高考数学二轮复习专项训练26直线与圆锥曲线的位置关系含答案及解析

2025二轮复习专项训练26直线与圆锥曲线的位置关系[考情分析]直线与圆锥曲线的位置关系是命题的热点，尤其是有关弦长计算及存在性问题，运算量大，能力要求高，突出方程思想、转化化归与分类讨论思想方法的考查，难度为高档．【练前疑难讲解】一、弦长、面积问题判断方法：通过解直线方程与圆锥曲线方程联立得到的方程组进行判断．弦长公式：|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|，或|AB|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|.二、中点弦问题解决圆锥曲线“中点弦”问题的方法1．根与系数的关系法：联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，消元得到一元二次方程后，由根与系数的关系及中点坐标公式求解．2．点差法：设直线与圆锥曲线的交点(弦的端点)坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，将这两点坐标代入圆锥曲线的方程，并对所得两式作差，得到一个与弦AB的中点和直线AB的斜率有关的式子，可以大大减少计算量．三、圆锥曲线中二级结论的应用1．椭圆焦点三角形面积为b2taneq\f(α,2)(α为|F1F2|的对角)．2．双曲线焦点三角形面积为eq\f(b2,tan\f(α,2))(α为|F1F2|的对角)．3．抛物线的有关性质：已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线l过点F且与抛物线交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(1)|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(2p,sin2α)(α为直线l的倾斜角)．(2)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．(3)eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)＝eq\f(2,p).一、单选题1．（22-23高三上·湖北武汉·期末）已知A是椭圆：的上顶点，点，是上异于A的两点，是以A为直角顶点的等腰直角三角形.若满足条件的有且仅有1个，则椭圆离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．2．（21-22高二上·天津和平·期末）双曲线的两个焦点分别是，点是双曲线上一点且满足，则的面积为（

）A． B． C． D．3．（21-22高二上·安徽淮北·期中）已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，过点的直线交于、两点，若的中点坐标为，则的方程为（

）A． B．C． D．二、多选题4．（2022·全国·高考真题）已知O为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交C于P，Q两点，则（

）A．C的准线为 B．直线AB与C相切C． D．5．（2023·云南昆明·模拟预测）在直角坐标系中，已知抛物线：的焦点为，过点的倾斜角为的直线与相交于，两点，且点在第一象限，的面积是，则（

）A． B．C． D．6．（2023·广东深圳·二模）设抛物线C：的焦点为F，过抛物线C上不同的两点A，B分别作C的切线，两条切线的交点为P，AB的中点为Q，则（

）A．轴 B． C． D．三、填空题7．（2022高三·全国·专题练习）过椭圆的左焦点作倾斜角60°的直线，直线与椭圆交于A，B两点，则．8．（22-23高二上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知，为椭圆：的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为．9．（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）已知椭圆的一条弦所在的直线方程是，弦的中点坐标是，则椭圆的离心率是．【基础保分训练】一、单选题1．（21-22高二下·海南·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为、，过且斜率为1的直线交椭圆于A、两点，则等于（

）A． B． C． D．2．（22-23高三下·海南海口·期中）已知，为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点且，则的面积为（

）A． B． C．4 D．3．（2023·浙江宁波·二模）设椭圆的右焦点为，点在椭圆外，P，Q在椭圆上，且P是线段AQ的中点．若直线PQ，PF的斜率之积为，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．二、多选题4．（2023·云南·二模）已知椭圆，为C的左、右焦点，P为C上一点，且，若交C点于点Q，则（

）A．周长为8 B．C．面积为 D．5．（2022·全国·模拟预测）双曲线的左，右焦点分别为，，点P在C上.若是直角三角形，则的面积为（

）A． B． C．4 D．26．（23-24高二上·江苏·阶段练习）设椭圆的方程为，斜率为k的直线不经过原点O，而且与椭圆相交于A，B两点，M为线段AB的中点，下列结论不正确的是（

）A．直线AB与OM垂直B．若点M坐标为，则直线方程为C．若直线方程为，则点M坐标为D．若直线方程为，则三、填空题7．（23-24高三上·湖北·开学考试）已知圆，直线，当圆被直线截得的弦长最短时，直线的方程为.8．（2023高三·全国·专题练习）已知是椭圆上的点，分别是椭圆的左、右焦点，若，则的面积为9．（22-23高二下·陕西榆林·期末）已知为双曲线上两点，且线段的中点坐标为，则直线的斜率为.四、解答题10．（23-24高二上·河南南阳·期末）已知椭圆C：（，）的长轴为，短轴长为4．(1)求椭圆C的标准方程；(2)设直线l：与椭圆C交于不同两点A、B，且，求直线的方程．11．（24-25高二上·北京·阶段练习）已知椭圆长轴长为4，且椭圆的离心率，其左右焦点分别为．(1)求椭圆的方程；(2)设斜率为且过的直线与椭圆交于两点，求的面积．12．（23-24高二上·安徽滁州·阶段练习）已知圆的圆心是抛物线的焦点．(1)求抛物线的方程；(2)若直线交抛物线于两点，且点是弦的中点，求直线的方程．【能力提升训练】一、单选题1．（2023·山东临沂·一模）已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与的左、右两支分别交于点，且，则的离心率为（

）A． B． C． D．2．（2023·山西·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，准线为l，过F且斜率为的直线与C交于A，B两点，D为AB的中点，且于点M，AB的垂直平分线交x轴于点N，四边形DMFN的面积为，则（

）A． B．4 C． D．3．（21-22高二上·江苏盐城·期末）椭圆中以点为中点的弦所在直线斜率为（

）A． B． C． D．二、多选题4．（2023·山东临沂·一模）抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出．反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线，为坐标原点，一束平行于轴的光线从点射入，经过上的点反射后，再经过上另一点反射后，沿直线射出，经过点，则（）A．B．延长交直线于点，则，，三点共线C．D．若平分，则5．（2022·湖南永州·二模）画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：椭圆的两条切线互相垂直，则两切线的交点位于一个与椭圆同中心的圆上，称此圆为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆的离心率为，、分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，直线，则（

）A．直线与蒙日圆相切B．的蒙日圆的方程为C．记点到直线的距离为，则的最小值为D．若矩形的四条边均与相切，则矩形的面积的最大值为6．（23-24高三上·湖北武汉·阶段练习）直线过抛物线的焦点且与该抛物线交于M，N两点，设O为坐标原点，则下列说法中正确的是（

）A． B．抛物线E的准线方程是C．以MN为直径的圆与定直线相切 D．的大小为定值三、填空题7．（2024·辽宁大连·一模）已知抛物线的焦点分别为，点分别在(上，且线段平行于x轴.若是等腰三角形，则.8．（2023·湖北·模拟预测）已知为抛物线的焦点，直线与交于，，与的另一个交点为，与的另一个交点为.若与的面积之比为，则.9．（21-22高二上·上海杨浦·期末）过点作斜率为的直线与双曲线相交于A，B两点，若M是线段的中点，则双曲线的离心率为.四、解答题10．（23-24高二上·吉林长春·阶段练习）已知椭圆的离心率为，椭圆上的点到焦点的最小距离是．(1)求椭圆的方程；(2)倾斜角为的直线交椭圆于两点，已知，求直线的一般式方程．11．（22-23高二下·陕西安康·期中）已知椭圆的一个焦点为，且离心率为.(1)求椭圆的方程；(2)不过原点的直线与椭圆C交于两点，求面积的最大值及此时直线的方程.12．（23-24高二上·河北·期中）已知P是圆C：上一动点，过P作x轴的垂线，垂足为Q，点M满足，记点M的轨迹为E．(1)求E的方程；(2)若A，B是E上两点，且线段AB的中点坐标为，求的值．13．（2023·广东肇庆·二模）设抛物线方程为，过点的直线分别与抛物线相切于两点，且点在轴下方，点在轴上方.(1)当点的坐标为时，求；(2)点在抛物线上，且在轴下方，直线交轴于点.直线交轴于点，且.若的重心在轴上，求的取值范围.14．（2024·全国·高考真题）已知双曲线，点在上，为常数，．按照如下方式依次构造点：过作斜率为的直线与的左支交于点，令为关于轴的对称点，记的坐标为.(1)若，求；(2)证明：数列是公比为的等比数列；(3)设为的面积，证明：对任意正整数，.15．（21-22高三上·河南·阶段练习）已知椭圆的右焦点为F，直线l与椭圆C交于A，B两点．(1)若，且直线l的斜率为4，求直线(点为坐标原点)的斜率．(2)若直线，的斜率互为相反数，且直线l不与x轴垂直，探究：直线l是否过定点?若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由．

2025二轮复习专项训练26直线与圆锥曲线的位置关系[考情分析]直线与圆锥曲线的位置关系是命题的热点，尤其是有关弦长计算及存在性问题，运算量大，能力要求高，突出方程思想、转化化归与分类讨论思想方法的考查，难度为高档．【练前疑难讲解】一、弦长、面积问题判断方法：通过解直线方程与圆锥曲线方程联立得到的方程组进行判断．弦长公式：|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|，或|AB|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|.二、中点弦问题解决圆锥曲线“中点弦”问题的方法1．根与系数的关系法：联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，消元得到一元二次方程后，由根与系数的关系及中点坐标公式求解．2．点差法：设直线与圆锥曲线的交点(弦的端点)坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，将这两点坐标代入圆锥曲线的方程，并对所得两式作差，得到一个与弦AB的中点和直线AB的斜率有关的式子，可以大大减少计算量．三、圆锥曲线中二级结论的应用1．椭圆焦点三角形面积为b2taneq\f(α,2)(α为|F1F2|的对角)．2．双曲线焦点三角形面积为eq\f(b2,tan\f(α,2))(α为|F1F2|的对角)．3．抛物线的有关性质：已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线l过点F且与抛物线交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(1)|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(2p,sin2α)(α为直线l的倾斜角)．(2)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．(3)eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)＝eq\f(2,p).一、单选题1．（22-23高三上·湖北武汉·期末）已知A是椭圆：的上顶点，点，是上异于A的两点，是以A为直角顶点的等腰直角三角形.若满足条件的有且仅有1个，则椭圆离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．2．（21-22高二上·天津和平·期末）双曲线的两个焦点分别是，点是双曲线上一点且满足，则的面积为（

）A． B． C． D．3．（21-22高二上·安徽淮北·期中）已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，过点的直线交于、两点，若的中点坐标为，则的方程为（

）A． B．C． D．二、多选题4．（2022·全国·高考真题）已知O为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交C于P，Q两点，则（

）A．C的准线为 B．直线AB与C相切C． D．5．（2023·云南昆明·模拟预测）在直角坐标系中，已知抛物线：的焦点为，过点的倾斜角为的直线与相交于，两点，且点在第一象限，的面积是，则（

）A． B．C． D．6．（2023·广东深圳·二模）设抛物线C：的焦点为F，过抛物线C上不同的两点A，B分别作C的切线，两条切线的交点为P，AB的中点为Q，则（

）A．轴 B． C． D．三、填空题7．（2022高三·全国·专题练习）过椭圆的左焦点作倾斜角60°的直线，直线与椭圆交于A，B两点，则．8．（22-23高二上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知，为椭圆：的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为．9．（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）已知椭圆的一条弦所在的直线方程是，弦的中点坐标是，则椭圆的离心率是．参考答案：题号123456答案BCDBCDACAC1．B【分析】根据题意联立方程求点的横坐标，由结合弦长公式整理可得关于的方程有且仅有一个解，分类讨论运算求解.【详解】由题意可得：，∵直线的斜率存在且不为0，设为，则直线，联立方程，消去y得：，解得或（舍去），即点B的横坐标为，同理可得：点C的横坐标为，由题意可得：，即，整理得：，由题意结合椭圆的对称性可得：关于的方程有且仅有一个解，则有：当是方程的根，即，则，若，则有且仅有一个解，即符合题意；当不是方程的根，则在内无零点，∵，则的对称轴，∴，解得；综上所述：，故椭圆离心率.故选：B.【点睛】易错点点睛：在处理关于的方程有且仅有一个解的问题时，注意到该方程一定有一解，则需要讨论是否为的根.2．C【分析】设，，可得，中再利用余弦定理可得，由面积公式即可求得答案.【详解】，所以，，，在双曲线上，设，，①，由，在中由余弦定理可得：，故②，由①②可得，直角的面积.故选：C.3．D【分析】利用点差法可求得，再由可得出、的值，即可得出椭圆的标准方程.【详解】解：设、，若轴，则、关于轴对称，不合乎题意，将、的坐标代入椭圆方程得，两式相减得，可得，因为线段的中点坐标为，所以，，，因为抛物线的焦点为，所以，又直线过点，因此，所以，，整理得，又，解得，，因此，椭圆的方程为，故选：D.4．BCD【分析】求出抛物线方程可判断A，联立AB与抛物线的方程求交点可判断B，利用距离公式及弦长公式可判断C、D.【详解】将点的代入抛物线方程得，所以抛物线方程为，故准线方程为，A错误；，所以直线的方程为，联立，可得，解得，故B正确；设过的直线为，若直线与轴重合，则直线与抛物线只有一个交点，所以，直线的斜率存在，设其方程为，，联立，得，所以，所以或，，又，，所以，故C正确；因为，，所以，而，故D正确.故选：BCD5．AC【分析】根据和点到直线的距离公式结合的面积是可得，；由公式，可得，.【详解】由题意得，设直线：即，则点到直线的距离是，所以，得，所以，，，所以AC正确，故选：AC.6．AC【分析】设切线求交点根据两根之和判断A选项；特殊值法判断B,C选项；根据定义数形结合判断D选项.【详解】对于A选项：设,,,过点A切线为：①,过点B切线为:②,①②得化简可得轴,A选项正确.设过A点的切线为,过B点的切线为,交点为AB的中点为，所以不垂直,B选项错误；,所以,D选项错误;作抛物线准线的垂线,连接则显然,所以又因为由抛物线定义,得,故知是线段的中垂线,得到则同理可证：,，所以，即,所以,即.故选:AC.7．/【分析】设，，利用“设而不求法”求弦长即可.【详解】∵椭圆方程为，∴焦点分别为，，∵直线AB过左焦点的倾斜角为60°，∴直线AB的方程为，将AB方程与椭圆方程联立消去y，得．设，，可得，，∴，因此，．故答案为:．8．18【分析】判断满足条件的点存在，再借助对称的性质确定四边形形状，利用椭圆定义求解作答.【详解】椭圆：的长短半轴长，半焦距，于是椭圆上存在点到原点距离等于椭圆半焦距c，由P，Q为上关于坐标原点对称的两点，得四边形为平行四边形，

又，则为矩形，即有，而，所以四边形的面积.故答案为：189．【分析】先利用点差法应用弦中点，再求椭圆离心率.【详解】设直线与椭圆交于两点，其中，将两点代入椭圆可得，两式作差可得，即，又中点坐标是，所以，所以，令，则，所以，所以，故答案为：【基础保分训练】一、单选题1．（21-22高二下·海南·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为、，过且斜率为1的直线交椭圆于A、两点，则等于（

）A． B． C． D．2．（22-23高三下·海南海口·期中）已知，为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点且，则的面积为（

）A． B． C．4 D．3．（2023·浙江宁波·二模）设椭圆的右焦点为，点在椭圆外，P，Q在椭圆上，且P是线段AQ的中点．若直线PQ，PF的斜率之积为，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．二、多选题4．（2023·云南·二模）已知椭圆，为C的左、右焦点，P为C上一点，且，若交C点于点Q，则（

）A．周长为8 B．C．面积为 D．5．（2022·全国·模拟预测）双曲线的左，右焦点分别为，，点P在C上.若是直角三角形，则的面积为（

）A． B． C．4 D．26．（23-24高二上·江苏·阶段练习）设椭圆的方程为，斜率为k的直线不经过原点O，而且与椭圆相交于A，B两点，M为线段AB的中点，下列结论不正确的是（

）A．直线AB与OM垂直B．若点M坐标为，则直线方程为C．若直线方程为，则点M坐标为D．若直线方程为，则三、填空题7．（23-24高三上·湖北·开学考试）已知圆，直线，当圆被直线截得的弦长最短时，直线的方程为.8．（2023高三·全国·专题练习）已知是椭圆上的点，分别是椭圆的左、右焦点，若，则的面积为9．（22-23高二下·陕西榆林·期末）已知为双曲线上两点，且线段的中点坐标为，则直线的斜率为.四、解答题10．（23-24高二上·河南南阳·期末）已知椭圆C：（，）的长轴为，短轴长为4．(1)求椭圆C的标准方程；(2)设直线l：与椭圆C交于不同两点A、B，且，求直线的方程．11．（24-25高二上·北京·阶段练习）已知椭圆长轴长为4，且椭圆的离心率，其左右焦点分别为．(1)求椭圆的方程；(2)设斜率为且过的直线与椭圆交于两点，求的面积．12．（23-24高二上·安徽滁州·阶段练习）已知圆的圆心是抛物线的焦点．(1)求抛物线的方程；(2)若直线交抛物线于两点，且点是弦的中点，求直线的方程．参考答案：题号123456答案ABBADACACD1．A【分析】利用弦长公式求解即可.【详解】设直线AB方程为，联立椭圆方程整理可得：，设，则，，根据弦长公式有：=．故B，C，D错误.故选：A.2．B【分析】利用椭圆定义求得的值，判断为等腰三角形，即可求得答案.【详解】由椭圆可知，故，结合，可得，而，故为等腰三角形，其面积为，故选：B3．B【分析】利用中点弦问题，结合点差法可得，即可求离心率.【详解】如图，取的中点为，连接，则由题意可得，，所以相似，所以,因为直线PQ，PF的斜率之积为，所以,设，则有，两式相减可得，即，即，即，所以椭圆的离心率为，故选:B.4．AD【分析】根据椭圆方程，求出对应的，利用几何性质即可得出正确的选项【详解】由题意，在椭圆中，，不妨设在轴上方，则，，所以，故B错；的周长为，A正确；设，在中，得，所以，D正确；，所以，故C不正确，故选：AD．5．AC【分析】根据双曲线方程求出，再根据对称性只需考虑或.当时，将代入双曲线方程，求出，即可求出三角形面积，当时，由双曲线的定义可知，再由勾股定理求出，即可得解；【详解】解：由双曲线可得.根据双曲线的对称性只需考虑或.当时，将代入可得，所以的面积为.当时，由双曲线的定义可知，，由勾股定理可得.因为，所以，此时的面积为综上所述，的面积为4或.故选：.6．ACD【分析】根据椭圆中点弦的性质，可以判断ABC，对于D,直线方程与椭圆方程联立，利用弦长公式即可求得，从而判断正误．【详解】对于A：设Ax1,y1,Bx对于B：根据，，所以，所以直线方程为，即，故B正确；对于C：若直线方程为，点，则，所以C错误；对于D：若直线方程为，与椭圆方程联立，得到，整理得：，解得，所以，故D错误；故选：ACD．7．【分析】直线过的定点，当直线垂直于时，圆被直线截得的弦长最短，可求直线的方程.【详解】由题意，直线的方程化为，由得∴直线过定点，显然点在圆内，要使直线被圆截得弦长最短，只需与圆心的连线垂直于直线，，解得，代入到直线的方程并化简得.故答案为：.8．【分析】由已知得到，，，利用余弦定理求出，面积公式求的面积.【详解】椭圆中，，则，有，是椭圆上的点，，，在中，由余弦定理得：，即，得，所以.故答案为：9．/2.25【分析】利用点差法和两点坐标求直线斜率公式化简计算即可.【详解】设，则两式相减得，由线段的中点坐标为，即，.故答案为：10．(1)(2)【分析】（1）由长轴长和短轴长可得椭圆方程；（2）联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理和弦长公式即可求得m的值，则直线的方程可求.【详解】（1）由已知长轴为，短轴长为4，可得，，则椭圆C的标准方程为：；（2）依题意，解得，因为，可得，且，因为，解得，所以直线的方程为l：．11．(1)(2)【分析】（1）由椭圆的基本性质得到椭圆的值，写出椭圆方程.（2）写出直线方程，联立方程组，由韦达定理得到和，用交点弦长公式得到线段长，由点到直线距离得到三角形高，从而算出三角形面积.【详解】（1）由题意可知：，则，∵，∴，∴，∴椭圆（2），∴直线：，联立方程组得,设，则，点到直线的距离∴

12．(1)(2)【分析】（1）由圆心是抛物线的焦点，找到抛物线的焦点，从而得到抛物线的方程；（2）利用点差法，找到直线的斜率，进而求得直线的方程.【详解】（1）圆的方程可化为，故圆心的坐标为．设抛物线的方程为()，所以，所以，所以抛物线的方程为．（2）设，，则两式相减，得，即，所以直线的斜率．因为点是的中点，所以，所以．所以直线的方程为，即．【能力提升训练】一、单选题1．（2023·山东临沂·一模）已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与的左、右两支分别交于点，且，则的离心率为（

）A． B． C． D．2．（2023·山西·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，准线为l，过F且斜率为的直线与C交于A，B两点，D为AB的中点，且于点M，AB的垂直平分线交x轴于点N，四边形DMFN的面积为，则（

）A． B．4 C． D．3．（21-22高二上·江苏盐城·期末）椭圆中以点为中点的弦所在直线斜率为（

）A． B． C． D．二、多选题4．（2023·山东临沂·一模）抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出．反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线，为坐标原点，一束平行于轴的光线从点射入，经过上的点反射后，再经过上另一点反射后，沿直线射出，经过点，则（）A．B．延长交直线于点，则，，三点共线C．D．若平分，则5．（2022·湖南永州·二模）画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：椭圆的两条切线互相垂直，则两切线的交点位于一个与椭圆同中心的圆上，称此圆为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆的离心率为，、分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，直线，则（

）A．直线与蒙日圆相切B．的蒙日圆的方程为C．记点到直线的距离为，则的最小值为D．若矩形的四条边均与相切，则矩形的面积的最大值为6．（23-24高三上·湖北武汉·阶段练习）直线过抛物线的焦点且与该抛物线交于M，N两点，设O为坐标原点，则下列说法中正确的是（

）A． B．抛物线E的准线方程是C．以MN为直径的圆与定直线相切 D．的大小为定值三、填空题7．（2024·辽宁大连·一模）已知抛物线的焦点分别为，点分别在(上，且线段平行于x轴.若是等腰三角形，则.8．（2023·湖北·模拟预测）已知为抛物线的焦点，直线与交于，，与的另一个交点为，与的另一个交点为.若与的面积之比为，则.9．（21-22高二上·上海杨浦·期末）过点作斜率为的直线与双曲线相交于A，B两点，若M是线段的中点，则双曲线的离心率为.四、解答题10．（23-24高二上·吉林长春·阶段练习）已知椭圆的离心率为，椭圆上的点到焦点的最小距离是．(1)求椭圆的方程；(2)倾斜角为的直线交椭圆于两点，已知，求直线的一般式方程．11．（22-23高二下·陕西安康·期中）已知椭圆的一个焦点为，且离心率为.(1)求椭圆的方程；(2)不过原点的直线与椭圆C交于两点，求面积的最大值及此时直线的方程.12．（23-24高二上·河北·期中）已知P是圆C：上一动点，过P作x轴的垂线，垂足为Q，点M满足，记点M的轨迹为E．(1)求E的方程；(2)若A，B是E上两点，且线段AB的中点坐标为，求的值．13．（2023·广东肇庆·二模）设抛物线方程为，过点的直线分别与抛物线相切于两点，且点在轴下方，点在轴上方.(1)当点的坐标为时，求；(2)点在抛物线上，且在轴下方，直线交轴于点.直线交轴于点，且.若的重心在轴上，求的取值范围.14．（2024·全国·高考真题）已知双曲线，点在上，为常数，．按照如下方式依次构造点：过作斜率为的直线与的左支交于点，令为关于轴的对称点，记的坐标为.(1)若，求；(2)证明：数列是公比为的等比数列；(3)设为的面积，证明：对任意正整数，.15．（21-22高三上·河南·阶段练习）已知椭圆的右焦点为F，直线l与椭圆C交于A，B两点．(1)若，且直线l的斜率为4，求直线(点为坐标原点)的斜率．(2)若直线，的斜率互为相反数，且直线l不与x轴垂直，探究：直线l是否过定点?若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由．参考答案：题号123456答案DAAABACBC1．D【分析】由，设，利用双曲线的定义得到，然后设，与双曲线方程联立，利用弦长公式求解.【详解】解：因为，所以，由双曲线的定义得，解得，则，设，，，联立，消去x得，由韦达定理得：，由，得，解得，所以，，解得，则，故选：D2．A【分析】设出直线AB的方程，联立抛物线方程，表达出点坐标，作出辅助线，求出，得到四边形DMFN为平行四边形，利用面积列出方程，求出.【详解】由题意知，直线AB的方程为．设，由，得，所以，所以，由，得．如图所示，作轴于点E，则．因为，故，，又，故，又，得四边形DMFN为平行四边形．所以其面积为，解得．故选：A3．A【分析】先设出弦的两端点的坐标，分别代入椭圆方程，两式相减后整理即可求得弦所在的直线的斜率．【详解】设弦的两端点为，，代入椭圆得两式相减得，即，即，即，即，弦所在的直线的斜率为，故选:A．4．AB【分析】根据题设和抛物线的性质得到点，，将点代入抛物线的方程得到，从而求出直线的方程，联立直线和抛物线得到点的坐标，即可判断选项A和C，又结合直线和直线得到点，即可判断B选项，若平分，得到，转化为直线斜率和直线的斜率的关系式即可求出.【详解】由题意知，点，，如图：将代入，得，所以，则直线的斜率，则直线的方程为，即，联立，得，解得，，又时，，则所以，所以A选项正确；又，所以C选项错误；又知直线轴，且，则直线的方程为，又，所以直线的方程为，令，解得，即，在直线上，所以，，三点共线，所以B选项正确；设直线的倾斜角为（），斜率为，直线的倾斜角为，若平分，即，即，所以，则，且，解得，又，解得：，所以D选项错误；故选：AB.5．AC【分析】分析可得出，求出蒙日圆的方程，可判断B选项的正误；利用直线与圆的位置关系可判断A选项；利用椭圆的定义和点到直线的距离公式可判断C选项的正误；分析可知矩形的四个顶点都在蒙日圆上，利用基本不等式可判断D选项的正误.【详解】当两切线分别与两坐标轴垂直时，两切线的方程分别为、，所以，点在蒙日圆上，故蒙日圆的方程为，因为，可得.对于A选项，蒙日圆圆心到直线的距离为，所以，直线与蒙日圆相切，A对；对于B选项，的蒙日圆的方程为，B错；对于C选项，由椭圆的定义可得，则，所以，，因为，直线的方程为，点到直线的距离为，所以，，当且仅当时，等号成立，C对；对于D选项，若矩形的四条边均与相切，则矩形的四个顶点都在蒙日圆上，所以，，所以，矩形的面积为，D错.故选：AC.6．BC【分析】由直线过定点，得到，可判定A正确；根据抛物线的几何性质，可得判定B正确；过点作准线的垂线，根据抛物线的定义得到，可判定C正确；联立方程组，结合韦达定理，得到，求得，可判定D错误.【详解】对于A中，由直线，可化为，可得直线过定点，因为抛物线的焦点在直线上，可得，则，所以A错误；对于B中，由抛物线的准线方程为，所以B正确；对于C中，过点作准线的垂线，垂足分别为，的中点为点，过点作准线的垂线，垂足为，可得，故以MN为直径的圆与准线相切，所以C正确；对于D中，设，联立方程组，整理得，，，可得，则，则，但的大小不是定值，设，而，则，则，而，并不是定值，所以D错误.故选：BC.

7．【分析】由题意设出点的坐标，不妨设，然后分三种情况讨论即可求解.【详解】设F21,0，，.不妨设，然后分三种情况讨论：若，则有，解得，此时；若，则，解得，这不可能；若，则，这同样不可能.综上，.故答案为：.8．【分析】由题意可判断得，写出点，的坐标，从而得，表示出直线的方程，与抛物线联立方程组，从而求解出点的横坐标，代入抛物线方程计算，即可得，从而根据三角形面积公式表示与的面积，再根据面积比列式计算可得的值.【详解】如图，抛物线的焦点为，可知，由题意，得，即所以直线的方程为，联立，化简得，，因为，可得点的横坐标为，代入抛物线方程可得，，所以，，，又，所以.故答案为：9．/【分析】利用点差法，结合是线段的中点，斜率为，即可求出双曲线的离心率．【详解】解：设，，，，则①，②，是线段的中点，，，直线的方程是，，过点作斜率为的直线与双曲线相交于，两点，是线段的中点，①②两式相减可得，即，．故答案为：．10．(1)(2)或【分析】（1）根据题意，得到且，求得的值，即可求解；（2）设的方程，联立方程组，结合韦达定理和弦长公式，根据题意，列出方程，求得，即可求解.【详解】（1）由椭圆的离心率为，即，可得，由椭圆上的点到焦点的最小距离是，可得，解得，，，所以椭圆的方程．（2）解：因为直线的倾斜角为，可设的方程，由方程组，整理得，可得，解得，设，，则，，又由，解得，满足，所以直线的一般式方程为或．11．(1)(2)，【分析】（1）由焦点和离心率即可求出，从而可得椭圆方程；（2）设出直线的方程，联立椭圆方程，由点直线的距离公式，结合韦达定理，把面积表示为的函数，再利用基本不等式即可求出结果.【详解】（1）由已知得，又离心率，得到，，所以椭圆的方程为.（2）设，联立，消得，，得到，由韦达定理得，，又因为，又原点到直线的距离为，所以，当且仅当，即，满足，所以，面积的最大值为，此时直线的方程为.12．(1)(2)【分析】（1）设，利用，得出的坐标，在利用P在圆C：上，即可求出M的轨迹方程.（2）利用点差法求出直线AB，再联立直线和椭圆方程，利用弦长公式即可求解.【详解】（1）设，则，因为，则，因为P在圆C上，所以，故E的方程为．（2）设，，若A，B是E上两点，则，两式相减得，即．因为线段AB的中点坐标为，所以，所以，则直线AB的方程为．联立方程组，整理得