高中数学三角函数教材分析与教学建议

人教A版高中数学新课标教材

必修一第5章

三角函数

教材分析与教学建议一、本章教材在整册教材及高中数学教学中的地位与作用（一）课程标准指出，三角函数是一类最典型的周期函数。本单元的学习，可以帮助学生在用锐角三角函数刻画直角三角形中边角关系的基础上，借助单位圆建立一般三角函数的概念，体会引入弧度制的必要性；用几何直观和代数运算的方法研究三角函数的周期性、奇偶性（对称性）、单调性和最大（小）值等性质；探索和研究三角函数之间的一些恒等关系；利用三角函数构建数学模型，解决实际问题。从而重点在数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算和数学建模等素养上得到提升。（二）课程内容与要求

1.角与弧度了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性。2.三角函数概念和性质①借助单位圆理解三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，能画出这些三角函数的图象，了解三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最大（小）值。借助单位圆的对称性，利用定义推导出诱导公式（，的正弦、余弦、正切）。②借助图象理解正弦函数、余弦函数在上，正切函数在上的性质。③结合具体实例，了解的实际意义；能借助图象理解参数，，的意义，了解参数的变化对函数图象的影响。3.同角三角函数的基本关系式理解同角三角函数的基本关系式：，.4.三角恒等变换①经历推导两角差余弦公式的过程，知道两角差余弦公式的意义。②能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系。③能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆）。5.三角函数应用会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型。三、本章教材与原教材相应内容的主要区别和联系新教材与原教材相比，有了翻天覆地的变化。新教材提倡主题单元的形式来展开教学，并重新整合了教学内容，整体上看，章节位置变化。新旧教材对三角函数这一内容编排顺序有明显的不同。从章节上看，新教材把“三角函数”和“三角恒等变换”纳入同一章节，注重三角函数内容的整体性，实现了三角函数知识系统的上下连通。旧教材在“任意角三角函数”这一节中专门描述讲了三角函数线，新教材中把三角函数线都删了。舍弃三角函数线直接借助单位圆模型，利用任意角三角函数的定义不仅能够更直观的获得三角函数的相关性质，比如，周期性、单调性、奇偶性等，还能画出三角函数图象。因此，新教材的内容编排更符合学生的认知。此外，在“函数的图象”一节中专门增加了“匀速圆周运动的数学模型”。教学内容先后顺序的调整，旧教材中“函数的图象”在前，“三角恒等变换”在后，新教材把这两者的顺序做了调整：先学“三角恒等变换”，再教“函数的图象”。这个调整遵循了函数编写的基本思路：背景——概念——图象与性质——应用，学生有了三角恒等变换的初步知识之后再进行函数的教学是有好处的，有助于学生从数（三角恒等变换）和形（图象）两个角度理解图象变换和相关性质。5.1任意角与弧度制内容的变化

（1）在第一节“任意角和弧度制”中，引入任意角的方式发生了很大的变化.新教材借助圆周运动这一周期性变化现象，在圆O中给出角的定义的同时，用角的终边与圆的交点来刻画点P的位置，进而说明要扩大角的范围.这样做的好处在于一是衔接自然，让学生更容易理解什么叫任意角；二是为后面第二节三角函数的概念做好了铺垫。（2）新教材增加了“两个角相等、相反角和角的加减法运算”内容。在说明了角的范围扩展到任意角之后，自然而然角的运算意义也随之得到扩展.初中学过角的和、差和倍角，可以不考虑方向，两角差也只能是“大角减小角”。角的范围扩充后，不仅可以“小角减大角”，而且两角和也被赋予了全新的意义。同时，明确了两个任意角的差，实际上为后面两角差的余弦公式做好了铺垫。（3）“弧度制”这一节的内容设计也发生了巨大变化。原教材中弧度制概念是直接给出的，教材直接规定:把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度。但新教材则从学生初中学习过的弧长公式出发，变形得到，引导学生发现弧长与半径的比值与角度呈一一对应关系，从学生的最近发展区自然地引出概念，这种前后关联的知识呈现方式更符合学生的认知规律，也让新知识有了固着点和生长点。5.2三角函数的概念内容的变化

原教材是从锐角三角函数引入的，原教材试图通过将锐角三角形先放入到单位圆中，再推广到任意角的三角函数，这样使得不少学生误认为“任意角三角函数是锐角三角函数的推广”。锐角三角函数从本质上来说是一种边长的比值，它适用于刻画锐角三角形中的边角关系，因此锐角三角函数不能称为真正意义上的三角函数。也就是说，锐角三角函数和任意角的三角函数其实是两种完全不同的定义方式，正是二者的这个差异，导致从锐角三角函数概念推广到任意角的三角函数概念的过程是极不自然的。虽然，原教材最后利用单位圆来定义任意角三角函数，但还是借助锐角三角函数的概念，并且没有对单位圆可以定义任意角三角函数的合理性、科学性做出明确的表述。由于受到锐角三角函数的影响，一些学生对三角函数值出现负数的情况不能理解，在求特殊角三角函数值时还是要作直角三角形。为此，新教材直接利用质点的匀速圆周运动来构建任意角三角函数模型。如图：单位圆O上的点P以A为起点做逆时针方向旋转，建立一个数学模型，刻画点P的位置变化情况。引导学生发现任意角α可以用单位圆上点P的坐标来唯一刻画，从而自然地用坐标来定义任意角的三角函数.从而自然获得任意角三角函数的定义，让学生对终边所在的象限决定三角函数值的正负的理解更深刻。对于“任意角三角函数的定义方式究竟是用单位圆定义还是用终边定义”“哪个定义更合理”的探讨由来已久．新教材在给出单位圆定义法之后，紧接着用例题的形式（例2）又给出了终边定义法。可见，新教材对任意角三角函数定义的处理不回避终边定义法，这也算是对以往两种定义方法争鸣的一种积极回应。本章教材与原教材相应内容的主要区别和联系

5.3诱导公式内容的变化

对公式的引入发生了变化，主要体现在“探究”部分.两个版本都先说明了利用圆的对称性来研究三角函数的对称性.与老教材不同的是，既然说到对称，新教材就先利用圆关于原点对称特性得到角终边与单位圆交与点P2，问两角的三角函数值有什么关系；而老教材事先给出一个角，然后探究等角的终边与角终边的关系，他们的三角函数值之间有什么关系。两种思路相比，新教材的做法更加“循循善诱”，回归三角函数定义的本质。5.4三角函数的图像与性质内容的变化

这是本章的重点和难点。探究正弦函数图像方式发生了变化。原教材是通过“漏斗”得到一个简谐振动图像，然后又问学生是否对正余弦函数图像有了直观印象，然后通过三角函数线得到了正弦函数图像。新教材的做法利用函数图象就是由对应关系所确定的点的轨迹。利用正弦函数的定义，先在一般意义上搞定图象上的一个点，那么就可以通过对进行赋值而得出图象上的点。类比指、对函数图象做法大同小异，本质也是取特殊点，描点连线得到正弦函数图象。正弦、余弦函数性质的研究思路是类比以往对函数性质的研究，研究三角函数性质；周期性、对称性可以生成三角函数丰富的性质表现形式。把周期性作为第一条性质，体现它的重要性。学生一开始对周期函数接受有一定的困难，在求函数的周期时，需要一定的指引，相比原教材，新教材做了更为细致的工作。“单位圆定义法”非常直观而明确地给出了正弦函数、余弦函数的对应关系，从而使我们能方便地采用数形结合的思想讨论三角函数的性质。借助单位圆的几何直观，从三角函数的定义出发，用数学语言将单位圆上点的坐标随角α的变化而变化的规律作出清晰表达，就可得出三角函数的性质。非常有利于学生的直观想象、逻辑推理素养的发展。在基本初等函数的研究中，我们已经反复说明，由图象到性质不是唯一的研究路径．在幂函数、指数函数和对数函数的研究中，通过代数运算得出函数性质是非常重要的方法；三角函数的研究中，根据定义和单位圆的性质就可以得出性质．在得出一些性质后，利用这些性质会使得作图更加精确、简捷．所以，在这里有意识地按“先性质再图象”的方式安排教材内容．正切函数的最小正周期、奇偶性由诱导公式直接得出，利用这些性质简化作图过程，即先画出图象，再根据奇偶性、周期性进行拓展．因为课程标准已经去掉三角函数线，所以先利用正切函数的定义和单位圆给出图形表示：5.5三角恒等变换内容的变化三角恒等变换涉及多个公式，但最重要的是两角差的余弦公式，它也被称为三角恒等变换的“母公式”，对于这个公式的推导与证明是“三角恒等变换”这部分内容的重点与难点。原教材提供了两种推导方法:一是几何构造法，在单位圆中构造直角三角形，利用割补的方法得到，OM=OB+BM=OB+CP=OAcosα+APsinα=cosβcosα+sinβsinα=cos(α－β);二是向量法，设α，β终边与单位圆的交点分别为A(cosα，sinα)，B(cosβ，sinβ)，则OA.OB=cos(α－β)=cosαcosβ+sinαsinβ。但这两种方法给教师的课堂教学带来了一些困惑:几何构造法比较复杂，学生难以想到，并且需要花费大量的时间；向量法虽然简单，但与三角函数似乎没有太多本质上的联系，如果用向量法证明公式，势必会冲淡教学的主题。这两种方法都不能说明对任意角都成立，还需要进一步推广论证。新教材舍弃了对方法多样性的追求，而是直接回归两角差余弦公式的本质。我们知道诱导公式是借助圆的对称性来推导的，例如，角π+α的终边与角α的终边关于原点对称，由任意角三角函数的定义得到sin(π+α)=－sinα，cos(π+α)=－cosα，tan(π+α)=tanα。旋转对称性是圆的最重要特性，而三角恒等变换公式是圆的旋转对称性的解析表示，是旋转任意角的诱导公式，在研究三角函数深层次性质中具有重要地位。5.6函数内容的变化

函数图象的变换一直是教学的难点，尤其是当伸缩变换与平移变换融合在一起时，学生学习起来容易混淆。原教材利用信息技术来发现函数各参数对图象的影响，然后通过比较变换前与变换后图象的位置关系来总结图象变换的规律。这样的学习方式虽然高效、直观，但没有从数学原理上对变换规律做出科学解释。在认识参数的意义时，新教材不仅借助函数图象，从函数变换的角度入手，而且注意结合函数的实际背景，新教材借助三角函数的生活原型——筒车来帮助学生理解函数图象的变换，首先建立筒车运动的函数模型，然后结合筒车的运动规律来理解函数各个参数对筒车运动的影响，从而为函数图象变换找到一个可以用来解释的实物模型，使得伸缩变换与平移变换都与筒车的运动状态相对应，促进学生对三角函数图象变换的本质理解。本节例2做了变化.与原来的相比，新教材例2是应用题，需要学生建立数学模型.问题变得综合性更强，难度也有所加大.同时，例题的设置与开篇的筒车问题相呼应，进一步体会圆周运动与三角函数模型之间的内在联系，感受数学建模的思想.5.7三角函数的应用内容的变化

新教材首先引入了两个实际问题，一个是弹簧振子做简谐振动，求振子的位移关于时间的解析式；另一个是通过交流电图像求解析式，是老教材1.5的引例.紧接着教材给出了3道练习，其中第2道题目的背景是老教材1.4的引例.由此可以看出，新教材加大了对三角函数应用的考察，让学生感受到三角函数在解决具有周期性变化规律问题的作用，体验三角函数与日常生活和其他学科的联系，使学生体会三角函数的价值和作用，增强应用意识。例4是原教材的例2，虽然问题没改变，但题目描述做了调整.这一节中体现三角函数应用的层次性:第一类是匀速圆周运动的问题；第二类是弹簧振子，交变电流等物理学中的周期现象的刻画；第三类是现实生活中在一定范围内呈现出近似于周期变化的问题，如温度变化、港口海水深度随时间变化等.（三）.把握内容的主要变化

（1）弧度制：强调引入弧度制的必要性，加强用初中已学的弧长与半径的关系解释弧度制定义的合理性；（2）三角函数的定义：直接从建立周期现象的数学模型出发，利用单位圆上点的坐标定义三角函数，然后再建立与锐角三角函数的联系；（3）删除正弦线、余弦线和正切线；（4）诱导公式：从单位圆关于原点、坐标轴、直线y=x等的对称性出发探究诱导公式，也就是通过圆的对称性“代数化”，获得诱导公式；（5）正弦函数图像：体现函数图象与三角函数定义之间内在的逻辑联系——图象是函数的一种表示法，先根据定义画出任意一点，掌握了任意一点的做法原理后，通过选择具体的、足够多的点进行描点，最后借助技术描任意多的点，连续成线画三角函数的图象，这里加强了信息技术的应用。（6）三角恒等变换：仍然强调单位圆的作用，两角差的余弦公式利用圆的旋转对称性进行推导；（7）三角函数的应用：体现函数应用的层次性，将三角函数应用的问题大致分为三类：第一类是匀速圆周运动的问题，第二类是弹簧振子、交变电流等物理学中的周期性现象的刻画，第三类是现实生活中在一定范围内呈现周期性变化的问题。三、本章教材的编写特点

1.注重三角函数内容的整体性，体现内容之间的有机衔接从整体联系的角度认识这一章的内容，下面以图表的形式宏观地给出本章的主要内容及其逻辑关系，第一，新教材以角和弧度作为刻画圆周运动的预备知识，按照“背景——对象——概念——图象——性质——应用”的结构展开各节的学习。第二，新教材以单位圆为明线串联三角函数知识，充分发挥单位圆对学习三角函数知识的辅助作用，借助其形，让学生直观感知学习对象，强调知识之间的有机衔接。新教材通过“一删、二移、三连通”的做法，从知识系统的高度确立了三角函数的整体架构，避免了知识的碎片化，在实现单元教学内容的精选上，凸显了“函数”大单元下的“三角函数”这一核心主题。三、本章教材的编写特点

2.注重发挥单位圆的作用，提升学生的直观想象素养从三角函数定义的方法可以看出，三角函数与圆有着直接的联系。事实上，任意角，任意角的三角函数、三角函数的性质、同角三角函数的关系式、诱导公式、三角函数的图象与性质等，都可以借助单位圆得到认识，这也是人们把三角函数称作“圆函数”的原因。为了发挥单位圆的作用，在引入弧度制时就给出了单位圆的定义，然后直接由单位圆引出三角函数定义，在后续内容的处理中，始终以单位圆作为一个载体。三、本章教材的编写特点

3.对数学建模的高度重视，特别注重数学建模思想的渗透加强了数学模型的作用.比如第6节分成了2小节，第1小节的标题是“匀速圆周运动的数学模型”，通过把“筒车”这一古代水利灌溉工具抽象为“圆”这一几何图形，建立数学模型.与此同时，这样还能更好地过渡到对图像的讲解.再比如，第7节给出的潮起潮落的变化数据，通过做散点图、选择函数模型、建立函数模型并用得到的函数模型解决有关问题.这是一个比较完整的建立三角函数模型解决实际问题的过程，通过这样的例子，可以让学生经历用三角函数刻画一些比较典型的周期现象过程.三、本章教材的编写特点

4.突出教学思想方法，在类比、推广、特殊化等一般逻辑思考方法上进行引导类比、联系、特殊化、推广、化归等数学研究中的常用方法，在本章中努力引导学生学习这些方法。例如，类比长度、质量等不同的度量单位引入弧度制；联系一般函数性质的研究思路引出研究三角函数性质的思路；在两角差的余弦公式这一关键性问题的解决中体现了数形结合思想的应用；从两角差的余弦公式推出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦和正切公式的过程中，始终引导学生体会化归思想；在应用公式进行恒等变换的过程中，渗透观察、类比、推广、特殊化、化归等思考方法；研究函数时，体现了从简单到复杂，由特殊到一般的思考方法。三、本章教材的编写特点

5.通过问题引导学生主动思维，使学生得到思维训练比如，在众多三角公式学习中，教科书紧紧围绕三角函数的定义，借助单位圆，以栏目为载体，构建了这样一条问题链：(1)根据定义，直接得“公式一”；(2)以“探究公式一表明终边相同的角的同一三角函数值相等，那么终边相同的角的三个三角函数值之间是否也有某种关系呢”引导学生探究同角三角函数的基本关系；(3)以“利用圆的几何性质，得到了同角三角函数之间的基本关系.我们知道，圆的最重要的性质是对称性.而对称性（如奇偶性）也是函数的重要性质.由此想到，可以利用圆的对称性，研究三角函数的对称性”为引导，设置连续的“探究”栏目，让学生探究角的终边与单位圆的交点关于原点对称、关于x(y)轴对称、关于直线y=x对称等条件下，相应的三角函数值之间的关系；(4)以“观察诱导公式，可以发现他们都是特殊角与任意角的和(或差)的三角函数与这个任意角的三角函数的恒等关系。如果把这个特殊角换成，那么任意角与的和(或差)的三角函数与、的三角函数会有什么关系呢”为引导，并具体化为“探究如果已知任意角、的正弦、余弦，能由此推出和的正弦、余弦吗”，让学生自主探索两角和与差的三角函数.三、本章教材的编写特点

整体来看，上述栏目体现了“问题引导学习”的理念，从诱导公式的来龙去脉中，通过推广、特殊化等方式环环相扣地给出了一条观察事物（情景）、提出问题、分析问题、解决问题的线索，把学生的思维活动逐步引向深入，帮助学生在获得“四基”的过程中，逐步提高“四能”，发展数学实践能力及创新意识，培育科学精神，促进学生学会学习。（四）.以单位圆为明线，整体穿连教学过程

三角函数内部的每个概念与单位圆有着千丝万缕的关系，因此在这些概念形成过程中，依托单位圆这个载体，不但能更本质地反映三角函数的相关概念，还能将整个三角函数的学习变成一个有机的整体，方便学生搭建起更加牢固的知识网络．教师在“三角函数”章节的教学中，应自始至终地坚持以单位圆作为一条明线，来穿连整个