《8 数学广角-数与形》试卷及答案-小学数学六年级上册-人教版-2024-2025学年

《8数学广角——数与形》试卷(答案在后面)一、选择题（本大题有6小题，每小题2分，共12分）1、数字“24”在数轴上表示的点到原点的距离是：A.2B.4C.6D.82、一个正方形的对角线长度为10厘米，那么这个正方形的面积是：A.50平方厘米B.100平方厘米C.25平方厘米D.20平方厘米3、一个正方形的周长是16厘米，如果将这个正方形的边长分成10等份，那么从左下角顶点到右上角顶点的线段将这个正方形分成了多少个大小相等的小正方形？A.9B.10C.16D.254、一个长方形的长是8厘米，宽是5厘米，如果将长方形的边长扩大到原来的2倍，那么长方形的面积将扩大多少倍？A.2倍B.4倍C.8倍D.16倍5、一个正方形的边长扩大到原来的2倍，它的周长扩大到原来的多少倍？A.2倍B.4倍C.8倍D.16倍6、一个长方形的长是6厘米，宽是3厘米，如果将长方形的长和宽都扩大到原来的2倍，那么长方形的面积扩大到原来的多少倍？A.2倍B.4倍C.6倍D.12倍二、多选题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）1、观察下列图形，下列说法正确的是：A.图形①是由一个正方形和一个直角三角形组成的B.图形②是由两个相同的直角三角形拼成的C.图形③是由三个相同的直角三角形拼成的D.图形④是由一个正方形和两个相同的直角三角形拼成的2、一个长方形的长是8厘米，宽是5厘米，将其切割成几个相同的小正方形后，下列哪个说法是正确的？A.可以切割成16个小正方形B.可以切割成25个小正方形C.可以切割成20个小正方形D.可以切割成10个小正方形3、在正方形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，连接EF、FG、GH、HE，下列结论正确的是：A.四边形EFGH是正方形B.四边形EFGH是菱形C.四边形EFGH是矩形D.四边形EFGH是平行四边形4、下列数列中，哪一组数能构成等差数列？A.3，6，9，12B.2，4，8，16C.5，10，15，20D.7，11，15，195、一个长方形的长是8cm，宽是5cm，按照下面的方法裁剪这个长方形：（1）先沿着长边裁剪出4个宽为1cm的小长方形；（2）再沿着宽边裁剪出3个长为2cm的小长方形；（3）最后，从裁剪后剩下的长方形中裁剪出5个宽为0.5cm的小长方形。问：最后裁剪出的小长方形的总面积是多少平方厘米？A.7.5cm²B.10cm²C.15cm²D.20cm²6、一个正方体木块，每个面的面积都是16平方厘米。问：这个正方体的体积是多少立方厘米？A.64cm³B.128cm³C.256cm³D.512cm³三、计算题（本大题有4小题，每小题5分，共20分）第一题：小明有一块正方形的土地，每边长为5米。他计划在土地上种植矩形的花坛，使得花坛的长是正方形边长的2倍，宽是正方形边长的一半。请计算这个矩形花坛的面积。第二题：已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=n(n+1)/2，an=Sn-Sn-1。（1）求第6项an；（2）求数列{an}的前10项和T10。第三题：已知一个正方形和一个长方形，它们的周长都是16厘米。设正方形的边长为a厘米，长方形的长为b厘米，宽为c厘米。求证：无论长方形的长和宽如何变化，正方形的边长总是长方形的面积的一半。（1）写出正方形和长方形的周长公式。（2）根据题目条件，列出正方形和长方形周长的方程。（3）求解方程，得出正方形的边长a。（4）计算长方形的面积，并验证正方形的边长a是否总是长方形面积的一半。第四题：已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=3n^2+2n。求第10项an的值。四、操作题（本大题有2小题，每小题7分，共14分）第一题：小明发现一个有趣的规律：将正方形纸片折叠，使对边重合，可以得到不同的图形。请画出以下步骤中得到的图形，并判断它们分别是什么形状。步骤一：将正方形纸片对角线折叠。步骤二：将正方形纸片对边中点相连的线折叠。步骤三：将正方形纸片相邻顶点相连的线折叠。第二题：已知数列{an}的前n项和为Sn，其中Sn=n^2+3n。求第10项a10的值。五、解答题（本大题有5小题，每小题6分，共30分）第一题：给定一个正方形和一个边长为4cm的等腰直角三角形，将这个等腰直角三角形放在正方形的顶点上，使得三角形的斜边与正方形的边重合。请计算正方形剩余部分的面积。第二题：已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足以下条件：数列{an}是等差数列，首项a1=3，公差d=2。数列{an}的任意连续三项之和等于其后三项之和。（1）求证：数列{an}是一个常数数列。（2）若数列{an}的前10项和为S10，求S10的值。第三题：已知正方形ABCD的边长为8cm，点E在BC边上，点F在CD边上，且BE=5cm，DF=6cm。求证：四边形AEFD是菱形。第四题：在下面的数阵中，每个数都是它所在行和列中所有数的和。请观察数阵的规律，并填写出数阵中缺失的数。12341357925811143712182749162536（1）请填写数阵中缺失的数。（2）观察数阵的规律，找出第n行第m列的数与第n行第1列的数、第m列第1列的数和第1行第1列的数之间的关系。第五题：观察以下数列，找出数列中隐藏的规律，并写出数列的下一项。数列：3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71请填写数列的下一项，并解释数列的规律。《8数学广角——数与形》试卷及答案一、选择题（本大题有6小题，每小题2分，共12分）1、数字“24”在数轴上表示的点到原点的距离是：A.2B.4C.6D.8答案：D解析：在数轴上，一个数到原点的距离等于该数的绝对值。因此，数字“24”到原点的距离是24，选项D正确。2、一个正方形的对角线长度为10厘米，那么这个正方形的面积是：A.50平方厘米B.100平方厘米C.25平方厘米D.20平方厘米答案：B解析：正方形的对角线与边长之间的关系可以通过勾股定理来计算。设正方形的边长为a，对角线长度为d，则有d^2=a^2+a^2。因此，d=a√2。已知对角线长度为10厘米，所以a√2=10，a=10/√2=5√2。正方形的面积是边长的平方，即(5√2)^2=25*2=50平方厘米。选项B正确。3、一个正方形的周长是16厘米，如果将这个正方形的边长分成10等份，那么从左下角顶点到右上角顶点的线段将这个正方形分成了多少个大小相等的小正方形？A.9B.10C.16D.25答案：A解析：正方形的周长是16厘米，因此每条边的长度是16厘米除以4，即4厘米。将边长分成10等份，每份的长度是4厘米除以10，即0.4厘米。从左下角到右上角的线段长度等于正方形的对角线长度，根据勾股定理，对角线长度为边长的√2倍，即4√2厘米。因为0.4厘米是正方形边长的1/10，而对角线是边长的√2倍，所以对角线可以被分成10等份，即10个小正方形。但是，由于对角线是从左下角到右上角，所以它实际上是从一个顶点穿过正方形中心到对角顶点，因此它将正方形分成了9个大小相等的小正方形。选项A正确。4、一个长方形的长是8厘米，宽是5厘米，如果将长方形的边长扩大到原来的2倍，那么长方形的面积将扩大多少倍？A.2倍B.4倍C.8倍D.16倍答案：B解析：原来长方形的面积是长乘以宽，即8厘米乘以5厘米，等于40平方厘米。将长和宽都扩大到原来的2倍，新的长是16厘米，新的宽是10厘米。新的面积是16厘米乘以10厘米，等于160平方厘米。面积从40平方厘米扩大到160平方厘米，扩大了160除以40，等于4倍。选项B正确。5、一个正方形的边长扩大到原来的2倍，它的周长扩大到原来的多少倍？A.2倍B.4倍C.8倍D.16倍答案：A解析：正方形的周长是其边长的4倍，当边长扩大到原来的2倍时，周长也会扩大到原来的2倍。所以，正确答案是A。6、一个长方形的长是6厘米，宽是3厘米，如果将长方形的长和宽都扩大到原来的2倍，那么长方形的面积扩大到原来的多少倍？A.2倍B.4倍C.6倍D.12倍答案：B解析：长方形的面积是其长和宽的乘积。当长和宽都扩大到原来的2倍时，面积将扩大到原来的2×二、多选题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）1、观察下列图形，下列说法正确的是：A.图形①是由一个正方形和一个直角三角形组成的B.图形②是由两个相同的直角三角形拼成的C.图形③是由三个相同的直角三角形拼成的D.图形④是由一个正方形和两个相同的直角三角形拼成的答案：ABD解析：通过观察，图形①确实由一个正方形和一个直角三角形组成，图形②由两个相同的直角三角形拼成，图形④由一个正方形和两个相同的直角三角形拼成。图形③并不是由三个相同的直角三角形拼成的，而是由一个直角三角形和一个梯形组成，因此选项C是错误的。2、一个长方形的长是8厘米，宽是5厘米，将其切割成几个相同的小正方形后，下列哪个说法是正确的？A.可以切割成16个小正方形B.可以切割成25个小正方形C.可以切割成20个小正方形D.可以切割成10个小正方形答案：AD解析：长方形的面积是长乘以宽，即8厘米×5厘米=40平方厘米。要切割成小正方形，每个小正方形的面积应该是长方形面积的一个因数。40的因数有1,2,4,5,8,10,20,40。因此，可以将长方形切割成10个边长为4厘米的小正方形（因为10×4平方厘米=40平方厘米），或者切割成20个边长为2厘米的小正方形（因为20×2平方厘米=40平方厘米）。选项B和C提到的25个小正方形和20个小正方形是不可能的，因为40不能被25整除，且20个小正方形的边长应该是2厘米，而不是5厘米。因此，正确答案是AD。3、在正方形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，连接EF、FG、GH、HE，下列结论正确的是：A.四边形EFGH是正方形B.四边形EFGH是菱形C.四边形EFGH是矩形D.四边形EFGH是平行四边形答案：B、C、D解析：因为E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，所以EF=FG=GH=HE（正方形的对边相等）。又因为EF平行于CD，GH平行于CD，所以EF平行于GH。同理，FG平行于HE。由此可知，四边形EFGH的对边平行且相等，因此四边形EFGH是菱形。同时，因为正方形的邻边垂直，所以EF垂直于FG，FG垂直于GH，GH垂直于HE，HE垂直于EF，因此四边形EFGH也是矩形。所以选项B、C、D都是正确的。4、下列数列中，哪一组数能构成等差数列？A.3，6，9，12B.2，4，8，16C.5，10，15，20D.7，11，15，19答案：A、C解析：等差数列的定义是相邻两项的差相等。在选项A中，6-3=3，9-6=3，12-9=3，所以选项A是一个等差数列，公差为3。在选项B中，4-2=2，8-4=4，16-8=8，相邻两项的差不相等，所以选项B不是等差数列。在选项C中，10-5=5，15-10=5，20-15=5，所以选项C是一个等差数列，公差为5。在选项D中，11-7=4，15-11=4，19-15=4，相邻两项的差相等，所以选项D也是一个等差数列，公差为4。因此，选项A和C都能构成等差数列。5、一个长方形的长是8cm，宽是5cm，按照下面的方法裁剪这个长方形：（1）先沿着长边裁剪出4个宽为1cm的小长方形；（2）再沿着宽边裁剪出3个长为2cm的小长方形；（3）最后，从裁剪后剩下的长方形中裁剪出5个宽为0.5cm的小长方形。问：最后裁剪出的小长方形的总面积是多少平方厘米？A.7.5cm²B.10cm²C.15cm²D.20cm²答案：A,B解析：根据题意，首先裁剪出的4个小长方形总面积为4*1cm*5cm=20cm²。接着裁剪出的3个小长方形总面积为3*2cm*1cm=6cm²。最后裁剪出的5个小长方形总面积为5*0.5cm*2cm=5cm²。将这三个面积相加，得到总面积为20cm²+6cm²+5cm²=31cm²。然而，这超过了原长方形的面积（8cm*5cm=40cm²），因此必须检查是否有错误。实际上，由于裁剪过程中会有重叠，所以实际总面积应该是原长方形面积减去重叠部分。由于题目没有明确指出重叠部分，我们可以假设每个小长方形都是独立裁剪的，因此可以忽略重叠部分。因此，正确答案应该是A和B。6、一个正方体木块，每个面的面积都是16平方厘米。问：这个正方体的体积是多少立方厘米？A.64cm³B.128cm³C.256cm³D.512cm³答案：A解析：由于正方体的每个面都是正方形，且面积是16平方厘米，可以求出边长。设正方形的边长为a，那么a²=16cm²，所以a=4cm。正方体的体积V等于边长的三次方，即V=a³=4cm*4cm*4cm=64cm³。因此，正确答案是A。三、计算题（本大题有4小题，每小题5分，共20分）第一题：小明有一块正方形的土地，每边长为5米。他计划在土地上种植矩形的花坛，使得花坛的长是正方形边长的2倍，宽是正方形边长的一半。请计算这个矩形花坛的面积。答案：25平方米解析：根据题目描述，矩形花坛的长是正方形边长的2倍，即长=5米×2=10米。同样，矩形花坛的宽是正方形边长的一半，即宽=5米÷2=2.5米。矩形的面积计算公式为：面积=长×宽。将长和宽的值代入公式，得到面积=10米×2.5米=25平方米。因此，矩形花坛的面积是25平方米。第二题：已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=n(n+1)/2，an=Sn-Sn-1。（1）求第6项an；（2）求数列{an}的前10项和T10。答案：（1）第6项an=21；（2）前10项和T10=385。解析：（1）首先，根据题目中给出的an的定义，我们可以得出：an=Sn-Sn-1=[n(n+1)/2]-[(n-1)n/2]=n(n+1)/2-n(n-1)/2=n。所以，第6项an=6。（2）由于我们已经知道an=n，因此前10项和T10就是前10个自然数的和，即：T10=1+2+3+…+10=(10*(10+1))/2=(10*11)/2=55。但是，这里有一个错误。根据题目中给出的Sn的公式，我们应该用Sn的公式来计算前10项和T10：T10=S10-S0=[10(10+1)/2]-[0(0+1)/2]=(10*11)/2-0=55。所以，正确的前10项和T10应该是55。然而，题目中给出的答案是385，这表明可能存在题目的要求或者答案的设定与常规不同。如果按照题目中的要求，我们需要重新审视题目条件或答案。假设题目要求的是数列{an}的前10项和，那么我们按照Sn的公式来计算：T10=S10=10(10+1)/2=10*11/2=55。这显然与题目给出的答案385不符。如果这是正确的题目和答案，那么可能需要对题目条件或答案进行进一步的澄清。如果按照常规计算，前10项和应为55。第三题：已知一个正方形和一个长方形，它们的周长都是16厘米。设正方形的边长为a厘米，长方形的长为b厘米，宽为c厘米。求证：无论长方形的长和宽如何变化，正方形的边长总是长方形的面积的一半。（1）写出正方形和长方形的周长公式。（2）根据题目条件，列出正方形和长方形周长的方程。（3）求解方程，得出正方形的边长a。（4）计算长方形的面积，并验证正方形的边长a是否总是长方形面积的一半。答案：（1）正方形的周长公式为：C=4a，长方形的周长公式为：C=2b+2c。（2）根据题目条件，列出方程：4a=16（正方形周长）2b+2c=16（长方形周长）（3）求解方程得出正方形的边长a：a=16/4a=4厘米（4）计算长方形的面积，并验证正方形的边长a是否总是长方形面积的一半：长方形面积S=b*c由于a=4，所以长方形面积的一半为S/2=(b*c)/2根据长方形周长公式，可得b+c=16/2=8设b=5，则c=3，长方形面积为S=5*3=15长方形面积的一半为S/2=15/2=7.5验证：a=4厘米，S/2=7.5厘米²，a确实是长方形面积的一半。解析：通过列方程求解正方形的边长a，然后计算长方形的面积，验证正方形的边长a总是长方形面积的一半。本题考查了正方形和长方形的周长和面积的计算，以及数形结合的思想。第四题：已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=3n^2+2n。求第10项an的值。答案：a10=300解析：由题意可知，数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=3n^2+2n。根据数列的前n项和的通项公式，可得：an=Sn-Sn-1代入Sn=3n^2+2n，得：an=(3n^2+2n)-[3(n-1)^2+2(n-1)]展开化简，得：an=(3n^2+2n)-[3(n^2-2n+1)+2n-2]=3n^2+2n-3n^2+6n-3-2n+2=6n-1将n=10代入，得：a10=6×10-1=60-1=300所以第10项an的值为300。四、操作题（本大题有2小题，每小题7分，共14分）第一题：小明发现一个有趣的规律：将正方形纸片折叠，使对边重合，可以得到不同的图形。请画出以下步骤中得到的图形，并判断它们分别是什么形状。步骤一：将正方形纸片对角线折叠。步骤二：将正方形纸片对边中点相连的线折叠。步骤三：将正方形纸片相邻顶点相连的线折叠。答案：步骤一得到的图形是菱形，步骤二得到的图形是矩形，步骤三得到的图形是三角形。解析：步骤一中，正方形纸片的对角线折叠后，两个对角线所对的角相等，因此得到的图形是菱形。步骤二中，正方形纸片对边中点相连的线折叠后，两对相对边平行且等长，因此得到的图形是矩形。步骤三中，正方形纸片相邻顶点相连的线折叠后，两对相对边垂直，因此得到的图形是三角形。第二题：已知数列{an}的前n项和为Sn，其中Sn=n^2+3n。求第10项a10的值。答案：a10=112解析：根据题意，我们有数列{an}的前n项和公式为Sn=n^2+3n。数列的第n项an可以表示为前n项和减去前n-1项和，即：an=Sn-S(n-1)对于第10项a10，我们可以代入n=10和n=9来计算：S10=10^2+310=100+30=130S9=9^2+39=81+27=108因此，a10=S10-S9=130-108=22但是，这里给出的答案是a10=112，这可能是题目中的数列定义有误或者题目有其他隐藏条件。按照题目的原始公式计算，a10应该是22。如果题目中的公式是正确的，那么答案112可能是基于不同的数列定义或者题目有附加条件。在没有更多信息的情况下，我们按照公式计算出的答案是22。五、解答题（本大题有5小题，每小题6分，共30分）第一题：给定一个正方形和一个边长为4cm的等腰直角三角形，将这个等腰直角三角形放在正方形的顶点上，使得三角形的斜边与正方形的边重合。请计算正方形剩余部分的面积。答案：8cm²解析：正方形的面积是边长的平方，所以正方形的面积是4cm×4cm=16cm²。等腰直角三角形的斜边长度是边长的√2倍，所以斜边长度是4cm×√2。当将等腰直角三角形的斜边与正方形的边重合时，它会覆盖正方形的一半面积。因为等腰直角三角形的斜边长度是正方形边长的√2倍，所以它覆盖的面积是正方形面积的(1/2)×(√2/2)。计算覆盖的面积：16cm²×(1/2)×(√2/2)=8cm²。因此，正方形剩余部分的面积是16cm²-8cm²=8cm²。第二题：已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足以下条件：数列{an}是等差数列，首项a1=3，公差d=2。数列{an}的任意连续三项之和等于其后三项之和。（1）求证：数列{an}是一个常数数列。（2）若数列{an}的前10项和为S10，求S10的值。答案：（1）证明：由等差数列的定义，可得an=a1+(n-1)d=3+2(n-1)=2n+1。根据题意，对于任意n，有：a1+a2+a3=a4+a5+a6，即3+5+7=(2*4+1)+(2*5+1)+(2*6+1)。化简得：15=9+11+13。由此可以看出，对于任意n，数列{an}的任意连续三项之和等于其后三项之和，这意味着数列中的每一项都相同。因此，数列{an}是一个常数数列，即an=7（对于所有的n）。（2）解答：由（1）知，数列{an}是一个常数数列，每一项都是7。所以，数列{an}的前10项和S10为：S10=10*7=70。解析：（1）通过将数列{an}的定义代入题设条件，证明了数列中的每一项都相同，从而得出数列是一个常数数列。（2）利用数列{an}是常数数列的性质，直接计算前10项的和，得到S10=70。第三题：已知正方形ABCD的边长为8cm，点E在BC边上，点F在CD边上，且BE=5cm，DF=6cm。求证：四边形AEFD是菱形。答案：证明：在正方形ABCD中，由于AB=BC=CD=DA=8cm，所以∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°。因为BE=5cm，DF=6cm，所以BE+DF=5+6=11cm。在三角形BEC中，由于BC=8cm，BE=5cm，所以EC=BC-BE=8-5=3cm。同理，在三角形CDF中，由于CD=8cm，DF=6cm，所以FC=CD-DF=8-6=2cm。因此，BE+EC=5+3=8cm，DF+FC=6+2=8cm。由此可知，BE+EC=DF+FC。根据三角形的性质，如果两边之和等于第三边，那么这两边所对的角是相等的。因此，∠AEB=∠DEF。同理，由于BE=EC，DF=FC，所以∠BEA=∠CDE，∠ABE=∠CDF。由此可知，四边形AEFD的相邻两边相等且对角