北师大版八年级下册数学全册教案（2022年12月修订）

北师大版数学八年级下册

全册教案设计

第一章三角形的证明

1等腰三角形

第1课时全等三角形和等腰三角形的性质

课标要永

【知识与技能】

能够借助数学符号语言利用综合法证明等腰三角形的性质定理.

【过程与方法】

经历“探索一发现一猜想一证明”的过程，让学生进一步体会证明是探索活

动的自然延续和必要发展，发展学生的初步的演绎逻辑推理的能力.

【情感态度】

启发引导学生体会探索结论和证明结论，及合情推理与演绎的相互依赖和相

互补充的辩证关系.

【教学重点】

探索证明等腰三角形性质定理的思路与方法，掌握证明的基本要求和方法.

【教学难点】

明确推理证明的基本要求,如明确条件和结论，能否用数学语言正确表达等.

「敦与过睚

一.情景导入，初步认知

提前请学生回忆并整理已经学过的8条基本事实中的5条：

1.两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行；

2.两条平行线被第三条直线所截,同位角相等；

3.两边夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）；

4.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）；

5.三边对应相等的两个三角形全等（SSS）.

【教学说明】对以前所学知识进行复习巩固，为本节课的学习作准备.

二.思考探究，获取新知

L你能用所学知识证明吗？

已知：Z\ABC与ADEF,ZA=ZD,ZB=ZE,BC=EF.

求证：ZkABC丝Z\DEF.

t正明：・.・/A=ND,NB=NE：（已知），NA+NB+NC=180°,ZD+ZE+ZF=180°

（三角形内角和等于180°）,

AZC=180°-（ZA+ZB）,ZF=180°-（ZD+ZE）,

AZC=ZF（等量代换）.又BC=EF（己知），

.'.△ABC^ADEF（ASA）.

【归纳结论】

（1）两角相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（AAS）；

（2）根据全等三角形的定义，我们可以得到：全等三角形的对应边相等，

对应角相等；

2.等腰三角形有哪些性质？以前是如何探索这些性质的，你能再次通过折纸

活动验证这些性质吗？

【教学说明】让学生经历这些定理的活动验证和证明过程.具体操作中，可

以让学生先独自折纸观察.探索并写出等腰三角形的性质，然后再以六人为小组

进行交流，互相弥补不足.

【归纳结论】

（1）等腰三角形的两个底角相等；（简称为“等边对等角”）

（2）等腰三角形顶角的平分线、底边中线、底边上的高三条线重合.

三.运用新知，深化理解

1.在AABC中，AB=AC,NA=50°,求NB、NC的度数

分析：根据等腰三角形的性质：两底角相等，结合三隹形的内角和等于

180°来计算.

A

BC

解：在ZkABC中,AB=AC,

AZB=ZC.（等边对等角）

VZA+ZB+ZC=180°,NA=50°,

・・・NB=NC=65°.

2.已知在AABC中，AB=AC,直线AE交BC于点D,。是AE上一动点但不与

A重合，且OB=OC,试猜想AE与BC、BD与CD的关系，并说明你的猜想的理由.

猜想：AE±BC,BD=CD.

证明：VAB=AC,OB=OC,AO=AO,

.'.△ABO^AACO(SSS).

・•.ZBAO=ZCAO.

・・・AE为NBAC的平分线.

AAE1BC,BD=CD.

3.如图，AC与BD交于点0,AD=CB,E、F是BD上两点，且AE=CF,DE=BF.

请推导下列结论：（1）ZD=zB；（2）AE〃CF.

证明:(1)・・♦在4ADE与ACBF中，AD=CB,AE=CF,DE=BF,

AAADE^ACBF(SSS).

AZD=ZB

(2)VAADE^ACBF,

・,.ZAED=ZCFB,

AZAEO=ZCFO.

VftAAOE与aCOF中，ZAEO=ZCFO,

・・・AE〃CF.

4.如图，在AABC中，AB=AC,AD1BC,ZBAC=100°.求Nl、N3、ZB

的度数.

XVAD1BC,AZ3=90°.

在aABC中，AB=AC,・・・NB=NC=40°.

【教学说明】在此练习过程中，一定要注意学生的书写格式，必要时教师要

在黑板上板书过程.

四.师生互动,课堂小结

1.学习了等腰三角形的性质，较好地运用其性质解决等腰三角形的问题.

2.知道等腰三角形的顶角平分线、底边中线与底边上的高互相重合.

五.教学板书

1.三角形全等的判定定理:AAS

性质:对应边相等,对应角相等.

引例：

2.等腰三角形的性质:等边对等角.

学生演示：

3.等腰三角形的性质定理的推论：

三线合一.

丁谣后作业

布置作业:教材“习题L1”中第1、3题.

?敦与反思

在本节课的教学中，要采用小组合作的方式教学，在小组合作的基础上教师

通过分析、提问，和学生一起完成以上几个性质定理的证明，注意最好让两至三

个学生板演证明,其余学生注意其证明过程的书写是否规范.其后，教师作补充强

调.

第2课时等边三角形的性质

专、课标要7R

【知识与技能】

进一步熟悉证明的基本步骤和书写格式，体会证明的必要性

【过程与方法】

把等腰三角形与等边三角形的性质进行比较，体会等腰三角形和等边三角形

的相同之处和不同之处.

【情感态度】

体验数学活动中的探索与创造，感受数学的严谨性

【教学重点】

等腰三角形、等边三角形的相关性侦.

【教学难点】

等腰三角形、等边三角形的相关性质的应用.

丁教与过睚

一,情景导入，初步认知

在回忆上节课等腰三角形性质的基础上，提出问题：在等腰三角形中作出一

些线段（如角平分线、中线、高等），你能发现其中一些相等的线段吗？

【教学说明】通过提问的形式，复习上节课学习的内容，提高学生的学习兴

趣.

二.思考探究，获取新知

探究1.在等腰三角形中自主作出一些线段（如角平分线、中线、高等），观

察其中有哪些相等的线段，并尝试给出证明.

【归纳结论】

等腰三角形两个底角的平分线相等；

等腰三角形腰上的高相等；

等腰三角形腰上的中线相等.

如对于“等腰三角形两底角的平分线相等”，的证明方法：

证明：VAB=AC,

AZABC=ZACB.

,.・BD,CE为NABC,NACB的平分线,

AZ3=Z4.

在4ABD和AACE中，

Z3=Z4,AB=AC,ZA=ZA.

.'.△ABD^AACE(ASA).

・・・BD二CE(全等三角形的本应边相等).

你能证明其它两个结论吗？

探究2.求证：等边三角形三个内角都相等并且每个内角都等于60°.

已知：在△ABC中，AB=BC=AC.

求证：ZA=ZB=ZC=60°.

证明：在AABC中，VAB=AC,工NB=NC（等边对等角）.

同理：NONA,AZA=ZB=ZC（等量代换）.

XVZA+ZB+ZC=180°,

・・・NA=NB=NC=60°

【归纳结论】等边三角形三个内角都相等并且每个内角都等于60°.

【教学说明】通过自主探究和同伴的交流，学生一般都能在直观猜测、测量

验证的基础上探究出结论.

三.运用新知，深化理解

1.如图，已知AABC和ABDE都是等边三角形.求证:AE=CD.

证明：••.△ABC和ABDE都是等边三角形.

AZABE=ZCBD=60",|

AB二CB,BE=BD.1

在4ABE与4CBD中，/\

AB=CB,/J\

NABE=NCBD,

BE二BD.0

.,.△ABE^ACBD（SAS）.

・・・AE=CD.

2.如图，4ABC中，AB=AC,E在CA的延长线上，且ED1BC于D,求证:

AE=AF

证明：VAB=AC,

・・・NB;NC,

VED±BC,

.,.ZB+ZBFD=90°,K

ZC+ZE=90°,\/\

VZBFD=ZEFA,丈\

BnI

•••NB+NEFA=90°,

VZC+ZE=90°,

ZB=ZC,

・•・ZEFA=ZE,

.\AE=AF,

3.如图，在AABC中，ZA=20°,D在AB上，AD=DC,ZACD：ZBCD=2：3,

求：NABC的度数.

解：VAD=DC,

ZACD=ZA=20°,

•・,ZACD：ZBCD=2：3,

/.ZBCD=30°,^――---—1

AZACB=50°,

二NABC=1100.

【教学说明】在巩固等边三角形的性质的同时，进一步对等腰三角形的性质

进行综合应用，在书写过程中掌握综合证明法的基本要求和步躲，规范证明的书

写格式

四.师生互动，课堂小结

掌握证明的基本步骤和书写格式，经历“探索一发现一猜想一证明”的过程，

能够用综合法证明等腰三角形的两条腰上的中线（高），两底角的平分线相等，

等边三角形三个内角都相等并且每个内角都等于60°.

五.教学板书

等边三角形的性质:等边三

例1引例：

用形三个内角都相等,并且

学生演示学生演示:

每一个内角都等于60。.

产课后作业

布置作业:教材“习题1.2”中第2、3题.

丁教与反思

在探究时，对学生探究的结果予以汇总、点评，鼓励学生在自己做题目的时

候也要多思多想，并要求学生对猜测的结果给出证明.

第3课时等腰三角形的判定及反证法

课际要浜

【知识与技能】

探索等腰三角形判定定理,掌握反证法.

【过程与方法】

理解等腰三角形的判定定理，并会运用其进行简单的证明.

【情感态度】

培养学生的逆向思维能力.

【教学重点】

理解等腰三角形的判定定理.

【教学难点】

了解反证法的基本证明思路，并能简单应用

丁教与过睚

一.情景导入，初步认知

问题1.等腰三角形性质定理的内容是什么？这个命题的题设和结论分别是

什么？

问题2.我们是如何证明上述定理的？

【教学说明】通过问题回顾等腰三角形的性质定理以及证明的思路，要求学

生独立思考后再进行交流.

二.思考探究，获取新知

1.我们把等腰三角形的性质定理的条件和结论反过来还成立吗？如果一个

三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等吗？

【归纳结论】有两个角相等的三角形是等腰三角形.（简称：等角对等边）

2.小明说，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也

不相等.你认为这个结论成立吗?如果成立，你能证明它吗？

我们来看一位同学的想法：

如图，在AABC中，已知NBWNC,此时AB与AC要么相等，要么不相等.

假设AB二AC,那么根据“等边对等角”定理可得NC二NB,但

已知条件是NBWNC."NO百CNB”与已知条件“NBKNC”相

矛盾，因此ABWAC

你能理解他的推理过程吗？

再例如，我们要证明4ABC中不可能有两个直角，也可以采用这位同学的证

法，假设有两个角是直角，不妨设NA=90°,NB=90。，可得NA+NB=180。，

但NA+NB+NC=180°,“NA+NB=1800”与“NA+NB+NO180。”相矛盾，

因此aABC中不可能有两个直角.

引导学生思考：上面两道题的证法有什么共同的特点呢？

【归纳结论】都是先假设命题的结论不成立，然后由此推导出了与己知公理

或己证明过的定理相矛盾，从而证明命题的结论一定成立.这也是证明命题的一

种方法，我们把它叫做反证法.

【教学说明】总结这一证明方法，叙述并阐释反证法的含义，让学生了解.

三.运用新知，深化理解

1.已知：如图，NCAE是aABC的外角，AD〃BC且N1=N2.求证：AB=AC.

证明：•.•AD〃BC,

・・・N1=NB（两直线平行，同位角相等），

N2=NC（两直线平行，内错角相等）.

又・・・N1=N2,AZB=ZC.

・・・AB=AC（等角对等边）.

2.如图，BD平分NCBA,CD平分NACB,且MN〃BC,设AB=12,AC=18,求4

AMN的周长.

A

解：・・・BD平分NCBA,CD平分NACB,

AZMBD=ZDBC,NNCD=/BCD.

VMN/7BC,

AZMDB=ZDBC,ZNDC=ZBCD.

/.ZMDB=ZMBD,ZNDC=ZNCD.

.,.MB=MD,NC=ND.

・•・-l+AN+MN=AM+AN+MD+ND=AM+AN+MB+NC

=(AM+MB)+(AN+NC)=AB+AO30.

3.如图，在AABC中，BD_LAC于D,CE_LAB于E,BD=CE.求证：Z^ABC是

等腰三角形.

解：・・巧^做:1(AB-CE)=i(AC-BD)且BD=CE,

22

/.AB=AC.

•••△ABC是等腰三角形.

4.如图，在AABC中，AB=AC,DE〃BC,求证：Z\ADE是等腰三角形.

证明：VAB=AC,

・・・NB=NC,

・・・DE〃BC,

AZB=ZE,ZD=ZC.

AZD=ZE.

•••△ADE是等腰三角形.

5.垂直于同一条直线的两条直线平行.

ba

―JZ______

c

证明：假设a、b不平行，那么a、b相交

*.*a±c,b±c

AZ1=900,Z2=900

・•・Zl+Z2=180°

而a、b相交，则Nl+N2#180°与Nl+N2=180。相矛盾.

・・・假设不成立.

即：垂直于同一条直线的两条直线平行

【教学说明】学生在独立思考的基础上再小组交流，培养学生应用知识解决

问题的能力.

四.师生互动，课堂小结

结合本节课的学习，谈谈等腰三角形性质的判定的区别却联系.

五.教学板书

例2

1,等腰三角形的判定定理：

证明：

等角对等边.

例3

2.反证法的定义.

证明：

?课后作业

举例谈谈用反证法说理的基本思路.布置作业:教材“习题1.3”中第1、2、

3题.

「教与反思

通过学生的练习，发现学生对等腰三角形的判定定理掌握的较好，而用反证

法证明定理的应用掌握不够好，应在这方面多加练习讲解.

第4课时等边三角形的判定

专、课标要7R

【知识与技能】

理解等边三角形的判别条件及其证明，理解含有30°角的直角三角形性质

及其证明，并能利用这两个定理解决一些简单的问题.

【过程与方法】

经历运用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感,

发展抽象思维.

【情感态度】

在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心.

【教学重点】

等边三角形判定定理的发现与证明.

【教学难点】

了解反证法的基本证明思路，并能简单应用.

?敦与过睚

一.情景导入，初步认知

1.等腰三角形的性质和判定定理是什么？

2.等边三角形作为一种特殊的等腰三角形，具有哪些性质呢？又如何判别一

个三角形是等边三角形呢？

【教学说明】开门见山，引入新课，同时回顾，也为后续探索提供了铺垫.

二.思考探究，获取新知

1.一个三角形满足什么条件时是等边三角形？一个等腰三角形满足什么条

件时是等边三角形？请证明自己的结论，并与同伴交流.

【教学说明】学生自主探究等腰三角形成为等边三角形的条件，并交流汇报

各自的结论，教师适时要求学生给出相对规范的证明，概括出等边三角形的判别

条件，并引导学生总结.

2.用含30°角的两个三角尺，你能拼成一个怎样的三角形?能拼出一个等边

三角形吗？

在你所拼得的等边三角形中，有哪些线段存在相等关系，有哪些线段存在倍

数关系，你能得到什么结论？说说你的理由.

【教学说明】学生通过动手操作、观察，找出一些线段存在相等关系.从而

得出结论，并加深印象.在直角三角形中，如果一个锐角等于30°,那么它所对

的直角边等于斜边的一半.

【归纳结论】

（1）三个角都相等的三角形是等边三角形；

（2）有一角是60°的等腰三角形是等边三角形.

三.运用新知，深化理解

1.见教材P11例3

2.已知：如图，在RtZiABC中，ZC=90°,BC=-!-AB.求证：NBAC=30°

2

证明：延长BC至D,使CD二BC,连接AD.

VZACB=90°,AZACD=90°.

又・・，AC=AC.

AAACB^AACD(SAS).

・・・AB=AD.

VCD=BC,•••BO’BD.

2

又・.・BC=LAB,・・・AB=BD.

2

/.AB=AD=BD,

即aABD是等边三角形.

，NB=60°.

在RtZ\ABC中，ZBAC=30°.

3.如图，ZXABC是等边三角形，BD=CE,Z1=N2.求证：AADE是等边三

角形

证明：・・・△ABC是等边三角形，

AAB=AC.

在aABD与Z\ACE中,AB=AC,Z1=Z2,BD=CE,

AAABD^AACE(SAS).

.e.ZEAD=ZBAC=60°,EA=DA.

/.△ADE是等边三角形（有一角是60°的等腰三角形是等边三角形）.

4.如图，在Rt^ABC中，ZB=30°,BD=AD,BD=12,求DC的长.

一

解：在Rt^ABC,ZB=30°

VBD=AD

AZB二NBAD=30°

AZADC=60°.

VZC=90°,

AZDAC=30°.

在RtAADC中，ZDAC=30°

・・・CD=LAD（在直角三角形中，如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角

2

边等于斜边的一半）.

VBD=AD=12,

•'•CD=6.

【教学说明】变式训练,巩固新知.注意几何语言.熟练运用直角三角形的有

关性质.

四.师生互动，课堂小结

掌握证明与等边三角形、直角三角形有关的性质定理和判定定理.

五.教学板书

1.等边三角形的判定①:三个角都

相等的三角形是等边三角形.

②:有一个角等于60。的等腰三角

形是等边三角形.例4：

2.含3()。角的直角三角形的性质:在学生演示：

宜角三角形中，如果一个锐角等

于3()。,那么它所对的直角边等于

斜边的一半.

望课后作业

布置作业:教材“习题L4”中第3、5题.

货敦与反思

通过反复练习，学生对本节课的知识掌握的较好，就是几何过程不够严密,

有待加强.

2直角三角形

第1课时勾股定理及其逆定理

课际要永

【知识与技能】

1.掌握直角三角形的性质定理（勾股定理）及判定定理的证明方法，并能运

用定理解决与直角三角形有关的问题.2.结合具体例子了解逆命题的概念，会识

别两个互逆命题，知道原命题成立，其逆命题不一定成立.

【过程与方法】

进一步经历用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符

号感，发展抽象思维

【情感态度】

体验生活中数学的应用价值，感受数学与人类生活的密切联系，激发学生学

数学、用数学的兴趣.

【教学重点】

掌握直角三角形的性质定理（勾股定理）及判定定理的证明方法.

【教学难点】

运用定理解决与直角三角形有关的问题

丁教与过睚

一,情景导入，初步认知

我们学过直角三角形的哪些性质和判定方法？与同伴交流.

【教学说明】回顾旧知，也为后续探索提供了铺垫.

二,思考探究，获取新知

探究1：直角三角形的性质和判定

直角三角形的两个锐角有什么关系？为什么？

如果一个三角形的两个锐角互余，那么这个三角形是什么三角形？为什么？

【教学说明】让学生在解决问题的同时，总结直角三角形的一般性质.

【归纳结论】①直角三角形的两个锐角互余；②有两个角互余的三角形是直

角三角形.

探究2：勾股定理及其逆定理.

教材中曾利用数方格和割补图形的方法得到了勾股定理.如果利用公理及由

其推导出的定理，能够证明勾股定理吗？

【教学说明】教师引导学生思考，写出证明过程.

【归纳结论】勾股定理:直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.勾

股逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角

三角形.

探究3：互逆命题和互逆定理.

观察上面两个命题，它们的条件和结论之间有怎样的关系?在前面的学习中

还有类似的命题吗？

上面两个定理的条件和结论互换了位置，即勾股定理的条件是第二个定理的

结论，结论是第二个定理的条件.

在前面的学习中还有类似的命题吗？

【教学说明】教师应注意给予适度的引导，学生若出现语言上不严谨时，要

先让这个疑问交给学生来剖析，然后再总结.

【归纳结论】在两个命题中，如果一个命题条件和结论分别是另一个命题的

结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆

命题.

如果有些命题，原命题是真命题，逆命题也是真命题，那么我们称它们为互

逆定理.

三.运用新知，深化理解

1.说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假：

（1）四边形是多边形；

（2）两直线平行，同旁内角互补：

（3）如果ab=O,那么a=0,b=0.

【分析】互逆命题和互逆定理的概念，学生接受起来应不会有什么困难，尤

其是对以“如果……那么……”形式给出的命题，写出其逆命题较为容易，但对

于那些不是以这种形式给出的命题，叙述其逆命题有一定困难.可先分析命题的

条件和结论，然后写出逆命题.

解：（1）多边形是四边形.原命题是真命题，而逆命题是假命题.

（2）同旁内角互补，两直线平行.原命题与逆命题同为真.

（3）如果a=0,b=0,那么ab=O.原命题是假命题，而逆命题是真命题.

2.如图，BA_LDA于A,AD=12,DC=9,CA=15,求证：BA//DC.

证明：在4ADC中，AD=12,DC=9,CA=15.

VAD2+DC2=CA2,

•••△ADC是直角三角形.（如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那

么这个三角形是直角三角形）

Z.AD1CD,

VBA±DA,

ABA//DC.

3.某校把一块形状为直角三角形的废地开辟为生物园，如图5所示，ZACB

=90°,AC=80米，BC=60米，若线段CD是一条小渠，且D点在边AB上，已

知水渠的造价为10元/米，问D点在距A点多远处时，水渠的造价最低？最低造

价是多少？

解：当CD_LAB时，CD最短,造价最低.

VZACB=90°,AC=80,BC=60,

.e.AB=100.

设AD=x,则BD=100-x.

・・•在RtAADC与RtABDC中，

Z.CD2=AC2-AD2,CD2=BC2-BD2.

/.A^-AD^BC-BD2.

A802-X2=602-(100-X)2.

解得：x=64.

.•.在RtZ^ADC中，CD=48.

・,・最低造价是:48X10=480（元）.

你还能用其他方法求出CD的长吗？

（提示：用面积法）

4.己知：如图，在AABC中，ZC=90°,BC=a,AC=b,AB=c.求证：a2+b2

=c2.

证明：延长CB至D,使BD=b,作NEBD=NA,

并取BE=c,连接ED、AE（如图），则△ABCgZ\BED.

AZBDE=90°,ED=a（全等三角形的对应角相等，对应边相等）.

・•.四边形ACDE是直角梯形・・・・S梯形人族=16+96+坊=1（a+b）2.

22

AZABE=180°-（ZABC+ZEBD）=180°-90°=90°,AB=BE.

SAABE=-C2***S梯形ACDE=SAABE+SAABC+SABED，

2

—（a+b）2=—c2+-ab+—ab,即1a?+ab+—b2=—c2+ab,

2222222

Aa2+b2=c2

四.师生互动，课堂小结

这节课我们了解了勾股定理及逆定理的证明方法，并结合数学和生活中的例

子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道原命题成立，其逆命题不一定

成立，掌握了证明方法，进一步提高了演绎推理的能力.

五.教学板书

直角三角形性质:宜角三角形的两个

锐角互余.

直角三角形判定:有两个角互余的三

角形是直角三角形.

引例：

勾股定理:宜角三角形两条宜角边的

学生演示：

平方和等于斜边的平方.

逆定理:如果三角形两边的平方和等

于第三边的平方，那么这个三角形是

宜角三角形.

产课后作业

布置作业:教材“习题L5”中第2、3题.

「教与反思

在教学互逆命题和互逆定理时，要强调：互逆命题是相对两个命题而言的,

单独一个命题称不上互逆命题；一个命题是真，它的逆命题可能是真，也可能是

假.

第2课时直角三角形全等的判定

专、课标要7R

【知识与技能】

能够证明直角三角形全等的“HL”的判定定理，进一步理解证明的必要性

【过程与方法】

进一步经历用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符

号感

【情感态度】

进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力

【教学重点】

能够证明直角三角形全等的“HL”的判定定理

【教学难点】

进一步理解证明的必要性.

丁教与过睚

一,情景导入，初步认知

1.判断两个三角形全等的方法有哪几种？

2.已知一条边和斜边，求作一个直角三角形.想一想，怎么画？同学们相互

交流.

3.有两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等吗？如果其中一个

角是直角呢？请证明你的结论.

【教学说明】教师顺水推舟，询问能否证明：“斜边和一条直角边分别相等

的两个直角三角形全等“，从而引入新课.

二,思考探究，获取新知

探究：“HL”定理.

己知：在RtZ\ABC和Rt^A'B'C'中，NC=NC'=90°,AB=AZB',BC=B/

C’.求证：RtAABC^RtAA'B'C'.

证明：在RtAABC中，ACME?—BC“勾股定理).

又「在RtAA'B'C'中，A'C2:AB?—B'C'2(勾股定

理).

.'.AB=A'B',BC=B'C,AC=A'C.

RtAABC^RtAA'B'C(SSS).

【归纳结论】斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.(这一定

理可以简单地用“斜边、直角边”或“HL”表示.)

【教学说明】讲解学生的板演，借此进一步规范学生的书写和表达.分析命

题的条件，既然其中一边和它所对的直角对应相等，那么可以把这两个因素总结

为直角三角形的斜边对应相等，于是直角三角形有自己的全等判定定理.

三.运用新知，深化理解

L见教材P20例题

2.填空：如下图，Rt^ABC和RtZXDEF,ZC=ZF=90°.

(1)若NA=ND,BC=EF,则RtZ\ABCgRtZ\DEF的依据是遗.

(2)若NA=ND,AC=DF,则Rt4ABCgRt^DEF的依据是皿.

(3)若NA=ND,AB=DE,则RtZ\ABCgRtZ\DEF的依据是述.

(4)若AC=DF,AB=DE,则RtZsABC0RtZ\DEF的依据是也.

(5)若AC=DF,CB=FE,则RtZXABC且RtZXDEF的依据是战.

3.已知:RtZXABC和Rt^A'B'C',ZC=ZC=90°,BOB'C',BD、B'D'分别

是AC、A'C'边上的中线,且BD二B'D'.求证：RtAABC^RtAA，WC.

证明：在RtZXBDC和RtZXB'D'C'中，

VBD=B,D',BOB'C',

ARtABDC^RtAB，D，C)(HL定理).

/.CD=C,D'.

XVAC=2CD,A'C'=2C'D',

AAC=A，C'.

・••在RtAABC和RtAA*B'C'中,

・.・BC=B'CZC=ZC'=90°,AC=A'C',

/.RtAABC^RtAA,B'C(SAS).

4.如图，已知NACB=NBDA=90°,要使△ACB^^BDA,还需要什么条件?把

它们分别写出来，并证明.

解：AC=DB.

VAC=DB,AB=BA,

/.△ACB^ABDA(HL)

其他条件：CB二DA或四边形ACBD是平行四边形等.证明略.

【教学说明】这是一个开放性问题，答案不唯一，需要我们灵活地运用公理

和己学过的定理，观察图形，积极思考，并在独立思考的基础上，通过同学之间

的交流，获得各种不同的答案.

5.如图，在△ABC与△A'B'C'中,CD、C'D'分别分别是高,并且AC=A'C',

CD=C'D'.NACB=NA'CB'.求证：ZXABC丝△△'B'C'.

分析：要证△ABCgZXA'B'C',由己知中找到条件：一组边AOA'C',一组角

NACB=NA'C'B'.如果寻求NA二NA',就可用ASA证明全等；也可以寻求NB二N

B',这样就可用AAS；还可寻求BOB'C',那么就可根据SAS……注意到题目中

有CD、C'D'是三角形的高，CD=C'D'.观察图形，这里有三对三角形应该是全等

的，且题目中具备了HL定理的条件，可证得RtZXADC2RtZ\A'D'C',因此证明

NA=NA'就可行.

证明：・.・CD、CD分别是△ABC、△ABC的高（已知），

.，.ZADC=ZA,D,C,=90°.

在RtAADC和《△ADC'中，

AC二AC（已知），CD=C'D'（已知），

RtAADC^RtAA'D'C（HL）.

NA=NA,（全等三角形的对应角相等）.

在aABC和△ABC中，

NA=NA'（已证），

AC=AC（已知），

NACB:NA'CB（己知），

/.△ABC^AA'B'C（ASA）.

【教学说明】通过上述师生共同活动，学生板书推理过程之后可发动学生去

纠错，教师最后再总结.

四.师生互动，课堂小结

直角三角形的判定方法有五种，注意“HL”仅适用于直角三角形.

五.教学板书

直角三角形全等的判定:斜边和一

引例：

条直角边分别相等的两个直角三角

学生演示：

形全等.（HL）

产课后作业

布置作业:教材“习题1.6”中第3、4、5题.

丁教与反思

本节课我们讨论了在一般三角形中两边及其一边对角对应相等的两个三角

形不一定全等.而当一边的对角是直角时，这两个三角形是全等的，从而得出判

定直角三角形全等的特殊方法一一HL定理，并用此定理安排了一系列具体的、

开放性的问题，不仅进一步掌握了推理证明的方法，而且发展了同学们演绎推理

的能力.同学们这一节课的表现很值得夸赞.

3线段的垂直平分线

第1课时线段垂直平分线的性质定理及逆定理

课际要永

【知识与技能】

证明线段垂直平分线的性质定理和判定定理

【过程与方法】

经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明能力，丰富对几

何图形的认识

【情感态度】

通过小组活动，学会与他人合作，并能与他人交流思维的过程和结果.

【教学重点】

运用几何符号语言证明垂直平分线的性质定理及其逆命题.

【教学难点】

垂直平分线的性质定理在实际问题中的运用.

「敦与过睚

一.情景导入，初步认知

如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到

两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置？

.A

【教学说明】从实际问题入手，提高学生的学习兴趣，使学生明白数学来源

于生活，用于生活.

二.思考探究，获取新知

探究L垂直平分线的性质.

己知：如图，直线MNJ_AB,垂足是C,且AOBC,P是MN上的点.求证：

PA=PB.

证明：VMN1AB,

・・.NPCA=/PCB=90°

,.・AC=BC,PC=PC,

.,.△PCA^APCB(SAS).

・・・PA二PB（全等三角形的对应边相等）

【归纳结论】线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等

探究2:垂直平分线判定

你能写出上面这个定理的逆命题吗?它是真命题吗？

逆命题就很容易写出来.“如果有一个点到线段两个端点的距离相等，那么

这个点在这条线段的垂直平分线上.”

写出逆命题后时，就想到判断它的真假.如果真，则需证明它；如果假，则

需用反例说明.

引导学生分析证明过程.

己知：线段AB,点P是平面内一点且PA二PB.

求证：P点在AB的垂直平分线上.

证明：过点P作已知线段AB的垂线PC,PA=PB,PC=PC,

RtAPAC^RtAPBC（HL定理）.

AAC=BC,

即P点在AB的垂直平分线上

【教学说明】此处证明可让学生用多种方法证明.

【归纳结论】到一条线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线

上.

三.运用新知，深化理解

1.已知：如图，在ZXABC中，AB=AC,0是Z\ABC内一点，且0B=0C.

求证：直线A0垂直平分线段BC.

证明：•・•AB=AC,木

・••点A在线段BC的垂直平分线上（到一条线段两个端点

距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）.

同理，点0在线段BC的垂直平分线上.

・・・直线A0是线段BC的垂直平分线（两点确定一条直线）.

2.如图，DE为△ABC的AB边的垂直平分线，D为垂足，DE交BC于E,AC

二5,BC=8,求aAEC的周长.

解：:DE为AABC的AB边的垂直平分线，

AAE=BE.

JCAAEC=AC+AE+CE=AC+BE+CE=AC+BC=5+8=13.

3.如图，已知：线段CD垂直平分AB,AB平分NDAC.求证：AD/7BC

证明：:CD是AB的垂直平分线，

/.AC=BC,

・•・ZCAB=ZB,

又,:ZCAB=ZDAB,

AZDAB=ZB,AAD/7BC.

4.如图，已知：AD是AABC的高，E为AD上一点，且BEXE.求证：ZXABC

是等腰三角形.

证明：VBE=CE,AD1BC

・・・AD是BC的垂直平分线,

JAB二AC,

•'.△ABC是等腰三角形.

5.如图，已知：AB_LBC,CD±BC,NAMB=75°,ZDMC=45°,AM=DM.求证:

AB=BC.

证明：连接AC.

ZAMD=180°-75°-45°=60°,且AM=DM,

•,.△AMD是等边三角形.

二AM二AD.

又・.・NMDC=90°-45°=45°,

NMDONDMC,

ACD=CM,

・・・AC为DM的垂直平分线，

又,.，CD=CM

・,.CH是NDCM角平分线

AZACM=90°-45°=45°,

AZBAC=180°一/B=NACM=90°—NACM=45°

・・・AB=BC.

【教学说明】学生是第一次证明一条直线是已知线段的坛直平分线，因此老

师要引导学生理清证明的思路和方法并给出完整的证明过程.

四.师生互动，课堂小结

通过这节课的学习你有哪些新的收获？还有哪些困惑？

五.教学板书

垂直平分线定理1:线段垂直平分线上的

点到这条线段的两个端点的距离相等.引例:

定理2：到一条线段两个端点距离相等的例1:

点，在这条线段的垂直平分线上.

课后作业

布置作业:教材“习题L7”中第1、3题.

J教与反思

由于本节课是对垂直平分线的性质与判定的综合应用，学生掌握起来难度较

大，所以要引导学生理清证明的思路和方法并给出完整的证明过程.

第2课时三角形三边的垂直平分线

课标要浜

【知识与技能】

1.能够证明三角形三边垂直平分线交于一点.2.垂直平分线的应用.

【过程与方法】

经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力.体

验解决问题的方法，提高实践能力和创新意识.

【情感态度】

体验数学活动中的探索与创造，感受数学的严谨性.

【教学重点】

作已知线段的垂直平分线.

【教学难点】

垂直平分线的应用.

丁教与过睚

一,情景导入，初步认知

上节课我们学习了线段的垂直平分线，线段的垂直平分线的性质定理、判定

定理是什么？

【教学说明】回顾旧知，为本节课作准备.

二.思考探究，获取新知

探究1：请同学们剪一个三角形纸片，通过折叠找出每条边的垂直平分线，

观察这三条垂直平分线，你是否发现同样的结论?与同伴交流.

【教学说明】让学生自己经历探究的过程，不要直接给出答案或很有指向性

的提示.

【归纳结论】三角形三边的垂直平分线交于一点，这个点到三个顶点的距离

相等.

探究2：已知底边及底边上的高，求作等腰三角形.

已知：线段a、h

求作：△ABC,使AB=AC,BC=a,高AD二h

作法：1.作BC二a；

2.作线段BC的垂直平分线MN交BC于D点；

3.以D为圆心，h长为半径作弧交MN于A点;

4.连接AB、AC.

AAABC就是所求作的三角形（如图所示）.

探究3：已知直线1和1上一点P,用尺规作1的垂线，使它经过点P.

如果点P是直线1外一点，那么怎样用尺规作1的垂线，使它经过点P

呢？

【教学说明】学生先独立思考完成，然后交流，说出做法并解释作图的理由.

三.运用新知，深化理解

1.如图，已知：在AABC中，AB、BC边上的垂直平分线相交于点P.求证：

点P在AC的垂直平分线上.%

证明：P是AB、BC边上的垂直平分线，/1\

AAP=BP,BP=CP,TSj?\

AAP=CP,匕__'^c

・・.P点在AC的垂直平分线上.

2.如图所示，在RtZXABC中，NC=90°,ZA=30°.

（1）尺规作图：作线段AB的垂直平分线1（保留作图痕迹，不写作法）；

（2）在已作的图形中，若1分别交AB、AC及BC的延长线于点D、E、F,连

接BE.

求证：EF=2DE.

解：(1)直线1即为所求.

(2)证明：在RtZ^ABC中，

VZA=30°,ZABC=60°,

又〈I为线段AB的垂直平分线，

AEA=EB,

AZEBA=ZA=30°,ZAED=ZBED=60°,

AZEBC=30°=NEBA,ZFEC=60°.

又・・・ED_LAB,EC±BC,.1ED=EC.

在Rt7\ECF中，

ZFEC=60°,/.ZEFC=30°,

AEF=2EC,

AEF=2ED.

3.己知：线段a=4cm,h=6cm.

求作：作一个△ABC,使AB=AC,且BC=a,高AD=h.

作法：略

【教学说明】通过练习，巩固所学知识.熟练运用垂直平分线解决问题.

四.师生互动，课堂小结

本节课通过推理证明了“到三角形三个顶点距离相等的点是三角形三条边的

垂直平分线的交点，及三角形三条边的垂直平分线交于一点”的结论，并能根据

此结论“己知等腰三角形的底和底边的高，求作等腰三角形”.

五.教学板书

例2：例3：

证明：证明：

产课后作业

布置作业:教材“习题L8”中第1、2题.

丁教与反思

让学生动手画出符合要求的三角形，训练他们的作图技能，要注意提醒学生

正确使用直尺和圆规，规范作图.

4角平分线

第1课时角平分线的性质定理及逆定理

课而要永

【知识与技能】

会证明角平分线的性质定理及其逆定理

【过程与方法】

经历探索、猜测、证明的过程，进一步提高学生的推理证明意识和能力.体

验解决问题的方法，发展实践能力和创新意识.

【情感态度】

经历探索、猜想、证明使学生掌握研究解决问题的方法.

【教学重点】

正确地表述角平分线性质定理的逆命题及其证明.

【教学难点】

正确地表述角平分线性质定理的逆命题及其证明.

「敦与过睚

一.情景导入，初步认知

让学生到黑板上画出他们收集到的日常生活中应用角平分线的例子，并分别

说出它们的作用.

【教学说明】高度评价学生的参与热情和学习成果，激励学生继续努力.尤

其是对于其中很有创意的发现，可以以该学生名字命名，以此鼓励.提高学生的

积极性.

二.思考探究，获取新知

探究1：角平分线定理

已知：如图，0C是NAOB的平分线，点P在0C上，PD_LOA,PE_LOB,垂足分

别为D、E.

求证：PD=PE.

证明：VZ1=Z2,OP=OP,

NPD0=NPE0=90°,

.,.△PDO^APEO(AAS).

，PD二PE（全等三角形的交应边相等）.

【教学说明】请同学们自己尝试着证明上述结论，然后在全班进行交流.教

师在教学过程中对有困难的学生要给予指导.

【归纳结论】角平分线上的点到这个角两边的距离相等.

探究2：角平分线的判定定理.

已知：在NA0B内部有一点P,且PDJ_OA,PE±OB,D、E为垂足且PD=PE.

求证：点P在NA0B的角平分线上.