【数学】一元一次方程的应用（第2课时）课件 2024-2025学年北师大版七年级数学上册

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第五章

一元一次方程

——3一元一次方程的应用第2课时

《九章算术》是中国古代的数学专著，是《算经十书》中最重要的一部.《九章算术》第七章“盈不足”中有这样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四.问人数、物价各几何？”你知道我国古人是如何解决这个问题的吗？“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四.问人数、物价各几何？”题目大意：几个人合伙买东西，若每人出8钱，则会多出3钱，若每人出7钱，则还少4钱.问合伙的人数和物品的价格分别是多少？(1)问题中有哪些已知量和未知量？它们之间有怎样的等量关系？已知量：每人出8钱，多出3钱，每人出7钱，少4钱.未知量：合伙的人数、物品的价格.第一种出钱总数-3=第二种出钱总数+4思考(2)设人数为x，其他未知量能用含x的代数式表示吗？请完成下表.有关量每人出8钱每人出7钱人数x出钱总数物价8x

x

7x

8x

-37x+4思考思考(3)根据等量关系，你能列出怎样的方程？设人数为x.根据等量关系，列出方程：.解这个方程，得x=.因此，人数为

，物价为.77538x

-3=7x+4利用表格分析数量关系是一种有效方法.如果设物价为y，你能列出怎样的方程？与同伴进行交流.思考有关量每人出8钱每人出7钱人数出钱总数物价y+3y-4yy列方程得：解得

y=53.你比较喜欢用哪种方式列方程呢？“盈不足”问题解题关键是确定等量关系，方法有两种.根据人数不变找等量关系；根据物价不变找等量关系.归纳例《九章算术》“盈不足”章第五题：今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百.问人数、金价各几何？题目大意：几个人合伙买金，每人出400钱，会多出3400钱；每人出300钱，会多出100钱.合伙人数、金价各是多少？分析：设人数为x，你能把下表补充完整吗？有关量每人出400钱每人出300钱人数x出钱总数金价400x

400x

-3400x

300x

300x

-100例《九章算术》“盈不足”章第五题：今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百.问人数、金价各几何？题目大意：几个人合伙买金，每人出400钱，会多出3400钱；每人出300钱，会多出100钱.合伙人数、金价各是多少？解：设合伙人数为x，则金价可表示为（400x

-3400）钱，还可表示为（300x

-100）钱，根据等量关系，列出方程：400x-3400=300x-100解这个方程，得x=33.300×33-100=9800.因此，人数为33，金价为9800钱.方程的两边就是金价的两种不同的表达式.实际问题建立模型确定等量关系列表分析列方程并求解归纳总结求解思路应用求解古数学盈亏问题归纳列一元一次方程求解古数学盈亏问题的基本思路：有关量每人出400钱每人出300钱人数出钱总数金价y思考交流(1)对于例题，如果设金价为

y，能列出怎样的方程？y+3400y

y+100可列方程得：思考交流(2)《九章算术》给出了一种算法：

人数=两次剩余钱数之差÷两次每人所出钱数之差；物价=每人出的较多钱数×人数-剩余钱数，或物价=每人出的较少钱数×人数+不足的钱数.你能理解这种解法吗？与方程的求解过程相比，有什么不同？与同伴进行交流.解方程→顺向思考算式方法→逆向思考1.《九章算术》记载了这样一道题：“以绳测井，若将绳三折测之,绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺.问绳长、井深各几何?”题意是：用绳子测量水井深度，如果将绳子折成三等份，那么每等份井外余绳四尺；如果将绳子折成四等份，那么每等份井外余绳一尺.问绳长和井深各多少尺？假设井深为x尺，则符合题意的方程应为()A.13x

-4=14x

-1B.3x+4=4x+1C.13x+4=14x+1D.3(x+4)=4(x+1)D2.我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗:“庭前孩童闹如簇，不知人数不知梨.每人四梨多十二，每人六梨恰齐足.”其大意是：孩童们在庭院玩耍,不知有多少人和梨子.每人分4个梨，多12个梨；每人分6个梨,恰好分完.设梨有x个，则可列方程为

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3.隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤.问:人、银各几何?(选自《算法统宗》)题目大意:几个人分银子，若每人分7两，则剩余4两:若每人分9两，则差8两.有多少个人?有多少两银子?分析：设人数为x.有关量每人分7两每人分9两人数x出钱总数银钱数7x

7x+4x

9x

9x

-83.隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤.问:人、银各几何?(选自《算法统宗》)题目大意:几个人分银子，若每人分7两，则剩余4两:若每人分9两，则差8两.有多少个人?有多少两银子?解：设人数为x.7x+4=9x

-8根据题意，可列方程得：解得：x=67×6+4=46(两).因此，有6个人，有46两银子.4.鸡兔同笼是我国古代三大算术题目之一,最早记载于《孙子算经》中,距今约1500年,原文如下:今有雉兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问雉兔各几何?翻译成现代汉语就是:有若干只鸡和兔子在同一个笼子里,从上面数共有35个头,从下面数共有94只脚,鸡和兔子各有多少只?解：设鸡有x只，则兔有(35-x)只.根据题意,得2x+4(35-x)=94，解这个方程，得x=23.