新教材高中数学第五章三角函数习题课正弦函数余弦函数的性质的综合问题导学案

习题课正弦函数、余弦函数的性质的综合问题【学习目标】(1)掌握正弦函数、余弦函数的基本性质．(2)能够解决简单的函数性质的综合问题．题型1形如y＝asin2x＋bsinx＋c(a≠0)型函数的最值(值域)问题例1求函数y＝cos2x＋sinx，x∈R的最大值．一题多变将本例中的条件“x∈R”改为“x∈[π4学霸笔记：求y＝asin2x＋bsinx＋c(a≠0)型函数最值(值域)的方法形如y＝asin2x＋bsinx＋c(a≠0)型，可利用换元思想，设t＝sinx，转化为二次函数y＝at2＋bt＋c求最值，t的范围需要根据定义域来确定．若f(x)＝asin2x＋bcosx＋c，还需利用同角三角函数的基本关系，转化成同名三角函数求值．跟踪训练1求函数f(x)＝sin2x＋cosx在区间[π4题型2正弦函数、余弦函数的对称性【问题探究】(1)正弦函数y＝sinx是奇函数，正弦曲线关于原点对称，即原点是正弦曲线的对称中心，除原点外，正弦曲线还有其他对称中心吗？如果有，那么对称中心的坐标是什么？(2)正弦曲线是轴对称图形吗？如果是，其对称方程是什么？(3)类比正弦函数的对称轴和对称中心，你能写出余弦函数的对称轴和对称中心吗？例2求函数y＝3sin(2x＋π3学霸笔记：正弦曲线、余弦曲线的对称轴一定分别过正弦曲线、余弦曲线的最高点或最低点，即此时的正弦值、余弦值取得最大值或最小值；正弦曲线、余弦曲线的对称中心一定是正弦曲线、余弦曲线与x轴的交点，即此时的正弦值、余弦值为0.跟踪训练2函数y＝cos(2x＋π3A．关于点(π3B．关于点(π6C．关于直线x＝π6D．关于直线x＝π3题型3正弦函数、余弦函数性质的综合应用例3下述四条性质：①最小正周期是π，②图象关于直线x＝π3对称，③图象关于点(π12，0)对称，④在[－A．y＝sin(x2+π6)B．y＝sin(2C．y＝cos(2x＋π3)D．y＝sin(2x＋π学霸笔记：研究三角函数性质的几个方面是通过数形结合、整体代换的数学思想研究三角函数的定义域、图象、周期性、奇偶性、对称性、单调性、最值或值域等．跟踪训练3(多选)设函数f(x)＝cos(2x＋π3A．f(x)的一个周期为－πB．y＝f(x)的图象关于直线x＝4πC．f(x)的一个零点为x＝πD．f(x)在(π2随堂练习1.函数y＝sin2x的图象的一条对称轴的方程是()A．x＝－π2B．x＝－C．x＝π8D．x＝2．函数y＝cos2x的图象()A．关于直线x＝－π2B．关于直线x＝－π4C．关于直线x＝π8D．关于直线x＝5π3．已知函数f(x)＝4sin(ωx＋π6)的图象的一个对称中心到相邻对称轴的距离为π6，则函数f(A．(0，π4)B．(－π2，－C．(π3，π2)D．(－4．函数f(x)＝－2sin2x＋cosx－3的值域为____________．课堂小结1.会求形如y＝asin2x＋bsinx＋c(a≠0)型函数的最值(值域)．2．会求正弦函数、余弦函数的对称轴和对称中心．3．灵活掌握正弦函数、余弦函数性质的综合应用．习题课正弦函数、余弦函数的性质的综合问题例1解析：由已知得y＝1－sin2x＋sinx，令sinx＝m(－1≤m≤1)，则y＝1－m2＋m＝－(m－12)2＋5当m＝12时，函数有最大值为5一题多变解析：f(x)＝cos2x＋sinx＝1－sin2x＋sinx，x∈[π4令sinx＝t，t∈[22∴g(t)＝－t2＋t＋1，t∈[22对称轴t＝12，故函数g(t)在t∈[2又g(22)＝－12+所以函数f(x)＝cos2x＋sinx，x∈[π4，π跟踪训练1解析：f(x)＝1－cos2x＋cosx＝－cos2x＋cosx＋1，设t＝cosx，∵x∈[π4，2π3所以g(t)＝－t2＋t＋1，t∈[－12二次函数抛物线的对称轴为t＝－12×-由于g-12＝－14g(22)＝－12+22所以函数的最小值是14问题探究提示：(1)有(kπ，0)k∈Z.(2)是轴对称图形，方程为x＝π2＋kπ，(k∈Z(3)对称轴方程是x＝kπ(k∈Z)，对称中心的坐标为(π2＋kπ，0)(k∈Z例2解析：由2x＋π3＝kπ＋π2，得x＝kπ2+所以对称轴为x＝kπ2+π12由2x＋π3＝kπ，得x＝kπ2-π所以对称中心为(kπ2-π6跟踪训练2解析：由余弦函数的对称中心为(kπ＋π2，0)，令2x＋π3＝kπ＋π2，得x＝kπ2+π12，k∈Z，易知A、B错误；由余弦函数的对称轴为x＝kπ，令2x＋π3＝kπ，得x＝kπ2答案：D例3解析：条件①：y＝sin(x2+π条件②：当x＝π3代入B，函数取得最大值，满足关于x＝π3对称；代入C，函数取得最小值，满足关于x＝π3条件③：x＝π12条件④：在[－π6，π3]上，代入B，2x－π6∈[－π2，π2答案：B跟踪训练3解析：T＝2π2＝π，故f(因为f4π3＝cos(8π3+π3)＝cos3π＝－1，故y＝ffπ12＝cos(π6+π3)＝0，故f(x当x∈(π2，π)时，2x＋π3∈(答案：ABC[随堂练习]1．解析：由2x＝π2＋kπ，得x＝kπ2-π4，k∈Z，当k＝0时，x＝－答案：B2．解析：y＝cos2x的对称轴满足2x＝kπ，k∈Z，即x＝kπ2，k∈Z，当答案：A3．解析：因为函数f(x)＝4sin(ωx＋π6)的图象的一个对称中心到相邻对称轴的距离是π6，所以14×2所以f(x)＝4sin(3x＋π6令π2＋2kπ≤3x＋π6≤3π2＋2kπ，k∈Z，解得π9+2k所以函数f(x)的单调递减区间是[π9+2kπ3当k＝－1时，(－π2，－π4)⊆[－5π所以函数f(x)在区间(－π2，－π答案：B4．解析：f(x)＝－2sin2x＋cosx－