4-7贾 能态密度和费米面

晶体中电子状态的基本认识（2）晶体中电子状态由能带描述；（1）多个原子相互作用，孤立的能级扩展为能带，一般情况下，二者有一一对应的关系；（4）能带宽度决定于波函数的重叠程度；（3）禁带宽度决定于周期势场变化的剧烈程度；（5）晶体中电子波函数是布洛赫函数，它反映晶体电子共有化运动和围绕原子核运动两者兼有的特征；禁带图1近自由电子近似能带扩展区图示2021/6/2712021/6/272△E图2近自由电子近似能带简约区、能级分裂图示2021/6/273§4-7能态密度和费米面

一、能态密度函数固体中的电子能级原子中电子的本征态分立的能级分布情况描述具体标明各能级能量准连续分布特点：异常密集分布情况描述“能态密度函数N(E)”或“单位体积能态密度g(E)”2021/6/2741、能态密度函数定义：在E—E+ΔE能量范围内的能态数目用ΔZ表示，则能态密度函数定义为：单位体积能态密度g(E)：V晶体的体积2021/6/275图3E(K)在K空间的分布情况2021/6/276一、能态密度函数Ⅰ.ΔZ的确定在空间中作和等能面，在两等能面之间状态数即为ΔZ。而空间中分布是均匀的，密度为，即：

(1)dk表示两等能面之间的垂直距离;(2)ds表示面积元。2021/6/277Ⅱ.关于ΔE由的含义（表示沿法线方向能量的改变率）可知：Ⅲ.由此得能态密度N(E)一般表达式：2021/6/278qyqx振动模式密度能态密度函数2021/6/279关于能态密度的计算公式：例一、自由电子能态密度Ｎ(E)。例二、若已知，求g(E)。例三、简立方晶格的s带对应的能态密度N(E)。2021/6/2710例一、自由电子能态密度Ｎ(E)解：自由电子的能量本征值：自由电子等能面为球面，其半径为：作业：求解一维、二维情况下自由电子能态密度Ｎ(E)2021/6/2711例一、自由电子能态密度Ｎ(E)分析Ｅ～Ｎ(Ｅ)关系N(E)E

自由电子情况近自由电子近似的能态密度2021/6/2712近自由电子近似的等能面第一布里渊区内：认为从原点向外，等能面应该基本上保持为球面接近于布里渊区边界：等能面将向外凸出当EA<E<EC时：等能面将不再是完整的闭合面，而是分割在各个顶角附近的曲面。kxky2021/6/2713A·C··B据以上分析可估计能态密度N(E)的大小。在第一布里渊区内：EN(E)ECE0EBEC>EB当E超过第二布里渊区的最低能量EB时：N(E)由0迅速增大。EN(E)EAECEBEC<EB2021/6/2714近自由电子能态密度Ｎ(E)Ｅ～Ｎ(E)关系可表示如下：(1)E<EA时，N(E)自由电子结果相差不多；(2)E接近EA时，由于等能面向外凸，导致体积增大，使N(E)大于自由电子情况；(3)E>EA时，由于等能面开始残破，面积下降，尤其是到达EC时，等能面缩小为几个顶角点，所以由EA到EC过程，N(E)将不断下降到零。N(E)E

自由电子情况近自由电子情况2021/6/2715近自由电子能态密度Ｎ(E)N(E)E

自由电子情况近自由电子情况(4)当E达到并超过第二布里渊区的最低能量EB时，能态密度N(E)将从EB开始，由0迅速增大。注：右图为能带无交叠的情况。2021/6/2716近自由电子能态密度Ｎ(E)N(E)E

自由电子情况近自由电子情况能带有交叠情况2021/6/2717例二例二、若已知，求g(E)。解：等能面方程：2021/6/2718例二能量为E的等能面内的状态数记作Z：2021/6/2719例二引申情况：当m1=m2=m3时，等能面为球面；当m1=m2≠m3时，等能面为椭球面。2021/6/2720例三计算简立方晶格的s带对应的能态密度N(E)解：简立方晶格的s带能带函数计算公式：2021/6/2721例三所以能态密度可表示为：2021/6/2722紧束缚近似等能面能带底附近等能面为球面；E增大，等能面偏离球面，E越增大，偏离越明显（P218图4-40）。2021/6/2723例三(1)能带底E=E0-6J1；(2)当E=E0-2J1时，出现微商不连续奇点，这时恰好等能面与布里渊区界面相交，等能面如P219图4-42所示；(3)E=E0时，为能带的中点，N(E)函数以E0为中心，上下对称，等能面如P219图4-43所示。能态密度函数图（P219图4-41）2021/6/2724例三能态密度的临界点（范霍夫奇点）由公式

可知，在某个k取值处，

在该点，N(E)显示出某种奇异性，称为范霍夫奇点，也称临界点。En(k)是k空间的周期函数，因此每个周期性单元中必定存在有的点，例如：En(k)的极大值和极小值点；的鞍点等等，而且这些点是出现在布里渊区的高对称点处。2021/6/2725例三以简立方晶格为例，说明紧束缚近似下的s能带的能态密度的临界点恰为布区的高对称点。Γ点[]是极小值点；R点[]是极大值点；X点[]是一个鞍点——布区侧面中心。2021/6/2726二、费米面能量是k的函数，费米分布描述电子按能量的分布。在k空间中画出等能面，电子按费米函数分布在各等能面上，按泡利原理，由低到高，填充能量尽可能低的电子态。若固体中有N个电子，在k空间填充了半径为kF的球，球内包括的状态数恰好等于N，即：一般称这个球为费米球，kF称为费米球半径，球的表面称费米面。2021/6/2727费米面定义指当T＝0时，k空间中占有电子和不占有电子区域的分界面。这里费米面的能量值称为费米能级EF；对应的电子动量称为费米动量；kF称为费米球半径；

称为费米速度；费米面就是k空间中能量为EF的等能面。2021/6/2728费米面费米能级EF费米能级数值由电子密度决定。当T=0k时，从E=0到E=EF范围内对g(E)积分值应等于电子密度n，即：费米球半径kFN个电子在k空间填充半径为kF的费米球，费米球内包括的状态数恰好等于N，即2021/6/2729关于“费米面”（1）绝对零度下，费米面将填充能级和未填充能级分隔开；（2）费米面形状基本上不随温度变化；温度升高时，只有少量电子从费米面内侧附近激发到外侧附近，费米能级本身很少随温度变化，因此，费米面成为金属的一个