理论力学课件 第三章 分析力学4

理论力学ClassicalMechanics2024第三章分析力学哈密顿量：时间对称性与能量守恒3.5动力方程：基于哈密顿的力学体系3.6泊松括号：统一处理物理量的变化3.7洛伦兹力：拉格朗日量中的矢量势3.833.6泊松括号：统一处理物理量的变化3.6泊松括号：统一处理物理量的变化力学问题解决方案物体运动变化欧拉-拉格朗日方程哈密顿方程牛顿方程三维空间广义坐标相空间哈密顿方程3.6泊松括号：统一处理物理量的变化

物理量对时间的全导数物理量的变化时间的影响空间的影响把系统的空间变化与某些具体的操作给联系起来3.6泊松括号：统一处理物理量的变化空间变化对物理量的影响，就是物理量在相应的无限小操作下的变分，。这个变分的具体值当然应该与物体受承受的具体操作相关。操作的英文单词是Operate，用大写的O来表示这个操作。

3.6泊松括号：统一处理物理量的变化做个小结

利用哈密顿方程，将坐标和动量的时间导数，替换成哈密顿对坐标和动量的偏导数。3.6泊松括号：统一处理物理量的变化它表示单位时间内，物理量Q的变化与坐标和动量的关系。泊松式子太长、太麻烦！

即3.6泊松括号：统一处理物理量的变化系统的时间演化行为是由能量决定的。在泊松括号中，括号的左边是研究的对象，括号的右边是对象变化的原因，也就是系统的哈密顿H。对象的时间变化率={对象，对象变化的原因}

同理3.6泊松括号：统一处理物理量的变化

空间变化率

3.6泊松括号：统一处理物理量的变化

时间的流逝，可以看作是通过时间平移操作实现的，对应这个时间平移操作的就是系统的哈密顿：

3.6泊松括号：统一处理物理量的变化

3.6泊松括号：统一处理物理量的变化考察无限小操作对能量的影响，就是哈密顿和它的泊松括号：

3.6泊松括号：统一处理物理量的变化泊松括号还有一个巨大的优势，就是它可以被公理化，可以通过简单几条规则和少量规定，来完成任何复杂函数之间的泊松括号计算：最基本单元是坐标和动量之间的泊松括号:3.6泊松括号：统一处理物理量的变化用简单的泊松括号，统一处理了任意复杂物理量的时空变化研究对象是什么造成它的原因是什么用大括号把他们括起来按泊松括号的规则去计算总结33.8洛伦兹力：拉格朗日量中的矢量势3.8洛伦兹力：拉格朗日量中的矢量势有了泊松括号和哈密顿，原则上就能搞定任何物理量的时间演化问题

常见的基本力，比如万有引力、库仑力都是保守力磁场对应的洛伦兹力，它是一个与速度有关的力，方向还始终与运动方向垂直，洛伦兹力不是保守力。怎么写出非保守力的哈密顿呢？3.8洛伦兹力：拉格朗日量中的矢量势

3.8洛伦兹力：拉格朗日量中的矢量势通过梯度运算，可以由标量场定义出一个矢量场：

势场的负梯度就是力场：

注意:能写成梯度的矢量场都有一个特殊性质：

矢量叉乘的定义:3.8洛伦兹力：拉格朗日量中的矢量势∇与矢量场的点乘是散度，它描述的是粒子们在空间区域的扩散和凝聚行为径向切向一个矢量场的散度为0，那么这个矢量场一定是某个其它矢量场的旋度。磁场的散度为0那磁场一定是某个矢量场A的旋度3.8洛伦兹力：拉格朗日量中的矢量势类似的可以把与磁场对应的矢量场A叫做磁势。数学上证明，如果一个矢量场的散度为0，那么这个矢量场一定是某个其它矢量场的旋度电场、电势与Del之间有梯度关系：通常规定地球的电势为0。只有做这样一个规范后，电势的绝对值才有明确的物理意义。3.8洛伦兹力：拉格朗日量中的矢量势磁势加上一个任意标量场的梯度，磁场的计算结果不会发生改变：我们把物理量或运动方程，在不同规范下，保持不变的性质叫做规范不变性。3.8洛伦兹力：拉格朗日量中的矢量势哈密顿最初的定义：求哈密顿求拉格朗日量求系统的能量L是坐标、速度和时间的函数。决定物体运动的欧拉拉格朗日方程：

代入欧拉拉格朗日方程保守力作用的下的牛顿第二定律3.8洛伦兹力：拉格朗日量中的矢量势已知洛伦兹力与磁场和速度的关系：启发：1、拉格朗日量可能跟速度和磁场有关。2、拉格朗日量中与电场相关的部分是电势，与磁场有关的势，可能就是磁势。拉格朗日量是标量，速度和磁势都是矢量，即把两个矢量变成标量：3.8洛伦兹力：拉格朗日量中的矢量势

根据定义，梯度项的作用量是这样的:dt约掉磁势的规范并不会影响哈密顿原理对路径的选择。3.8洛伦兹力：拉格朗日量中的矢量势包含洛伦兹力的拉格朗日量:动量:带入拉格朗日量:动量变化率:3.8洛伦兹力：拉格朗日量中的矢量势直接对动量求导数，得到与力相关的动量变化率