高中数学复习专题02 垂直问题的证明(解析版)

第三篇立体几何专题02垂直问题的证明常见考点考点一线面垂直的判定典例1．如图，在正方体中，E，F分别是棱，的中点，求证：平面EAB．【答案】见解析【解析】【分析】通过证明和，进而可得证.【详解】E，F分别是棱，的中点，在Rt△和Rt△中，，所以Rt△Rt△，所以△，因为，所以，所以，即，又因为正方体中，平面,平面，所以，和平面EAB内的两条相交直线，所以平面EAB.变式1-1．如图，在四棱锥中，底面ABCD是菱形，且，判断直线AC与平面PBD是否垂直，并说明理由．【答案】垂直，理由见详解.【解析】【分析】利用线面垂直的判定定理即可证明.【详解】设，连接，底面ABCD是菱形，则，且为的中点，因为，则，又因为,所以平面PBD变式1-2．如图，在中，M为边BC的中点，沿AM将折起，使点B在平面ACM外．在什么条件下直线AM垂直于平面BMC？【答案】AB=AC【解析】【分析】根据线面垂直的判断定理分析即可求解.【详解】解：由线面垂直的判断定理有，要使直线AM垂直于平面BMC，则应有AM垂直于MC，且垂直于MB，即AM是BC上的高，又因为M为边BC的中点，所以AB=AC，即在AB=AC的条件下直线AM垂直于平面BMC．变式1-3．如图，在三棱柱中，为正三角形，，，为的中点，证明：平面【答案】证明见解析【解析】【分析】按照线面垂直的判定，证明垂直平面内的两条相交线即可.【详解】，得，因为为正三角形，所以为正三角形.因为为的中点.所以，因为，所以，因为，平面，所以平面考点二面面垂直的判定典例2．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面为菱形，，平面，且，分别为，的中点，点为棱PC上一动点，证明：平面平面【答案】证明见解析【解析】【分析】利用面面垂直的判定定理即可得到证明【详解】连接，因为底面为菱形，，所以三角形为等边三角形，因为为的中点，所以又，所以.因为平面，平面，所以因为，所以平面.又平面，故平面平面变式2-1．如图，正三棱柱中，，，，分别是棱，的中点，在侧棱上，且，求证：平面平面；【答案】证明见解析【解析】【分析】根据定义，在平面中找一条线让其垂直平面即可.【详解】在正三棱柱中，平面，平面，则.是棱的中点，为正三角形，则.，平面，平面，.又，，，，，，则和相似，故，，则有，故.，平面，且平面，平面平面.变式2-2．如图所示，在四棱锥中，底面是矩形，侧面底面，求证：平面平面．【答案】证明见解析【解析】【分析】由面面垂直的性质可得面，根据面面垂直的判定即可证平面平面．【详解】证明：由底面为矩形，则，∵面面，面面，面，∴面，又平面，∴平面平面．变式2-3．已知是圆的直径，垂直圆所在的平面,是圆上任一点．求证:平面⊥平面.【答案】证明见解析【解析】【分析】先证直线平面，再证平面⊥平面.【详解】证明:∵是圆的直径，是圆上任一点，，，平面，平面，，又，平面，又平面，平面⊥平面.【点睛】本题考查圆周角及线面垂直判定定理、面面垂直判定定理的应用，考查垂直关系的简单证明.考点三线面垂直的性质典例3．如图，已知平面，D为的中点，求证：.【答案】证明见解析【解析】【分析】通过线面垂直证明线线垂直即可.【详解】证明：因为，D为的中点，所以,又平面，平面，所以，又,且、平面，所以平面，又平面,所以.变式3-1．如图所示，是边长为的正六边形所在平面外一点，，在平面内的射影为的中点.证明.【答案】证明见解析【解析】连结，则易知与的交点为，利用线面垂直的判定定理及性质定理，即可得证.【详解】证明：连结，则易知与的交点为，如图所示：由正六边形的性质可得，∵，，，∴平面，∵平面，∴.变式3-2．如图，在三棱锥P-ABC中，，垂足为D，底面ABC，垂足为O,且O在CD上，求证：.【答案】证明见解析【解析】通过线面垂直证得，结合得平面POC，即可得证.【详解】证明：底面ABC，底面ABC，.∵O在CD上,.又，平面POC.平面POC，.【点睛】此题考查线面垂直的性质和判定的综合应用，利用线面垂直得线线垂直.变式3-3．如图，在空间四边形PABC中，，，．求证：【答案】见详解【解析】【分析】先证线面垂直，进而由线面垂直推出线线垂直.【详解】取中点，连结．，．，．，平面．平面，．【点睛】本题主要考查线面垂直的性质定理，属于基础题型.考点四面面垂直的性质典例4．在三棱锥中，分别为的中点，且.(1)证明：平面；(2)若平面平面，证明：.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【解析】【分析】（1）由中位线定理，可得，再根据线面平行的判定定理，即可证明结果．（2）由题意可证，再根据面面垂直的性质定理，可证平面，由此即可证明结果．(1)证明:因为，分别为，的中点，所以，又平面，平面，所以平面；(2)证明：因为，为的中点，，又平面平面平面平面，所以平面又平面.所以.变式4-1．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA＝PD，底面ABCD是矩形，侧面PAD⊥底面ABCD，E是AD的中点．（1）求证：AD∥平面PBC；（2）求证：AB⊥平面PAD【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】【分析】（1）利用底面是矩形，得到AD∥BC，进而证明AD∥平面PBC；（2）由AB⊥AD，再由面面垂直的性质定理证明．【详解】（1）证明：在四棱锥P﹣ABCD中，∵底面ABCD是矩形，∴AD∥BC，又AD平面PBC，BC平面PBC，∴AD∥平面PBC；（2）证明：∵底面ABCD是矩形，∴AB⊥AD，又∵侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD平面ABCD＝AD，AB平面ABCD，∴AB⊥平面PAD.变式4-1．如图所示，所在的平面与长方形所在的平面垂直．(1)求证：平面；(2)求证：．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【解析】【分析】(1)根据给定条件利用线面平行的判定推理作答.(2)由面面垂直的性质可得平面，再利用线面垂直的性质推理得证.(1)因四边形是长方形，则，而平面，平面，所以平面.(2)长方形中，则，平面平面，平面PDC平面，平面，则有平面，又平面，所以.变式4-2．如图，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是的菱形，，平面垂直于底面ABCD，G为AD边的中点．求证：(1)平面PAD；(2)．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【解析】【分析】(1)利用面面得到平面；(2)证明面，从而得．(1)四边形是的菱形，∴为等边三角形，又为的中点，∴，又∵平面平面，平面，平面平面，∴平面；(2)，为的中点，∴，又，，平面，∴平面，又∵面，∴．巩固练习练习一线面垂直的判定1．如图，在四棱锥P–ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，ADBC，PA=AD=CD=2，BC=3.E为PD的中点，点F在PC上，且，求证：CD⊥平面PAD.【答案】证明见解析【解析】由PA⊥CD，AD⊥CD即可得出.【详解】因为PA⊥平面ABCD，平面ABCD，所以PA⊥CD，又因为AD⊥CD，所以CD⊥平面PAD.2．如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，点E为棱PD的中点.(1)求证：平面PAB；(2)求证：平面PAB.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】【分析】（1）构造平行四边形证明线面平行即可；（2）根据线面垂直得线线垂直，再由线线垂直证明线面垂直.【详解】（1）证明：取PA中点F，连接EF，BF，因为E为PD中点，F为PA中点，所以，且.又因为，且，所以，且.所以四边形BCEF为平行四边形，所以，因为平面PAB，平面PAB所以平面PAB.（2）因为平面ABCD，平面ABCD所以又因为，所以，又，､平面PAB所以平面PAB.3．如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面.(1)求证：平面；(2)求证：平面.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】【分析】（1）利用线面平行的判定定理即可证得；（2）利用线面垂直的性质定理及线面垂直的判定定理即可证得.(1)由底面是正方形，又平面，平面，平面(2)平面，平面，又底面是正方形，又，平面，平面4．如图，矩形与梯形所在的平面互相垂直，，，，，为的中点．(1)求证：平面；(2)求证：平面．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】【分析】（1）取中点，连结，，证明四边形为平行四边形，从而可证平面；（2）先证明平面，可得，再利用勾股定理，证明，利用线面垂直的判定定理，证明平面．(1)证明：取中点，连结，．在中，，分别为，的中点，所以，且．由已知，，所以，且．所以四边形为平行四边形．所以．又因为平面，且平面，所以平面．(2)证明：在矩形中，．又因为平面平面，且平面平面，所以平面．因为平面．所以．在直角梯形中，，，可得．在中，，因为，所以．因为，平面，所以平面．练习二面面垂直的判定5．如图,在四棱锥中,四边形是菱形,,为的中点.(1)求证:面；(2)求证:平面平面.【答案】（1）要证明线面平行，则可以根据线面平行的判定定理来证明．（2）对于面面垂直的证明，要根据已知中的菱形的对角线垂直，以及面来加以证明．【解析】【详解】试题分析：（1）由题意得只需在平面AEC内找一条直线与直线PD平行即可．设，连接EO，由三角形中位线可得即得；（2）连接PO，由题意得PO⊥AC，又底面为菱形，则AC⊥BD，由面面垂直的判定定理即得．试题解析：（1）证明：设，连接EO，因为O，E分别是BD，PB的中点，所以而，所以面（2）连接PO，因为，所以，又四边形是菱形，所以而面，面，，所以面又面，所以面面考点：1．线面平行的判定定理；2．面面垂直的判定定理；6．四棱锥P—ABCD中，ABCD为矩形，△PAD为等腰直角三角形，∠APD=90°，面PAD⊥面ABCD，且AB=1，AD=2，E、F分别为PC和BD的中点．（1）求证：EF∥面PAD；（2）求证：面PDC⊥面PAB；【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）根据线面平行的判定定理，只需在面PAD内找到一条线与EF平行，由中点想到中位线，即可证出；（2）根据面面垂直的判定定理，只需在其中一个面内找到一条直线垂直于另一个平面即可．【详解】（1）连接AC，∵ABCD为矩形，且F是BD的中点，∴AC必经过F又E是PC的中点，所以，EF∥AP.∵EF在面PAD外，PA在面内∴EF∥面PAD．（2）∵面PAD⊥面ABCD，CD⊥AD，面PAD面ABCD=AD，∴CD⊥面PAD，又AP面PAD，∴AP⊥CD又∵AP⊥PD，PD和CD是相交直线，AP⊥面PCD又AP面PAB，所以，面PAB⊥面PDC【点睛】本题主要考查了线面平行的判定定理、面面垂直的判定定理的应用，牢记定理条件是解题关键．7．如图，在四棱柱中，平面底面，且.（1）求证：平面；（2）求证：平面平面.【答案】（1）见解析;（2）见解析.【解析】【详解】（1）立体几何中线面平行的证明，可根据线面平行的判定定理来进行证明，只需证明直线与该平面内的某一直线平行即可，一般常用的方法是平行四边形对边平行的性质或者是三角形中位线与底边平行的性质；（2）可根据面面垂直的判定定理来进行证明，一般思路是“面面垂直线面垂直线线垂直”的过程.试题解析：（1）在四棱柱中，.因为平面，平面，所以平面.（2）因为平面底面，平面底面，底面，且由知，所以平面.又，故平面.而平面，所以平面平面.8．如图所示，在四棱锥中，，，面面．求证：（1）平面；（2）平面平面．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）由题可得根据线面平行的判断定理可证平面；（2）由题，易得，再利用面面可得面，即得证.【详解】(1)面,面,∴平面(2)∵∴∵面面,面面,面,∴面,又面,∴面面【点睛】本题主要考查了空间几何中平行以及垂直的判断定理和性质定理，熟悉定理是解题的关键，属于较为基础题.练习三线面垂直的性质9．P为正方形ABCD所在平面外一点，PA⊥面ABCD，AE⊥PB，求证：AE⊥PC．【答案】见解析【解析】【分析】由已知中P为正方形ABCD所在平面外一点，PA⊥面ABCD，结合正方形的几何特征，我们易得到BC⊥平面PAB，由线面垂直的性质得到BC⊥AE，结合已知中AE⊥PB，及线面垂直的判定定理，得到AE⊥平面PBC，最后再由线面垂直的判定定理，即可得到AE⊥PC．【详解】证明：∵PA⊥面ABCD，∴PA⊥AD又∵BC∥AD∴PA⊥BC又由AB⊥BC，PA∩AB＝A∴BC⊥平面PAB又AE⊂平面PAB∴BC⊥AE又由AE⊥PB，BC∩PB＝B∴AE⊥平面PBC又∵PC⊂平面PBC∴PC⊥AE【点睛】本题考查知识点是直线与平面垂直的判定及直线与平面垂直的性质，其中熟练掌握正方形的几何特征及线面垂直的判定定理和性质是解答本题的关键．10．如图，已知在正方体中，E为的中点．求证：．【答案】证明见解析.【解析】【分析】由正方体性质知且面，再根据线面垂直的性质有，由线面垂直的判定及性质即可证结论.【详解】连接，在正方体中且面，又面，则，且，、面，所以面，又面，即.11．如图，在三棱锥中，，．求证：．【答案】见解析【解析】【分析】转化为证明线面垂直，再利用线面垂直的性质得出结论.【详解】如图：取的中点，连接、.因为，，所以，.又，平面，平面，所以平面.又平面，所以.12．如图，正方体中，求证.【答案】证明见解析．【解析】【分析】证明与平面垂直后可得线线垂直．【详解】证明：如图，连接，是正方形，则，又平面，平面，所以，，平面，所以平面，又因为平面，所以．练习四面面垂直的性质13．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，且AD∥BC，AB⊥BC，BC=2AD，已知平面PAB⊥平面ABCD，E，F分别为BC，PC的中点.求证:（1）AB平面DEF;（2）BC⊥平面DEF.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由四边形是平行四边形，利用线面平行的判定定理证明即可；（2）利用面面垂直的性质定理，以及线面垂直的定义，可得，又因为，利用线面垂直的判定定理可得命题成立．【详解】证明：（1）因为，，为的中点.，

所以，所以四边形是平行四边形，所以

又因为平面，平面所以平面.（2）因为平面平面平面平面，平面所以平面.

因为平面.所以

因为分别为的中点，所以，所以因为，所以

因为平面，平面，所以平面.14．如图，矩形所在平面与半圆弧CD所在平面垂直，是半圆弧上异于，的点.（1）证明：直线平面；（2）在线段上是否存在点，使得平面？说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）存在，理由见解析.【解析】【分析】（1）由面面垂直的性质可得⊥平面，继而得⊥，结合⊥可证；（2）当为的中点时，∥平面，连结交于，连结，由∥可证.【详解】（1）由题设知，平面