2023学年烟台市一中高三数学上学期12月考试卷附答案解析

2023学年烟台市一中高三数学上学期12月考试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，则=A． B． C． D．2．已知复数z1=3+4i,z2=a+i,且z1是实数,则实数a等于()A． B． C．- D．-3．如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为，此时气球的高是，则河流的宽度等于（

）A． B．C． D．4．《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有方锥下广二丈，高三丈，欲斩末为方亭；令上方六尺；问斩高几何?”其意思为：已知方锥（即正四棱锥）下底边长为20尺，高为30尺，现欲从方锥上面截去一段，使之成为方亭（即正四棱台），且使方亭上底边长为8尺（如图所示），则截去小方锥的高为（

）.A．24尺 B．18尺 C．6尺 D．12尺5．6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（

）A．120种 B．90种C．60种 D．30种6．已知函数（其中），对任意实数a，在区间上要使函数值出现的次数不少于4次且不多于8次，则的值为（

）.A．2或3 B．4或3 C．5或3 D．8或37．若圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，则直线的斜率的取值范围为（

）．A． B．C． D．8．已知空间向量，，且，则的最小值为（

）A． B． C．2 D．4二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．在如图所示的棱长为1的正方体中，点P在侧面所在的平面上运动，则下列命题中正确的为（

）A．若点P总满足，则动点P的轨迹是一条直线B．若点P到点A的距离为，则动点P的轨迹是一个周长为的圆C．若点P到直线的距离与到点C的距离之和为1，则动点P的轨迹是椭圆D．若点P到直线与直线的距离相等，则动点P的轨迹是双曲线10．已知数列中，，，.若对于任意的，不等式恒成立，则实数可能为（

）A．－4 B．－2 C．0 D．211．如图，正三棱柱的底面是边长为的等边三角形，侧棱长为，分别是的中点，则下列结论成立的是（）A．直线与是异面直线B．直线与平面平行C．直线与直线所成角的余弦值为D．直线与平面所成角的余弦值为12．关于函数，下列判断正确的是（

）．A．是的极大值点B．函数有且只有1个零点C．存在正实数，使得成立D．对任意两个正实数，且，若，则．三、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分．将答案填在题后的横线上．13．为了防止受到核污染的产品影响我国民众的身体健康，要求产品在进入市场前必须进行两轮核辐射检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售.已知某产品第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，两轮检测是否合格相互没有影响.若产品可以销售，则每件产品获利40元；若产品不能销售，则每件产品亏损80元.已知一箱中有4件产品，记一箱产品获利X元，则P(X≥－80)＝.14．已知函数有两个零点，则的取值范围是.15．已知定点B（3,0），点A在圆x2＋y2＝1上运动，∠AOB的平分线交线段AB于点M，则点M的轨迹方程是．16．已知函数（Ⅰ）若函数没有零点，则实数的取值范围是；（Ⅱ）称实数为函数的包容数，如果函数满足对任意，都存在，使得.在①；②；③；④；⑤中，函数的包容数是．（填出所有正确答案的序号）四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在平面直角坐标系xOy中，设向量．(1)若，求的值；(2)设，且，求的值．18．已知数列，，．(1)证明：数列是单调递增数列；(2)记，求的取值范围；(3)记，试问是否为定值？如果是，请证明，如果不是，请说明理由．19．如图，在三棱柱中，平面平面，点为的中点，点在线段上，且.(1)求平面与平面的夹角的余弦值；(2)点在上，若直线在平面内，求线段的长.20．有一片产量很大的水果种植园，在临近成熟时随机摘下某品种水果100个，其质量（均在1至11kg）频数分布表如下（单位：kg）：分组频数1015452010以各组数据的中间值代表这组数据的平均值，将频率视为概率．(1)由种植经验认为，种植园内的水果质量Z近似服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差．请估算该种植园内水果质量在（4，8.2）内的百分比；(2)现从质量为，，的三组水果中用分层抽样方法取14个水果，再从这14个水果中随机抽取3个．若水果质量为，，的水果每销售一个所获得的利润分别为2元、4元、6元，记随机抽取的3个水果总利润为元．求的分布列及数学期望．（附：若，则，）21．已知椭圆的焦距为2，点在椭圆上.(1)求椭圆的方程；(2)若斜率为1的直线与椭圆相交于两点，为原点.求面积的最大值.．C【分析】本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题．【详解】由题意得，，则．故选C．【点睛】不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分．2．A【详解】分析：计算，由z1，是实数得，从而得解.详解：复数z1=3+4i,z2=a+i,.所以z1，是实数，所以，即.故选A.点睛：本题主要考查了复数共轭的概念，属于基础题.3．C【分析】根据题意分别求出、.则可求出.【详解】如图所示：记于点.由题意知：，..在中：.在中：.所以.故选:C.4．D【分析】利用棱锥与棱台的结构特征即求.【详解】设截去小方锥的高为，则，解得（尺）.故选：D.5．C【分析】分别安排各场馆的志愿者，利用组合计数和乘法计数原理求解.【详解】首先从名同学中选名去甲场馆，方法数有；然后从其余名同学中选名去乙场馆，方法数有；最后剩下的名同学去丙场馆.故不同的安排方法共有种.故选：C【点睛】本小题主要考查分步计数原理和组合数的计算，属于基础题.6．A【分析】判断出区间长度3大于等于2个最小正周期长度且小于等于4个最小正周期长度即可，得到不等式，求出答案.【详解】因为在最小正周期内出现函数值为的有两次，而区间的长度为3，所以只要区间长度大于等于2个最小正周期长度且小于等于4个最小正周期长度即可，故，又，故，解得，又，故或.故选：A7．A【分析】首先求圆的圆心和半径，利用圆心到直线的距离，求出的取值范围，再转化为直线的斜率的取值范围.【详解】因为直线的斜率存在，所以，圆整理为，圆心坐标为，半径为，要求圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，则圆心到直线的距离应小于等于，，，，设直线的斜率为，则，，直线的斜率的取值范围是.故选：A8．B【分析】由空间向量的坐标表示计算，然后由柯西不等式求解即可.【详解】因为，所以，当且仅当时等号成立，即时等号成立.所以，所以的最小值为.故选：B9．ABD【分析】A.根据平面，判断点的轨迹；B.根据平面与球相交的性质，判断选项；C.由条件可转化为，根据椭圆的定义判断；D.由条件建立坐标系，求点的轨迹方程，判断轨迹是否是双曲线.【详解】A.在正方体中，平面，所以，所以平面，平面，所以，同理，所以平面，而点P在侧面所在的平面上运动，且，所以点的轨迹就是直线，故A正确；B.点的轨迹是以为球心，半径为的球面与平面的交线，即点的轨迹为小圆，设小圆的半径为，球心到平面的距离为1，则，所以小圆周长，故B正确；C.点P到直线AB的距离就是点到点的距离，即平面内的点满足，即满足条件的点的轨迹就是线段，不是椭圆，故C不正确；D.如图，过分别做于点，于点，则平面，所以，过做，连结，，所以平面，所以，如图建立平面直角坐标系，设，，则，，即，整理为：，则动点的轨迹是双曲线，故D正确.故选：ABD【点睛】本题考查立体几何中动点轨迹问题，截面的形状判断，重点考查空间想象能力，逻辑推理，计算能力，属于中档题型.10．AB【解析】由题意可得，利用裂项相相消法求和求出，只需对于任意的恒成立，转化为对于任意的恒成立，然后将选项逐一验证即可求解.【详解】，，则，，，，上述式子累加可得：，，对于任意的恒成立，整理得对于任意的恒成立，对A，当时，不等式，解集，包含，故A正确；对B，当时，不等式，解集，包含，故B正确；对C，当时，不等式，解集，不包含，故C错误；对D，当时，不等式，解集，不包含，故D错误，故选：AB.【点睛】本题考查了裂项相消法、由递推关系式求通项公式、一元二次不等式在某区间上恒成立，考查了转化与划归的思想，属于中档题.11．BCD【解析】直线与在同一平面内，不是异面直线，分别证明线面平行，计算异面直线夹角和直线与平面所成角的大小即可得解.【详解】直线与在同一平面内，不是异面直线，所以A选项错误；取交点，连接，，所以四边形是平行四边形，，平面，平面，所以直线与平面平行，B选项正确；直线与直线所成角就是与直线所成角，正三棱柱的底面是边长为的等边三角形，侧棱长为，连接在中，由余弦定理可得所以直线与直线所成角的余弦值为，所以C选项正确；由题可得：平面平面，交线为AC，，平面，根据面面垂直的性质可得平面，，所以平面，线与平面所成角就是，在直角三角形中，直线与平面所成角的余弦值为，所以D选项正确.故选：BCD【点睛】此题考查空间线面位置关系，涉及异面直线判定，求异面直线所成角，判断线面平行，求直线与平面所成角的大小，关键在于熟练掌握相关定理和解决问题的基本方法.12．BD【分析】求导后讨论单调性可判断A；求导后讨论的单调性，利用零点存在定理判断B；利用常数分离法，构造函数，利用导数分析得的单调性可判断C；利用极值点偏移问题的解法求解，从而可判断D.【详解】对于选项A，函数的定义域为，函数的导数，所以在内，，函数单调递减；在上，，函数单调递增，所以是的极小值点，故A错误；对于选项B，由，得，由于分子判别式小于零，所以恒成立，所以函数在，上单调递减，且，所以函数有且只有1个零点，故B正确；对于选项C，若，可得，令，则，令，则，所以在内，，函数单调递增；在上，，函数单调递减，所以，所以，所以函数在上单调递减．又因为当时，，所以不存在正实数，使得恒成立，故C不正确；对于选项D，设，即有，，即为，化为，故，所以，则，设（），可得，令，则在上恒成立，可得，所以，故单调递增，可得，故成立，故D正确．故选：BD.【点睛】方法点睛：（1）函数的极值点与零点可用导数分析单调性后再结合具体函数值分析；（2）对于含参数的函数不等式恒成立问题可分离参数后求导，分析单调性再求参数的范围；（3）极值点平移问题，先构造函数求导，再赋值，最后可得13．【解析】首先求某产品两轮检测合格的概率，X的所有可能取值为－320，－200，－80,40,160，然后根据二项分布求其概率，并计算.【详解】由题意得该产品能销售的概率为,易知X的所有可能取值为－320，－200，－80,40,160，设ξ表示一箱产品中可以销售的件数，则ξ～B，所以，所以P(X＝－80)＝P(ξ＝2)＝，P(X＝40)＝P(ξ＝3)＝，P(X＝160)＝P(ξ＝4)＝,故P(X≥－80)＝P(X＝－80)＋P(X＝40)＋P(X＝160)＝.【点睛】本题考查独立事件同时发生的概率和二项分布，意在考查分析问题和解决问题的能力，对于此类考题，要注意认真审题，从数学与实际生活两个角度来理解问题的实质,将问题成功转化为古典概型，独立事件、互斥事件等概率模型求解，因此对概率型应用性问题，理解是基础，转化是关键.14．【分析】求出函数的导函数，得出函数的最小值，把函数的零点个数问题转化为函数与的图象由两个不同的交点，结合图象，即可得到答案．【详解】由题意，设函数，则，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，所以当时，函数由最小值，又由当时，总有恒成立，要使得函数有两个零点，即函数与的图象由两个不同的交点，在同一坐标系内作出两个函数的图象，如图所示，则，所以，即实数的取值范围是．【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的零点个数问题，其中解答中把函数的零点个数转化两个函数的图象的交点的个数，再利用导数得到函数的单调性与最值是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于基础题．15．．【分析】由角平分线的性质定理和向量的坐标运算、圆的方程，可得所求方程．【详解】设，则，设，由为的角平分线，可得，即有，可得,，即，，可得，，则，即为．故答案为：．16．Ⅰ或Ⅱ②③【分析】Ⅰ考虑指数函数的值域和二次函数的单调性，即可得到所求范围；Ⅱ由题意可得的值域为的值域的子集，分别讨论五种情况，由指数函数的单调性和二次函数的单调性，求得值域，即可判断．【详解】Ⅰ函数，由时，，无零点；若时，，当时，，无零点；当时，由，即，由时，递增，可得，由，可得，无零点；综上可得或；Ⅱ由题意可得的值域为的值域的子集，当时，由时，；由时，，，，不满足题意；当时，由时，；由时，，，满足题意；当时，由时，；由时，，，满足题意；当时，由时，；由时，，，不满足题意；当时，由时，；由时，，，不满足题意．综上可得函数的包容数是②③．故答案为或；②③．【点睛】本题考查函数的零点问题和函数的任意性、存在性问题解法，注意运用转化思想和函数的单调性，考查化简运算能力，属于中档题．17．(1)；(2)．【分析】（1）由模长的定义和向量的数量积结合两角差的正弦展开式可得；（2）由向量平行的基本定理和两角差的正弦展开式可得.【详解】（1）因为，所以，所以，且，因为，所以，即，所以，即.（2）因为，所以，又，，所以，即，因为，，所以，即.18．(1)证明见解析；(2)；(3)是，证明见解析.【分析】（1）由已知可得，即可证明；（2）由已知变形得到，代入到可得到，进而求出取值范围；（3）由裂项相消得到，再代入即可.【详解】（1）证明：因为，，即，所以数列是单调递增数列；（2）由，可得，由数列是单调递增数列，可得，可得，即的取值范围为.（3）为定值，理由如下：，可得，则为定值．19．(1)(2)【分析】（1）分别取的中点，连接，根据面面垂直的性质证明平面，以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可；（2）由直线在平面内，可得共面，再根据空间向量共面定理即可得解.【详解】（1）分别取的中点，连接，因为，所以为等边三角形，所以，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，因为，分别为的中点，所以四边形为矩形，所以，如图，以点为原点建立空间直角坐标系，则，易得为平面的一个法向量.设，因为，所以.所以，即，因此，设，因为，所以，所以，即，因为，，所以，设平面的法向量为，所以，即，取，则，所以，设平面与平面的夹角为，则，即平面与平面夹角的余弦值为；（2）设，则，因为直线在平面内，所以共面，所以存在唯一实数对，使得，即，则，解得，此时为的中点，所以.【