北师大版高中数学《必修5》全部教案

北师大版高中数学必修5第一章《数列》全部教案

第一谡时1.L1数列的概念

一、教学目标

1、知识与技能：（1）理解数列及其有关概念；（2）了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数

列的任意一项；（3）对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的通项公式。

2、过程与方法：（1）采用探究法：按照思考、交流、实脸、观察、分析、得出结论的方法进行启

发式教学；（2）发挥学生的主体作用，作好探究性学习；（3）理论联系实际，激发学生的学习积

极性。

3、情感态度与价值观：（1）.通过日常生活中的大量实例，鼓励学生动手试验.理论联系实际，激

发学生对科学的探究精神和严肃认真的科学态度，培养学生的辩证唯物主义观点；（2）.通过本节

课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣.

二、教学重点：数列及其有关概念，通项公式及其应用.

教学难点根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式.

三、教学方法：探究、交流、实验、观察、分析

四、教学过程

（一）、揭示课题:今天开始我们研究一个新课题.

先举一个生活中的例子：场地上堆放了一些圆钢，最底下的一层有100根，在其上一层（称

作第二层）码放了99根，第三层码放了98根，依此类推，问：最多可放多少层？第57层有多少

根？从第1层到第57层一共有多少根？我们不能满足于一层层的去数，而是要但求如何去研究，

找出一般规律.实际上我们要研究的是这样的一列数

10039,98,…,3,2工象这样排好队的数就是我们的研究对象—数列.

（二）、推进新课

［合作探究］

折纸问题

师请同学们想一想，一张纸可以重复对折多少次？请同学们随便取一张纸试试（学生们兴趣一定

很浓）.

生一般折5、6次就不能折下去了，厚度太高了.

师你知道这是为什么吗？我们设纸原来的厚度为1长度单位，面积为1面积单位，陵依次折的次

数，它的厚度和每层纸的面积依次怎样？

生随着对折数厚度依次为：2,4,8,16,•••,256,…；①

随着对圻数面积依次为，…会•

生对折8次以后，纸的厚度为原来的256倍，其面积为原来的分1口256式，再折下去太困难了.

师说得很好，随数学水平的提高，我们的思维会更加理性化.请同学们观察上面我们列出的这一

列一列的数，看它们有何共同特点？

生均是一列数.

生还有一定次序.

师它们的共同特点：都是有一定次序的一列数.

［教师精讲］

1.数列的定义：按一定顺序排列着的一列数叫做数列.

注意：（1）数列的数是按一定次并排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，

那么它们就是不同的数列；（2）定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列

中可以重复出现.

2.数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第

2项，…，第〃项，….同学们能举例说明吗？

生例如，上述例子均是数列，其中①中，“2”是这个数列的第1项（或首项），“16”是这个数列

中的第4项.

为表述方便给出几个名称：项—数列中的每一个数叫做这个数列的项.

首项----其中数列的第一项也称首项.通项-----数列的第n项叫数列的通项.

以上述两个数列为例，让学生练习指出某一个数列的首项是多少，第二项是多少，指出某一个数

列的一些项的项数.由此可以看出，给定一个数列，应能够指明第一项是多少，第二项是多少，……，

每一项都是确定的，即指明项数，对应的项就确定.所以数列中的每一项与其项数有着对应关系，

这与我们学过的函数有密切关系.

3.数列的分类：1）根据数列项数的多少分：

有穷数列：项数有限的数列.例如数列1,2,3,4,5,6是有穷数列.

无穷数列：项数无限的数列.例如数列1,2,3,4,5,6…是无穷数列.

2）根据数列项的大小分：递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列.递减数列：

从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列.常数数列：各项相等的数列.摆动数列：从第2

项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列.

请同学们观察：课本的六组数列，哪些是递增数列、递减数列、常数数列、摆动数歹H?

生这六组数列分别是⑴递增数列，⑵递增数列，⑶常数数列，(4)递减数列，⑸摆动数列，(6)1.

递增数列，2.递减数列.

4、通项公式法:如数列°12,3,…的通项公式为％.界TSeN)；

…的通项公式为久.K"€"J4"'3；

111

h2-?4-%"―(«€犷)

的通项公式为彳

数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第胃项，又是这个数列中所有各项的一般表

示.通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系，给了数列的通项公式，这个数列便确定了，

代入项数就可求出数列的每一项.

例如，数列的通项公式则aloo«2xlOO-l-199

值得注意的是，正如一个函数未必能用解析式表示一样，不是所有的数列都有通项公式，即

便有通项公式，通项公式也未必唯一.

［知识拓展］

师你能说出上述数列①中的256是这数列的第多少项？能否写出它的第〃项？

生256是这数列的第8项，我能写出它的第。项，应为%=2".

［例题剖析］

例1.根据下面数列｛a｝的通项公式，写出前5项：

n

(l)a产一；;(2)当二(/)”•〃.

师由通项公式定义可知，只要将通项公式中门依次取1,2,3,4,5,即可得到数列的前5项.

12345

生解：⑴/产1,2,3,4,5留二■—渔二彳曲二丁武二二渔二7.

23456

(2)，=1,2,3,4,5.团二-1；22=2;的二-3;为二4;。5二-5.

师好！就这样解.

例2.根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：

246810

(1)3,5,7,9,11,…；(2)一,—,—,—,—,…；

315356399

(3)0,1,0,1,0,1,…；(4)1,3,3,5,5,7,7,9,9,…；

⑸2,-6,12,-20,30,-42,….

师这里只给出数列的前几项的值，哪位同学能写出这些数列的一个通项公式？（给学生一定的思

考时间）

生老师，我写好了！

In小1+(T)"

解:⑴品=2。+1;(2)a=(3)%=---

(2〃一1X2"+1)

11/IV*

（4）将数列变形为1+0,2+1,3+0,4+1,5+0,6+1,7+0,8+1,…，.•・玛=/?十—y—；

⑸将数列变形为1X2,-2X3,3X4,-4X5,5X6,/.1）.

师完全正确！这是由“数”给出数列的“式”的例子，解决的关键是要找出这列数呈现出的规

律性的东西，然后再通过归纳写出这个数列的通项公式.

（三”学生课堂练习：课本本节练习1、2、3、4

补充题：已知数列｛篇｝的通项公式是&=2M-n,那么（）

430是数列｛斯｝的一项H44是数列｛狐｝的一项

C.66是数列｛为｝的一项P.90是数列｛为｝的一项

分析：注意到30,44,66,90均比较小，可以写出这个数列的前几项，如果这前几项中出现了这

四个数中的某一个，则问题就可以解决了.若出现的数比较大，还可以用解方程求正整数解的方法

加以解决.答案：C

点评：看一个数/是不是数列｛4｝中的某一项，实质上就是看能不能找出一个非零自然数〃，使

得a产A.

（四）、课堂小结：对于本节内容应着重掌握数列及有关定义，会根据通项公式求其任意一项，

并会根据数列的前A项求一些简单数列的通项公式。

（五）、布置作业课本习题1-1A纽1、2、3、4。

五、教后反思：

第二课时1.1.2数列的函数特性

一、教学目标

1、知识与技能：了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）；理解数列是

一种特殊的函数；2、过程与方法：通过类比函数的思想了解数列的几种简单的表示方法（列表、

图象、通项公式）；3、情态与价值：体会数列是一种特殊的函数；借助函数的背景和研究方法来

研究有关数列的问题，可以进一步让学生体会数学知识间的联系，培耒用已知去研究未知的能力。

二、教学重点：理解数列的概念，探索并掌握数列的几种间单的表示出（列表、图象、通项公式）。

难点：了解数列是一种特殊的函数；发现数列规律找出可能的通项公式。

三、教学方法：讲授法为主

四、教学过程

（一）、导入新课

师同学们，昨天我们学习了数列的定义，数列的通项公式的意义等内容，哪位同学能谈一谈什

么叫数列的通项公式？

生如果数列｛为｝的第A项与序号之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数

列的通项公式.

师你能举例说明吗？

生如数列0,1,2,3,…的通项公式为为二cigsN）；

1,1,1的通项公式为

1，!>7,…的通项公式为为二，

234n

教师进一步启发上面数列为二犷1、%二」•与函数/（x）=x-i,/（x）=_L有什么关系？你能用图象

nx

直观表示这个数列吗？由此展开本节新课。

（二）新知探究

1、数列与函数的关系：数列可以看作特殊的函数，项数是其自变量，项是项数所对应的函数值,

数列的定义域是正整数集N+,或是正整数集N*的有限子集｛123…

于是我们研究数列就可借用函数的研究方法，用函数的观点看待数列.

［合作探究］同学们看数列2,4,8,16,…，256,…①中项与项之间的对应关系，

项2481632

序号12345你能从中得到什么启示？

生数列可以看作是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集（1,2,3,…，的函数

当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值.反过来，对于函数产/«,如果电（VI、2、3、4…）

有意义，那么我们可以得到一个数列，伞），….

师说的很好.如果数列｛为｝的第〃项即与〃之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就

叫做这个数列的通项公式.

［合作探究］师函数与数列的比较（由学生完成此表）:

函数数列（特殊的函数）

定义域R或R的子集N或它的有限子集｛1,2,…，n］

解析式产佃斯=《/?）

图象点的集合一些离散的点的集合

师对于函数，我们可以根据其函数解析式画出其对应图象，看来，数列也可根据其通项公式来

画出其对应图象，下面同学们练习画数列：

4,5,6,7,8,9,10…;②1,—，…③的图象.

生根据这数列的通项公式画出数列②、③的图象为

On.

10

9

8

7

6

51L

2

4r

1

341

2r-

8

O12345678912345678n

师数列4,5,6,7,8,9,10,…②的图象与我们学过的什么函数的图象有关?

生与我们学过的一次函数尸/3的图象有关.

师数列1，!，…③的图象与我们学过的什么函数的图象有关？

生与我们学过的反比例函数y=，的图象有关.

x

师这两数列的图象有什么特点？

生其特点为：它们都是一群孤立的点.

生它们都位于尸轴的右侧，即特点为：它们都是一群孤立的，都位于尸轴的右侧的点.

2、数列的表示法

数列可看作特殊的函数，其表示也应与函数的表示法有联系，首先请学生回忆函数的表示法:

列表法，图象法，解析式法.相对于列表法表示一个函数，数列有这样的表示法：用0】表示第

一项，用表示第一项，……,用。"表示第片项，依次写出成为

⑴歹悻法：。1.”。3一・巴，….简记为QJ.

一个函数的直观形式是其图象，我们也可用图形表示一个数列，把它称作图示法.

（2）图示法:启发学生仿照函数图象的画法画数列的图形.具体方法是以项数片为横坐标，相应

的项°■为纵坐标，即以（％%）为坐标在平面直角坐标系中做出点（以前面提到的数列

,111

'2'3'4'为例，做出一个数列的图象），所得的数列的图形是一群孤立的点，因为横坐标为

正整数，所以这些点都在尸轴的右侧，而点的个数取决于数列的项数.从图象中可以直观地看

到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势.有些函数可以用解析式来表示，解析式反映了一

个函数的函数值与自变量之间的数量关系，类似地有一些数列的项能用其项数的函数式表示出来,

即478>,这个函数式叫做数列的通项公式.

（3）通项公式法:如数列0J23,…的通项公式为勺・"1（叱”）；

LU…的通项公式为■］（€,1一”一$；

111

d.■—（〃W犷）

的通项公式为彳

数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第"项，又是这个数列中所有各项的一般表

示.通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系，给了数列的通项公式，这个数列便确定了，

代入项数就可求出数列的每一项.

例如，数列⑷的通项公式£・5-1（畿犷），则与00=2*1007.199

值得注意的是，正如一个函数未必能用解析式表示一样，不是所有的数列都有通项公式，即

便有通项公式，通项公式也未必唯一.

除了以上三种表示法，某些数列相邻的两项（或几项）有关系，这个关系用一个公式来表示，

叫做递推公式.

（4）递推公式法:如前面所举的钢管的例子，第4+1层钢管数%“与第〃层钢管数的关系

是-1,再给定ai"100,便可依次求出各项.再如数列中，

劣■La..】•w〃），这个数列就是124&16,32,64,…

像这样，如果已知数列的第1项（或前几项），且任一项与它的前一项（或前几项）间的关系用

一个公式来表示，这个公式叫做这个数列的递推公式.递推公式是数列所特有的表示法，它包含

两个部分，一是递推关系，一是初始条件，二者缺一不可.可由学生学例，以检验学生是否理解•.

（三”例题探析

例1、判断下列无穷数列的增减性。⑴2,1,0,-1,•••,3-n,…；（2）[23-f^i,-o

234n+\

学生探究交流，教师准对问题讲评并引导学生归纳方法。【答案：（1）递减数列；（2）递增数列】

例2、作出数列一!，!，一!，J,KK,（-《）〃，…的图像，并分析数列的增减性。

248162

2

解析：如图是这个数列的图象，数列各项的值正负相间，表示数列的各点相对于横轴上下摆动,

它既不是递增的，也不是递减的。

（四）、学生练习：课本本节练习1、2

（五）、课堂小结：1、探究结论；2、数列与函数有什么关系？

（六”作业布置：习题1-1A组第5、6、7题

五、教后反思：

第三课时数列的概念

一、教学目标

1、知识与技能：了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；会根据数列的递推公式

写出数列的前几项；理解数列的前n项和与明的关系

2、过程与方法：经历数列知识的感受及理解运用的过程。

3、情感态度与价值观：通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣。

二、教学重点：根据数列的递推公式写出数列的前几项

教学难点理解递推公式与通项公式的关系

三、教学过程

I.课题导入

【复习引入］数列及有关定义

D.讲授新课

数列的表示方法

1、通项公式法

如果数列｛4｝的第n项与序号之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列

的通项公式。

如数列0J23,…的通项公式为%f+1（六M）；

□J…的通项公式为生.］（"，J"""，＞

,111l”・、

•二•…/・一z储wN）

234的通项公式为n；

2、图象法

启发学生仿照函数图象的画汰画数列的图形.具体方法是以项数彳为横坐标，相应的项。“为

纵坐标，即以3・勺）为坐标在平面直角坐标系中做出点（以前面提到的数列‘2'?"为例，

做出一个数列的图象），所得的数列的图形是一群孤立的点，因为横坐标为正整数，所以这些点都

在丁轴的右侧，而点的个数取决于数列的项数.从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到

大变化而变化的趋势.

3、递推公式法

知识都来源于实践，最后还要应用于生活•用其来解决一些实际问题.

观察钢管堆放示意图，寻其规律，建立数学模型.

模型一：自上而下：

第1层钢管数为4;即：1C4F+3

第2层钢管数为5；即：2―5=2+3

第3层钢管数为6;即：3―6=3+3

第4层钢管数为7;即：4。7=4+3

第5层钢管数为8;即：5―8=5+3

第6层钢管数为9;即：609=6+3

第7层钢管数为10;即：7-10=7+3

若用凡表示钢管数，n表示层数，则可得出每一层的钢管数为一数列，且4=〃+3(1WnW7)

运用每一层的钢筋数与其层数之间的对应规律建立了数列模型，运用这一关系，会很快捷地求出

每一层的钢管数.这会给我们的统计与计算带来很多方便。

让同学们继续看此图片，是否还有其他规律可循？(启发学生寻找规律)

模型二：上下层之间的关系

自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多lo

即。］=4；?=5=4+1=4+1；/=6=5+1=%+1

依此类推：an-an_｝+1(2<n<7)

对于上述所求关系，若知其第1项，即可求出其他项，看来，这一关系也较为重要。

定义：

递推公式：如果已知数列｛凡｝的第1项(或前几项)，且任一项明与它的前一项(或前n项)

间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式

递推公式也是给出数列的一种方法。

如下数字排列的一个数列：3,5,8,13,21,34,55,89

递推公式为：6=3,a?=5,%=%+an_2(3<n<8)

数列可看作特殊的函数，其表示也应与函数的表示法有联系，首先请学生回忆函数的表示法：列

表法，图象法，解析式法.相对干列表法表示一个函数，数列有这样的表示法：用力表示第一

项，用表示第一项，……，用。"表示第胃项，依次写出成为

4、列表法

…4,….简记为

［范例讲解］

%=1

例3设数列｛4｝满足|〔I,八写出这个数列的前五项。

%=1+—(n>l).

解：分析：题中已给出｛%｝的第1项即《=1,递推公式：。”=1+

%

।।2]58

解：据题意可知：6=1,々2=1+—=2,%=1+—=—,44=1+—=

a{a23%35

[补充例题]

例4已知q=2,an+i=2an写出前5项，并猜想*.

223

法一：4=2a2=2x2=2a3=2x2=2,观察可得"=2"

法二：由«n+i=2anan=2a“7即马-=2

an-\

&=%.2"“=2"

DI.课堂练习：课本P36练习2

［补充练习］

1.根据各个数列的首项和递推公式，写出它的前五项，并归纳出通项公式

(1)%=。，。向=/+(2n—l)(n€N);

⑵4=1,an+l=—^~(n€N)；

a„+2

(3)%=3,%+]=3a〃-2(nWN).

2

解：⑴a1=0,a2=1,43=4,。4=9，牝=16,an=(n-l)；

2122122

(2)a.=},a-,=—,a.=—=—,a==—=—,a=---；

1-3324445536"〃+1

(3)4[=3=1+2X3°,=7=14-2x3',=19=1+2x32,

4nl

%=55=1+2x3，,t75=163=l+2x3,an=\+2-3;

IV.课时小结：本节课学习了以下内容：1.递推公式及其用法；2.通项公式反映的是项与项数之

间的关系，而递推公式反映的是相邻两项(或〃项)之间的关系.3.an的定义及与n之间的

关系

V.课后作业：习题2.1A组的第4、6题作业：P9第4题

四、教后反思：

第四课时§1.2.1等差数列（-）

一、教学目标

1.知识与技能:通过实例，理解等差数列的概念；探索并掌握等差数列的通项公式；能在具体的

问题情境中，发现数列的等差关系并能用有关知识解决相应的问题；体会等差数列与一次函数的

关系。

2.过程与方法:让学生对日常生活中实际问题分析，引导学生通过观察，推导，归纳抽象出等差数

列的概念；由学生建立等差数列模型用相关知识解决一些简单的问题，进行等差数列通项公式应

用的实践操作并在操作过程中，通过类比函数概念、性质、表达式得到对等差数列相应问题的研

究。

3.情态与价值:培养学生观察、归纳的能力，培养学生的应用意识。

二、教学重点：理解等差数列的概念及其性质，探索并掌握等差数列的通项公式；会用公式解决

一些简单的问题，体会等差数列与一次函数之间的联系。

教学难点：概括通项公式推导过程中体现出的数学思想方法。

三、学法：引导学生首先从四个现实问题（数数问题、座位问题、鞋号问题、储蓄问题）概括出

数组特点并抽象出等差数列的概念；接着就等差数列的特点，推导出等差数列的通项公式；可以

用多种方法对等差数列的通项公式进行推导。

四、教学过程

（一）、创设情景

上节课我们学习了数列。在H常生活中，人口增长、鞋号问题、教育贷款、存款利息等等这

些大家以后会接触得比较多的实际计算问题，都需要用到有关数列的知识来解决。今天我们就先

学习一类特殊的数列。

（二）新知探究

（I）、引导观察数列：0,5,10,15,20,……①;48,53,58,63②

18,15.5,13,10.5,8,5.5③；10072,10144,10216,10288,10360④

看这些数列有什么共同特点呢？（由学生讨论、分析）

引导学生观察相邻两项间的关系，得到：对于数列①，从第2项起，每一项与前一项的差都等于

5；对于数列②，从第2项起，每一项与前一项的差都等于5;对于数列③，从第2项起，

每一项与前一项的差都等于25；对于数列④，从第2项起，每一项与前一项的差都等于72;

由学生归纳和概括出，以上四个数列从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数（即：

每个都具有相邻两项差为同一个常数的特点）。

等差数列的概念:对于以上几组数列我们称它们为等差数列。请同学们根据我们刚才分析等差数列

的特征，尝试着给等差数列下个定义：

等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么

这个数列就叫做等差数列。

这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。那么对于以上四组等差数列，它们的公

差依次是5,5,-2.5,72o

（口）、得出等差数列的定义：注意：从第二项起，后一项减去前一项的差等于同一个常数。

1.名称：等差数列，首项（％）,公差（团；2.若"二°则该数列为常数列；

3.寻求等差数列的通项公式：

a2=ax+d

%=%+〃=（/+〃）+〃=6+2d

。4=4+d=（/+2d）+d=%+3d

由此归纳为4=4+（〃T）”当〃=1时4=%（成立）

注意：1等差数列的通项公式是关于〃的一次函数；2如果通项公式是关于〃的一次函数,

则该数列成等差数列；

证明：若a〃=A〃+B=A（〃-l）+A+8=（A+8）+5-l）A它是以A+B为首项，A为公

差的APo

3公式中若则数列递堵，d<0则数列递减；

4图象：一条直线上的一群孤立点得出通项公式：

〃ta1a,,=a+（力一1）1

以外为首项，d为公差的等差数列的通项公式为：〃}1'»;知等差数列

的首项4和公差d,那么这个等差数列的通项%就可以表示。

选讲：除此之外，还可以用迭加法和迭代法推导等差数列的通项公式：

（迭加法）:是等差数列，所以勺-%=%

%一%.2=〃，

%.2一%-3="，

a2=d,

两边分别相加得/-6=（〃TM，所以%-l）d

（迭代法）：S,是等差数列，则有：

a

=n-i+d=an_2+d+d=an_2+2d=an_3+d+2d=an_3+3d....=4+（H-1）J

所以勺=%+（〃_l）d

（三”例题讲解：注意在％=q+（"T"中〃，四数中已知三个可以求出另一个。

例1、（课本）判断下而数列是否为等差数列.例2、已知数列首项与公羊,求通项公式.

例3、（此题可以看成应用题）已知数列的其中几项，求其余各项

例4、已知数列其中两项,求通项公式.

A-〃+”

关于等差中项：如果0As成行则2

证明：设公差为则A=a+db=a+2d

a+h4+4+2d

=a+d=A

22

例5、在1与7之间顺次插入三个数冬”1使这五个数成等差数足，求此数列。

解_l,a,b,c,7成AP「.人是-1与7的等差中项

.—1+7.—1+3]

b=------=3a=------=1

，2〃又是-1与3的等差中项2

3+7u

c=----=j

C又是1与7的等差中项2

解二：设"1二-1%=77=-l+（5-l）t/=>d=2

所求的数列为-1：1,3,5,7

例6、已知是等差数列图像上的两点.求这个数列的通项公式;

画出这个数列的图像洌断这个数列的单调性.（解略）

例7、一个木制梯形架的上、下两底边分别为33,75,把梯形的两腰各6等分，用平行木条连接

各对应分点，构成梯形架的各级，试计算梯形架中间各级的宽度。

分析：记梯形架自上而下各级宽度所构成的数列为，则由梯形中位线的性质，易知每相邻三项均

成等差数列，从而成等差数列。解略

（五）、小结：等差数列的定义、通项公式、等差中项

（六）、练习:P13练习1、2、3

（七）、作业：习题1——2A组5、6、7

五、教后反思：

第五课时§122等差数列（二）

一、教学目标

1、知识与技能：（1）明确等差中项的概念；（2）进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式，

能通过通项公式与图象认识等差数列的性质；（3）能用图象与通项公式的关系解决某些问题。

2、过程与方法：（1）通过等差数列的图象的应用，进一步渗透数形结合思想、函数思想；通过等

差数列通项公式的运用，渗透方程思想；（2）发挥学生的主体作用，讲练相结合，作好探究性学

习；（3）理论联系实际，激发学生的学习积极性。

3、情感态度与价值观（1）通过对等差数列的研究，使学生明确等差数列与一般数列的内在联系，

从而渗透特殊与一般的辩证唯物主义观点；（2）通过体验等差数列的性质的奥秘，激发学生的学

习兴趣。

二、教学重点等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用。

教学难点等差数列的性质的应用、灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题。

三、教学方法：探究归纳，讲练结合

四、教学过程

（一）、导入新课

师同学们，上一节课我们学习了等差数列的定义，等差数列的通项公式，哪位同学能回忆一下

什么样的数列叫等差数列？

生我回答，一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，即4M

这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（通常用字母

表不）.

师对，我再找同学说一说等差数列｛a｝的通项公式的内容是什么？

生I等差数列｛即｝的通项公式应是为=©+（ml）d

生2等差数列｛当｝还有两种通项公式：a=am+［n-ni）d或%二p/升心、g是常数）.

师好！刚才两位同学说得很好，由上面的两个公式我们还可以得到下面几种计算公差d的公式：

①卢%-%］；②二答；③4=忙出.你能理解与记忆它们吗？

n—in—tn

生3公式②d二曾与③”二此区记忆规律是项的值的差比上项数之间的差（下标之

n-\n-m

差）•

［合作探究］探究内容：如果我们在数〃与数b中间插入一个数4,使三个数名力，b成等差数

列，那么数H应满足什么样的条件呢？

师本题在这里要求的是什么？

生当然是要用a,6来表示数4

师对，但你能根据什么知识求?如何求?谁能回答？

生由定义可得4-广力力，即A=g女.

反之，若A=,则A-a=b-A,

由此可以得4=冬0&,46成等差数列.

2

（二”推进新课

我们来给出等差中项的概念：若得A,b成等差数列，那么4叫做/与6的等差中项.

根据我们前面的探究不难发现，在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）

都是它的前一项与后一项的等差中项.

如数列：1,3,5,7,9,11,13…中5是3与7的等差中项，也是1和9的等差中项.

9是7和11的等差中项，也是5和13的等差中项.

［方法引导］等差中项及其应用问题的解法关键在于抓住a,A,6成等差数列24二什氏以促成

将等差数列转化为目标量间的等量关系或直接由孙46间的关系证得孙儿6成等差数列.

［合作探究］

师在等差数列｛%｝中，"为公差，若m,n,p,q£N且m+n=p+q,那么这些项与项之间有何种等量

关系呢？

生我得到了一种关系册,+a产即+%

师能把你的发现过程说一卜吗？

生受等差中项的启发，我发现侬％二团+能,勾+劣二附+的.

从而可得在一等差数列中，若m+n=p+q,则五+为=%+%

师你所得的这关系是归纳出来的，归纳有利于发现，这很好，但归纳不能算是证明！我们是否

可以对这归纳的结论加以证明呢？

生我能给出证明，只要运用通项公式加以转化即可.设首项为则

am+4产4+31）在用+（m1）占24+n-2）dy

%二办由■勒+（牙1）仁24+3+62）4

因为我们有m+k/g,所以上面两式的右边相等，所以%+多』+%

师好极了！由此我们的一个重要结论得到了证明：在等差数列｛4｝的各项中，与首末两项等距离

的两项的和等于首末两项的和.另外，在等差数列中，若二产夕，则上面两式的右边相等，所以

4小+a”一孙+

同样地，我们还有：若小+”=2口则“+a=2%这也是等差中项的内容.

师注意：由斯＞+为=沏+为推不出用+〃=/升9，同学们可举例说明吗？

生我举常数列就可以说明了.

师举得好!这说明在等差数列中，品,+4产即+%是向■〃=p+g成立的必要不充分条件.

［例题剖析］

【例1】在等差数列｛册｝中，若句+为=9,包=7,求的，麴.

师在等差数列中通常如何求一个数列的某项？

生1在通常情况下是先求其通项公式，再根据通项公式来求这一项.

生2而要求通项公式，必须知道这个数列中的至少一项和公差，或者知道这个数列的任意两项（知

道任意两项就知道公差，这在前面已研究过了）.

生3本题中，只已知一项和另一个双项关系式，想到从这双项关系式入手……

师好，我们下面来解，请一个同学来解一解，谁来解？

生4因为｛%｝是等差数列，所以；?1+*为+劣=9&尸9-药=9-7二2,

所以可得占y的=7-2=5.

又因为a广为+（9-4）#7+5X5=32,所以我们求出了药=2,我=32.

【例2】（课本例2）某市出租车的计价标准为1.2元/%，起步价为10元，即最初的4千米（不

含4千米）计费10元.如果某人乘坐该市的出租车去往14Am处的目的地，且一路畅通，等候时间

为0,需要支付多少元的车费？

师本题是一道实际应用题，它所涉及到的是什么知识方面的数学问题？

生这个实际应用题可化归为等差数列问题来解决.

师为什么？

生根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4am时，每增加14m,乘客需要支付L2元.所以,

我们可以建立一个等差数列来进行计算车费.

师这个等差数列的首项和公差分别是多少？

生分别是11.2,1.2.

师好，大家计算一下本题的结果是多少？

生需要支付车费23.2元.

（教师按课本例题的解答示范格式）

评述：本例是等差数列用于解决实际问题的一个简单应用，做此题的目的是让大家学会从实际问

题中抽象出等差数列的模型，用等差数列知识解决实际问题.

（三”课堂练习

1.在等差数列｛备｝中，⑴若的=24o=b,求知

解：由等差数列｛叫知2办0=忿+的即2/>=什如,所以句5=2人.

（2）若麴+冬=口,求卷+备。

解：等差数列｛端中，的+码=曲+冬=m

（3）若的二6,为二15,求

解：由等差数列｛叫得桁的+（8-5）&即15=6+3同所以#3.从而曲尸为+。4-5）#6+9X3=33.

（4）已知硒+与+…+的=30,诙+祈+…+々（）=80,求向］+的2+…+团5的值•

解：等差数列｛端中，因为6+6=11+1,7+7=12+2,……

所以2卷=与+M［,2劭=卷+a⑵....从而（4［+2|2+…+为5）+（吊+42+…+愈）=2（他+距+…+210）,

-==

因此有（2“+团2^---lz?i5）2（^）+^7H-----------------H^5）2X80-30=130.

2.让学生完成课本练习2、3、4o教师对学生的完成情况作出小结与评价。

［方法引导］此类问题的解题的关键在于灵活地运用等差数列的性质，因此，首先要熟练掌握等

差数列的性质，其次要注意各基本量之间的关系及其它们的取值范围.

（四）、课堂小结

师通过今天的学习，你学到了什么知识?有何体会？

生通过今天的学习，明确等差中项的概念;进一步熟练掌握等差数列的通项公式及其性质.

（让学生自己来总结，将所学的知识，结合获取知识的过程与方法，进行回顾与反思，从而达到三

维目标的整合，培养学生的概括能力和语言表达能力）

（五”布置作业课本习题1-2A组9,B组1

预习内容：课本下节内容；预习提纲：①等差数列的前〃项和公式；②等差数列前〃项和的简单

应用。

五、教后反思：

第六课时§1.2.3等差数列的前n项和（一）

一、教学目标：1、知识与技能：掌握等差数列前〃项和公式及其获取思路；会用等差数列的前〃

项和公式解决一些简单的与前。项和有关的问题。2、过程与方法：通过公式的推导和公式的运用，

使学生体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律，初步形成认识问题、解决问题的一般思

路和方法；通过公式推导的过程教学，对学生进行思维灵活性与广阔性的训练，发展学生的思维

水平。3、情感态度与价值观：通过公式的推导过程，展现数学中的对称美，通过生动具体的现实

问题，令人着迷的数学史，激发学生探究的兴趣，树立学生求真的勇气和由信心，增强学生学好

数学的心理体验，产生热爱数学的情感。

二、教学重点等差数列的前A项和公式的理解、推导及应用。

教学难点灵活应用等差数列前〃项和公式解决一些简单的有关问题。

三、教学方法：探究归纳，讲练结合

四、教学过程

导入新课

印度泰姬陵（TajMahal）是世界七大建筑奇迹之一，所在地阿格拉市，泰姬陵是印度古代建

筑史上的经典之作，这个古陵墓融合了古印度、阿拉伯和古波斯的建筑风格，是印度伊斯兰教文

化的象征.陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝.传说当时陵寝中有一个等边三角形图案，以相

同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层（如下图），奢华之程度，可见一斑.你知道这个图案中一共

有多少颗宝石吗？（这问题赋予了课堂人文历史的气息，缩短了数学与现实之间的距离，引领学生

步入探讨高斯算法的阶段）

生只要计算出1+2+3+…+100的结果就是这些宝石的总数.

师对，问题转化为求这100个数的和.怎样求这100个数的和呢？这里还有一段故事.

教师出示投影胶片2:

加1出+腓?

高斯是伟大的数学家、天文学家，高斯十岁时，有一次老师出了一道题目，老师说：“现在

给大家出道题目：1+2+…100=?”过了两分钟，正当大家在：1+2=3;3+3=6;4+6=10…算得不

亦乐乎时，高斯站起来回答说：“1+2+3+…+100=5050.”

教师问：“你是如何算出答案的？”

高斯回答说：因为1+100=101；2+99=101;…；50+51=101,所以101X50=5050.

师这个故事告诉我们什么信息？高斯是采用了什么方法来巧妙地计算出来的呢？

生高斯用的是首尾配对相加的方法.也就是：1+100=2+99=3+98二…=50+51=101,有50个101,

所以1+2+3+--+100=50X101=5050.

师高斯算法的高明之处在于他发现这100个数可以分为50组，第一个数与最后一个数一组,

第二个数与倒数第二个数一组，第三个数与倒数第三个数一组，…，每组数的和均相等，都等于

101,50个101就等于5050了.高斯算法将加法问题转化为乘法运算，迅速准确得到了结果。作

为数学王子的高斯从小就善于观察，敢于思考，所以他能从一些简单的事物中发现和寻找出某些

规律性的东西.

师问：数列1,2,3,…，100是什么数列？而求这一百个数的和1+2+3+…+100相当于什么？

生这个数列是等差数列，1+2+3-…+100这个式子实质上是求这数列的前100项的和.

师对，这节课我们就来研究等差数列的前A项的和的问题.

（二”推进新课［合作探究］

师我们再回到前面的印度泰姬陵的陵寝中的等边三角形图案中，在图中我们取下第1层到第21

层，得到右图，则图中第1层到第21层一共有多少颗宝石呢？

生这是求“1+2+3+…+21”奇数个项的和的问题，高斯的方法不能用了.要是偶数项的数求和就

好首尾配成对了.

师高斯的这种“首尾配对”的算法还得分奇、偶个项的情况求和，适用于偶数个项，我们是否

有简单的方法来解决这个问题呢？

生有!我用几何的方法，将这个全等三角形倒置，与原图补成平行四边形.平行四边形中的每行宝

石的个数均为22个，共21行.则三角形中的宝石个数就是a+

师妙得很!这种方法不需分奇、偶个项的情况就可以求和，真是太好了!我将他的几何法写成式子

就是：1+2+3+…+21,21+20+19+…+1,对齐相力口（其中下第二行的式子与第一行的式

子恰好是倒序）这实质上就是我们数学中一种求和的重要方法一’倒序相加法”.

现在我将求和问题一般化：⑴求1到A的正整数之和，即求1+2+3+…注：这问题在前

面思路的引导下可由学生轻松解决）⑵如何求等差数列｛4｝的前。项的和S?

生1对于问题⑵，我这样来求：因为5”=21+必+多"1--卜He,S”二%+念1"11-^14-^1,再将两式相

加，因为有等差数列的通项的性质：若■夕，则端UF即+为,而以S,二〃（4；"〃）.（I）

生2对于问题（2）,我是这样来求的：因为5a=团+（向+。+3+2力+（4+3力+…+［团+（介1）X外,

所以S”=/?ai+［1+2+3H---Jd=-nn\-\―—-dt即SL―—-d（U）

［教师精讲］两位同学的推导过程都很精彩，一位同学是用“倒序相加法”，后一位同学用的

是基本量来转化为用我们前面求得的结论，并且我们得到了等差数列前〃项求和的两种不同的公

式.这两种求和公式都很重要，都称为等差数列的前〃项和公式.其中公式（I）是基本的，我们可以发

现，它可与梯形面积公式（上底+下底）X高+2相类比，这里的上底是等差数列的首项勒，下底是

第A项四，高是项数区有利于我们的记忆.

［方法引导］师如果已知等差数列的首项©,项数为A,第A项为“则求这数列的前A项和用

公式（I）来进行，若已知首项入，项数为小公差%则求这数列的前〃项和用公式（II）来进行.

引导学生总结：这些公式中出现了几个量？

生每个公式中都是5个量.

师如果我们用方程思想去看这两个求和公式，你会有何种想法？

生已知其中的三个变量，可利用构造方程或方程组求另外两个变量（知三求二》

师当公差"不0时，等差数列｛册｝的前。项和工可表示为77的不含常数项的二次函数，且这二次

函数的二次项系数的2倍就是公塞

［知识应用］【例1】(直接代公式)计算：

⑴1+2+3+…(2)14-3+5+---+(2/7-1);(3)2+4+6+--•+2n；(4)1-2+3-4+5-6+•••+(2n-1)-2n.

(让学生迅速熟悉公式，即用基本量观点认识公式)请同学们先完成⑴〜(3),并请一位同学回答.

,n(n+\)n(\+n-\),

生(1)1+2+3+…+A=