高等数学习题集及解答

第一章函数、极限与连续

(A)

1.区间卜,包)表示不等式()

A.avxv+coB.«<C.a<xD.a>x

2.若8(r)=「+i,则夕(〃+])=()

A.r3+lB./+2C.产+2D.产+3〃+3〃+2

3.设函数/(x)=ln(3x+l)+石二^+arcsinx的定义域是()

D.(-1J)

4.下列函数/(x)与g(x)相等的是()

A.f(x)=x2,g(x)=7^B.f(x)=x,g(x)=

C.=g(x)=\，UD・=g(x)=x+l

A/X+1Vx+1x-\

5.下列函数中为奇函数的是()

Asinx04c2X-2-X.八2

A.y=——B.v-xexC.----------sinxD.y=xcosx+xsmx

2

6.若函数/(R)=N，—2cv2,则/(x—l)的值域为()

A.[0,2)B.[0,3)C.[0,2]D.[0,3]

7.设函数/(x)=e'(xwO),那么/&)・/卜)为()

/\

A./(%)+/&)B./(x,+x2)C./(Xjx2)D./—

yX2)

8.已知/(x)在区间(-8,转)上单调递减，则/(1+4)的单调递减区间是()

A.(-oo,+oo)B.(-oo,0)C.[0,-K»)D.不存在

9.函数）=/⑴与其反函数），=/-'（x）的图形对称于直线（）

A.y=0B.x=0C.y=xD.y=-x

10.函数的反函数是（)

Y

A.y=lg--B.)，=log,2C.y=log,-D.y=1+lg(x+2)

x-2x

X是有理数。<

11.设函数/(犬)=«<1,贝|」()

X是无理数

A.当时，/（x）是无穷大B.当％—>+co时，/（x）是无穷小

C.当xf-co时，/（x）是无穷大D.当时，/'（X）是无穷小

12.设/（x）在R上有定义，函数/（X）在点与左、右极限都存在且相等是函

数/（X）在点Xo连续的（）

A.充分条件B.充分且必要条件

C.必要条件D.非充分也非必要条件

13.若函数/⑴"卜'"'"之1在R上连续，则。的值为（）

[cos玄,X<1

A.0B.IC.-1D.-2

14.若函数/（x）在某点与极限存在，则（）

A./（x）在/的函数值必存在且等于极限值

B./（X）在/函数值必存在，但不一定等于极限值

C./（工）在/的函数值可以不存在

D.如果/（%）存在的话，必等于极限值

15.数列0,-…是（）

345

A.以()为极限B.以1为极限

以上工为极限

C.D.不存在在极限

n

16.liinxsin-=()

Jgx

A.8B.不存在C.ID.0

A.e~~B.ooC.0D-\

18.无穷小量是（）

A.比零稍大一点的一个数B.一个很小很小的数

C.以零为极限的一个变量D.数零

2\-1<x<0

19一设分)=<2,0<r<1则/(r)的定义域为,/(())=

x—1,1<x<3

/0)=____

20.己知函数y="r）的定义域是［0,1］,则/廿）的定义域是

21.若/⑴=j贝丫%）］=_____________，/3/（刈｝=____________

1-x

22.函数丁=夕川的反函数为o

23.函数y=5sin（;zx）的最小正周期T=。

24.设=x+J1+/,贝L=

25.lim(+3-4n卜〃-1

1+-4--------••4-

26.lim——~------《

"T8||I

27.limxlnx=_______________

XT。'

（2x-3严国+2严

28.iim

XT8

X,X<1

29.函数f(x)=T—l,1WX<2的不连续点为.

3-x,x>2

x

30.lim3"sin—二。

…3〃---------------------

函数/()=-^―的连续区间是

31.x

ax-k-b,Y>0

32.设/⑴=<"(a+8)，Q，/(6处处连续的充要条件是

(ci+h)x2+x,x<()

b-_____________

1,x>0

33.若/W=<g(x)=sinx,复合函数f[g(x)]的连续区间

—1,x<0

是o

34.若lim-...tfx+=0,ab均为常数，贝U。,b=____________.

3,x+\Jf

35.下列函数中哪些是偶函数，哪些是奇函数，哪既非奇函数又非偶函数？

12

(\)y=x2[\-x2),(2)y=3x2-x\(3)y=l—(4)y=x(x-\\x+\)

1+x

,,//、ClX十«'

(5)y=sinx+cosx+1,(6)y=--------

36.若/⑺=2/+/+3+5,，证明/(。=/卜

tt\、t)

37.求下列函数的反函数

2Vr-|

⑴)'=――,(2)y=\+2sin——-

2+1x+i

38.写出图1/和图1-2所示函数的解析表达式

求liin/(x)©

1-+22+…+

40.设/J+，1+〃—,求limxno

3

"若/(x)$,求蛔y血。

42.利用极限存在准则证明：lim—+…+々-l=lo

"wv?~+71〃〜+2〃n~-\-n7r)

43.求下列函数的间断点，并判别间断点的类型

，⑵'=⑶),”，⑷二国

⑴尸

(1+»

x,0<x<1

44.设/⑴=•；,x=\,问：

1,1<%<2

⑴lim/〈X)存在吗？

X->1

(2)/(x)在工=1处连续吗？若不连续，说明是哪类间断？若可去，则

补充定义，使其在该点连续C

x~-1,0<x<1

45.设/(x)=,

x+3,x>1

⑴求出求x)的定义域并作出图形。

(2)当x=g,1,2时，/(x)连续吗？

(3)写出/(X)的连续区间。

2,x=0,x=±2

46.设/(x)=・4-/，()<凶<2,求出/(x)的间断点，并指出是哪一

凶>2

类间断点，若可去，则补充定义，使其在该点连续。

47.根据连续函数的性质，验证方程/-31=1至少有一个根介于1和2之

48.验证方程=1至少有一个小于1的根。

1.在函数/(x)的可去间断点与处，下面结论正确的是()

A.函数/(工)在/左、右极限至少有一个不存在

B.函数f(x)在/左、右极限存在，但不相等

C.函数/(戈)在/左、右极限存在相等

D.函数/(X)在/左、右极限都不存在

2.设函数/(x)=«/sinx,工工°,则点P是函数/(月的()

V0,x=()

A.第一类不连续点B.第二类不连续点

C.可去不连续点D.连续点

3.若lim/(x)=O,则()

A.当g(x)为任意函数时，有lim/(x)g(_r)=。成立

Xf0

B.仅当lim=0时，才有lim=0成立

C.当g(x)为有界时，能使lim/(x)g(x)=0成立

D.仅当g(x)为常数时，才能使lim/(x)g(x)=0成立

IM

4.设lim/(x)及limg(x)都不存在，则()

.r->.10X—>.r0

A.Iim[/(x)+g(x)]及lim[/(x)-g(刈一定不存在

X->.TQKF

B.lim[/(x)+g(x)]及lim[/(%)-g(x)]一定都存在

X—x->.v0

C.lim[/(x)+g(刈及lim[/(x)-g(x)]中恰有一个存在，而另一个不存在

x->.v0xfS

D.lim[/(x)+g⑹及lim[/(%)-g(x)]有可能存在

XT.Q・*fQ

2.1

xsin—

5.lim--------的值为()

a。sinx

A.1B.ooC.不存在D.()

..sin2(17).

6.lim--------7--------=()

—(x-l)'(x+2)

22

C.0D.

33

7.按给定的x的变化趋势，下列函数为无穷小量的是()

A.=(xf+oo)B.+--1(xco)

Vx47+1

x

C.\-2-x(xf0)D.——(x->0)

sinx

8.当x->0时，下列与x同阶(不等价)的无穷小量是()

A.sinx-xB.ln(l-x)C.x2sinxD.ex-1

9,设函数g(x)="2x,/[g(刈=1,则/付)为()

A.3()B.15C.3D.1

10.设函数/(R)=2-4rM(0KxK2)的值域为E,g(x)/二——的值域

为F,则有()

A.EuFB.EnFC.E-TD.£口厂一中

11.在下列函数中，/（x）与g（x）表示同一函数的是（）

A./(x)=l,g(x)=(l-x)°B.f(x)=x,g(x)=—

x

c./(工)=疗，g(x)=xD./(x)=V?,g(x)=x

12.与函数/（x）=2x的图象完全相问的函数是（）

A.Ine~xB.sin(arcsin2^)C.e{n2xD.arcsin(sinlx)

13.若xvl,下列各式正确的是（）

A.->1B.x2Vlc.x3<[D.国<1

x

14.若数列｛乙｝有极限。，则在。的£领域之外，数列中的点（）

A.必不存在B.至多只有限多个

C.必定有无穷多个D.可以有有限个，也可以有无限多个

15.任意给定M>0,总存在X>0,当xv-X时，f（x）<-M,则（）

A.lim/(x)=-ooB.lim/(x)=-oo

x-yx)

C.liinf[x)=ooD.limf(x)=oo

16.如果lim/(x)与lini/(x)存在，则()

KT石

A.lim，(x)存在且lim/(x)=/(x0)

XT%x->.r0

B.lim/(x)存在，但不一定有lim/(x)=/(x0)

X->X0Xf5

C.lim/(x)不一定存在

XT.%

D.lim/(x)一定不存在

XT”

17.无穷多个无穷小量之和，则()

A.必是无穷小量B.必是无穷大量

C.必是有界量D.是无穷小，或是无穷大，或有可能是有界量

18.y=arccos71n(Y-1),则它的连续区间为()

A.|A|>1B.\x>V2

C.[―Je+1]U[x/2,Je+1]D.(—y/c+1,—1x/2)U(V2,+1)

19.设/(x)=lim匹，则它的连续区间是()

〃T8J-nX

A.(-co,+00)B.x^—(〃为正整数)处

n

C.(-8,())U((),w)D.xwO及x/处

n

20.设f(x)=产’要使/(x)在工=0处连续，贝h/=()

。+X,X之()

A.2B.1C.0D.-I

工.日n

21.设/⑴卡/，若/⑴在(-8,同上是连续函数，则

a,x=0

。二()

A.0B.1C.-D.3

3

3x-1,x<1

22.点x=1是函数/'(X)=«1,1=1的()

3-x,x>1

A.连续点B.第一类非可去间断点

C.可去间断点D.第二类间断点

23.方程——x_i=o至少有一根的区间是()

A.B.9C.(2,3)D.(1,2)

24.下列各式中的极限存在的是()

2x2+5x

B.limex

A.limsinxC.limD.lim-X--

X-^.ITOX-KO3?-lA->O2-1

Ixl

25.lim-^=()

sinx

A.1B.0C.-1D.不存在

12

26.lim—7十+一—+•••+—

“巩，厂n

f[x+-则

27.=/+3+3,/(x)=

xjx

28.函数y=ln(/+l)的单调下降区间为

a~n~4-/7724-5-

29.已知hm-----------------=2,则mil。=,b=

"->83n-2

ax

x+2

30.lime2,则。二

.r-K©+lJ

31.函数=的不连续点是，是第类不连续点。

函数，的不连续点是

32./(x)=sin,是第不连续点。

x

33.当X—>0时，V14-X一1〜

34.己知/(X)=(17)：，为使/(x)在x=()连续，则应补充定义/(0)=

35.若函数/(x)=l与函数g(x)=目的图形完全相同，则x的取值范围

x

是,

36.设/(上)二为一,若/(x)=0,则l=;若/(1)〉()，则

xe;若/(X)<O;则XE

2A,x<0/、；U，则丹g(x)]=

37.设/(x)=,…0,g(+

-3x,x>0

38.设函数/(〃)有意义，则函数/(Inx)的定义域。

39.设数列x〃=(-l)向的前〃项和为S“，那么lim，(S1+S?+…+S”)

40.如果x—>0时，要无穷小(l-cosx)与asin?］等价，。应等于,

41.要使1旧(依+〃)：=0,则〃应满足.

42.lim1

A->-WO

l-x2

43.函数/(•¥)='1+x，'NT,当4=时，函数/(x)连续，

A,x=-l

44.已矢口lim"+"+'=2,则a=_______,b=__________

XT2x—X—2

45./(x)=««'，X。。，lim/Q)=______________：若/(x)无间断点,

a,x-0z

则a=0

46.函数/(式)=心in2在点x=0处可可连续开拓，只须令/(0)=。

x

”l-cosx

47.lim—..........=。

•J°xcosx

48.lim—=__________0

r-£工

仙..1-cos2x

49.lim-----；——=________________o

•3°厂

50.设G(x)=lnx,证明：当i>0,y>0,下列等式成立：

(l)G(x)+G(),)=G3，)，(2)GM-G60=q-|o

i,W<i

51.设/(/)=•0,H=1,g(尤)="，求/[g(x)]和g[f(x)]。

tk|>i

52.若e(x)=lg^--,证明：W(y)+0(z)=8'+一0

1+xU+M

53.根据数列极限的定义证明：

(1)lim1,(2)lim(J.+1-VH)=0,

2n-\2"T«>\

I2

(3)lim0-99--9=l,(4)lim7〃+〃=1

“一>oo'一、—"〃一>8n

o人

54.根据函数极限的定义证明

1+2x2_2

(1)limxsin—=0,(2)lim2

KTOxXf003x-3

arctgx

(3)lim-----=n0，(4)limy/x-2=0

x->2*

55.求下列极限

limV~~1rw_1

(1)⑵lim-------(〃，in为正整数),

io3x--x-2i廿-1

lim"x-cosx

⑶(4)lim---------

X*]_J.EXUX-l

（4x-7）以5x-8户13

(5)(6)lim

f（2x-3）侬xf117\-x3)

”1-cos2x..cosx

⑺hm----------(8)lim------

xsinxNT[

x^ix--

2

arcsinxsin2x-sin2a

(9)lim(10)lim

x->0xXT"x-a

1+x]^

(11)lim(l+2x)A(12)lim

,v-»0v•S01l_xJ

COSA

(13)lim(l+r^x)（14）lim1-一（女为正整数）

.v->0X—>ooXJ

56.当x.0时，求下列无穷小量关于x的阶

(l)x3+x6,(2)x2Vsm.r,(3)Jl+尤-Jl-x,(4)tgx-sinx

57.试证方程x=〃sinx+b,其中o>0,Z?>0,至少有一个正根，并且不

超过a+匕。

58.设/⑴在闭区间［0,2〃］上连续，且/(0)=/(2〃)，则在［0,。］上至少存在

一个工,使/(x)=/(x+。)。

59.设/(X)在［a/?］上连续，且试证：在(。,。)内至少有

一点八使得：/⑥=4。

60.设数列x“有界,又limy”=0,证明limxnyn=0。

〃一n->oo

|3。3

33

61.设+■••+J,求limxtlo

n,一

3x,-l<x<I

62.设/(x)=.2,x=1，求lim/Q)及lim/(x)。

x->0X->1

31,1cxe2

一。二'

求

63.limx----------

XTWe'+e

2sinx-sin2x

64.求出

65.求下列极限

隔3sin2x

(1)⑵lim-------------r

Tt2cos("一刈

V5x-4-yfxsinx-sin。

⑶lim(4)lim

XTIx-\XT。x-a

2.f.2\cosx

⑸lun(jx?+r->!x-x)(6)thm11+3tgx)

XT田''

.r+1

2x+3

⑺liin(8)lim

1

.r->0XX-XO2x+1

龙

66.求lim

h(iTT)0

(0

1.若存在6〉0,对任意£>0,适合不等式<5的一切x,有

则（）

A./（工）在〃不存在极限B./'（X）在（4-3,4+3）严格单调

C.7（工）在+无界D.对任意工£（々-5,〃+5）,/（.r）=L

2.若存在£>0,对任意3>0,适合不等式卜-的一切x,有

|/。）一4<£，贝火）

A.lim/（x）=£B./（x）在R上无界

XT。

C./⑴在R上有界D./⑴在A上单调

X

3.函数/（x）=lim------z（x>0）,则此函数（）

1+x"+（2x）

A.没有间断点B.有一个第一类间断点

C.有两个以上第一类间断点D.有两个以上间断点，但类型不确定

4.若函数y=尸7的定义域为R,则左的取值范围是（）

kxr+4kx+3

3333

A.0<A:<-B.k<O^k>-C.0<k<-D.k>-

4444

5.两个无穷小量。与尸之积a4仍是无穷小量，且与。或万相比（）

A.是高阶无穷小B.是同阶无穷小

C.可能是高阶，也可能是同阶无穷小D.与阶数较高的那阶同阶

6.试决定当xf0时，下列哪一个无穷小是对于刀的三阶无穷小（）

A.y[x^yfxB.Ja卜J?及（々>0是常数）

C.x3+0.000U2D.Vtanx

7.指出下列函数中当x-0+时（）为无穷大

A.2一一1B.SmXC.e-xD.>

1+secx

Jl+X-Jl—Xc

8./(x)='"U,如果/(x)在x=0处连续，那么％=()

k,x=0

A.0B.2C.-D.1

2

9.使函数)，=("T尸1为无穷小量的x的变化趋势是()

x-1

A.x―>0B.x—>1C.x—>—1D.x—>4~co

10.设/(x)=L若/(x)+f(y)=f(z),则2=。

X

ii.若★丫)=."而/(x)=JeO,贝|」。[/(尤)]=_________-

一x,x>0

I

ex,-oo<x<0

12.若f(x)=«3x,0<x<I在x=l处连续，则。=。

1+*+],1<X<+00

13.设lim丁一口’一「+4有有限极限值乙，则/二_______,L=________________o

X"X+1

「..Vx-+y/x-a.八、

14.lim---/---(«>0)=________________o

15.证明limsinx不存在。

X—>30

16.求lim-1+x”(OWE)。

n—>x

17.求lim(3、+9+。

18.设g(6在x=0处连续，且g(0)=(),以及|fa)w|g(",试证：/(x)在>0

处连续。

19.利用极限存在准则证明：数列五，，2+血,亚+也+也,…的极

限存在。

20.设/(x)适合4(尤)+/1]=£(〃、b

c均为常数）且同工例，试证:

\x)x

/(-x)=-/3。

21.设函数/在(-8,+00)内有定义,/(X)0,•/(、)，试求

7(1985)o

22.设8(x)、+3、/(x)都为单调增加函数，且对一切实数x均有：

0(x)4f(x)<T(x),求证而⑹</[/(x)]<中卜F(x)]o

23.证明/(_r)=sin三当xf()时左右极限不存在。

24.设%”=(1—57)1一二…(1—r)，证明：当〃—>8时X”的极限存在。

25.若/(x)在[〃㈤上连续，a<xx<x2<-<xn<b>则在上必有岁,

使/团二/&)+加)+-，+/国)o

n

26.证明，若/(X)在(-8,*o)内连续，且存在，则/(工)必在(-8.+co)

.V->oO

内有界。

a

27.lim——-示■=1992,求。、夕的值。

28.证明方程—%+—%+*1=0,在(42)，(阳4)内有唯一的根，

X一4X-A2X-X3

其中41,a2,〃3均为大于。的常数，且4<42<4。

第一章函数、极限与连续

（A）

1.区间[。,+00）表示不等式（B）

A.a<x<-HX）B.a<x<-KOC.a<AD.CI>X

2.若e（r）=/+l,则9（J+l）=（D）

A.r3+lB.t6+2C.产+2D./+3〃+3/+2

3.设函数/'（6=ln（3x+l）+小二^+arcsin.t的定义域是（C）

a-mB{T']C.dD.（-I,I）

4.下列函数/(x)与g(x)相等的是(A)

22

A.f(x)=xfg(x)=7?B.f(x)=x,^(x)=(Vx)

C/W=^^=»g(R=J二|D・/(工)=±^,g(x)=x+l

Vx+1Vx+1x-1

5.下列函数中为奇函数的是(A)

Asinx口T「2X-2-X.「2

A.y=——B.y=xexC.-----------sinxD.y=xcosx+xsinx

x22

6.若函数/(x)=N，—2<xv2,则/(x-l)的值域为(B)

A.[0,2)B.[0,3)C.[0,2]D.[0,3]

7.设函数/(x)=F(xwO),那么/(西)•/(七)为(B)

/、

A./(七)+/(七)B./(x,+x2)C./(x(x2)D./匕

VX2)

8.已知/W在区间(-8,y)上单调递减，则/(1+4)的单调递减区间是(C)

A.(-oo,+oo)B.(-co,0)C.[0,-KO)D.不存在

9.函数y=/⑴与其反函数y=广心)的图形对称于直线(C)

A.y=0B.x=0C.y=xD.y=-x

10.函数y=IO'"-2的反函数是(D)

X1

A.y=lg——-B.>*=log2C.y=log-D.y=l+lg(x+2)

x-2r2~x

,,将力、优，x是有理数

”.设函数小)=0一是无理数0<a<l,则(B)

A.当x->+oo时，/(x)是无穷大B.当x—>+co时,/(x)是无穷小

C.当Xf-co时，/(x)是无穷大D.当X—YO时，/(x)是无穷小

12.设/(X)在R上有定义，函数/(x)在点与左、右极限都存在且相等是函

数/(上)在点与连续的(C)

A.充分条件B.充分且必要条件

C.必要条件D.非充分也非必要条件

13.若函数xNl在R上连续，则。的值为(D)

［COSG,X<1

A.0B.1C.-1D.-2

14.若函数/(x)在某点X。极限存在，则(C)

A./(元)在/的函数值必存在且等于极限值

B./(x)在/函数值必存在，但不一定等于极限值

C./(x)在/的函数值可以不存在

D.如果/(%)存在的话，必等于极限值

5数列°,rrr》…是⑻

A.以0为极限B.以1为极限

C.以上工为极限D.不存在在极限

n

16.limxsin—=(C)

x

A.ooB.不存在C.1D.0

C.0D.-

2

18.无穷小量是(C)

A.比零稍大一点的一个数B.一个很小很小的数

C.以零为极限的一个变量D.数零

2二-1<x<0

19.设/(x)=,2,0<x<l则/(x)的定义域为[-1,3],f(0)=2

工一1,1<x<3

/0)=0

20.已知函数y=/(x)的定义域是［()」］,则/(/)的定义域是［-口］。

21.若小）二占则小⑹MO”

22.函数y=八句的反函数为y=lnx—1。

23.函数y=5sing)的最小正周期T=2

24.设/q=xdjl+x2,则/(*)=，+»+-V◎

\xJxV厂

3

25.lim(J〃+3-4n\Jn-\-

2

,111

1H----1--------1----.

lhn^-4——

26.

"T81113

1+—+—―•••+-

393"

27.limxlnx=0

1g3)飞：2)、注

28.1n

…(5x+l)505$°

v,x<\

29.函数/(X)=T-1,1Wx<2的不连续点为.

3—x,x>2

n

30.lim3sin—=x0

3〃--

31.函数/(x)=一一的连续区间是(一8,-1)、(一1,1)、(-1,+00)0

X-1------------------------------

ax-vb,r>0

32.设/(x)h"（。+A）。0,/⑴处处连续的充要条件是

2

(a+h)x+xyx<（）

b=0o

33.若/Q)=«1/一°,g(x)=sinx,复合函数/[g(x)]的连续区间是

-1,x<0

(左肛(欠+氏),k=0,1,±2o

一

34.若lim-ar+/?=0,a,/?均为常数，则4=1,b=2

XT81X+1

35.下列函数中哪些是偶函数，哪些是奇函数，哪既非奇函数又非偶函数？

(l)^=x2(l-x2)偶函数

(2))，=31—V非奇函数又非偶函数

1-V2

(3))，="［偶函数

1+厂

(4)y=x(x-fl(x+l)奇函数

(5)y=sinx+cosA+l非奇函数又非偶函数

(6)丁=心詈1偶函数

36.若/(。=2产+々+?+5,证明/(。=/已、

ttv/

证：/|l|=24+2r+5r+5-

⑺产t

=F")

37.求下列函数的反函数

2X

(l)j=-------

2r+l

解：y-1=lnf^—

V-A7

r—1

⑵)，=l+2sin上」

x+l

i.x—\

14-arcsin-----

y=--------------二

1.A—1

1-arcsin

2

38.写出图1・1和图1・2所示函数的解析表达式

2,x=0x+1,x>0

解：⑴y=<⑵)'=«

1,xw()x-1,x<0

sinx八

-------,-oo<x<0

39.设/(x)=♦x,求liin/(x)©

(1-x)2,0<x<+oo

«：lim./(x)=lim.^=l

limf(x)=lim(1-JV)2=1

故呵/(x)=1o

I2+22+•••+/?

40.设“求limxn。

tr/：—KO

'〃(〃+1/2〃+1)

/+22+•••+，/n6n

解：lim=liin

〃一＞53/1T83

7

+1)-2/?

1+