5.1任意角和弧度制【六大必考点+二十一秒杀招+七大题型+分层训练】高一数学题型归类

5.1任意角和弧度制【六大必考点+二十一秒杀招+七大题型+分层训练】知识精讲知识精讲知识点01角的相关概念(1)角的概念角可以看成平面内一条射线绕着它的端点旋转所成的图形．(2)角的表示如图，①始边：射线的起始位置OA；②终边：射线的终止位置OB；③顶点：射线的端点O；④记法：图中的角α可记为“角α”或“∠α”或“∠AOB”，可以简记成“α”．(3)角的分类名称定义图形正角一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角负角一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的角零角一条射线没有做任何旋转形成的角知识点02角的相等与加减(1)角的相等设角α由射线OA绕端点O旋转而成，角β由射线O′A′绕端点O′旋转而成．如果它们的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称α＝β.(2)角的加法设α，β是任意两个角，把角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角是α＋β.(3)相反角把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角．角α的相反角记为－α.(4)角的减法角的减法可以转化为角的加法，有α－β＝α＋(－β)．知识点03平面直角坐标系中的任意角条件在直角坐标系中，角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合象限角角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角轴线角角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限，可称为轴线角终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和注：1．对角的概念的认识关键是抓住“旋转”二字(1)要明确旋转方向；(2)要明确旋转的大小；(3)要明确射线未作旋转时的位置．2．对终边相同的角的理解(1)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同；(2)k∈Z，即k为整数，这一条件不可少；(3)终边相同的角的表示不唯一；(4)终边相同的角有无数个，它们相差周角的整数倍．知识点04度量角的两种制度(1)角度制①定义：用度作为单位来度量角的单位制．②1度的角：周角的eq\f(1,360)为1度的角，记作1°.(2)弧度制①定义：以弧度作为单位来度量角的单位制．②1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角．③表示方法：1弧度记作1_rad.知识点05弧度数的计算与互化(1)弧度数的计算(2)弧度与角度的互化(3)一些特殊角的度数与弧度数的对应表度0°30°45°60°90°120°135°150°180°弧度0eq\f(π,6)eq\f(π,4)eq\f(π,3)eq\f(π,2)eq\f(2π,3)eq\f(3π,4)eq\f(5π,6)π知识点06扇形的弧长及面积公式设扇形的半径为R，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则(1)弧长公式：l＝αR.(2)扇形面积公式：S＝eq\f(1,2)lR＝eq\f(1,2)αR2.(1)无论是以“度”还是以“弧度”为单位，角的大小都是一个与“半径”大小无关的值．(2)用弧度为单位表示角的大小时，“弧度”两字可以省略不写，如sin2是指sin(2弧度)，π＝180°是指π弧度＝180°；但如果以度为单位表示角时，度就不能省去．(3)用弧度为单位表示角时，常常把弧度数写成多少π的形式，如无特殊要求，不必把π写成小数，如45°＝eq\f(π,4)弧度，不必写成45°≈0.785弧度．(4)角度制和弧度制表示的角不能混用．如α＝2kπ＋30°，k∈Z；β＝k·90°＋eq\f(π,4)，k∈Z，都不正确．解题大招解题大招大招01引入任意角的概念后需要注意：（1）用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了．角的概念推广以后，它包括任意大小的正角、负角和零角．（2）角的概念的理解要紧紧抓住“旋转”二字，用运动的观点来看待角的概念：一是要明确旋转的方向，二是要明确旋转的大小，三是要明确射线作任何旋转时的位置．（3）角的范围不再限于．（4）当角的始边相同时，若角相等，则终边相同；终边相同，而角不一定相等．（5）要正确理解正角、负角、零角的概念，由定义可知，关键是抓住终边的旋转方向是逆时针、顺时针，还是没有转动．在图中表示角时，应注意箭头的方向不可丢掉，箭头方向代表角的正负．（6）角的记法：用一个希腊字母表示，如，，，…；也可用三个大写的英文字母表示，字母前要写符号“”，中间的字母表示角的顶点，如，，…．为了简单起见，在不引起混淆的前提下，“角”或“”可以简记为“”．（7）引入正角、负角、零角后，角的减法可以转化为角的加法运算，即可以转化为．大招02判断角的概念问题的关键与技巧(1)关键：正确理解任意角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念，严格辨析它们之间的联系与区别．(2)技巧：判断命题为真需要证明，而判断命题为假只要举出反例即可．大招03终边相同的角--易错点所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合，，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和．大招04象限角的分类及表示方法如下：象限角集合的表示第一象限角第二象限角第三象限角第四象限角大招05设，显然，所有与角终边相同的角都是集合的元素；反过来，集合中的任何一个元素也都与角的终边相同．推广到一般形式有：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和．大招06利用与角终边相同的角的集合，可把任意角转化成，，的形式；也可利用与角终边相同的角化简终边落在过原点的某一条直线上的角的集合；或利用与角终边相同的角写出各象限角和象限界角的集合．如第一象限角，在~360范围内，第一象限角表示为，然后在两端加上，，即可得到第一象限角的集合：，，其他各象限角同理可得．若为象限界角，如终边落在轴的负半轴上，代表角为180，所以终边落在轴的负半轴上的角的集合为，．同理可得其他非象限角的集合．大招07寻求终边相同的角的方法与技巧在[0°，360°)范围内找与给定角终边相同的角的方法：(1)一般地，可以将所给的角α化成k·360°＋β的形式(其中0°≤β<360°，k∈Z)，其中的β就是所求的角．(2)如果所给的角的绝对值不是很大，可以通过如下方法完成：当所给角是负角时，采用连续加360°的方式；当所给角是正角时，采用连续减360°的方式，直到所得结果达到要求为止．大招08求终边落在直线上的角的集合的三个步骤(1)写出在[0°，360°)范围内相应的角；(2)由终边相同的角的表示方法写出角的集合；大招09区域角的写法可分三步(1)按逆时针方向找到区域的起始和终止边界；(2)由小到大分别标出起始、终止边界对应的一个角α，β，写出所有与α，β终边相同的角；(3)用不等式表示区域内的角，组成集合．注：区域角的写法:(1)若角的终边落在一个扇形区域内，写区域角时，先依逆时针方向由小到大写出一个区间角，然后在它的两端分别加上“k×360°”，并注明“k∈Z”即可.(2)若角的终边落在两个对称的扇形区域内，写角的范围时，可以先写出终边落在一个扇形区域内的一个区间角，然后在此区间角的两端分别加上“k×180”，并注明“k∈Z”即可.大招10象限角：若把角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限角．由于图（1）中的角，，都是始边与轴的非负半轴重合，终边落在第一象限的角，所以它们都是第一象限角；同理，图（2）中的角是第二象限角，，都是第四象限角．2．特别地，如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．例如，，，，等，因为它们的终边落在坐标轴上，所以这些角都不属于任何一个象限，有的参考书上称之为象限界角．大招10象限角的判定方法(1)根据图象判定．依据是终边相同的角的概念，因为在[0°，360°)范围内的角的终边与坐标系中过原点的射线可建立一一对应的关系．(2)将角转化到[0°，360°)范围内．在直角坐标平面内，在[0°，360°)范围内没有两个角终边是相同的．(3)nα所在象限的判断方法确定nα终边所在的象限，先求出nα的范围，再直接转化为终边相同的角即可．(4)eq\f(α,n)所在象限的判断方法大招11已知角α所在象限，要确定角eq\f(α,n)所在象限，有两种方法：①用不等式表示出角eq\f(α,n)的范围，然后对k的取值分情况讨论：被n整除；被n除余1；被n除余2；…；被n除余n－1.从而得出结论．②作出各个象限的从原点出发的n等分射线，它们与坐标轴把周角分成4n个区域．从x轴非负半轴起，按逆时针方向把这4n个区域依次循环标上1,2,3,4.α的终边在第几象限，则标号为几的区域，就是eq\f(α,n)的终边所落在的区域．如此，eq\f(α,n)所在的象限就可以由标号区域所在的象限直观地看出．大招12将角度化为弧度rad；rad；rad．大招13将弧度化为角度；；．大招14需记住的特殊角的度数与弧度数的对应值度弧度0大招15注意事项（1）以弧度为单位表示角时，“弧度”两字可以省略不写．如是指sin（2弧度）；是指弧度．以度为单位表示角时，度就不能省去．（2）以弧度为单位表示角时，常常把弧度数写成多少的形式，如无特殊要求，不必把化成小数，如弧度，不必写成弧度．（3）弧度制和角度制一样，都是一种度量角的单位制．弧度制与角度制相比有一定的优点，其一体现在进位上，角度制在度、分、秒上是六十进制，不便于计算，而弧度制是十进制，给运算带来了方便；其二体现在弧长公式与扇形面积公式的表达上，弧度制下的公式比角度制下的公式简单，运用起来更方便．（4）用角度制和弧度制来度量零角，虽然单位不同，但数量相同，对于其他非零角，由于单位不同，数量也就不同了．（5）在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式rad是关键，由它可以得到：角度弧度，弧度角度．大招16弧度制下与角α终边相同的角的表示在弧度制下，与角α的终边相同的角可以表示为{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}，即与角α终边相同的角可以表示成α加上2π的整数倍．大招17根据已知图形写出区域角的集合的步骤(1)仔细观察图形；(2)写出区域边界作为终边时角的表示；(3)用不等式表示区域角．用不等式表示区域角的范围时，要注意角的集合形式是否能够合并，能合并的要合并．大招18弧长公式在半径为的圆中，弧长为的弧所对的圆心角大小为，则，变形可得，此公式称为弧长公式，其中的是弧度角．大招19弧度制下有关扇形弧长问题的解题策略①明确弧度制下扇形弧长公式l＝|α|r，(其中l是扇形的弧长，α是扇形的圆心角)．②涉及扇形的周长、弧长、圆心角等的计算，关键是先分析题目已知哪些量求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式求解．大招20扇形面积公式因为圆心角为1rad的扇形面积为，而弧长为l的扇形的圆心角大小为rad，所以其面积为，将代入上式可得，此公式称为扇形面积公式．大招21扇形的面积公式的应用注意点①在弧度制中的弧长公式及扇形面积公式中的圆心角可正可负．②看清角的度量制，选用相应的公式．③扇形的周长等于弧长加两个半径长．题型分类题型分类题型01终边相同的角【例1】与角−2024°4'终边相同的角是（A．−404°4' B．−224°4' C．【解题思路】利用终边相同角的概念公式求解即可.【解答过程】解：∵−2024°4∴与角−2024°4'终边相同的角是故选：B.【变式1-1】下列选项中，与角α=−40°终边相同的角是（

）A．−400° B．−380° C．310° D．330°【变式1-2】将角α的终边绕坐标原点O逆时针旋转60°后与130°角的终边重合，则与角α终边相同的角的集合为（

）A．ββ=k×180°+90°,k∈Z B．C．ββ=k×180°+150°,k∈Z D．题型02根据图形写出角（范围）【例2】如图，终边落在阴影部分（包括边界）的角α的集合是（

）A．α|5π6C．α|−7π6【解题思路】根据任意角的概念以及角的终边所在位置，即可确定角α的集合.【解答过程】终边落在阴影部分的角为5π6+k即终边落在阴影部分（包括边界）的角α的集合是α|5故选：B．【变式2-1】已知集合α|k⋅360°+45°≤α≤k⋅360°+90°,k∈Z，则图中表示角α的终边所在区域正确的是（

）A． B．C． D．【变式2-2】集合α|kπ≤α≤kπ+π4,k∈ZA． B． C． D．题型03象限角的判定【例3】已知角α=−225°，则α的终边在（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【解题思路】由象限角的定义求解.【解答过程】α=−225°=−360°+135°，135°∈90°,180°，所以α故选：B.【变式3-1】如果α是第三象限角，则−α2是（A．第一象限角 B．第一或第二象限角C．第一或第三象限角 D．第二或第四象限角【变式3-2】若α角的终边落在第三或第四象限，则α2的终边落在（

A．第一或第三象限 B．第二或第四象限C．第一或第四象限 D．第三或第四象限题型04用弧度制表示角的集合【例4】与60°角终边相同的角可以表示为（

）A．π3+k⋅360°k∈C．60°+2k⋅360°k∈Z 【解题思路】运用终边相同角的概念，结合弧度制可判断.【解答过程】A,B弧度角度混用，错误.与60°角终边相同的角可以表示60°+k⋅360°k∈弧度制下表示为π3故选：D.【变式4-1】已知角θ的终边落在阴影区域内（不含边界），角α的终边和θ相同，则角α的集合为（

）A．αB．αC．αD．απ【变式4-2】写出终边在直线y=x上的所有角组成的集合．（分别用弧度制和角度制来表示）题型05角度与弧度的换算【例5】将−315A．−3π4 B．−7π4 【变式5-1】下列转化结果错误的是A．60°化成弧度是π3 B．−10C．−150°化成弧度是−76【变式5-2】将下列角度与弧度进行互化：(1)20°；(2)−800°；(3)7π(4)−4题型06弧长公式与扇形面积公式的应用【例6】如图所示的几何图形，设弧AD的长度是l1，弧BC的长度是l2，扇环ABCD的面积为S1，扇形BOC的面积为S2．若l1A．3 B．4 C．6 D．8【解题思路】根据题意，利用扇形的面积公式，求得OAOB=3，再利用扇形的面积公式，得到S扇形【解答过程】设扇环ABCD所对的圆心角为α，可得l1因为l1l2=3，所以OAOB所以S扇形AODS扇形BOC故选：D．【变式6-1】古代文人墨客与丹青手都善于在纸扇上题字题画，题字题画的部分多为扇环．已知某纸扇的扇环如图所示，其中外弧线长与内弧线长之和为95cm，连接外弧与内弧的两端的线段长均为503cm，且该扇形的中心角的弧度数为2.7A．70cm B．75cm C．68cm D．72cm【变式6-2】已知一扇形的圆心角为α，半径为r，弧长为l．(1)若α=45°，r=10cm，求扇形的弧长l(2)已知扇形的周长为10cm，面积是4题型07与弧度有关的实际应用问题【例7】从2023年12月14日13∶00到当天13∶25，某时钟的分针转动的弧度为（

）A．5π6 B．2π3 C．【解题思路】根据弧度的概念求解.【解答过程】因为分针是按照顺时针方向旋转，所以转动的角为负角，所以分针转动的弧度为−25故选：C.【变式7-1】如图，A是轮子外边沿上的一点，轮子半径为0.3m.若轮子从图中位置向右无滑动滚动，则当滚动的水平距离为22m时，下列选项中，关于点A的描述正确的是（参考数据：7π≈21.991）（A．点A在轮子的右上位置，距离地面约为0.56mB．点A在轮子的右上位置，距离地面约为0.45mC．点A在轮子的左下位置，距离地面约为0.15mD．点A在轮子的左下位置，距离地面约为0.04m【变式7-2】某时钟的分针长5cm(1)分针转过的角的弧度数；(2)分针扫过的扇形面积；(3)分针尖端所走过的弧长（π取3.14，计算结果精确到0.01）．分层分层训练【基础过关】1．“”是“的终边落在第一象限或落在第四象限”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件2．已知与210°角的终边关于x轴对称，则是（

）A．第二或第四象限角 B．第一或第三象限角C．第三或第四象限角 D．第一或第四象限角3．将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A、B的读数分别为，则∠ACB的大小为（

）A． B． C． D．4．中国历代书画家喜欢在纸扇的扇面上题字绘画，某扇面为如图所示的扇环，记的长为，的长为，若，则扇环的圆心角的弧度数为（

）

A．3 B．2 C． D．5．如图，圆的半径为1，劣弧的长为，则阴影部分的面积为（

）

A． B． C． D．6．如图所示的几何图形，设弧AD的长度是，弧BC的长度是，扇环ABCD的面积为，扇形BOC的面积为．若，则（

）A．3 B．4 C．6 D．87．如图当时，圆内接正六边形的周长为，故，即.运用“割圆术”的思想，下列估算正确的是（）A．时，B．时，C．时，D．时，8．若角的终边落在如图所示的阴影部分内，则角的取值范围是（

）A． B．C． D．9．“古典正弦”定义为：在如图所示的单位圆中，当圆心角的范围为时，其所对的“古典正弦”为（为的中点）.根据以上信息，当圆心角对应弧长时，其对应的“古典正弦”值为（

）A． B． C． D．10．如图，为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”．画法如下：在水平直线上取长度为1的线段AB，作一个等边三角形ABC，然后以点B为圆心，AB为半径逆时针画圆弧交线段CB的延长线于点D（第一段圆弧），再以点C为圆心，CD为半径逆时针画圆弧交线段AC的延长线于点E，再以点A为圆心，AE为半径逆时针画圆弧……．以此类推，当得到的“蚊香”恰好有8段圆弧时，“蚊香”的长度为（

）

A． B． C． D．11．（多选）如图，若角的终边落在阴影部分，则角的终边可能在（

）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限12．（多选）下列说法中正确的是（

）A．若函数是R上的奇函数，则B．函数与为同一个函数C．命题“，”的否定是“，”D．若是第二象限角，则是第一象限角13．（多选）下列说法错误的是（

）A．命题，的否定为，B．已知扇形的圆心角为2弧度，面积为1，则扇形的弧长等于2C．已知函数的定义域为，则函数的定义域为D．已知函数的值域为，则的取值范围是14．如图所示，角的终边是射线．角的终边与角的终边有什么关系？如何表示与角终边相同的角？

15．如图，AB是⊙O的直径，点C是BA延长线上一点，CD切⊙O于D点，弦，Q是AB上一动点，CA＝1，CD是⊙O半径的倍．(1)求⊙O的半径R；(2)当Q从A向B运动的过程中，图中阴影部分的面积是否发生变化？若发生变化，请你说明理由；若不发生变化，请你求出阴影部分的面积．

【能力提升】1．下列与的终边相同的角的表达式中，正确的是（

）A． B．C． D．2．已知为第二象限角，则所在的象限是（

）A．第一或第二象限 B．第二或第三象限C．第二或第四象限 D．第一或第三象限3．挂钟的时针和分针从凌晨0时起到下午14点所在的14小时内，分针与时针会重合（

）次（注意：0时开始的那次重合不计算在内）A．11 B．12 C．13 D．144．某机器上有相互啮合的大小两个齿轮（如图所示），大轮有25个齿，小轮有15个齿，大轮每分钟转3圈，若小轮的半径为，则小轮每秒转过的弧长是（

）．A． B． C． D．5．中国科学技术馆有“圆与非圆”展品，涉及“等宽曲线”的知识.因为圆的任何一对平行切线间的距离总是相等的，所以圆是“等宽曲线”.除了特例以外，还有一些几何图形也是“等宽曲线”，如勒洛三角形[如图（1）所示]，它是分别以等边三角形的每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点之间画一段圆弧，由三段圆弧围成的曲边三角形，图（2）是等宽的勒洛三角形和圆.下列说法错误的是（

）A．勒洛三角形不是中心对称图形B．图（1）中，点A到上任意一点的距离都相等C．图（2）中，勒洛三角形上任意一点到等边三角形DEF的中心的距离都相等D．图（2）中，勒洛三角形的周长与圆的周长相等6．如图，将含角的直角三角板绕顶点顺时针旋转后得到，点经过的路径为弧，若，则图中阴影部分的面积是（

）A． B． C． D．7．圆环被同圆心的扇形截得的一部分叫做扇环．如图所示，扇环的内圆弧的长为，外圆弧的长为，圆心角，则该扇环的面积为（

）A． B． C． D．8．石雕、木雕、砖雕被称为建筑三雕．源远流长的砖雕，由