5.2三角函数的概念【四大必考点+十大秒杀招+八大题型+分层训练】高一数学题型归类

5.2三角函数的概念【四大必考点+十大秒杀招+八大题型+分层训练】知识精讲知识精讲知识点01三角函数的概念(1)任意角的三角函数的定义前提如图，设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y)定义正弦函数把点P的纵坐标y叫做α的正弦函数，记作sinα，即y＝sinα余弦函数把点P的横坐标x叫做α的余弦函数，记作cosα，即x＝cosα正切函数把点P的纵坐标与横坐标的比值eq\f(y,x)叫做α的正切，记作tanα，即eq\f(y,x)＝tanα(x≠0)，以单位圆上点的纵坐标与横坐标的比值为函数值的函数，称为正切函数三角函数我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数注：三角函数的定义(1)三角函数是一种函数，它满足函数的定义，可以看成是从角的集合(弧度制)到一个比值的集合的对应．(2)三角函数是用比值来定义的，所以三角函数的定义域是使比值有意义的角的范围．(3)三角函数值的大小与点P(x，y)在角α终边上的位置无关，只由角α的终边位置决定，即三角函数值的大小只与角有关．(2)三角函数的定义域三角函数定义域y＝sinxx∈Ry＝cosxx∈Ry＝tanxx≠eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z)知识点02三角函数值的符号规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦．知识点03诱导公式(一)名称符号语言文字语言诱导公式(一)sin(α＋k·2π)＝sinα(k∈Z)cos(α＋k·2π)＝cosα(k∈Z)tan(α＋k·2π)＝tanα(k∈Z)终边相同的角的同一三角函数的值相等注：公式一的理解(1)公式一的实质：终边相同的角的同一三角函数的值相等，即角α的终边每绕原点旋转一周，函数值将重复出现一次，体现了三角函数特有的“周而复始”的变化规律．(2)公式一的结构特征：①左、右为同一三角函数；②公式左边的角为α＋k·2π(k∈Z)，右边的角为α.知识点04同角三角函数的基本关系同角三角函数的基本关系关系式语言叙述平方关系sin2α＋cos2α＝1同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1商数关系eq\f(sinα,cosα)＝tanαeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z))同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切(1)同角三角函数的基本关系式的变形形式及常用结论①平方关系变形及常用结论sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α，(sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα，(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα.②商的变形sinα＝tanαcosα，cosα＝eq\f(sinα,tanα).(2)同角三角函数的基本关系式揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律，这里“同角”有两层含义：一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)．关系式成立与角的表达形式无关，如sin23α＋cos23α＝1.(3)sin2α是(sinα)2的简写，不能写成sinα2.(4)约定：教材中给出的三角恒等式，除特别注明的情况外，都是指两边都有意义的情况下的恒等式．(5)在使用同角三角函数关系式时要注意使式子有意义，如式子tan90°＝eq\f(sin90°,cos90°)不成立．(6)在应用平方关系式求sinα或cosα时，其正负号是由角α所在的象限决定的．解题大招解题大招大招01任意角的三角函数的定义如图，在直角坐标系中，设是一个任意角，终边上任意一点的坐标为，它与原点的距离为，那么：（1）比值叫做的正弦，记作，即；（2）比值叫做的余弦，记作，即；（3）比值叫做的正切，记作，即．对于确定的值，比值，，分别是唯一一个确定的实数，所以正弦、余弦、正切是以角为自变量，比值为函数值的函数，以上三种函数统称为三角函数．大招02利用三角函数的定义求值的策略已知角α的终边在直线上求α的三角函数值时，常用的解题方法有以下两种：(1)先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后利用三角函数的定义求出相应的三角函数值．(2)注意角的终边为射线，所以应分两种情况来处理，取射线上任一点(a，b)，则对应角的正弦值sinα＝eq\f(b,\r(a2＋b2))，余弦值cosα＝eq\f(a,\r(a2＋b2)).提醒：角α是一个任意角，其范围是使函数有意义的实数集．大招03判断三角函数值的符号各三角函数的值在各象限的符号如图所示．【说明】（1）对各象限角对应的正弦值、余弦值和正切值来说，第一象限各三角函数值全都是正号，第二象限只有正弦是正值，第三象限只有正切是正值，第四象限只有余弦是正值．（2）各象限三角函数值正号规律：一全二正弦，三切四余弦．大招04确定三角函数值在各象限内符号的方法(1)三角函数值的符号是根据三角函数的定义，由各象限内的点的坐标的符号得出的．(2)正弦、余弦、正切函数的符号表示：第一象限全是正值，第二象限正弦是正值，第三象限正切是正值，第四象限余弦是正值．大招05公式一的应用公式一可以统一写成f(k·360°＋α)＝f(α)或f(k·2π＋α)＝f(α)(k∈Z)的形式2、利用它可以把任意角的三角函数值转化为0到2π角的三角函数值，即可把负角的三角函数化为0到2π角的三角函数，亦可以把大于2π角的三角函数化为0到2π角的三角函数，即对角实现负化正、大化小的转化．大招06求三角函数值的方法(1)已知sinθ(或cosθ)求tanθ常用以下方式求解(2)已知tanθ求sinθ(或cosθ)常用以下方式求解当角θ的范围不确定且涉及开方时，常因三角函数值的符号问题而对角θ分区间(象限)讨论．大招07sinα±cosα，sinαcosα的应用1、sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα三个式子中，已知其中一个，可以利用平方关系求其他两个，即“知一求二”．2、sinθ±cosθ的符号的判定方法sinθ－cosθ的符号的判定方法：由三角函数的定义知，当θ的终边落在直线y＝x上时，sinθ＝cosθ，即sinθ－cosθ＝0，当θ的终边落在直线y＝x的上半平面区域内时，sinθ>cosθ，即sinθ－cosθ>0；当θ的终边落在直线y＝x的下半平面区域内时，sinθ<cosθ，即sinθ－cosθ<0，如图①所示．同理可得sinθ＋cosθ的符号如图②所示．大招08齐次式求值1、已知，可以求或的值，将分子分母同除以或，化成关于的式子，从而达到求值的目的.2、对于的求值，可看成分母是1，利用进行代替后分子分母同时除以,得到关于的式子，从而可以求值.3、不是已知的情况，可以先利用同角三角函数的基本关系式求得的值，然后利用齐次式的方法求解.4、齐次式的化切求值问题，体现了数学运算的核心素养.大招09三角函数式化简的常用方法(1)化切为弦，即把正切函数都化为正弦、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的．(2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的．(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．大招10证明三角恒等式常用的方法(1)从左向右推导或从右向左推导，一般由繁到简．(2)左右归一法，即证明左右两边都等于同一个式子．(3)化异为同法，即针对题设与结论间的差异，有针对地进行变形，以消除差异．(4)变更命题法，如要证明eq\f(a,b)＝eq\f(c,d)，可证ad＝bc，或证eq\f(d,b)＝eq\f(c,a)等．(5)比较法，即设法证明“左边－右边＝0”或“eq\f(左边,右边)＝1”．题型分类题型分类题型01任意角的三角函数的定义及应用【例1】已知角α的终边过点−1,2，则cosα=（A．33 B．233 C．−【解题思路】根据三角函数的定义即可求解.【解答过程】由题意，cosα=故选：C.【变式1-1】已知角α的终边经过点sin5π6,cosA．−3 B．3 C．−33【变式1-2】已知α是第二象限的角，Px,2为其终边上的一点，且sinα=13，则A．−4 B．±4 C．±42 D．题型02由单位圆求三角函数值【例2】已知角α的终边与单位圆的交点P−31010,A．−21010 B．−1010 【解题思路】利用角的终边与单位圆相交来定义任意角的三角函数值.【解答过程】因为角α的终边与单位圆的交点P−令x=−3所以sinα=y=所以sinα+故选：A.【变式2-1】设a<0，角α的终边与圆x2+y2=1的交点为P(−3aA．−25 B．−15 C．【变式2-2】在单位圆中，已知角α的终边上与单位圆的交点为P−35,4A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限题型03三角函数值在各象限的符号【例3】若sinθtanθ>0，则A．第一、二象限角 B．第二、三象限角 C．第一、三象限角 D．第一、四象限角【解题思路】根据三角函数在各个象限的符号判断即可.【解答过程】因为sinθtanθ在第一象限时sinθ>0,在第四象限时sinθ<0,所以θ是第一、四象限角，而二、三象限两函数值异号.故选：D.【变式3-1】若角α的顶点为坐标原点，始边在x轴正半轴上，sinα<0且tanα>0，则α的终边在（A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【变式3-2】若π<θ<3π2，则点A．一 B．二 C．三 D．四题型04诱导公式一的应用【例4】sin390°的值为（

A．32 B．22 C．12【解题思路】根据诱导公式和特殊角的三角函数值即可.【解答过程】sin390°=故选：C.【变式4-1】cos25π3A．32 B．12 C．−3【变式4-2】sin−29πA．−32 B．−12 C．题型05同角三角函数的基本关系【例5】若α为第二象限角，且sinα=32，则tanA．3 B．−3 C．33 【解题思路】根据条件，利用平方关系和商数关系，即可求出结果.【解答过程】因为α为第二象限角，且sinα=32得到tanα=故选：B.【变式5-1】已知θ是三角形的内角，若sinθ−cosθ=15A．75 B．−15 C．−【变式5-2】若tanα=−34，cosα<0，则A．45 B．−45 C．3题型06正、余弦齐次式的计算【例6】已知tanα=3，则2sinα+A．1 B．3 C．5 D．7【解题思路】利用三角函数的基本关系化简原式即可直接得答案.【解答过程】将2sinα+cos2sin故选：D.【变式6-1】已知tanα=−2，则sinαcosA．3 B．-3 C．2 D．-2【变式6-2】已知角α的终边在函数y=2x的图象上，则1−2sinA．−25 B．±25 C．题型07三角函数式的化简、求值【例7】（1）已知tanα=23（2）若sinα−cosα=【解题思路】（1）齐次化得到1sin（2）sinα−cosα=【解答过程】（1）tanα=23（2）因为sinα−cosα=整理得到2sinαcos【变式7-1】化简：(1)1+2sin(2)sin2【变式7-2】已知2cos(1)tanα(2)2sin题型08三角恒等式的证明【例8】证明下列恒等式：(1)sin2(2)21−【变式8-1】求证：(1)sin2(2)已知tanα=13【变式8-2】求证：(1)sinα−cosα+1(2)2分层分层训练【基础过关】1．已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，且，则实数的值是（

）A．和 B． C． D．2．“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件3．已知是第二象限的角，为其终边上的一点，且，则（

）A． B． C． D．4．对任意且，函数的图象都过定点，且点在角的终边上，则（

）A． B．−2 C． D．5．已知角的终边经过点，则（

）A． B． C． D．6．随着智能手机的普及，手机摄影越来越得到人们的喜爱，要得到美观的照片，构图是很重要的，用“黄金分割构图法”可以让照片感觉更自然、更舒适，“黄金九宫格”是黄金分割构图的一种形式，是指把画面横、竖各分三部分，以比例1：0.618：1为分隔，4个交叉点即为黄金分割点.如图，分别用A，B，C，D表示黄金分割点，若照片长、宽比例为8：5，设，则（

）A． B． C． D．7．在平面直角坐标系中，已知，，那么角的终边与单位圆的交点坐标为（

）A． B． C． D．8．已知点在角终边上，且，则（

）A． B． C． D．9．如图所示，在平面直角坐标系中，动点P、Q从点A(1,,0)出发在单位圆上运动,点P按逆时针方向每秒钟转弧度，点Q按顺时针方向每秒钟转弧度，则P、Q两点在第2019次相遇时,点P的坐标是A．(0,0) B．(0,1) C．(-1,0) D．(0,-1)10．如图，质点在单位圆周上逆时针运动，其初始位置为，角速度为2，则点到轴距离关于时间的函数图象大致为（

）A． B．C． D．11．（多选）已知角的始边与轴的非负半轴重合，终边在直线上，则的值可能是（

）A． B． C． D．12．（多选）下列选项正确的是（

）A．若一扇形弧长为2，圆心角为，则该扇形的面积为 B．C．经过4小时，时针转了 D．13．（多选）若角的终边在第三象限，则的值可能为（

）A．0 B．2 C．4 D．14．已知，，求下列式子(1)(2)(3)和和15．已知，且有意义．(1)试判断角α的终边所在的象限；(2)若角α的终边上一点M的坐标为，且（O为坐标原点），求m的值及的值．

【能力提升】1．设，则的大小关系为（

）A． B． C． D．2．已知为第二象限角，且，则（

）A． B． C． D．3．下列说法正确的是（

）A．不存在值域相同，对应关系相同，但定义域不同的两个函数B．当正整数越来越大时，的底数越来越小，指数越来越大，的值也会越来越大，但是不会超过某一个确定的常数C．如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且有，那么函数在区间内至少有一个零点D．如果，则是第一象限角或第二象限角4．“”是“”的（

）A．充分必要条件 B．既不充分也不必要条件C．充分不必要条件 D．必要不充分条件5．若为方程的两个根，则（

）A． B． C． D．6．当时，若存在实数，使得成立，则实数的最小值为（

）A．6 B．10 C．12 D．167．已知均为第二象限角，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件8．下列