数列求和(学案)

22数列的求和.若数歹列｛%｝的通项公式为an=2n+2n—1,则数歹列｛an｝的前n项和为.数列｛an｝的前n项和为Sn，已知Sn=1—2+3—4+…+(—1)n-ln,则S17=一-一11］、， 3.设数歹列｛an｝满足a1=13.设数歹列｛an｝满足a1=1,且an+1—an=n4.数歹列｛an｝的前n项和为Sn，若an=丽+亍，则S5等于.常用的一般数列的求和方法⑴公式法①等差数列的前n项和公式=n(4+an)_ n(n—1)Sn— 2 —na1+ 2d.②等比数列的前n项和公式(i)当q=1时，S（五）当q/1时，Sna1；a"1-qn)_o11—q1—q•⑵分组转化法把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解.⑶裂项相消法把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项.⑷倒序相加法把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广.⑸错位相减法主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广.⑹并项求和法一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如an=(—1)嗔n)类型，可采用两项合并求解.例如，Sn=1002—992+982—972H——H22—l2=(l00+99)+(98+97)H——H(2+1)=5050..几种常见类型的处理(1)形如an±bn的形式方法：分组求和法.⑵形如11+初或一।,等形式an(an+dn+n+d+n方法：裂项相消法.⑶形如anbn的形式(其中｛an｝为等差数列，｛bn｝为等比数列)方法：错位相减法.⑷首尾对称的两项和为定值的形式方法：倒序相加法.⑸正负交替出现的数列形式方法：并项相加法.考点一裂项相消法求和【例1】Sn为数列｛%｝的前n项和.已知”>0,“2+2an=4Sn+3.⑴求｛an｝的通项公式；⑵设bn=，求数歹列｛bj的前n项和.nanan+1 n规律方法（1）利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项.⑵将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等.【训练1】设Sn为等差数列｛an｝的前n项和，已知S3=a7,a8-2a3=3.⑴求a；⑵设b=S1，求数歹歹｛b｝的前n项和为T.nSn考点二错位相减法求和【例2】已知数歹列｛”｝的前n项和Sn=3n2+8n,｛勾｝是等差数列，且an=bn+bn.1.⑴求数歹列｛bn｝的通项公式；（2）令cn=*+号.求数歹列｛cn｝的前n项和Tn.规律方法（1）一般地，如果数列｛a/是等差数列，｛b/是等比数列，求数列｛an•bn｝的前n项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列｛bn｝的公比，然后作差求解；（2）在写出“5广与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn-qSn”的表达式.【训练2】已知｛an｝是递增的等差数列，a2,a4是方程x2-5x+6=0的根.⑴求｛an｝的通项公式；⑵求数歹列卷卜勺前n项和.TOC\o"1-5"\h\z1.数列1,3t，5：，7tt，…，(2n-1)+(,…的前n项和S= .24816 ' ，2n n f1〕…一 ・-―.若等差数歹列｛an｝的前n项和为Sn,a4=4,S4=10,则数歹列］^^一1的前2017项和为.数歹列｛an｝的通项公式为an=(—1)n-1・(4n—3),则它的前100项之和S100=.已知数列5,6,1,—5,…，该数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前16项之和S尸 .16.数歹列｛an｝满足an+an+1=；(n£N*),且a1=1,Sn是数歹列｛an｝的前n项和，则S21=.设数歹列｛an｝满足a1=1,(1—an+1)(1+an)=1(n£N*),则J0(a4+1)的值为 :.在等差数列｛叫中，4>0,40・%1<0,若此数列的前10项和S10=36,前18项和S18=12,则数列｛%1｝的前18项和T18的值是..已知数歹列｛%｝中，%=—4n+5,等比数歹列｛2｝的公比q满足q=an—an_1（n三2）且b1=a2,则Ib1l+lb2l+lb31+ +1bn\=.［思想方法］非等差、等比数列的一般数列求和，主要有两种思想：.转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相消来完成；.不能转化为等差或等比的特殊数列，往往通过裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和.［易错防范］.直接应用公式求和时，要注意公式的应用范围，如当等比数列公比为参数（字母）时，应对其公比是否为1进行讨论..在应用错位相减法时，要注意观察未合并项的正负号..在应用裂项相消法时，要注意消项的规律具有对称性，即前剩多少项则后剩多少项.课后巩固已知各项均为正数的