小值为 B．C．为定值 D．的最小值为8．（2024·广西南宁·一模）已知抛物线的焦点为，过作两条互相垂直的直线，与交于、Q两点，与交于、N两点，的中点为的中点为，则（

）A．当时， B．的最小值为18C．直线过定点 D．的面积的最小值为4三、填空题9．（2024·安徽合肥·三模）已知曲线的方程为，过作直线与曲线分别交于两点．过作曲线的切线，设切线的交点为．则的最小值为．10．（23-24高三上·云南昆明·阶段练习）已知双曲线的左､右焦点分别为，点在的左支上，，，延长交的右支于点，点为双曲线上任意一点（异于两点），则直线与的斜率之积.四、解答题11．（23-24高二上·上海浦东新·期中）如图，D为圆O：上一动点，过点D分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为A，B，连接并延长至点W，使得，点W的轨迹记为曲线．(1)求曲线C的方程；(2)若过点的两条直线，分别交曲线C于M，N两点，且，求证：直线MN过定点；(3)若曲线C交y轴正半轴于点S，直线与曲线C交于不同的两点G，H，直线SH，SG分别交x轴于P，Q两点．请探究：y轴上是否存在点R，使得？若存在，求出点R坐标；若不存在，请说明理由．12．（2024·广东韶关·二模）已知椭圆的离心率为，长轴长为4，是其左、右顶点，是其右焦点．(1)求椭圆的标准方程；(2)设是椭圆上一点，的角平分线与直线交于点．①求点的轨迹方程；②若面积为，求．13．（2024·贵州贵阳·一模）已知双曲线的方程为，虚轴长为2，点在上.(1)求双曲线的方程；(2)过原点的直线与交于两点，已知直线和直线的斜率存在，证明：直线和直线的斜率之积为定值；(3)过点的直线交双曲线于两点，直线与轴的交点分别为，求证：的中点为定点.14．（2023·湖北·二模）已知双曲线C：的离心率为，过点的直线l与C左右两支分别交于M，N两个不同的点（异于顶点）．(1)若点P为线段MN的中点，求直线OP与直线MN斜率之积（O为坐标原点）；(2)若A，B为双曲线的左右顶点，且，试判断直线AN与直线BM的交点G是否在定直线上，若是，求出该定直线，若不是，请说明理由15．（23-24高二下·四川泸州·阶段练习）已知抛物线的焦点为，为上一点，且.(1)求的方程；(2)过点且斜率存在的直线与交于不