2024年广东省深圳市南山区高一上学期期末数学试题及答案

试题PAGE1试题南山区2023-2024学年度第一学期期末质量监测高一数学试题2024.1注意事项：1.本试卷共4页，22小题，满分150分，考试用时120分钟.2.答卷前，考生务必将自己的学校，班级和姓名填在答题卡上，正确粘贴条形码.3.作答选择题时，用2B铅笔在答题卡上将对应答案的选项涂黑.4.非选择题的答案必须写在答题卡各题目的指定区域内相应位置上，不准使用铅笔和涂改液.5.考试结束后，考生上交答题卡.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A B. C. D.2.下列所给的等式中正确的为（）A. B.C. D.3.已知命题：“”，则的否定为（）A. B.C. D.4.设函数的零点为，则（）A. B. C. D.5.要得到的图象，只需将函数的图象（）A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度6.已知函数，若，则的值可以为（）A. B. C. D.7.设函数，则函数的图象可能为（）A. B.C. D.8.已知，则（）A. B.C D.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知函数为幂函数，则下列结论正确的为（）A. B.为偶函数C.为单调递增函数 D.的值域为10.已知是的三个内角，下列条件是“”的一个充分不必要条件的为（）A. B.C. D.11.已知函数，若，则下列结论可能成立的为（）A. B.C. D.12.已知函数满足如下两个性质：①，其中函数是函数的反函数；②若，则，则下列结论正确的为（）A若，则B.若点在曲线上，则C.存在点，使得曲线与关于点对称D.方程恰有9个相异实数解三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知扇形的圆心角为，且弧长为，则该扇形的面积为__________.14.已知函数，若，则__________.15.已知当时，函数的图象恒过定点，其中为常数，则不等式的解集为__________.16.已知实数，且.记，则__________，的最小值为__________.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程和演算步骤.17.计算下列各式的值.（1）；（2）.18.已知集合（1）若，求；（2）若，求实数取值范围.19.（1）已知点为角终边上一点，且，求的值；（2）若，求的值.20.已知某产品在过去的32天内的日销售量（单位：万件）与第天之间的函数关系为①；②这两种函数模型中的一个，且部分数据如下表：（天）241020（万件）121110.410.2（1）请确定的解析式，并说明理由；（2）若第天的每件产品的销售价格均为（单位：元），且，求该产品在过去32天内的第天的销售额（单位：万元）的解析式及的最小值.21.已知函数的部分图象如图所示.（1）求的解析式；（2）设，记在区间上的最大值为，求的解析式.22.已知函数为定义在上的奇函数.（1）求实数的值；（2）（i）证明：单调递增函数；（ii），若不等式恒成立，求非零实数的取值范围.南山区2023-2024学年度第一学期期末质量监测高一数学试题2024.1注意事项：1.本试卷共4页，22小题，满分150分，考试用时120分钟.2.答卷前，考生务必将自己的学校，班级和姓名填在答题卡上，正确粘贴条形码.3.作答选择题时，用2B铅笔在答题卡上将对应答案的选项涂黑.4.非选择题的答案必须写在答题卡各题目的指定区域内相应位置上，不准使用铅笔和涂改液.5.考试结束后，考生上交答题卡.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据对数型函数的定义域得到，再根据交集含义即可.【详解】由题得，解得，则，则，故选：D.2.下列所给的等式中正确的为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据弧度制与角度值的换算公式易得A项错误；根据三角诱导公式可判断D项错误，B项显然错误.【详解】对于选项A，因，故A项错误；对于选项B，因，故B项错误；对于选项C，，故C正确；对于选项D，因，故D项错误.故选：C.3.已知命题：“”，则的否定为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题即可得解.【详解】因为全称量词命题的否定为存在量词命题，所以的否定为.故选：A.4.设函数的零点为，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】结合函数单调性以及零点存在定理即可得解.【详解】由题意函数与函数均单调递增，所以函数也单调递增，且，所以由零点存在定理可知函数的零点.故选：B.5.要得到的图象，只需将函数的图象（）A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度【答案】D【解析】【分析】将整理成，然后利用平移变换即可求解.【详解】由于函数，故只需将函数的图象向右平移可得函数的图象.故选：D．6.已知函数，若，则的值可以为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用，将各个选项入求出的值，再判断是否满足，即可求出结果.【详解】对于选项A，，所以选项A不正确；对于选项B，，所以选项B不正确；对于选项C，，所以选项B不正确；对于选项D，，所以选项D正确，故选：D.7.设函数，则函数的图象可能为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先判断函数奇偶性，舍去B,D，再根据函数值正负确定选项.【详解】因为，所以是奇函数，排除B,D，因为,所以选C.故选:C.【点睛】本题考查函数图象识别，考查基本分析判断能力，属基本题.8.已知，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】通过放缩，再利用平方关系及辅助角公式得到，利用函数在区间上单调递增，得出，再利用对数函数的单调性可得到，利用函数在区间上单调递减及指数函数的单调性可得到，进而得出结果.【详解】因为，所以，且，故，又，，而函数在区间上单调递增，所以，得到，所以又，函数在区间上单调递减，所以，故，所以，故选：A.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知函数为幂函数，则下列结论正确的为（）A. B.为偶函数C.为单调递增函数 D.的值域为【答案】AC【解析】【分析】根据幂函数的性质可得，进而可得，由幂函数的性质即可结合选项逐一求解.【详解】由为幂函数可得，解得，所以，故A正确，C正确；由于，故为奇函数，故B错误；的值域为，D错误，故选：AC.10.已知是的三个内角，下列条件是“”的一个充分不必要条件的为（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】根据题意要逐一判断由选项能否推出，推出为钝角三角形，其中A,C项都无从推出钝角，B项可以利用诱导公式判断是钝角，D项利用两角差的余弦公式可推得，从而得出钝角.【详解】对于A选项，由可得，则可以是锐角或者钝角，无法判断的符号，故A项错误；对于B选项，由可得，因，故是钝角，都是锐角，即有；反过来，由可得中必有一个钝角，当时,，故B项正确；对于C选项，当时，如果取,则，此时，不合题意，故C项错误；对于D选项，由可得,即，因,,则，即中必有一个是钝角，从而是锐角，即必成立，反过来，由可得中必有一个钝角，当时,，故D项正确.故选：BD.11.已知函数，若，则下列结论可能成立的为（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】在同一直角坐标系画出与的图象，根据分类讨论，判断选项.【详解】根据题意在同一直角坐标系中画出与的图象，如图所示，当时，此时,即，故，故A正确；当时，此时，即，故，故B正确；当时，此时，即，故，故D正确.故选：ABD12.已知函数满足如下两个性质：①，其中函数是函数的反函数；②若，则，则下列结论正确的为（）A.若，则B.若点在曲线上，则C.存点，使得曲线与关于点对称D.方程恰有9个相异实数解【答案】ACD【解析】【分析】由题意易得，根据函数单调性易判断A项；由点坐标判断其在单位圆上，根据两曲线的交点坐标特征，由角的范围即可判断；充分利用题设条件分析判断值的唯一性，再利用函数单调性确定函数的解析式，比较即得；对于D项，利用C项结论，根据方程解的情况，通过取对数将其转化为两函数的图像的交点情况作图即得.【详解】对于A项，由函数是函数反函数可知，，则为单调递增函数，故选项正确；对于B项，点显然在以原点为圆心的单位圆上，因为曲线与单位圆在第二象限内有交点，此时则故选项B错误；对于C项，因若，则则若，则常数的值唯一，又，，即，由可知，易得是上述方程的根，显然函数单调递增，故方程有且仅有一个实数根，曲线与关于原点对称，即取点为原点即可，故选项正确；对于D项，由项可得：方程即，即，两边取对数，得.如图，作出函数与的图象，易知它们恰有9个交点，故选项D正确.故选：ACD.【点睛】关键点睛：解题关键是了解反函数定义，以及理解把握函数的零点与对应方程的根、对应两函数的图像的交点的互相转化思想.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知扇形的圆心角为，且弧长为，则该扇形的面积为__________.【答案】【解析】【分析】先求得半径，再根据扇形面积公式即可得解.【详解】由题意设圆心角、弧长、半径分别为，则，解得，所以该扇形的面积为.故答案为：.14.已知函数，若，则__________.【答案】【解析】【分析】由题设易得函数的对称轴，再结合二次函数图像对称轴对比即得.【详解】因，函数的对称轴为直线，而由可知其对称轴为直线，故，解得.故答案为：.15.已知当时，函数的图象恒过定点，其中为常数，则不等式的解集为__________.【答案】【解析】【分析】先根据函数过定点求出；再根据分式不等式的解法即可求解.【详解】因为函数的图象恒过定点，所以.则不等式为，等价于，解得：.所以不等式的解集为.故答案为：16.已知实数，且.记，则__________，的最小值为__________.【答案】①.②.##【解析】【分析】先将题设不等式等价转化，再利用基本不等式推理得到，从而求得的值；对于函数，利用前面的结论消去，运用二倍角公式将其整理成二次函数型，换元后利用图像分析即得.【详解】，且，化简得，又，当且仅当时，等号成立，易求得：.故，因时，，设则，,故当时，的最小值为.故答案为：2；.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程和演算步骤.17.计算下列各式值.（1）；（2）.【答案】（1）3（2）1【解析】【分析】（1）.由对数的运算性质化简即可得出答案；（2）由指数幂运算性质化简即可得出答案.【小问1详解】.【小问2详解】.18.已知集合（1）若，求；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）先利用指数函数的单调性解指数不等式得集合，根据补集定义即得；（2）由题设得，对于含参的集合需要分是空集和非空集情况讨论再求并集即得.【小问1详解】若，则，由，解得，.【小问2详解】由可知，，①若，则，解得，②若，则有，解得，综上所述，实数的取值范围为.19.（1）已知点为角终边上一点，且，求的值；（2）若，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由任意角三角函数的定义求出，再由诱导公式化简即可得出答案；（2）由两角和的正切公式化简已知式可得，再由二倍角的正弦公式和同角三角函数的基本关系求解即可.【详解】解：（1）由正切函数的定义可知，，又，由余弦函数的定义可知，，.（2），，.20.已知某产品在过去的32天内的日销售量（单位：万件）与第天之间的函数关系为①；②这两种函数模型中的一个，且部分数据如下表：（天）241020（万件）121110.410.2（1）请确定的解析式，并说明理由；（2）若第天的每件产品的销售价格均为（单位：元），且，求该产品在过去32天内的第天的销售额（单位：万元）的解析式及的最小值.【答案】（1），理由见解析（2），最小值为484万元.【解析】【分析】（1）若，则它不满足单调递减，所以只能由待定系数法代入即可得解.（2）结合销售额、销量以及销售单价之间的关系即可求得表达式（分段函数），当时，可结合基本不等式求最小值，注意取等条件是否满足，当时，直接由表达式得函数单调性，进而得其最小值，结合以上两方面即可得解.【小问1详解】选择模型②，理由如下：由题表可知，随着增大时，销售量逐渐减少，若，则当时，非单调递减函数，不符合题意.对于，根据题意，将点代入可得解得，此时，易知点均在的图象上，.【小问2详解】，由（1）知，即，当时，，当且仅当，即时，等号成立，当时，为单调递减函数，的最小值为，综上可知，的最小值为484万元.21.已知函数的部分图象如图所示.（1）求的解析式；（2）设，记在区间上的最大值为，求的解析式.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由函数的部分图象求出和的值，即可求出的解析式；（2）先求出在的单调性，分类讨论和，求出在区间上的最大值，即可得出答案.【小问1详解】由图可知，，最小正周期为，，，又点在的图象上，，即，，即，又，且，.【小问2详解】（方法一）令，则，的图象的对称轴方程为，在区间内，图象有两条对称轴，其方程为，和（方法二）的最小正周期为，在区间内，的图象有两条对称轴，其方程为，和，易知在区间上单调递减，在区间上单调递增，在区间上单调递减，的图象关于直线对