2024-2025学年广东省深圳市百合外国语学校九年级上学期10月月考数学试题及答案

试题PAGE1试题数学（时间：90分钟满分：100分）选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1.下列方程中，属于一元二次方程的是（）A. B. C. D.2.若，则下列等式错误的是（）A. B. C. D.3.如图，在正方形ABCD外侧作等边，则的度数为（）A.15° B.22.5° C.20° D.10°4.菱形具有而矩形不具有的性质是（）A.四边相等 B.对角线相等 C.对角相等 D.邻角互补5.一元二次方程中一次项系数、常数项分别是（）A.2， B.0， C.1， D.1，06.如图，点D是的边上的一点，连接，则下列条件中不能判定的是（）A B.C. D.7.在一次九年级学生数学交流会上，每两名学生握手一次，所有学生共握手231次．若设参加此会的学生为名，据题意可列方程为（）A. B.C. D.8.如图，已知，分别为正方形边，的中点，与交于点．则下列结论：①，②，③，④．其中正确结论的有（）A.4个 B.3个 C.2个 D.1个二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）9.若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为___________．10.在一只不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球若干，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，然后把它放回袋中，不断重复，如表是活动进行中的一组统计数据：摸球的次数n1002003005008001000摸到白球次数m59116186290480602摸到白球的频率0.590.580.620.580.600.602任意摸出一个球，则“摸到白球”的概率约是______（结果精确到0.1）．11.如图，直线a∥b∥c，则图中x的值为_____．12.如图，四边形是菱形，对角线与相交于点，，，于点，则的长为____________．13.如图，在矩形中，，点为直线下方一点，且以为斜边在矩形的外部作直角三角形，点是的中点，则的最大值为____．三、解答题（共7小题，满分61分）14.解下列方程：（1）；（2）15.数学社团开展“讲数学家故事”的活动．下面是印有四位中国数学家纪念邮票图案的卡片A，B，C，D，卡片除图案外其他均相同．将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，同学们可以从中随机抽取卡片，讲述卡片上数学家的故事．（1）小安随机抽取了一张卡片，卡片上是数学家刘徽邮票图案的概率是______；（2）小明随机抽取了两张卡片，请用画树状图或列表的方法，求小明抽到的两张卡片中恰好有数学家华罗庚邮票图案的概率．16.已知：关于x的一元二次方程．（1）证明无论取何值时方程总有两个实数根．（2）中，，、的长是这个方程的两个实数根，求为何值时，是等腰三角形？17.如图，矩形的对角线相交于点O，，连接．（1）求证：四边形是菱形；（2）若，求的面积．18.2023年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜爱．某商店以每件35元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58元的价格出售．经统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件．（1）求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率；（2）从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件．当该吉祥物售价为多少元时，月销售利润达8400元？19.问题引入：如图①，，，，E是线段的中点，连接并延长交于点F，连接．则与之间的数量关系是______；问题延伸：如图②，在正方形和正方形中，点A、B、E在同一条直线上，点G在上，P是线段中点，连接、．（1）判断与之间数量关系，并说明理由；（2）连接，若，，则的长为．20.【阅读理解】配方法是中学数学的重要方法，用配方法可求最大(小)值．对于任意正实数，，可作如下变形：∵又∵∴即．根据上述内容，回答问题：______；______；______．(用“”“”“”填空)【思考验证】如图1，中，，于点，为AB边上中线，，，试根据图形验证成立，并指出等号成立时的条件．【探索应用】(1)请利用上述结论解决下面问题，某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，一面利用墙体将该区域用篱笆围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，如图所示，为了围成面积为的花圃，所用的篱笆至少为多少米？(2)如图3，四边形的对角线，BD相交于点，，的面积分别是和．试问四边形的面积是否存在最小值？若存在，请直接写出四边形面积的最小值；若不存在，请说明理由．数学（时间：90分钟满分：100分）选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1.下列方程中，属于一元二次方程的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据一元二次方程的定义逐一判断即可，只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程．【详解】，符合条件，故A选项正确；，为分式方程，故B选项错误；，含有两个未知数，故C选项错误；，x的最高次数为1，故D选项错误；故选A．【点睛】本题考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．2.若，则下列等式错误的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查比例的性质，可根据设，再逐个判断即可．【详解】∵，∴设，，，∴，故A选项结论正确，不符合题意；，，故，故B选项结论正确，符合题意；，故C选项结论正确，不符合题意；，故D选项结论正确，不符合题意；故选：B．3.如图，在正方形ABCD外侧作等边，则的度数为（）A.15° B.22.5° C.20° D.10°【答案】A【解析】【分析】根据正方形与等边三角形的性质可得，，即可求解．【详解】解：∵正方形ABCD外侧作等边，∴，，，，故选：A．【点睛】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，三角形内角和定理，等边对等角，掌握正方形与等边三角形的性质是解题的关键．4.菱形具有而矩形不具有的性质是（）A.四边相等 B.对角线相等 C.对角相等 D.邻角互补【答案】A【解析】【分析】本题考查了矩形的性质、菱形的性质，解决本题的关键是掌握矩形的性质、菱形的性质．根据菱形的性质及矩形的性质，结合各选项进行判断即可得出答案．【详解】解：A、四边相等，菱形具有而矩形不具有，故本选项符合题意；B、对角线相等，矩形具有而菱形不具有，故本选项不符合题意；C、对角相等，菱形具有，矩形具有，故本选项不符合题意；D、邻角互补，菱形具有而矩形也具有，故本选项不符合题意；故选：A．5.一元二次方程中一次项系数、常数项分别是（）A.2， B.0， C.1， D.1，0【答案】C【解析】【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式(，，是常数且)，熟练掌握二次项系数的定义是解题的关键．根据一元二次方程的基本概念，找出一元二次方程的一次项系数和常数项即可．【详解】解：中一次项系数、常数项分别是，，故选：．6.如图，点D是的边上的一点，连接，则下列条件中不能判定的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了相似三角形的判定：两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．和有公共角，然后根据相似三角形的判定方法对各选项进行判断．【详解】解：∵，∴当或，可根据有两组角对应相等的两个三角形相似可判断，故A，B不符合题意；当时，可根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可判断，故D不符合题意．当时，不能判定，故C符合题意．故选：C．7.在一次九年级学生数学交流会上，每两名学生握手一次，所有学生共握手231次．若设参加此会学生为名，据题意可列方程为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查用一元二次方程解决握手次数问题，得到总次数的等量关系是解决本题的关键．设参加此会的学生为名，根据题意列出一元二次方程即可．【详解】设参加此会的学生为名，根据题意得，．故选：C．8.如图，已知，分别为正方形的边，的中点，与交于点．则下列结论：①，②，③，④．其中正确结论的有（）A.4个 B.3个 C.2个 D.1个【答案】B【解析】【分析】根据正方形的性质可得，，再根据中点定义求出，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，然后求出，从而求出，再根据邻补角的定义可得，从而判断①正确；根据中线的定义判断出，然后求出，判断出②错误；设正方形的边长为，利用勾股定理列式求出，再根据相似三角形对应边成比例求出，然后求出，消掉即可得到，判断出③正确；过点作于，由相似三角形的性质得出，解得，，得出，根据勾股定理得，求出，，得出，判断出④正确，即可得出结论．【详解】解：在正方形中，，，、分别为边，的中点，在和中，，，，，，，故①正确；是在边上的中线，，，，故②错误；设正方形的边长为，则，在中，，，，，，即，，，故③正确；如图，过点作于，则，，，即解得，，，根据勾股定理得，，，，故④正确；综上所述，正确的结论有①③④，故选：B．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，勾股定理逆定理的应用，综合性较强，难度较大，仔细分析图形并作出辅助线构造出直角三角形与相似三角形是解题的关键．二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）9.若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为___________．【答案】【解析】【分析】此题考查了根的判别式．一元二次方程的根与有如下关系：方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程没有实数根．若一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式，建立关于的不等式，求出的值即可．【详解】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根，，解得故答案为10.在一只不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球若干，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，然后把它放回袋中，不断重复，如表是活动进行中的一组统计数据：摸球的次数n1002003005008001000摸到白球的次数m59116186290480602摸到白球的频率0.590.580.620.580.600.602任意摸出一个球，则“摸到白球”的概率约是______（结果精确到0.1）．【答案】0.6【解析】【分析】本题考查了利用频率估计概率，由于摸到白球的频率稳定在0.6左右，由此可估计摸到白球的概率为0.6．【详解】解：随着n的值越来越大，摸到白球的频率接近0.6，∴任意摸出一个球，则“摸到白球”的概率约是0.6．故答案为：0.6．11.如图，直线a∥b∥c，则图中x的值为_____．【答案】【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理求解即可．【详解】解：∵a∥b∥c，∴，∴，故答案为：．【点睛】此题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．12.如图，四边形是菱形，对角线与相交于点，，，于点，则的长为____________．【答案】【解析】【分析】本题考查了菱形性质以及勾股定理的应用．注意菱形的面积等于对角线积的一半或底乘以高．首先利用勾股定理求得菱形的边长，然后由菱形的两个面积计算渠道求得边上的高的长即可．【详解】解：∵四边形是菱形，，，∴，∵四边形是菱形，∴，，，∴在直角三角形中，，∴．故答案为：．13.如图，在矩形中，，点为直线下方一点，且以为斜边在矩形的外部作直角三角形，点是的中点，则的最大值为____．【答案】【解析】【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，取中点O，连接，根据矩形的性质可求的长，根据勾股定理可求的长，根据直角三角形的性质可求的长，根据三角形三边关系可求得当点O，点E，点F共线时，有最大值，即．【详解】如图，取中点O，连接，∵四边形是矩形，∴，∵点F是中点，点O是的中点，∴，∴，∵点O是的斜边的中点，∴，∵根据三角形三边关系可得：，∴当点O，点E，点F共线时，最大，最大值为．故答案为：．三、解答题（共7小题，满分61分）14.解下列方程：（1）；（2）【答案】（1）（2）【解析】【分析】本题考查了配方法、因式分解法解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）运用配方法解一元二次方程，即可作答．（2）先移项，再提取公因式，运用因式分解法解一元二次方程，即可作答．【小问1详解】解：，∴，∴，，∴；【小问2详解】解：，∴，∴，则，解得．15.数学社团开展“讲数学家故事”的活动．下面是印有四位中国数学家纪念邮票图案的卡片A，B，C，D，卡片除图案外其他均相同．将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，同学们可以从中随机抽取卡片，讲述卡片上数学家的故事．（1）小安随机抽取了一张卡片，卡片上是数学家刘徽邮票图案的概率是______；（2）小明随机抽取了两张卡片，请用画树状图或列表的方法，求小明抽到的两张卡片中恰好有数学家华罗庚邮票图案的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本题考查的是概率公式求概率，用画树状图法求概率．（1）直接根据概率公式求解即可；（2）根据题意画出树状图，得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．【小问1详解】解：∵共有张卡片，∴小安随机抽取了一张卡片，卡片上是数学家刘徽邮票图案的概率是，故答案：．【小问2详解】解：根据题意，画树状图如图，由图可得，共有12种等可能结果，其中抽到的两张卡片中恰好有数学家华罗庚邮票图案的有种，∴抽到的两张卡片中恰好有数学家华罗庚邮票图案的概率为16.已知：关于x的一元二次方程．（1）证明无论取何值时方程总有两个实数根．（2）中，，、的长是这个方程的两个实数根，求为何值时，是等腰三角形？【答案】（1）证明见解析（2）k=3或4

【解析】【分析】（1）直接利用跟的判别式进行证明即可；（2）先用k表示出方程的两根，再根据等腰三角形的定义求解即可.【小问1详解】证明：∵a=1，b=，c=，∴，∴无论k取何值时方程总有两个实数根；【小问2详解】解：在方程中，∵，∴，即，，∵AB、AC是方程的两个实数根，∴AB≠AC，∵BC＝5，∴当，或时，△ABC是等腰三角形，∴k＝3或4.【点睛】本题考查三角形三边关系、一元二次方程及根的判别式，熟练掌握计算法则是解题关键.17.如图，矩形的对角线相交于点O，，连接．（1）求证：四边形是菱形；（2）若，求的面积．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）由得到四边形是平行四边形，由矩形的性质得到，，从而得证结论；（2）易证是等边三角形，得到，，从而求得，进而根据含角的直角三角形的性质与勾股定理求得．过点E作交延长线于点，在中，根据含角的直角三角形的性质求出，根据三角形的面积公式即可解答．【小问1详解】证明：∵，∴四边形是平行四边形，∵四边形是矩形，∴，，，∴∴四边形是菱形；【小问2详解】解：∵，，∴是等边三角形，∴，，∵在矩形，，∴，∴，∴在中，，过点E作交延长线于点，∵四边形是菱形，∴，，∵，∴，∴．【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、矩形的性质，等边三角形的判定及性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理，三角形的面积，综合运用相关知识是解题的关键，18.2023年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜爱．某商店以每件35元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58元的价格出售．经统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件．（1）求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率；（2）从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件．当该吉祥物售价为多少元时，月销售利润达8400元？【答案】（1）该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为（2）当该吉祥物售价为50元时，月销售利润达8400元【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的应用，弄清题意，找准等量关系是解题的关键．（1）设该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为x，根据增长率问题的等量关系列方程求解即可；（2）设该款吉祥物降价m元，则每件的利润为元，月销售量为件，根据月销售利润为8400元列方程求解即可．【小问1详解】解：设该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为x，根据题意得：，解得：，（不符合题意，舍去），答：该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为；【小问2详解】解：设该款吉祥物降价m元，则每件的利润为元，月销售量为件，根据题意得：，整理得：，解得：，（不符合题意，舍去），，答：当该吉祥物售价为50元时，月销售利润达8400元．19.问题引入：如图①，，，，E是线段的中点，连接并延长交于点F，连接．则与之间的数量关系是______；问题延伸：如图②，在正方形和正方形中，点A、B、E在同一条直线上，点G在上，P是线段中点，连接、．（1）判断与之间的数量关系，并说明理由；（2）连接，若，，则的长为．【答案】问题引入：；问题延伸：（1），理由见解析；（2）【解析】【分析】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理以及“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”．熟练掌握以上知识是解题的关键．问题引入：先根据证明，由此可得，即E点是的中点，然后在中，根据“直角三角形，斜边上的中线等于斜边的一半”即可证明．问题延伸：问题延伸：（1）延长交于点M，由正方形的性质可得，，先根据证明，由此可得，即P点是的中点．然后在中，根据“直角三角形，斜边上的中线等于斜边的一半”即可证明．（2）根据正方形的性质可得，，，设，则．在中，由，可求出．根据勾股定理列方程求出x的值，即可知的长，然后在中，根据勾股定理即可求出的长．【详解】问题引入：，理由如下：，，∵E是的中点，，在和中，，，，，为斜边上的中线，，；故答案为：；问题延伸：（1），理由如下：如图，延长交于点M，∵四边形，四边形均为正方形，∴，，，∵P为的中点，，在和中，，，，，为斜边上的中线，，；（2）如图，连接，∵四边形为正方形，，，，设，，，，，，，（舍