新高考数学二轮复习分层训练专题17 空间几何体的结构和内切 外切球问题（解析版）

答案第=page11页，共=sectionpages22页专题17空间几何体的结构和内切外切球问题【练基础】单选题1．（2023春·四川成都·高三校联考期末）已知圆锥的母线长为3，若轴截面为等腰直角三角形，则圆锥的表面积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】求得圆锥的底面半径，进而求得圆锥的表面积.【详解】依题意，圆锥的母线长为3，轴截面为等腰直角三角形，所以圆锥的底面半径为SKIPIF1<0，所以圆锥的表面积为SKIPIF1<0.故选：B2．（2023·云南红河·统考一模）如图所示是一块边长为10cm的正方形铝片，其中阴影部分由四个全等的等腰梯形和一个正方形组成，将阴影部分裁剪下来，并将其拼接成一个无上盖的容器（铝片厚度不计），则该容器的容积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】作出正四棱台，作出辅助线，得到各边长，求出四棱台的高，从而利用台体体积公式求出体积.【详解】由题知，该容器的容积就是正四棱台的体积，如图，连接正四棱台上下底面的中心SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，取上底面正方形一边中点SKIPIF1<0，对应下底面正方形一边中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0四点共面，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，则四边形SKIPIF1<0为矩形，故SKIPIF1<0，因为该正四棱台上、下底面边长分别为2，6，等腰梯形的斜高为4，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以该棱台的高SKIPIF1<0，下底面面积SKIPIF1<0，上底面面积SKIPIF1<0，所以该容器的容积是SKIPIF1<0SKIPIF1<0．故选：B3．（2023·陕西西安·统考一模）盲盒是一种深受大众喜爱的玩具，某盲盒生产厂商准备将棱长为SKIPIF1<0的正四面体的魔方放入正方体盲盒内，为节约成本，使得魔方能够放入盲盒且盲盒棱长最小时，盲盒内剩余空间的体积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】棱长为8的正四面体放入正方体，使正方体面对角线长等于正四面体棱长，然后求出体积作答.【详解】依题意，要使棱长为SKIPIF1<0的正四面体的魔方放入正方体盲盒内，且盲盒棱长最小，则当且仅当正方体的面对角线长等于正四面体的棱长，即它们有相同的外接球，如图，正四面体SKIPIF1<0的棱长为8cm，该正四面体的所有棱均为正方体对应的面对角线，所以该正方体棱长为SKIPIF1<0，盲盒内剩余空间的体积为SKIPIF1<0.故选：C4．（2023春·云南昆明·高三校考阶段练习）如图所示是我国古代舂米用的一种青石制成的石臼，其外形是正四棱台，糙米(杂粮等)放在中间凿出的半球内，利用石锤等工具对糙米进行加工．已知该石臼上口宽和高都等于0.8m，下底边长与球的直径都等于0.6m，则该石臼的体积约为(参考数据：SKIPIF1<0)（

）A．0.21SKIPIF1<0 B．0.28SKIPIF1<0 C．0.34SKIPIF1<0 D．0.46SKIPIF1<0【答案】C【分析】根据台体体积公式和球的体积公式求解.【详解】正四棱台的体积为SKIPIF1<0SKIPIF1<0，半球的体积为SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以该石白的体积约为SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故选:C.5．（2023春·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）如图，已知四棱柱SKIPIF1<0的体积为SKIPIF1<0，四边形SKIPIF1<0是平行四边形，点SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0内，且SKIPIF1<0，则三棱锥SKIPIF1<0与三棱锥SKIPIF1<0的公共部分的体积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】作出辅助线，找到两三棱锥的公共部分，结合三角形相似知识得到边长比，从而得到体积比，求出答案.【详解】先找两三棱锥的公共部分，由SKIPIF1<0知：SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0上取点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，则三棱锥SKIPIF1<0为三棱锥SKIPIF1<0与三棱锥SKIPIF1<0的公共部分，∵SKIPIF1<0∽SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离是点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离的SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故选：A.6．（2023秋·天津南开·高三校考阶段练习）如图，半球内有一内接正四棱锥SKIPIF1<0，该四棱锥的体积为SKIPIF1<0，则该半球的体积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】设半球的半径为SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，利用四棱锥的体积公式求出半径SKIPIF1<0，再代入球的体积公式即可求解.【详解】依题意，设半球的半径为SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，如图所示：则有SKIPIF1<0，易得SKIPIF1<0，所以正四棱锥SKIPIF1<0的体积为：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，所以半球的体积为：SKIPIF1<0.故选：C.7．（2023·福建厦门·统考二模）西施壶是紫砂壶器众多款式中最经典的壶型之一，是一款非常实用的泡茶工具（如图1）．西施壶的壶身可近似看成一个球体截去上下两个相同的球缺的几何体．球缺的体积SKIPIF1<0（R为球缺所在球的半径，h为球缺的高）．若一个西施壶的壶身高为8cm，壶口直径为6cm（如图2），则该壶壶身的容积约为（不考虑壶壁厚度，π取3.14）（

）A．494ml B．506ml C．509ml D．516ml【答案】A【分析】依题意作出几何体的轴截面图，即可求出对应线段的长，进而求出球的半径和球缺的高，再根据球的体积公式和球缺的体积求解即可.【详解】如图作出几何体的轴截面如下面所示，依题意，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为球心，SKIPIF1<0为壶口所在圆的圆心，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以球的半径SKIPIF1<0，所以球缺的高SKIPIF1<0，所以球缺的体积SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以该壶壶身的容积约为：SKIPIF1<0.故选：A.8．（2023·全国·高三专题练习）如图，SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，将SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0折叠成三棱锥SKIPIF1<0，则该棱锥体积最大值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】根据题意易得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，进而得三棱锥SKIPIF1<0的体积为SKIPIF1<0即可得答案.【详解】解：因为在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，在折叠成的三棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以，三棱锥SKIPIF1<0的体积为SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时等号成立，所以，该棱锥体积最大值为SKIPIF1<0故选：B二、多选题9．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考一模）已知圆锥SO（O是圆锥底面圆的圆心，S是圆锥的顶点）的母线长为3，底面半径为SKIPIF1<0．若P，Q为底面圆周上的任意两点，则下列说法中正确的是（

）A．圆锥SO的侧面积为SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0SPQ面积的最大值为SKIPIF1<0C．三棱锥O-SPQ体积的最大值为SKIPIF1<0D．圆锥SO的内切球的体积为SKIPIF1<0【答案】AC【分析】A选项，圆锥的侧面展开图为扇形，母线为扇形半径，底面圆周长为扇形弧长，据此可得圆锥的侧面积；B选项，当SKIPIF1<0最大时，SKIPIF1<0SPQ面积最大；C选项，当SKIPIF1<0面积最大时，三棱锥O-SPQ体积最大；D选项，由圆锥的轴截面图可求得圆锥内切球的半径.【详解】A选项，因底面半径为SKIPIF1<0，则底面圆周长为SKIPIF1<0，则侧面展开扇形的圆心角为：SKIPIF1<0，则侧面积为：SKIPIF1<0.故A正确；B选项，当SKIPIF1<0SKIPIF1<0最大，即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0SPQ面积最大.则SKIPIF1<0SPQ面积最大值为：SKIPIF1<0，故B错误；C选项，SKIPIF1<0，则当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取最大值SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，则三棱锥O-SPQ体积的最大值为：SKIPIF1<0.故C正确；D选项，如图圆锥内切球半径为圆锥轴截面内切圆半径，设内切球半径为SKIPIF1<0，内切球球心为I，连接SKIPIF1<0.则SKIPIF1<0SKIPIF1<0.则内切球体积为：SKIPIF1<0.故D错误.故选：AC【点睛】10．（2023春·湖南·高三校联考阶段练习）如图，在矩形ABCD中，SKIPIF1<0，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，AD的中点，AC与BD交于点O，现将△AEH，△BEF，△CFG，△DGH分别沿EH，EF，FG，GH把这个矩形折成一个空间图形，使A与D重合，B与C重合，重合后的点分别记为M，N，Q为MN的中点，对于多面体MNEFGH，下列说法正确的是（

）A．异面直线GN与ME的夹角大小为60°B．该多面体的体积为SKIPIF1<0C．四棱锥E－MNFH的外接球的表面积为SKIPIF1<0D．若点P是该多面体表面上的动点，满足SKIPIF1<0时，点P的轨迹长度SKIPIF1<0【答案】AC【分析】根据异面直线所成角的几何法即可利用三角形边的关系进行求解A，根据线面垂直以及锥体的体积即可求解B,根据外接球的性质，结合勾股定理即可求解C，根据线面垂直即可判断点P的轨迹，即可求解D.【详解】取SKIPIF1<0的中点为SKIPIF1<0，取NE的中点为点P，连接SKIPIF1<0,由几何体形成的过程可知平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,其交线为SKIPIF1<0，由于四边形SKIPIF1<0为菱形，四边形SKIPIF1<0为等腰梯形，故SKIPIF1<0,SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,由题意可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，则∠OPQ即为异面直线GN与ME所成夹角的平面角或其补角，而SKIPIF1<0，∴△OPQ为等边三角形，∴异面直线GN与ME的夹角大小为60°，选项A正确；由几何体形成的过程可知平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,其交线为SKIPIF1<0，由于四边形SKIPIF1<0为菱形，四边形SKIPIF1<0为等腰梯形，故SKIPIF1<0,SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，选项B错误；在△NFH中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴△NFH的外接圆直径SKIPIF1<0，△HEF的外接圆直径SKIPIF1<0，∴四棱锥E－MNFH的外接球直径D满足SKIPIF1<0SKIPIF1<0，∴四棱锥E－MNFH的外接球的表面积为SKIPIF1<0，选项C正确：由A可知SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,同理SKIPIF1<0平面MEG，又SKIPIF1<0,所以ON⊥平面MEG，点P所在平面与平面MEG平行，∴点P的轨迹为五边形QPRST，长度为SKIPIF1<0SKIPIF1<0，D选项错误．故选AC．【点睛】11．（2023秋·辽宁锦州·高三统考期末）已知正方体SKIPIF1<0的棱长为1，SKIPIF1<0是线段SKIPIF1<0上的动点，则下列说法正确的是,（

）A．存在点SKIPIF1<0使SKIPIF1<0 B．点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0的最小值是SKIPIF1<0 D．三棱锥SKIPIF1<0的体积为定值【答案】AD【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】以SKIPIF1<0为原点建立如图所示空间直角坐标系，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0与SKIPIF1<0重合，所以A选项正确.设平面SKIPIF1<0的法向量为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故可设SKIPIF1<0，所以点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，B选项错误.SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得最小值为SKIPIF1<0，C选项错误.SKIPIF1<0，为定值，D选项正确.故选：AD【提能力】一、单选题12．（2023·陕西西安·统考一模）在三棱锥SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为斜边的等腰直角三角形，SKIPIF1<0为等边三角形，SKIPIF1<0，则该三棱锥的外接球的表面积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】由面面垂直的性质结合直角三角形和等边三角形的性质得出SKIPIF1<0的外接圆圆心为该三棱锥的外接球的球心，再由正弦定理以及球的表面积公式求解.【详解】解：过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0的垂线，垂足为SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为斜边的等腰直角三角形，所以SKIPIF1<0的外接圆的圆心为SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0的外接圆圆心为SKIPIF1<0，其半径为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，所以SKIPIF1<0，由面面垂直的性质可知，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0为该三棱锥的外接球的球心，SKIPIF1<0由正弦定理可知，SKIPIF1<0，故该三棱锥的外接球的表面积为SKIPIF1<0.故选：C13．（2023·全国·模拟预测）晶胞是构成晶体的最基本的几何单元，是结构化学研究的一个重要方面.在如图（1）所示的体心立方晶胞中，原子A与B（可视为球体）的中心分别位于正方体的顶点和体心，且原子B与8个原子A均相切.已知该晶胞的边长（图1中正方体的棱长）为SKIPIF1<0，则当图（2）中所有原子（8个A原子与1个B原子）的体积之和最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】设出球SKIPIF1<0的半径为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，表达出球SKIPIF1<0的半径，表达出SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由导函数得到函数的单调性，从而求出最值【详解】因为该晶胞的边长为SKIPIF1<0，所以正方体对角线成为SKIPIF1<0，设球SKIPIF1<0的半径为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则球SKIPIF1<0的半径为SKIPIF1<0，所以所有原子的体积之和为SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0恒成立，则当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，在SKIPIF1<0上单调递增，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处取得极大值，也时最大值，故SKIPIF1<0，故体积最大值为SKIPIF1<0.故选：B14．（2022·海南省直辖县级单位·校联考一模）已知四面体SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，面SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，则四面体SKIPIF1<0的外接球与内切球的表面积之比为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】取SKIPIF1<0中点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中点SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0为SKIPIF1<0轴建立坐标系，利用外接球球心到顶点的距离相等求外接球半径，利用等体积法求内切球半径即可求解.【详解】取SKIPIF1<0中点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，又面SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，面SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0两两垂直，以SKIPIF1<0为SKIPIF1<0轴建立如图所示坐标系，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设四面体外接球球心为SKIPIF1<0，因为△SKIPIF1<0外接圆圆心为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以四面体外接球半径SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，△SKIPIF1<0为等腰三角形，所以△SKIPIF1<0在SKIPIF1<0边上的高为SKIPIF1<0，所以四面体SKIPIF1<0的侧面积SKIPIF1<0SKIPIF1<0，四面体SKIPIF1<0的体积SKIPIF1<0，设四面体SKIPIF1<0内切球的半径为SKIPIF1<0，则由等体积法可得SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0，所以四面体SKIPIF1<0的外接球与内切球的表面积之比为SKIPIF1<0，故选：C15．（2023·全国·模拟预测）如图，在四棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，P为侧棱SA的中点，则四棱锥SKIPIF1<0外接球的表面积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】取AD的中点O，连接OB，OC，OP，根据已知得出四边形OABC为平行四边形，SKIPIF1<0，即可得出SKIPIF1<0，则四棱锥SKIPIF1<0外接球的球心为O，半径为2，即可根据球的表面积计算得出答案.【详解】取AD的中点O，连接OB，OC，OP.因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以四边形OABC为平行四边形，所以SKIPIF1<0，同理可得SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0，且P为侧棱SA的中点，所以SKIPIF1<0，所以在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0.（点拨：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半）所以SKIPIF1<0，所以四棱锥SKIPIF1<0外接球的球心为O，半径为2，故外接球的表面积为SKIPIF1<0，故选：B.16．（2023·湖南·模拟预测）在意大利，有一座满是“斗笠”的灰白小镇阿尔贝罗贝洛，这些圆锥形屋顶的奇特小屋名叫Trullo，于1996年被收入世界文化遗产名录，现测量一个Trullo的屋顶，得到母线SA长为6米（其中S为圆锥顶点，O为圆锥底面圆心），C是母线SA的靠近点S的三等分点．从点A到点C绕圆锥顶侧面一周安装灯带，若灯带的最短长度为SKIPIF1<0米，则圆锥的SO的体积为（

）A．SKIPIF1<0立方米 B．SKIPIF1<0立方米 C．SKIPIF1<0立方米 D．SKIPIF1<0立方米【答案】C【分析】设圆锥底面半径为r，如图，根据余弦定理得到SKIPIF1<0，计算SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，再计算体积得到答案.【详解】设圆锥底面半径为r，如图，扇形SKIPIF1<0是圆锥的侧面展开图，SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以圆锥的体积为SKIPIF1<0（立方米），故选：C17．（2023·江西赣州·统考一模）在棱长为6的正方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点，则三棱锥SKIPIF1<0外接球的表面积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】根据题意，三棱锥SKIPIF1<0与三棱柱SKIPIF1<0外接球相同.确定球心位置，利用正弦定理，余弦定理，勾股定理，求出球的半径，再利用球的表面积公式即可求解.【详解】如图，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为棱SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点，则三棱锥SKIPIF1<0与三棱柱SKIPIF1<0外接球相同.在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，由余弦定理SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；设SKIPIF1<0外接圆半径为SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由正弦定理SKIPIF1<0故SKIPIF1<0外接圆半径SKIPIF1<0，设三棱柱SKIPIF1<0外接球半径为SKIPIF1<0，由勾股定理SKIPIF1<0，

则三棱锥SKIPIF1<0外接球的表面积SKIPIF1<0.故选：D【点睛】关键点点睛：本题求解的关键是：把三棱锥的外接球转化为三棱柱的外接球，利用底面外接圆的半径和三棱柱的高，可得外接球的半径，从而得到外接球的面积.18．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）在四边形ABCD中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0沿AC翻折至SKIPIF1<0，三棱锥SKIPIF1<0的顶点都在同一个球面上，若该球的表面积为SKIPIF1<0，则三棱锥SKIPIF1<0的体积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】先根据外接球的表面积求出球的半径，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，垂足为SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，易得三棱锥SKIPIF1<0外接球的球心过点SKIPIF1<0且垂直平面SKIPIF1<0的垂线上，再利用勾股定理求出三棱锥的高，即可得解.【详解】设三棱锥SKIPIF1<0外接球的半径为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，如图，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，垂足为SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0为三棱锥SKIPIF1<0外接球的球心，因为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0为SKIPIF1<0外接圆的圆心，所以三棱锥SKIPIF1<0外接球的球心过点SKIPIF1<0且垂直平面SKIPIF1<0的垂线上，即SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0为矩形，则SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，设三棱锥SKIPIF1<0的高为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即三棱锥SKIPIF1<0的高为SKIPIF1<0，所以三棱锥SKIPIF1<0的体积为SKIPIF1<0.故选：C.【点睛】方法点睛：立体几何外接球问题，通常要找到-个特殊三角形或四边形，找到其外心，从而找到球心的位置，从而利用球的半径相等列出方程，求出半径,进而求解球的表面积或体积等.19．（2023·浙江·模拟预测）在《九章算术》中记载，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱，阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，鳖臑为四个面都为直角三角形的三棱锥，如图，在堑堵SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，鳖臑SKIPIF1<0的外接球的体积为SKIPIF1<0，则阳马SKIPIF1<0体积的最大值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．4【答案】B【分析】设SKIPIF1<0的外接球半径为r，根据鳖臑SKIPIF1<0的外接球的体积即可求得r，再根据SKIPIF1<0的外接球的半径与三棱柱SKIPIF1<0的外接球的半径相同可得到x，y的关系式，再根据四棱锥的体积公式结合基本不等式即可求解．【详解】设SKIPIF1<0的外接球半径为r，则SKIPIF1<0的外接球的体积为SKIPIF1<0．SKIPIF1<0．又阳马SKIPIF1<0的体积为SKIPIF1<0，所以阳马SKIPIF1<0体积的最大值为SKIPIF1<0．故选：B．20．（2023·江苏连云港·统考模拟预测）已知圆锥内切球（与圆锥侧面、底面均相切的球）的半径为2，当该圆锥的表面积最小时，其外接球的表面积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】作出图形，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由三角形相似得到SKIPIF1<0，得到圆锥的表面积为SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，由导函数得到当SKIPIF1<0时，圆锥的表面积取得最小值，进而得到此时SKIPIF1<0与SKIPIF1<0，作出圆锥的外接球，设外接球半径为SKIPIF1<0，由勾股定理列出方程，求出外接球半径和表面积.【详解】设圆锥的顶点为SKIPIF1<0，底面圆的圆心为SKIPIF1<0，内切球圆心为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0⊥SKIPIF1<0，SKIPIF1<0⊥SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0∽SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，所以圆锥的表面积为SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，在SKIPIF1<0上单调递增，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0时取得最小值，SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设圆锥的外接球球心为SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由勾股定理得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，故其外接球的表面积为SKIPIF1<0.故选：A【点睛】解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径.二、多选题(共0分)21．（2023春·浙江·高三开学考试）已知正三棱锥SKIPIF1<0的底面边长为2，表面积为SKIPIF1<0，A，B，C三点均在以O为球心得球面上，Q为球面上一点，下列结论正确得是（

）A．球O的半径为SKIPIF1<0B．三棱锥SKIPIF1<0的内切球半径为SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0D．若SKIPIF1<0平面ABC，则异面直线AC与QB所成角的余弦值为SKIPIF1<0【答案】ABD【分析】设G，H，SKIPIF1<0，分别为BC，AB，AQ的中点，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中心，求出SKIPIF1<0,故选项A正确；求出三棱锥SKIPIF1<0的内切球半径为SKIPIF1<0，故选项B正确；SKIPIF1<0，故选项C错误；求出异面直线AC与QB所成角的余弦值为SKIPIF1<0，故选项D正确．【详解】解：设G，H，SKIPIF1<0，分别为BC，AB，AQ的中点，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中心，SKIPIF1<0，故选项A正确；设三棱锥SKIPIF1<0的内切球半径为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故选项B正确；SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故选项C错误；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以异面直线AC与QB所成角就是SKIPIF1<0或其补角.因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.SKIPIF1<0，所以异面直线AC与QB所成角的余弦值为SKIPIF1<0，故选项D正确．故选：ABD．22．（2023春·全国·高三校联考阶段练习）中国某些地方举行婚礼时要在吉利方位放一张桌子，桌子上放一个装满粮食的升斗，斗面用红纸糊住，斗内再插一杆秤、一把尺子，寓意粮食满园、称心如意、十全十美，下图为一种婚庆升斗的规格，该升斗外形是一个正四棱台，上、下底边边长分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，侧棱长为SKIPIF1<0，忽略其壁厚，则该升斗的容积为_________SKIPIF1<0．【答案】SKIPIF1<0【分析】先求出四棱台的高，再根据四棱台的体积公式计算.【详解】上下底面对角线的长度分别为：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0高hSKIPIF1<0，上底面的面积SKIPIF1<0SKIPIF1<0，下底面的面积SKIPIF1<0，四棱台的体积SKIPIF1<0；故答案为：SKIPIF1<0.23．（2023春·四川成都·高三四川省成都市玉林中学校考阶段练习）已知正方体SKIPIF1<0的棱长为1，E，F分别是棱SKIPIF1<0和棱SKIPIF1<0的中点，G为棱BC上的动点（不含端点）.则下列说法中正确的序号是_______.（1）当G为棱BC的中点时，SKIPIF1<0是锐角三角形；（2）三棱锥SKIPIF1<0的体积为定值；（3）若异面直线AB与EG所成的角为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.【答案】(2)(3)【分析】计算SKIPIF1<0长度即可确定SKIPIF1<0为直角三角形可判断(1)；利用等体积法可判断(2);再根据异面直线所成角的定义求解(3).【详解】当G为棱BC的中点时，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0是直角三角形，(1)错误；因为SKIPIF1<0,(2)正确；取SKIPIF1<0中点为SKIPIF1<0,连接SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0为异面直线AB与EG所成的角，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,又因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0，所以在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，因为G为棱BC上的动点（不含端点），所以SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，(3)正确，故答案为:(2)(3).24．（2023·陕西·西安市西光中学校联考一模）在四棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面ABCD，SKIPIF1<0，点M是矩形ABCD内（含边界）的动点，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直线PM与平面ABCD所成的角为SKIPIF1<0，当三棱锥SKIPIF1<0的体积最小时，三棱锥SKIPIF1<0的外接球的体积为________.【答案】SKIPIF1<0【分析】根据线面角的定义得出M位于底面矩形ABCD内的以点A为圆心，2为半径的圆上，再由三棱锥SKIPIF1<0的体积最小，确定点M位于F，进而由长方体外接球模型结合体积公式求解.【详解】因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0即为直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成的角，所以SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，如图，易知M位于底面矩形ABCD内的以点A为圆心，2为半径的圆上，记点M的轨迹为圆弧EF.连接AF，当点M位于F时，三棱锥SKIPIF1<0的体积最小，由长方体外接球模型可知，三棱锥SKIPIF1<0的外接球球心为PF的中点，此外接球的体积SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<025．（2023·山东日照·统考一模）设棱锥SKIPIF1<0的底面为正方形，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，如果SKIPIF1<0的面积为1，则能够放入这个棱锥的最大球的半径为___________.【答案】SKIPIF1<0##SKIPIF1<0【分析】设球O是与平面MAD，ABCD，MBC都相切的球，求出与三个面MAD，ABCD，MBC都相切的球的半径为SKIPIF1<0，再证明O到平面MAB的距离大于球O的半径r，O到面MCD的距离也大于球O的半径r，即得解.【详解】如图，因为AB⊥AD，AB⊥MA，SKIPIF1<0平面MAD，所以，AB垂直于平面MAD，由此知平面MAD垂直平面ABCD.设E是AD的中点，F是BC的中点，则ME⊥AD，所以，ME垂直平面ABCD，ME⊥EF.设球O是与平面MAD，ABCD，MBC都相切的球.不失一般性，可设O在平面MEF上.于是O为△MEF的内心.设球O的半径为r，则SKIPIF1<0.设AD=EF=a，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，上式取等号，所以，当AD=ME=SKIPIF1<0时，所以与三个面MAD，ABCD，MBC都相切的球的半径为SKIPIF1<0.作OG⊥ME于G，易证OG//平面MAB，G到平面MAB的距离就是O到平面MAB的距离.过G作MH⊥MA于H，则GH是G到平面MAB的距离.SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.SKIPIF1<0,故O到平面MAB的距离大于球O的半径r，同样O到面MCD的距离也大于球O的半径r，故球O在棱锥M-ABCD内，并且不可能再大.据此可得所求的最大球的半径为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<026．（2023·山东临沂·统考一模）已知正方体SKIPIF1<0的棱长为4，点SKIPIF1<0分别是SKIPIF1<0的中点，则（

）A．直线SKIPIF1<0是异面直线 B．平面SKIPIF1<0截正方体所得截面的面积为SKIPIF1<0C．三棱锥SKIPIF1<0的体积为SKIPIF1<0 D．三棱锥SKIPIF1<0的外接球的表面积为SKIPIF1<0【答案】ACD【分析】对于A，取SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，证明SKIPIF1<0，即可判断；对于B，延长SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0交SKIPIF1<0点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，说明平面SKIPIF1<0截正方体所得截面为四边形SKIPIF1<0，从而可以判断；对于C，连接SKIPIF1<0，证明SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，再根据SKIPIF1<0即可判断；对于D，如图，以点SKIPIF1<0为原点建立空间直角坐标系，设SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0为三棱锥SKIPIF1<0的外接球的球心，利用空间中两点的距离公式求出球心及半径即可判断.【详解】对于A，如图，取SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以四边形SKIPIF1<0是平行四边形，所以SKIPIF1<0，又因SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0是异面直线，故A正确；对于B，