2024年广东省深圳实验学校高一上学期段考三数学试题及答案

试题PAGE1试题深圳实验学校高中部2023-2024学年度第一学期第三阶段考试高一数学时间：120分钟满分：150分注意事项：1.本试卷共4页，22小题，满分150分，考试用时120分钟.2.答卷前，考生务必将自已的学校，班级和姓名填在答题卡上.3.作答选择题时，用2B铅笔在答题卡上将对应答案的选项涂黑.4.非选择题的答案必须写在答题卡各题目的指定区域内相应位置上，不准使用铅笔和涂改液.5.考试结束后，考生上交答题卡.第一卷一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，则（）A. B. C. D.2.已知，则下列一定成立的是（）A B.C. D.3.若扇形的面积为1，且弧长为其半径的两倍，则该扇形的周长为（）A.1 B.2 C.4 D.64.已知函数，则（）A. B. C. D.05.头孢类药物具有广谱抗菌、抗菌作用强等优点，是高效、低毒、临床应用广泛的重要抗生素.已知某人服用一定量某种头孢类药物后，血浆中的药物浓度在2h后达到最大值80mg/L，随后按照确定的比例衰减，半衰期（血浆中的药物浓度降低一半所需的时间）为2.4h，那么从服药后开始到血浆中的药物浓度下降到8mg/L，经过的时间约为（参考数据：）（）A.8h B.9h C.10h D.11h6.设实数，且，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件7.记函数最小正周期为.若，且的图象关于点中心对称，则（）A.1 B. C. D.38.已知函数，若存，满足，且，则（）A. B. C. D.二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列化简正确的是（）A.B.C.D.10.将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则下列结论正确的为（）A.的最小正周期为 B.的图象关于直线对称C.在区间上单调递减 D.的图象与的图象关于对称11.已知，且，则（）A.的最大值为2 B.可能为3C.的最大值为2 D.的最小值为612.已知实数满足，且，则（）A. B.C. D.三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数的图像关于原点对称，且在定义域内单调递增，则满足上述条件的幂函数可以为______．14.已知角的终边过点，则的值为__________.15.已知是定义域为的奇函数，且，若，则__________.16.已知函数（其中）.为最小正周期，且满足.若函数在区间上恰有一个最大值一个最小值，的取值范围是__________.第二卷四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知函数.（1）求在区间上的对称轴；（2）求函数在区间上的取值范围.18.已知函数是定义域为奇函数.（1）求的值；（2）用定义证明在上单调递增.19.已知.（1）化简；（2）若，且.求的值.20.已知函数的定义域为，对任意都有，，且当时，.（1）求；（2）已知，且，若，求的取值范围.21.如图，某公园有一块扇形人工湖OAB，其中，千米，为了增加人工湖的观赏性，政府计划在人工湖上建造两个观景区，其中荷花池观景区的形状为矩形，喷泉观景区的形状为，且C在OB上，D在OA上，P在上，记．（1）试用θ分别表示矩形和的面积；（2）若在PD的位置架起一座观景桥，已知建造观景桥的费用为每千米8万元（包含桥的宽度费用），建造喷泉观景区的费用为每平方千米16万元，建造荷花池的总费用为6万元．求当θ为多少时，建造该观景区总费用最低，并求出其最低费用．22.设函数.（1）设，在处取得最大值，求；（2）关于x的方程在区间上恰有12个不同的实数解，求实数k的取值范围.深圳实验学校高中部2023-2024学年度第一学期第三阶段考试高一数学时间：120分钟满分：150分注意事项：1.本试卷共4页，22小题，满分150分，考试用时120分钟.2.答卷前，考生务必将自已的学校，班级和姓名填在答题卡上.3.作答选择题时，用2B铅笔在答题卡上将对应答案的选项涂黑.4.非选择题的答案必须写在答题卡各题目的指定区域内相应位置上，不准使用铅笔和涂改液.5.考试结束后，考生上交答题卡.第一卷一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】解一元二次不等式后由交集运算得解.【详解】因为，所以.故选：B2.已知，则下列一定成立的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据不等式性质逐项判断即可结论.【详解】对于A，当，则，故A不正确；对于B，当时，由可得，故B不正确；对于C，当时，，故C不正确；对于D，因为恒成立，所以由可得，故D正确.故选：D3.若扇形的面积为1，且弧长为其半径的两倍，则该扇形的周长为（）A.1 B.2 C.4 D.6【答案】C【解析】【分析】设扇形的半径为，圆心角为，由弧长与半径的关系求出，再由面积求出，即可求出扇形的周长.【详解】设扇形的半径为，圆心角为，则弧长，所以，扇形的面积，解得或（舍去），所以，则该扇形的周长为.故选：C4.已知函数，则（）A. B. C. D.0【答案】A【解析】【分析】结合三角函数与指数函数，根据分段函数分段求解函数值即可.【详解】因为，所以，则.故选：A.5.头孢类药物具有广谱抗菌、抗菌作用强等优点，是高效、低毒、临床应用广泛的重要抗生素.已知某人服用一定量某种头孢类药物后，血浆中的药物浓度在2h后达到最大值80mg/L，随后按照确定的比例衰减，半衰期（血浆中的药物浓度降低一半所需的时间）为2.4h，那么从服药后开始到血浆中的药物浓度下降到8mg/L，经过的时间约为（参考数据：）（）A.8h B.9h C.10h D.11h【答案】C【解析】【分析】根据题意列出方程，把指数式化为对数式求解即可.【详解】设血浆中的药物浓度从最大值80mg/L下降到8mg/L需要经过，则，所以，则，故从服药后开始到血浆中的药物浓度下降到8mg/L需要8+2=10（h）.故选：C.6.设实数，且，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】解指数不等式和对数不等式得到解集，根据两个解集的包含关系，得到答案.【详解】由，解得，由，可得或，解得或，故“”是“”的充分不必要条件.故选：A7.记函数的最小正周期为.若，且的图象关于点中心对称，则（）A.1 B. C. D.3【答案】C【解析】【分析】根据周期公式求出，再由对称性确定的值，即可得到函数解析式，最后代入计算可得.【详解】因为的最小正周期为满足，所以，解得，又的图象关于点中心对称，所以，所以解得，当时，所以，则.故选：C8.已知函数，若存在，满足，且，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由已知条件，结合三角函数性质可得，求出，的余弦，再利用角的变换得解.【详解】令，，则或，令，，则，又，，所以，，因为，所以，，.故选：D二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列化简正确的是（）A.B.C.D.【答案】BD【解析】【分析】利用二倍角公式判断A、C，利用诱导公式及两角和的余弦公式判断B，利用两角和的正切公式判断D.【详解】对于A：，故A错误；对于B：，故B正确；对于C：，故C错误；对于D：因为，所以，所以，故D正确.故选：BD10.将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则下列结论正确的为（）A.的最小正周期为 B.的图象关于直线对称C.在区间上单调递减 D.的图象与的图象关于对称【答案】AD【解析】【分析】先根据左加右减得到的解析式，A选项，根据正切函数最小正周期公式求出A正确；B选项，无意义，B错误；C选项，整体法判断出函数的单调性；D选项，计算出，故D正确.【详解】由题意得，A选项，的最小正周期为，A正确；B选项，因为正切函数没有对称轴，故不是的对称轴，B错误；C选项，当时，，由于在上单调递增，故在上单调递增，C错误；D选项，，故的图象与的图象关于对称，D正确.故选：AD11.已知，且，则（）A.的最大值为2 B.可能为3C.的最大值为2 D.的最小值为6【答案】BCD【解析】【分析】根据基本不等式的性质，结合指数函数的性质逐项判断即可得结论.【详解】对于A，因为，且，所以，当且仅当时等号成立，故A不正确；对于B，因为，且，所以，当且仅当，即时，等号成立，故，又，故B正确；对于C，因为，且，所以，当且仅当时等号成立，则，故C正确；对于D，因为，且，所以，当且仅当时等号成立，故D正确.故选：BCD.12.已知实数满足，且，则（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】构造函数，利用其单调性以及作差的方法比较大小．【详解】由题意得，即，又，则，令，又，因为函数在上单调递减，则在上单调递减，因为，可得，，两边同取以5为底的对数得：，，移项得，两边同取以3为底的对数得，所以，所以，所以，且，，下面严格证明当时，，，，根据函数在上单调递增，且，则当时，有，，，下面证明：，，要证：，即证：，等价于证明，即证，此式开头已证明，对，左边分子分母同除，右边分子分母同除得，则故当时，，则当时，，，则，，综上，.故选：BC．三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数的图像关于原点对称，且在定义域内单调递增，则满足上述条件的幂函数可以为______．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】利用幂函数的奇偶性、单调性得到指数满足的条件，再写出一个满足题意的幂函数即可.【详解】设幂函数，由题意，得为奇函数，且在定义域内单调递增，所以（）或（是奇数，且互质），所以满足上述条件的幂函数可以为.故答案为：（答案不唯一）.14.已知角的终边过点，则的值为__________.【答案】【解析】【分析】根据三角函数的定义求解，再根据诱导公式求解即可.【详解】已知角的终边过点，则，所以.故答案为：.15.已知是定义域为的奇函数，且，若，则__________.【答案】【解析】【分析】根据奇函数及所给关系求出函数周期即可得解.【详解】因为是定义域为的奇函数，所以，所以，即函数周期，所以.故答案为：16.已知函数（其中）.为的最小正周期，且满足.若函数在区间上恰有一个最大值一个最小值，的取值范围是__________.【答案】.【解析】【分析】根据题意可得为的一条对称轴，即可求得，再以为整体分析可得，计算可得.【详解】由题意可得：的最小正周期，∵，且，则为的一条对称轴，∴，解得，又∵，则，，故，∵，则，若函数在区间上恰有一个最大值一个最小值，则，解得，故的取值范围是.故答案为：.第二卷四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知函数.（1）求在区间上的对称轴；（2）求函数在区间上的取值范围.【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）利用两角和的正弦公式将函数化简，再根据正弦函数的性质计算可得；（2）由的范围求出的范围，再根据正弦函数的性质计算可得；【小问1详解】因为，令，则，令，得，在区间上的对称轴为；【小问2详解】对于，，，，所以当，即时取得最大值，即；当或，即或时取得最小值，即；，所以函数在区间上的取值范围为.18.已知函数是定义域为的奇函数.（1）求的值；（2）用定义证明在上单调递增.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据题意，结合奇函数的性质得，求出值再验证即可；（2）根据题意，取值、作差、变形、判断符号，最后得到其单调性.【小问1详解】函数是定义域为的奇函数，，即，解得，下证当时，为奇函数.，当时，为奇函数.小问2详解】由（1）得，任取，，且函数在上单调递增，，而，，即，是上的单调增函数.19.已知.（1）化简；（2）若，且.求的值.【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）利用二倍角公式和差角的余弦公式求出答案；（2）在（1）的基础上得到，从而得到余弦和正切，利用正切二倍角公式求出答案.【小问1详解】.【小问2详解】由已知，，，，20.已知函数的定义域为，对任意都有，，且当时，.（1）求；（2）已知，且，若，求的取值范围.【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）赋值得到，进而得到；（2）利用定义法得到函数单调性及奇偶性，结合，得到不等式，分和两种情况，求出答案.【小问1详解】令得，，令，得，，令，得，；【小问2详解】任意，设，则，时，，，，是上的减函数，中，令得，故为奇函数，，且，又，，，即，则，当时，，则，即，故；当时，，则，即，则；综上，的取值范围为21.如图，某公园有一块扇形人工湖OAB，其中，千米，为了增加人工湖的观赏性，政府计划在人工湖上建造两个观景区，其中荷花池观景区的形状为矩形，喷泉观景区的形状为，且C在OB上，D在OA上，P在上，记．（1）试用θ分别表示矩形和的面积；（2）若在PD的位置架起一座观景桥，已知建造观景桥的费用为每千米8万元（包含桥的宽度费用），建造喷泉观景区的费用为每平方千米16万元，建造荷花池的总费用为6万元．求当θ为多少时，建造该观景区总费用最低，并求出其最低费用．【答案】（1）矩形的面积为；的面积