【数学】一元一次方程的应用综合课件2024-2025学年北师大版数学七年级上册

5.3一元一次方程的应用综合第五章一元一次方程北师大版•七年级上册类型类型

和差倍分类型

比例问题类型

年龄问题类型

数字问题类型

积分问题类型

调配问题类型类型

配套问题类型

工程问题类型

方案问题类型

分段计费问题类型

其它问题列方程解决实际问题需要找寻题目中的相等关系，基本方法有：(1)运用基本公式找寻相等关系；(2)从关键词中找寻基本关系；(3)运用不变量找寻相等关系；(4)对一种“量”，从不同的角度进行表述(即计算两次)，得到相等关系。一元一次方程实际问题，一般会经历“审、设、列、解、验、答”6个过程，用框图表示如下：类型❶和差倍分

弄清关键性词语，即共、比什么多(少)、倍、几分之几之间的关系。女生人数男生人数总人数x

x＋21－1

七年级3班有48人，其中男生比女生多2人，问七年级3班有女生多少人？设有女生x人，填写下表，并完成解答过程。解：根据题意，得x＋(x＋2)＝48。解得x＝23。答：七年级3班有女生23人。481－2

钢琴素有“乐器之王”的美称，键盘上白色琴键和黑色琴键共有88个，白色琴键比黑色琴键多16个。求白色琴键和黑色琴键各有多少个。

1－3

在一次画展中，展出的油画作品和国画作品共有100幅，其中油画作品数量比国画作品数量的2倍多7幅，则展出的国画作品有

幅。

31

1－4

小红前天购买1件A商品和1件B商品共用了25元，昨天购买5件A商品和2件B商品共用了80元。(1)A，B两种商品的单价分别是多少元？解：(1)设A商品的单价为x元，则B商品的单价为(25－x)元。根据题意，得5x＋2(25－x)＝80。解得x＝10。所以25－x＝15。答：A商品的单价为10元，B商品的单价为15元。1－4

小红前天购买1件A商品和1件B商品共用了25元，昨天购买5件A商品和2件B商品共用了80元。(2)若小红购买A商品和B商品共用了260元，且购买B商品的件数比购买A商品件数的2倍少4件，小红分别购买A商品和B商品多少件？解：(2)设购买A商品y件，则购买B商品(2y－4)件。根据题意，得10y＋15(2y－4)＝260。解得y＝8。所以2y－4＝12(件)。答：购买A商品8件，购买B商品12件。类型❷比例问题若几个量的比为a∶b∶c，则可设这几个量分别为ax，bx，cx。

2－1将一根长为12cm的铁丝围成一个长与宽之比为2∶1的长方形，求此长方形的面积。解：设宽为x

cm，则长为

cm。

根据题意，可列方程为

。解得

。

所以2x＝

。

面积为

。

答：长方形的面积为

。

8

cm2

4×2＝8(cm2)

4

x＝2

2x

2－2

某人有甲、乙、丙三种邮票共24枚，它们的数量之比为1∶2∶3，那么这三种邮票分别为多少枚？解：设甲、乙、丙三种邮票分别为x枚、2x枚、3x枚。根据题意，得x＋2x＋3x＝24。解得x＝4。所以2x＝8(枚)，3x＝12(枚)。答：甲、乙、丙三种邮票分别为4枚、8枚、12枚。2－3

一份糖水120g，糖与水的比例是1∶5，若再放入5g糖，此时糖与水的比例为

。

1∶4

3－1

父亲今年32岁，儿子今年5岁，多少年后，父亲的年龄是儿子年龄的4倍？解：设x年后，父亲的年龄是儿子年龄的4倍。则x年后，父亲

岁，儿子

岁。

根据题意，可列方程为

。

解得

。

答：

年后，父亲的年龄是儿子年龄的4倍。

4

x＝4

32＋x＝4(5＋x)

(5＋x)

年龄问题(32＋x)

类型❸3－2

小新出生时父亲28岁，现在父亲的年龄是小新年龄的3倍，则现在小新的年龄为

岁。

14

3－3

今年兄弟俩的年龄和是55岁，若干年前，当哥哥的年龄只有弟弟现在这么大时，弟弟的年龄恰恰是哥哥年龄的一半，求哥哥今年的年龄。解：设哥哥今年的年龄是x岁，则弟弟今年的年龄是(55－x)岁。根据题意，得2×［(55－x)－x＋(55－x)］＝55－x。解得x＝33。答：哥哥今年的年龄是33岁。类型数字问题

若一个三位数，百位上的数字是a，十位上的数字是b，个位上的数字是c，则这个三位数可以表示为100a＋10b＋c。4－1

(1)若一个两位数的十位上的数是4，个位上的数是3，则这个两位数是

；

(2)若一个两位数的十位上的数是a，个位上的数是2，则这个两位数是

；

(3)若一个两位数的十位上的数是x，个位上的数是x＋3，则这个两位数是

。11x＋3

10a＋2

43

4－2

一个两位数，十位上的数字比个位上的数字的4倍多1，将这两个数字调换顺序所得的数比原数小63，求这个两位数。解：设这个两位数个位上的数字为x，则十位上的数字为4x＋1。根据题意，得10(4x＋1)＋x＝10x＋(4x＋1)＋63。解得x＝2。所以4x＋1＝4×2＋1＝9。答：这个两位数是92。4－3

一个三位数，十位上的数字是百位上的数字的2倍，百位、个位上的数字的和比十位上的数字大2，个位、十位、百位上的数字的和是14，求这个三位数。解：设百位上的数字为x，则十位上的数字为2x，个位上的数字为14－2x－x。根据题意，得x＋14－2x－x＝2x＋2。解得x＝3。所以2x＝6，14－2x－x＝5。答：这个三位数为365。

答：球队赢了12场，输了4场。所以16－x＝4(场)。解得x＝12。5－1

我校“春之声”广播室小记者谭艳同学为了及时报道学校篮球队参加全市中学生篮球比赛的情况，她从领队韦老师那里了解到本校篮球队共参加了16场比赛，积分为28分。按规定赢一场得2分，输一场得1分，可是谭艳同学忘记输、赢各多少场了，请你根据上面提供的信息分别求出输、赢的场数。设球队赢了x场，填写下表，并完成解答过程。解：根据题意，得2x＋(16－x)＝28。积分问题类型

积分规则场数积分输＋1

赢＋2x

总/16282x(16－x)(16－x)小明同学结合自身所学的知识设计了如下问题，请你回答下列问题：(1)从表中可以看出，负一场积

分，胜一场积

分；

(2)某队在比完22场后，胜场总积分能等于其负场总积分的2倍吗？请说明理由。

根据题意，得2x＝2(22－x)。解得x＝11。答：能，胜11场，负11场。(2)解：能。理由如下：设胜x场，则负(22－x)场。2

院系篮球赛成绩公告1

5－2

小明到某高校游玩时，看到运动场的宣传栏中的部分信息(如下表)队名比赛场次胜场负场积分先锋队22121034雄鹰队2214836光明队22022225－3

数学竞赛有10道题，每答对一道题得5分，不答或答错一道题倒扣3分，要得到34分，必须答对的题数是(

)

A.6

B.7

C.8

D.9C(1)由

号同学的数据可知，每答对一题得

分。设答错或不答每题扣x分，那么由1号同学的数据可列方程

。解得x＝

。所以答错或不答每题扣

分。

(2)如果答对的题数为n(0≤n≤10，且n为整数)，用含n的式子表示得分为

；

15n－50

5

5

8×10－2x＝70

10

5－4

某小组4名同学参加一次知识竞赛，共有10道题，每道题分值相同。每题答对得分，答错或不答扣分。各位同学的得分情况如下表：4

学号答对题数答错或不答题数得分1827029185355254100100(3)在什么情况下得分为－5分？

答：在答对3题的情况下，得分为－5分。解得n＝3。(3)解：如果得分为－5分，那么15n－50＝－5。

甲乙调配前/本

调配后/本

44＋x4480－x80

答：应从甲调给乙18本图书。解得x＝18。6－1

(A→B)已知甲有图书80本，乙有图书44本，要使甲、乙两人的图书一样多，应从甲调给乙多少本图书？解：设应从甲调给乙x本图书。填写下表，并完成解答过程。根据题意，得80－x＝44＋x。调配问题类型6－2

(A→B)某班原来分成两个组进行课外体育活动，第一组28人，第二组20人，由于学校运动器材数量的限制，要将第一组的人数调整为第二组的一半，则应从第一组调

人到第二组去。

12

6－3

(C→A，B)哥哥有40元，弟弟有30元，爸爸拿出50元给两人分，为了使哥哥的钱数是弟弟的2倍，爸爸应分给哥哥、弟弟各多少钱？解：设应分给哥哥x元，则分给弟弟

元。

答：爸爸应分给哥哥40元，分给弟弟10元。所以50－x＝10(元)。解得x＝40。可列方程为40＋x＝2［30＋(50－x)］。根据哥哥的钱数是弟弟的2倍，50－x

6－4

(C→A，B)国家速滑馆“冰丝带”位于北京市朝阳区近奥林匹克公园林萃路2号，是2022年北京冬奥会北京主赛区标志性场馆、唯一新建的冰上竞赛场馆。某大学冬奥会志愿者团队负责本场馆的对外联络和文化展示服务工作，对外联络服务处有17人，文化展示服务处有10人，现在另调20人去支援两服务处，使得在对外联络服务处的人数比在文化展示服务处的人数的2倍多5人，问应调往对外联络、文化展示两服务处各多少人？

答：应调往对外联络服务处16人，文化展示服务处4人。所以20－x＝20－16＝4(人)。

根据题意，得17＋x＝2［10＋(20－x)］＋5。解得x＝16。解：设应调往对外联络服务处x人，则调往文化展示服务处(20－x)人。

14

类型配套问题

一些常见的配套组合问题，如螺钉与螺母、眼镜框与眼镜片、盒身与盒底等的配套问题。抓住配套关系，设出未知数，根据配套关系列出方程。7－1

配套问题的基本量：(1)已知1个桌面与4条桌腿配成一套，若要它们刚好配套，则桌面总数∶桌腿总数＝

。

(2)已知1个螺栓与2个螺母配成一套，若要它们刚好配套，则螺栓总数∶螺母总数＝

。

1∶2

1∶4

人数每人每天生产个数总个数比例螺栓x

螺母

212

000(22－x)1

200x2

0001

20022－x

答：应安排10名工人生产螺栓，12名工人生产螺母。解得x＝10。所以22－x＝12(人)。所以2

000(22－x)＝

2

×1

200x。7－2

某车间有22名工人，每人每天可以生产1200个螺栓或2000个螺母。1个螺栓需要配2个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，应安排生产螺栓和螺母的工人各多少名？设应安排x名工人生产螺栓，填写下表，并完成解答过程。解：根据题意，得1

200x∶2

000(22－x)＝1∶2。7－3

一套仪器由1个A部件和3个B部件构成，用1m3钢材可以做40个A部件或240个B部件。现要用6m3钢材制作这种仪器，应用多少钢材做A部件，多少钢材做B部件，恰好配成这种仪器多少套？

器160套。答：应用4

m3钢材做A部件，2

m3钢材做B部件，恰好配成这种仪所以6－x＝2(m3)，40x＝160(套)。解得x＝4。

所以120x＝240(6－x)。根据题意，得40x∶［240(6－x)］＝1∶3。解：设应用x

m3钢材做A部件，则用(6－x)m3钢材做B部件。7－4

某工程队每天安排120个工人修建水库，平均每天每个工人能挖土5m3或运土3m3，为了使挖出的土及时被运走，应如何安排挖土和运土的工人？

答：应安排45人挖土，75人运土。所以120－x＝75(人)。解得x＝45。

根据题意，得5x＝3(120－x)。解：设安排x人挖土，则运土的有(120－x)人。类型工程问题题型一

工作总量是具体值

基本数量关系：(1)工作效率×工作时间＝工作量；(2)甲工作量＋乙工作量＋…＝总工作量。由图可得等量关系：前3天甲生产零件的个数＋

＋

＝

。

根据这个等量关系，设乙每天生产这种零件x个，就可以列出方程。解：设乙每天生产这种零件x个。(补全解题过程)

答：乙每天生产这种零件60个。根据题意，得3×80＋5×80＋5x＝940。解得x＝60。940

后5天乙生产零件的个数

8－1

甲每天生产某种零件80个，甲生产3天后，乙也加入生产同一种零件，再经过5天，两人共生产这种零件940个。问乙每天生产这种零件多少个？根据题意，画出示意图如下：后5天甲生产零件的个数

答：第一架挖土机每小时挖土240

m3，第二架挖土机每小时挖土200

m3。所以x＋40＝240(m3)。解得x＝200。8－2

用两架挖土机挖土，第一架挖土机比第二架挖土机每小时多挖土40m3。第一架工作16h，第二架工作24h，共挖土8640m3，问两架挖土机每小时分别可以挖土多少立方米？设第二架挖土机每小时挖土x

m3，填写下表并完成解答过程。解：根据题意，得24x＋16(x＋40)＝8

640。

工作效/(m3/h)工作时间/h工作量/m3第一架挖土机

16

第二架挖土机x24

24x16(x＋40)x＋40

8－3

某地修一条公路，甲工程队单独承包需要80天完成，乙工程队单独承包需要120天完成。现在由甲、乙两工程队合作承包，完成任务需要

天。

48

8－4

星期天，妈妈做饭，小峰和爸爸进行家庭卫生大扫除。若小峰单独完成，需要4h；若爸爸单独完成，需要2h。当天，小峰先单独打扫了一段时间后，去参加篮球训练，接着由爸爸单独完成剩余的打扫任务。小峰和爸爸一共打扫了3h，求小峰打扫了多长时间。

(100×30＋20x)×90%＝(18x＋2

700)元。由B公司的优惠方案得，买30个篮球，x条跳绳(x>30)的总费用为100×30＋20(x－30)＝(20x＋2

400)元。方案问题解：(1)由A公司的优惠方案得，买30个篮球，x条跳绳(x>30)的总费用为9－1

某学校准备订购一批篮球和跳绳，经查阅发现篮球每个定价100元，跳绳每条定价20元。现有A，B两家公司提出了各自的优惠方案。A公司：买一个篮球送一条跳绳；B公司：篮球和跳绳都按定价的90%。已知要购买篮球30个，跳绳x条(x>30)。(1)若分别在A，B公司购买，则各需费用多少元(用含x的代数式表示)；(2)若在两家公司购买的总费用一样，请求出此时x的值；类型所以此时x的值为150。解得x＝150。20x＋2

400＝18x＋2

700。(2)当在两家公司购买的总费用一样时，即

所以最省钱的购买方案需要费用3

360元。跳绳所需的总费用最少，为100×30＋20×90%×20＝3

360(元)。9－1

某学校准备订购一批篮球和跳绳，经查阅发现篮球每个定价100元，跳绳每条定价20元。现有A，B两家公司提出了各自的优惠方案。A公司：买一个篮球送一条跳绳；B公司：篮球和跳绳都按定价的90%。已知要购买篮球30个，跳绳x条(x>30)。(3)当x=50时，若两家公司可以自由选择，请你给出最省钱的购买方案，并计算需要费用多少元？(3)先到A公司买30个篮球，获赠30条跳绳，再到B公司购买20条

答：篮球和排球的单价分别为48元和32元。所以3x＝48(元)，2x＝32(元)。解得x＝16。

根据题意，得3x＋2x＝80。9－2

为鼓励学生参加体育锻炼，学校计划拿出不超过1600元的资金购买一批篮球和排球。已知篮球和排球的单价比为3∶2，单价和为80元。(1)篮球和排球的单价分别是多少元？解：(1)设篮球和排球的单价分别为3x元和2x元。9－2

为鼓励学生参加体育锻炼，学校计划拿出不超过1600元的资金购买一批篮球和排球。已知篮球和排球的单价比为3∶2，单价和为80元。(2)若要求购买的篮球和排球的总数量是36个，且购买的篮球数量不少于26个。请探究有哪几种购买方案。(2)采用列表法探索：类别篮球/个排球/个合计/元方案①26101

568方案②2791

584方案③2881

600方案④2971

616由表可知，共有3种购买方案：方案①：购买篮球26个，排球10个；方案②：购买篮球27个，排球9个；方案③：购买篮球28个，排球8个。10－1

某书城开展学生优惠购书活动，凡一次性购书不超过200元的一律按9折优惠，超过200元的部分按8折优惠。某学生第一次购书付款81元，第二次又去购书享受了8折优惠，他查看了所买书的定价，发现两次一共省了39元。则：(1)该学生第一次购书的原价是多少元？省了多少元？(2)该学生第二次购书实际付款多少元？(用方程解决问题)

答：该学生第一次购书的原价是90元，省了9元。90－81＝9(元)。分段计费问题解：(1)第一次购书的实际定价为81÷0.9＝90(元)。类型答：该学生第二次购书实际付款220元。所以250－30＝220(元)。解得x＝250。

则(x－200)×0.8＋200×0.9＝x－30。设第二次所买书的定价为x元，(2)根据题意，得第二次节省了39－9