北师版八年级数学知识点及经典例题

北师版八年级数学知识点及经典例题八年级上册专题一勾股定理(已知两边求第三边)基础篇勾股定理：如右图，直角三角形的两直角边为a,b,斜边为c,则有a2+b2=c2。（一）．勾股定理证明：已知：在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。求证：a2＋b2=c2。分析：⑴准备多个三角形模型，最好是有颜色的吹塑纸，让学生拼摆不同的形状，利用面积相等进行证明。⑵拼成如图所示，其等量关系为：4S△+S小正=S大正解：由面积相等得4×ab＋（b－a）2=c2，化简可证a2+b2=c2（二）．勾股数：具有a2+b2=c2特性的正整数；例如：32+42=52所以3,4,5是勾股数.例1：在ABC中,∠C=90°，若a2+b2=c2,(1)若a=3，b=4,则c=__5_.(2)若a=6,c=10,则b=____8__.(3)若c=13，a：b=5:12，则a=__5_，b=__12_.例2：填入勾股数；（1）8、15、_17__；（2）3、4、__5___；（3）7、24、_25__；（4）6、8、_10__。自测题：1、在Rt△ABC，∠C=90°，a=8，b=15，则c=17。2、在Rt△ABC，∠C=90°，a=3，b=4，则c=5。3、在Rt△ABC，∠C=90°，c=10，a：b=3：4，则a=6，b=8。二．勾股定理逆定理:三角形的三边a,b,c满足a2+b2=c2,则这个三角形是直角三角形;较大边c所对的角是直角.三．互逆定理:如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它也是一个定理,这两个定理叫做互逆定理,其中一个叫做另一个的逆定理.例4：ADADC64491.已知:直角三角形的三边长分别是3,4,X,则X2=___7或25_____。2.在△ABC中，a2+b2=25，a2-b2=7，又c=5，则最大边上的高是___2.4_____．3.如右图，两个正方形的面积分别为64，49，则AC=17.ABC341312D4.如图，有一块地，已知，AD=4m，ABC341312DBC=12m。求这块地的面积。解：s=12×5÷2=30（m2）30-6=24（m2）DDABC5.如图在△ABC中，∠ACB=90º，CD⊥AB，D为垂足，AC=3cm,BC=4cm.求①△ABC的面积；②斜边AB的长；③斜边AB上的高CD的长。解：①s=4×3÷2=6（cm2）②AB=5cm③CD=2.4cm专题二勾股定理(方程思想解答折叠问题)方程思想：直角三角形中，当无法已知两边求第三边时，应采用间接求法：灵活地寻找题中的等量关系，利用勾股定理列方程。A例1：如右图,铁路上A、B两点相距25km,C、D为两村庄,DA垂直AB于A，CB垂直AB于B，已知AD=15km，BC=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C、D两村到E站的距离相等，则E站建在距A站多少千米处？A解：设AE=x,则EB=(25-X)由CE2=EB2+BC2得CE2=DE2=152+X2所以AE=10（KM）CDCDBE第8题图Ｄx6x8-x46例2：如右图，一块直角三角形的纸片，两直角边AC=6㎝，BC=8㎝。现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长．解：设CD=X,方程为X2+42=（8-x)2X=3cmAABCDEF810106X8-X48-X例3：折叠矩形ABCD的一边AD,点D落在BC边上的点F处,已知AB=8CM,BC=10CM,求.CF和EC的长.解：设EC=X,方程为（8-x)2=X2+42X=3cm所以FC=4cmEC=3cmBA15BA155C例1：如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B离点C5cm,一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，1０２０1０２０解：如下图分析所示第一个图形的值为152+202=252所以最短距离为25cm101020B5B51020ACEFE1020ACFAECB2015105例2：如图,一圆柱高8cm,底面半径2cm,一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食,要爬行的最短路程(∏取3）是(B)A.20cmB.10cmC.14cmD.无法确定BBB8OA2蛋糕AC８周长的一半６专题四实数分类题一．实数的分类（按定义分类）例如：1，2，3万，200%例如：5.2，20%，例如：，例如：1，2，3万，200%例如：5.2，20%，例如：，π例如：-1，-2，-3万，-200%例如：-5.2，-20%，例如：-，-π（按正负分类）----2．相反数：互为相反数 ；0的相反数是0；3．绝对值：03．绝对值：04．倒数：互为倒数 没有倒数.例1：把下列各数分别填入相应的集合里：有理数集合：｛，，，，｝；无理数集合：｛，，｝；负实数集合：｛，，｝；自测题：1.在，，，，，0，，中，其中：整数有；无理数有；有理数有。例2：的相反数是；绝对值是。例3：如图，数轴上与1，对应的点分别为A、B，点B关于A点的对称点为C，设点C表示的数为，求∣-∣+的值。CAB01解：1-x=得x=1-+1X=2-所以：∣-∣+=例4：.已知，、互为相反数，、互为倒数，m的绝对值等于1，求的值。解：由题意知a+b=0cd=1m=±1当m=-1时，有=-2当m=1时，有=0专题五实数（平方根）一．定义：±.性质：1.一个正数有两个平方根，且它们互为相反数；例如：9的平方根是±32.0的平方根是0；3.负数没有平方根。4.正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记着。例如：4的平方根是+25.()2=a(a≥0)6.=66.=6．绝对值：0例1：填空题(1)的平方根是_________；(2)(－)2的算术平方根是_________；(3)一个正数的平方根是2a－1与－a+2，则a=_________，这个正数是_________；(4)的算术平方根是_________；(5)9－2的算术平方根是_________；(6)的值等于_________，的平方根为_________；(7)(－4)2的平方根是_________，算术平方根是_________.答案：(1)±(2)(3)－19(4)(5)(6)2±(7)±44例2：已知（1-2a)2+=0,求ab的值。解：由题意知a=，b=2所以ab=×2=1学会分析在哪两个数的范围之内。例3：确定的值在哪两个整数之间。解：因为9〈13〈16所以〈〈即：3〈〈4例4：求下列各式中的X(1)9X2=25(2)(X+3)2-16=0解：x2=解：(X+3)2=16X=±x+3=±4当x+3=4时解x=1当x+3=-4时解x=-7提高篇：一个数X的平方根是2a-3与5-a，求a的值和这个数。解得：（2a-3）=-（5-a）所以a=-2，这个数是49.若4，=2，且ab〉0，则a-b=0若5x+4的平方根是±1，则x=-△ABC的三边长为a，b，c，且a，b满足+b2-4b+4=0求c的取值范围。解：因为+（b-2)2=0所以a=1，b=2〈而C〈解之得1〈C〈3〈已知（a+b+2）（a+b-2）=45，求a+b的算术平方根。解：（a+b）2-4=45（a+b）2=49所以a+b的算术平方根为9专题六实数（立方根）定义：.性质：1.正数有一个正的立方根。例如：2.负数有一个负的立方根。例如：3.0的立方根就是0本身。例如：例1：求下列各式的值：(1)(2)；；(3)；(4)；答案：(1)10(2)(3)(4)1例2：已知X-2的平方根是±2,2X+Y+7的立方根是3，求X2+Y2的平方根。解：X-2=4X=62X+Y+7=27Y=8所以X2+Y2=100,即求100的平方根为±10.例3：求下列各式中的X解：8x3=-27解：（x-3)3=27x-3=3X=x=6提高篇例4：(1)的立方根是2。(2)的平方根是±2。(3)的平方根是。（4）（4)2的算术平方根是4。（5）的倒数是。（6）的相反数是。例5：已知，求解：x=64y=5z=3所以例6：设x、y是有理数，并且满足等式，求2x+y的值。解：由题意知所以2x+y的值为7或-13专题七实数（无理数计算）解题模板：（1）（2）（3）（4）(5)(6)基础题：例1：化简求值。（2）（3）（5）（6）例2：化简求值。2=（2）（3）（4）专题八图形的平移与旋转（平移、旋转和轴对称）1、平移（1）平移的概念：在平面内，将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做平移。（2）平移的性质：a、平移不改变图形的形状和大小，改变的是图形的位置。b、对应点之间所连的线段平行且相等。c、对应线段平行且相等，对应角相等。（3）平移的作图a、平移2个要素：方向，距离b、关键是找对应点，方法可以利用对应点之间所连的线段平行且相等；也可利用对应线段平行且相等。2、旋转（1）旋转的概念：在平面内，将一个图形绕某个点（指旋转中心）沿某个方向（顺时针或逆时针）转动一定的角度，这样的图形运动叫做旋转。（2）旋转的性质：a、旋转也不改变图形的形状和大小，改变的是图形的位置。b、对应线段相等、对应角相等。c、对应点与旋转中心的连线所成的角叫旋转角。旋转角相等。（3）旋转的作图a、旋转的3个要素：旋转中心、旋转方向、旋转角度。b、关键也是找对应点，紧扣旋转角相等和对应线段相等这一性质。3、常见的图形变换方式：平移，旋转，对称（或折叠）常考题型：1、下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）答案：B如图，以点为为旋转中心，将按顺时针方向旋转，得到．若，则=度．3、正方形ABCD在坐标系中的位置如图所示，将正方形ABCD绕D点顺时针方向旋转后，B点的坐标为（）A．B．C．D．【关键词】坐标和旋转变换【答案】D4、（2010年山东省济南市）如图，ΔABC与ΔA’B’C’关于直线l对称，则∠B的度数为（）A．50°B．30°C．100°D．90°【关键词】轴对称【答案】CABCDE5、如右图，∠A=90°，BD是△ABC的角平分线，DE是BC的垂直平分线，求∠ABCDE．O（1）作出“三角旗”绕O点按逆时针旋转90°后的图案．（2）作出四边形ABCD关于x、y轴的对称图形。．O7、如右图，等腰三角形的一个角是80°，则它的底角是（）A、50°或80°B、80°C、50°D、20°或80°ABCDE8、如右图，在△ABC中，∠ACB=100°，AC=AE，BC=BDABCDEA．20°B．25°C．30°D．40°9.如右图，中，，，垂直平分，则的度数为（）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．专题九四边形性质探索一、四边形的相关概念1、四边形在同一平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫做四边形。2、四边形具有不稳定性3、四边形的内角和定理及外角和定理四边形的内角和定理：四边形的内角和等于360°。四边形的外角和定理：四边形的外角和等于360°。推论：多边形的内角和定理：n边形的内角和等于180°；多边形的外角和定理：任意多边形的外角和等于360°。4、设多边形的边数为n，则多边形的对角线共有条。从n边形的一个顶点出发能引（n-3）条对角线，将n边形分成（n-2）个三角形。二、平行四边形1、平行四边形的定义两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。2、平行四边形的性质（1）平行四边形的对边平行且相等。（2）平行四边形相邻的角互补，对角相等（3）平行四边形的对角线互相平分。（4）平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点。常用点：（1）若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段的中点是对角线的交点，并且这条直线二等分此平行四边形的面积。（2）推论：夹在两条平行线间的平行线段相等。3、平行四边形的判定（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形（2）定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形（3）定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形（4）定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形（5）定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形4、两条平行线的距离两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线的距离。平行线间的距离处处相等。5、平行四边形的面积S平行四边形=底边长×高=ah三、矩形1、矩形的定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。2、矩形的性质（1）矩形的对边平行且相等（2）矩形的四个角都是直角（3）矩形的对角线相等且互相平分（4）矩形既是中心对称图形又是轴对称图形；对称中心是对角线的交点（对称中心到矩形四个顶点的距离相等）；对称轴有两条，是对边中点连线所在的直线。3、矩形的判定（1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形（2）定理1：有三个角是直角的四边形是矩形（3）定理2：对角线相等的平行四边形是矩形4、矩形的面积S矩形=长×宽=ab四、菱形1、菱形的定义有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形2、菱形的性质（1）菱形的四条边相等，对边平行（2）菱形的相邻的角互补，对角相等（3）菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角（4）菱形既是中心对称图形又是轴对称图形；对称中心是对角线的交点（对称中心到菱形四条边的距离相等）；对称轴有两条，是对角线所在的直线。3、菱形的判定（1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形（2）定理1：四边都相等的四边形是菱形（3）定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形4、菱形的面积S菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半五、正方形1、正方形的定义有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。2、正方形的性质（1）正方形四条边都相等，对边平行（2）正方形的四个角都是直角（3）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角（4）正方形既是中心对称图形又是轴对称图形；对称中心是对角线的交点；对称轴有四条，是对角线所在的直线和对边中点连线所在的直线。3、正方形的判定判定一个四边形是正方形的主要依据是定义，途径有两种：先证它是矩形，再证它是菱形。先证它是菱形，再证它是矩形。4、正方形的面积设正方形边长为a，对角线长为bS正方形=六、梯形（一）1、梯形的相关概念一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形。梯形中平行的两边叫做梯形的底，通常把较短的底叫做上底，较长的底叫做下底。梯形中不平行的两边叫做梯形的腰。梯形的两底的距离叫做梯形的高。2、梯形的判定（1）定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形是梯形。（2）一组对边平行且不相等的四边形是梯形。（二）直角梯形的定义：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形。一般地，梯形的分类如下：一般梯形梯形直角梯形特殊梯形等腰梯形（三）等腰梯形1、等腰梯形的定义两腰相等的梯形叫做等腰梯形。2、等腰梯形的性质（1）等腰梯形的两腰相等，两底平行。（2）等腰梯形同一底上的两个角相等，同一腰上的两个角互补。（3）等腰梯形的对角线相等。（4）等腰梯形是轴对称图形，它只有一条对称轴，即两底的垂直平分线。3、等腰梯形的判定（1）定义：两腰相等的梯形是等腰梯形（2）定理：在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形（3）对角线相等的梯形是等腰梯形。（选择题和填空题可直接用）（四）梯形的面积（1）如图，（2）梯形中有关图形的面积：①；②；③七、中心对称图形1、定义在平面内，一个图形绕某个点旋转180°，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心。2、性质（1）关于中心对称的两个图形是全等形。（2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。（3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。3、判定如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称。常考题型：1.若一个多边形的内角和等于，则这个多边形的边数是（）A．5 B．6 C．7 D．82.在ABCD中，∠A：∠B：∠C=2：3：2，则∠D=（）（A）36°（B）108°（C）72°（D）60°3.平行四边形的周长为24cm，相邻两边长的比为3：1，那么这个平行四边形较短的边长为（）．（A）6cm（B）3cm（C）9cm（D）12cm4.已知菱形两个邻角的比是1∶5，高是8cm，则菱形的周长是（）A.16cm B.32cmC.64cm D.128cm5.已知菱形的周长为40cm，两对角线长的比是3∶4，则两对角线的长分别是（）A.6cm，8cm B.3cm，4cmC.12cm，16cmD.24cm，32cm6．菱形的面积为24cm2，一条对角线的长为6cm，则另一条对角线长为_____cm，边长为_____cm，高为_____cm.7．在ABCD中，若∠A+∠C=120°，则∠A=_______，∠B=_________．8．在ABCD中，AB=4cm，BC=6cm，则ABCD的周长为_______cm．9．已知O是ABCD的对角线交点，AC=24cm，BD=38cm，AD=28cm，则△AOD的周长是________．10．已知平行四边形的面积是144cm2，相邻两边上的高分别为8cm和9cm，则这个平行四边形的周长为________．11.一个菱形的两条对角线的长分别是6cm，8cm，则这个菱形的面积等于＿＿。12.菱形的一个内角为120°，较短的对角线长为10cm，那么菱形的周长为＿＿＿cm。13.在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，M是AB的中点，且OM＝4cm，则菱形的周长为＿＿＿。14.中心对称图形的对应点连线经过，并且被平分。15.如右图，把矩形沿对折后使两部分重合，若，则=（）A．110°B．115°C．120°D．130°16.在□ABCD中，E、F分别在DC、AB上，且DE=BF，求证：四边形AFCE是平行四边形。17.如右图，在□ABCD中，E、F分别是BC、AD上的点，且AE∥CF，AE与CF相等吗？说明理由.18.如右图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC，CE∥DB，DE、CE交于E，求证：四边形DOCE是菱形．19.已知：如图，在△ABC中，中线BE，CD交于点O，F，G分别是OB，OC的中点．求证：四边形DFGE是平行四边形．专题十位置的确定一、在平面内，确定物体的位置一般需要两个数据。二、平面直角坐标系及有关概念1、平面直角坐标系在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴，组成平面直角坐标系。其中，水平的数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方向；x轴和y轴统称坐标轴。它们的公共原点O称为直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。2、为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x轴和y轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。注意：x轴和y轴上的点（坐标轴上的点），不属于任何一个象限。3、点的坐标的概念对于平面内任意一点P,过点P分别x轴、y轴向作垂线，垂足在上x轴、y轴对应的数a，b分别叫做点P的横坐标、纵坐标，有序数对（a，b）叫做点P的坐标。点的坐标用（a，b）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对，当时，（a，b）和（b，a）是两个不同点的坐标。平面内点的与有序实数对是一一对应的。4、不同位置的点的坐标的特征平面直角坐标系把平面分成四个象限。从右上角开始按逆时针方向，依次为：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限。（1）、各象限内点的坐标的特征点P(x,y)在第一象限点P(x,y)在第二象限点P(x,y)在第三象限点P(x,y)在第四象限（2）、坐标轴上的点的特征点P(x,y)在x轴上，x为任意实数注意:坐标轴上的点不属于任何象限。点P(x,y)在y轴上注意:坐标轴上的点不属于任何象限。点P(x,y)既在x轴上，又在y轴上x，y同时为零，即点P坐标为（0，0）即原点（3）、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线（直线y=x）上x与y相等点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上x与y互为相反数（4）、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同。位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同。（5）、关于x轴、y轴或原点对称的点的坐标的特征点P与点p’关于x轴对称横坐标相等，纵坐标互为相反数，即点P（x，y）关于x轴的对称点为P’（x，-y）点P与点p’关于y轴对称纵坐标相等，横坐标互为相反数，即点P（x，y）关于y轴的对称点为P’（-x，y）点P与点p’关于原点对称横、纵坐标均互为相反数，即点P（x，y）关于原点的对称点为P’（-x，-y）(6)、点到坐标轴及原点的距离点P(x,y)到坐标轴及原点的距离：（1）点P(x,y)到x轴的距离等于（2）点P(x,y)到y轴的距离等于（3）点P(x,y)到原点的距离等于三、坐标变化与图形变化的规律：坐标（x，y）的变化图形的变化x×a或y×a被横向或纵向拉长（压缩）为原来的a倍x×a，y×a放大（缩小）为原来的a倍x×（-1）或y×（-1）关于y轴或x轴对称x×（-1），y×（-1）关于原点成中心对称x+a或y+a沿x轴或y轴平移a个单位x+a，y+a沿x轴平移a个单位，再沿y轴平移a个单常考题型：已知点，它到x轴的距离是__________，它到y轴的距离是__________，它到原点的距离是_____________.若点与关于y轴对称，则x=_______，y=________.若点在x轴上，则点M的坐标为_____________.已知点且AB∥x轴，若AB=4，则点B的坐标为___________.在平面直角坐标系中，点原点在第________象限.已知□ABCD的对角线AC与BD相交于坐标原点O，若点A的坐标为，则点C的坐标为（）A. B. C. D.平面直角坐标系中，一个四边形各顶点坐标分别为，，，，则四边形ABCD的形状是（）梯形 B.平行四边形 C.正方形 D.无法确定若，且，则点在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限9.如图,在所给的直角坐标系中,作出点A(2,-3),B(3,-5),C(0,-3),D(-2,-4)的点,并答出点P、G、M的坐标.10.已知平面上A（4,6），B（0,2），C（6,0）,求△ABC的面积。11.如图，已知ABCD是平行四边形，△DCE是等边三角形，A（﹣，0），B（3，0），D（0，3），求E点的坐标．专题十一函数一、函数：一般地，在某一变化过程中有两个变量x与y，如果给定一个x值，相应地就确定了一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量。二、自变量取值范围使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。一般从整式（取全体实数），分式（分母不为0）、二次根式（被开方数为非负数）、实际意义几方面考虑。三、函数的三种表示法及其优缺点（1）关系式（解析）法两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做关系式（解析）法。（2）列表法把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。（3）图象法用图象表示函数关系的方法叫做图象法。四、由函数关系式画其图像的一般步骤（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。五、正比例函数和一次函数1、正比例函数和一次函数的概念一般地，若两个变量x，y间的关系可以表示成（k，b为常数，k0）的形式，则称y是x的一次函数（x为自变量，y为因变量）。特别地，当一次函数中的b=0时（即）（k为常数，k0），称y是x的正比例函数。2、一次函数的图像:所有一次函数的图像都是一条直线3、一次函数、正比例函数图像的主要特征：一次函数的图像是经过点（0，b）的直线；正比例函数的图像是经过原点（0，0）的直线。k的符号b的符号函数图像图像特征k>0b>0y0x图像经过一、二、三象限，y随x的增大而增大。b<0y0x图像经过一、三、四象限，y随x的增大而增大。K<0b>0y0x图像经过一、二、四象限，y随x的增大而减小b<0y0x图像经过二、三、四象限，y随x的增大而减小。注：当b=0时，一次函数变为正比例函数，正比例函数是一次函数的特例。4、正比例函数的性质一般地，正比例函数有下列性质：（1）当k>0时，图像经过第一、三象限，y随x的增大而增大；（2）当k<0时，图像经过第二、四象限，y随x的增大而减小。5、一次函数的性质一般地，一次函数有下列性质：（1）当k>0时，y随x的增大而增大（2）当k<0时，y随x的增大而减小6、正比例函数和一次函数解析式的确定确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式（k0）中的常数k。确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式（k0）中的常数k和b。解这类问题的一般方法是待定系数法。7、一次函数与一元一次方程的关系：任何一个一元一次方程都可转化为：kx+b=0（k、b为常数，k≠0）的形式．而一次函数解析式形式正是y=kx+b（k、b为常数，k≠0）．当函数值为0时，即kx+b=0就与一元一次方程完全相同．结论：由于任何一元一次方程都可转化为kx+b=0（k、b为常数，k≠0）的形式．所以解一元一次方程可以转化为：当一次函数值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，这相当于已知直线y=kx+b确定它与x轴交点的横坐标值．8、确定函数解析式一．根据直线的解析式和图像上一个点的坐标，确定函数的解析式例1、若函数y=3x+b经过点（2，-6），求函数的解析式。分析：因为，函数y=3x+b经过点（2，-6），所以，点的坐标一定满足函数的关系式，所以，只需把x=2，y=-6代入解析式中，就可以求出b的值。函数的解析式就确定出来了。解：因为，函数y=3x+b经过点（2，-6），所以，把x=2，y=-6代入解析式中，得：-6=3×2+b，解得：b=-12，所以，函数的解析式是：y=3x-12.二、根据直线经过两个点的坐标，确定函数的解析式例2、直线y=kx+b的图像经过A（3，4）和点B（2，7），求函数的表达式。分析：把点的坐标分别代入函数的表达式，用含k的代数式分别表示b，因为b是同一个，这样建立起一个关于k的一元一次方程，这样就可以把k的值求出来，然后，就转化成例1的问题了。解：因为，直线y=kx+b的图像经过A（3，4）和点B（2，7），所以，4=3k+b，7=2k+b，所以，b=4-3k，b=7-2k，所以，4-3k=7-2k，解得：k=-3，所以，函数变为：y=-3x+b，把x=3，y=4代入上式中，得：4=-3×3+b，解得：b=13，所以，一次函数的解析式为：y=-3x+13。三．根据直线的对称性，确定函数的解析式例3、已知直线y=kx+b与直线y=-3x+7关于y轴对称，求k、b的值。因为，y=kx+b，所以，x=，因为，y=-3x+7，所以，x=，因为，直线y=kx+b与直线y=-3x+7关于y轴对称，所以，两直线上点的坐标，都满足纵坐标相同，横坐标坐标互为相反数，所以，=-=，比较对应项，得：y-b=y-7，k=3，所以，k=3，b=7。常考题型：1.若y=(m－1)x是正比例函数，则m的值为（）A.1 B.－1 C.1或－1D.或－2.若一次函数y=(2－m)x+m的图象经过第一、二、四象限时，m的取值范围是________。3.若一次函数y=kx+b中，y随x的增大而减小，则（）A.k＜0,b＜0 B.k＜0,b＞0C.k＜0,b≠0 D.k＜0,b为任意数已知直线y=(5－3m)x+m－4与直线y=x+6平行，求此直线的解析式________。5.已知函数y=(m2+2m)x+(2m－3)是x的一次函数，则常数m的值为（）A.－2 B.1 C.－2或－1 D.2或－16.函数y=2x+1与y=－x+6的图象的交点坐标是（）A.(－1,－1) B.(2,5) C.(1,6) D.(－2,5)7.直线y=kx+2过点（-1，0），则k的值是 （）A．2B．-2C．-1D．18.把直线y＝eq\f(2,3)x＋1向上平移3个单位所得到的解析式为______________。9.(1)函数中，自变量x的取值范围是；(2)函数中，自变量x的取值范围是。10.已知一次函数的图象经过（3，5）和（－4，－9）两点．求这个一次函数的解析式；（2）若点（a，2）在这个函数图象上，求a的值．11.一次函数的图象过点M(3,2),N(－1,－6)两点.(1)求函数的表达式；(2)画出该函数的图象.12.如右图，直线与相交于点P，的函数表达式y=2x+3,点P的横坐标为-1,且交y轴于点A(0，－1)．求直线的函数表达式.13.如图，一次函数y=ax+b图象经过点（1，2）、点（－1，6）。求：（1）这个一次函数的解析式；（2）一次函数图象与两坐标轴围成的面积；14.有一种节能型轿车的油箱最多可装天燃气50升，加满燃气后，油箱中的剩余燃气量y（升）与轿车行驶路程x（千米）之间的关系如图所示，根据图象回答下列问题：（1）一箱天燃气可供轿车行驶多少千米？（2）轿车每行驶200千米消耗燃料多少升？（3）写出y与x之间的关系式；（0≤x≤1000）专题十二二元一次方程组一、二元一次方程：含有两个未知数，并且所含有的未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程。二元一次方程组：含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组。二元一次方程的一个解：适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。二元一次方程组的解：二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。二元一次方程组的解法：解二元一次方程组的基本思想是消去一个未知数转化成一元一次方程求解。二元一次方程组的解法有三种：(1)代入消元法；(2)加减消元法；(3)图象法．二、代入消元法：将其中一个方程中的某个未知数用只含另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，从而消去一个未知数，将二元一次方程组化为一元一次方程，这种解方程的方法叫做代入消元法，简称代入法。用代入法解二元一次方程组的步骤：1、求表达式：选取一个系数较为简单的方程进行变形，用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数。2、代入消元：将求得的表达式代入另一个方程，得到一个一元一次方程，求解该方程可得一个未知数的值。3、解这个一元一次方程。4、将求出的未知数的值代入变形后的方程，求出另一个未知数的值，从而得到方程组的解。三、加减消元法：使两个方程的某一未知数的系数绝对值相等，然后将两个方程相加或相减，消去其中此未知数，转化为一元一次方程，这种解方程的方法叫做加减消元法，简称加减法。用加减法解二元一次方程组的步骤：1、变换系数：将每个方程分别变形，用适当的数乘以方程的两边，使两个方程中某个未知数系数的绝对值相等。2、加减消元：把两个方程的左右两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程，求解可得一个未知数的值。3、代回求解：将求出的未知数的值代入任意一个方程中，求出另一个未知数的值，从而得到方程组的解。四、一次函数与二元一次方程（组）的关系：（1）一次函数与二元一次方程的关系：直线y=kx+b上任意一点的坐标都是它所对应的二元一次方程kx-y+b=0的解（2）一次函数与二元一次方程组的关系：二元一次方程组的解可看作两个一次函数和的图象的交点。当函数图象有交点时，说明相应的二元一次方程组有解；当函数图象（直线）平行即无交点时，说明相应的二元一次方程组无解。五、用图象法解二元一次方程组二元一次方程组的解就是对应的两个一次函数的图象的交点坐标，同样，两个一次函数图象的交点坐标，就是对应的二元一次方程组的解．因此，先把二元一次方程组中的两个方程化为y=klx+b1(k1≠O)和y=k2x+b2(k2≠O)的形式，然后画出图象，找到交点的坐标，该交点的坐标就是二元一次方程组的解。常考题型：1.已知方程2x+3y－4=0，用含x的代数式表示y为：y=_______；用含y的代数式表示x为：x=________．2．在二元一次方程－x+3y=2中，当x=4时，y=_______；当y=－1时，x=______．3．若x3m－3－2yn－1=5是二元一次方程，则m=_____，n=______．4．已知是方程x－ky=1的解，那么k=_______．5．已知│x－1│+（2y+1）2=0，且2x－ky=4，则k=_____．6.下列方程：（1）x=x-1;（2）=1;（3）m2-1=n;（4）5xy=7;（5）7x2+5y=2（6）11x=6y+5;其中是二元一次方程的有。7．图中两直线L1，L2的交点坐标可以看作方程组()的解．A．B.C．D.8．把方程x+1=4y+化为y=kx+b的形式，正确的是()A．y=x+1B．y=x+C．y=x+1D．y=x+9．若直线y=+n与y=mx-1相交于点(1，-2)，则()．A．m=，n=-B．m=，n=-1；C．m=-1，n=-D．m=-3，n=-10．直线y=x-6与直线y=-x-的交点坐标是()．A．(-8，-10)B．(0，-6)；C．(10，-1)D．以上答案均不对11.甲、乙两地相距360千米，一轮船往返于甲、乙两地之间，顺流用18小时，逆流用24小时，若设船在静水中的速度为x千米/时，水流速度为y千米/时，在下列方程组中正确的是（）A. B.C. D.12.已知5|x+y－3|+(x－y)2=0，则()A.x=1B.x=2C.x=0D.x=y=0y=2y=0y=13.已知代数式与是同类项，那么的值分别是()A． B． C． D．14.解下面的二元一次方程组(1)(2)(3)(4)(5)15.2008年北京奥运会，中国运动员获得金、银、铜牌共100枚，金牌数位列世界第一．其中金牌比银牌与铜牌之和多2枚，银牌比铜牌少7枚．问金、银、铜牌各多少枚？16.二元一次方程组的解x，y的值相等，求k．17.如图所示，求两直线的解析式及图像的交点坐标．18.如图，L1，L2分别表示一种白炽灯和一种节能灯的费用y(费用=灯的售价+电费，单位：元)与照明时间x(h)的函数图像，假设两种灯的使用寿命都是2000h，照明效果一样．(1)根据图像分别求出L1，L2的函数关系式．(2)当照明时间为多少时，两种灯的费用相等?(3)小亮房间计划照明2500h，他买了一个白炽灯和一个节能灯，请你帮他设计最省钱的用灯方法(直接给出答案，不必写出解答过程)．19.有一个两位数，个位数比十位数大5，如果把这两个数的位置对换，那么所得的新数与原数的和是143.求这个两位数.20.某校办工厂去年的总收入比总支出多50万元，今年的总收入比去年增加10%，总支出节约20%，因而总收入比总支出多100万元.求去年的总收入和总支出.21.甲、乙两人的年收入之比为5：4，年支出之比为3：2，一年后两人各余1500元，求这两个人的年收入。甲、乙两人在A地，丙在B地，他们三人同时出发，甲、乙与丙相向而行，甲每分走120米，乙每分走130米，丙每分走150米.已知丙遇上乙后，又过了5分钟遇到甲，求A、B两地的距离.专题十三数据的代表一、算术平均数：一般地，对于n个数xl，x2，…，xn我们把1/n（x1+x2+…+xn)叫做这n个数的算术平均数，简称平均数，记为二、加权平均数：在n个数据中，如果xl出现f1次，x2出现f2次，…，xk出现fk次（这里fl+f2+…+fk=n），那么这n个数据的平均数为=l/n(x1f1+x2f2+…+xkfk)就叫做这n个数据的加权平均数算术平均数是加权平均数的特殊情况。三、中位数：将一组数据按照大小顺序排列，若数据的个数是奇数，则最中间的那个数据就是该组数据的中位数；若数据的个数是偶数，则最中间两个数据的平均数就是该组数据的中位数.四、众数：一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数。五、平均数、中位数和众数的区别与联系：联系：平均数、中位数和众数都是数据的代表，它们能充分反映一组数据的“平均水平”．区别：(1)平均数反映一组数据的平均水平，与这组数据中的每个数据都有关，所以最为重要．平均数的优点是所有数据都参与运算，它能充分利用数据所提供的信息，在实际生活中经常利用，但易受极端值的影响。(2)中位数受极端值的影响较小，当一组数据的个别数据变动较大时，一般用它来描述集中趋势．中位数的优点是计算简单，不受极端值影响较小，缺点是不能充分利用数据所提供的信息。(3)众数只与数据出现的次数有关，不受个别数据影响，有时是我们最关心的．众数的优点是它是人们尤为关心的，它是一组数据中出现次数最多的一个数，缺点是当各个数据出现次数大致相等时，众数就没有什么意义了。常考题型：1.数据5、3、2、1、4的平均数是（）A.2B.5C.4D.32.某电视台举办的青年歌手电视大奖赛上，六位评委给3号选手的评分如下：90、96、91、96、95、94，这组数据的中位数是（）A.95B.94C.94.5D.963.某校四个科技兴趣小组在“科技活动周”上交的作品数分别如下：10、10、x、8，已知这组数据的众数与平均数相等，则这组数据的中位数是（）A.8B.9C.10D.124.某班一次语文测验的成绩如下：得100分的7人，90分的14，80分的17人，70分的8人，60分的2人，50分2人，这里80分是（）A.平均数B.是众数不是中位数C.是众数也是中位数D.是中位数不是众数5.某班30个同学的成绩如下：7656807871789079928381938486986175849073808684888190789289100。请计算这次考试全班分数的平均数、中位数和众数。随机抽取某城市一年（以365天计）中的30天的日平均气温状况统计如下：温度（℃）10141822263032天数3557622请根据上述数据回答下列问题：（1）估计该城市年平均气温大约是多少？（2）写出该数据的中位数、众数；（3）计算该城市一年中约有几天的日平均气温为26℃？（4）若日平均气温在17℃～23℃为市民“满意温度”，则这组数据中达到市民“满意温度”的有几天？八年级下册：一元一次不等式和一元一次不等式组一般地，用符号“＜”（或“≤”）,“＞”（或“≥”）连接的式子叫做不等式。能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解.不等式的解不唯一，把所有满足不等式的解集合在一起，构成不等式的解集.求不等式解集的过程叫解不等式.④由几个一元一次不等式组所组成的不等式组叫做一元一次不等式组.⑤不等式组的解集:一元一次不等式组各个不等式的解集的公共部分。等式基本性质1：在等式的两边都加上（或减去）同一个数或整式，所得的结果仍是等式.2：在等式的两边都乘以或除以同一个数（除数不为0），所得的结果仍是等式.不等式的基本性质性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变.（注：移项要变号，但不等号不变。）性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.不等式的基本性质<1>、若a>b,则a+c>b+c；<2>、若a>b,c>0则ac>bc若c<0,则ac<bc不等式的其他性质：反射性：若a>b,则b<a;传递性:若a>b,且b>c,则a>c 解不等式的步骤:1、去分母;2、去括号;3、移项合并同类项;YY（元）x（件）o44002003题图4、系数化为1。解不等式组的步骤:1、解出不等式的解集2、在同一数轴表示不等式的解集。常考题型：若代数式的值不小于-3，则t的取值范围是_________．2.；并把解集在数轴上表示出来.3.如图，反映的是某公司产品的销售收入与销售量的关系，反映的该公司产品的销售成本与销售量的关系，根据图象判断该公司盈利时销售量为（）(A)小于4件(B)等于4件(C)大于4件(D)大于或等于4件4.若>-1，则多项式的值为（）(A)正数(B)负数(C)非负数(D)非正数5.某超市从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该超市可以自行定价，但物价局限定每件商品加价不能超过售价的20%，则这批商品的售价不能超过____________元.：分解因式一、提公因式法：1、ma+mb+mc=m（a+b+c）公式法：2、a2－b2=（a+b）（a－b）3、a2±2ab+b2=（a±b）把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式。1、把几个整式的积化成一个多项式的形式，是乘法运算.2、把一个多项式化成几个整式的积的形式，是因式分解.3、ma+mb+mcm（a+b+c）4、因式分解与整式乘法是相反方向的变形。把多项式的各项都含有的相同因式，叫做这个多项式的各项的公因式.提公因式法分解因式就是把一个多项式化成单项式与多项式相乘的形式.找公因式的一般步骤：（1）若各项系数是整系数，取系数的最大公约数；（2）取相同的字母，字母的指数取较低的；（3）取相同的多项式，多项式的指数取较低的.（4）所有这些因式的乘积即为公因式.分解因式的一般步骤为:若有“-”先提取“-”，若多项式各项有公因式,则再提取公因式.若多项式各项没有公因式,则根据多项式特点,选用平方差公式或完全平方公式.（3）每一个多项式都要分解到不能再分解为止.五、形如a2+2ab+b2或a2－2ab+b2的式子称为完全平方式.分解因式的方法：1、提公因式法。2、运用公式法。常考题型：1．把多项式－8a2b3c＋16a2b2c2－24a3bc3分解因式，应提的公因式是()，A.－8a2bcB.2a2b2c3C.－4abcD.24a3b3c32.若是完全平方式，则的值是（）(A)-1(B)7(C)7或-1(D)5或1.3、分解因式；：分式1°对于任意一个分式，分母都不能为零.2°分式与整式不同的是：分式的分母中含有字母，整式的分母中不含字母.3°分式的值为零含两层意思：分母不等于零；分子等于零。（中B≠0时，分式有意义；分式中，当B=0分式无意义;当A=0且B≠0时，分式的值为零。）常考知识点：1、分式的意义,分式的化简。2、分式的加减乘除运算。3、分式方程的解法及其利用分式方程解应用题。常考题型：1.若分式的值为零，则x等于（）A.2B.-2C.D.02.若分式的值为正数，则x应满足的条件是___________________________.3.解关于x的方程产生增根，则常数的值等于（）(A)-1(B)-2(C)1(D)24.若4x-3y=0，则=___________.5.解分式方程：：相似图形一、定义如果a与b的比值和c与d的比值相等，那么=或a∶b=c∶d,这时组成比例的四个数a,b,c,d叫做比例的项，两端的两项叫做外项，中间的两项叫做内项.即a、d为外项，c、b为内项.如果选用同一个长度单位量得两条线段AB、CD的长度分别是m、n，那么就说这两条线段的比（ratio）AB∶CD=m∶n，或写成=，其中，线段AB、CD分别叫做这两个线段比的前项和后项.如果把表示成比值k，则=k或AB=k•CD如果四条线段a,b,c,d中，如果a与b的比等于c与d的比，即,那么这四条线段a,b,c,d叫做成比例线段，简称比例线段.黄金分割的定义：在线段AB上，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果=,那么称线段AB被点C黄金分割（goldensection）,点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比.其中≈0.618.引理：平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例.相似多边形：对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形.相似比：相似多边形对应边的比叫做相似比二、比例的基本性质：1、若ad=bc（a,b,c,d都不等于0），那么=.如果=（b,d都不为0），那么ad=bc.2、合比性质：如果=,那么=。3、等比性质：如果==…=（b+