电磁场与电磁波(第三版)课后答案-谢处方

第一章习题解答

1.1给定三个矢量A、8和C如下：

求：（1）*；（2）|A-B|;（3）A・〃；口）4s；（5）A在B上的分量；①）AxC；

⑺A.（BxC）^（AxB）.C;⑻（Ax〃）xC和Ax（BxC）。

口，、A0、.+%2-e:3123

阜⑴a=--j=[———=e]—+I——C-[-

A同心22+(_3)2Vi4yV14，加

(2)同一四=|(ev+ev2-e.3)-(-ev4+^-)|=,+八6-生4|=>/53

e+e2e-H

⑶A»B=(xy~z^•(-ev4+^)=

(4)由cos^.„=Ih1=—f=—/==—i---，得/8=cos-1(—7==^)=135.5

AB\A\\B\714x717V238初

,v—.A*B11

(5)A在〃上的分量，二|川8$48=西=一而

e、%ez

⑹AxC=12-3=-e**4-ey13-e.•lO

50-2

〃4e二

(7)由于3xC=0-41=e,8+e、,5+e：20

50-2

所以A»(BxC)=(ev4-ey2-e.3)»(ev8+ey5+ez20)=-42

〃e、e:

(8)(AxB)xC=-10-1-4=e、2—e、40+e5

50-2

1.2三角形的三个顶点为[((1,1,一2)、P2(4,1,-3)和A(6,2,5).

11)判断AqaR是否为一直角三角形；

(2)求三角形M面积。

解(1)三个顶点4(0,1,-2)、R(4,1,-3)和6(6,2,5)的位置矢量分别为

r=ev-e,2,r,=e,4+e-e.3，r,=e,6+ev2+e,5

那么Ri2=r2-rx=%4—。=，R2y=ry-r2=ex2+ev+e.S，

由此可见

故△[鸟A为一直角三角形。

⑵三角形的面积S=3几乂&3|=,国2卜|%|=，/^刷=17.13

1.3求产(一3,1,4)点到P(2,-2,3)点的距离矢量R及R的方向。

解=一%3+外+e：4,r?=ev2-ey2+e,3,

那么Rpp=rp-rP.=e{5-ev3-e

且与x、V、z轴的夹角分别为

1.4给定两矢量A=e,2+c、,3—e,4和8=e、4—e、5+e:6,求它们之间的夹角和其在3上的分

量。

解A与3之间的夹角为cos-1(，；')=cos-1(,——3I——)=131

|A||B|729x77/7

B-31

A在3上的分量为AR=A.-=-^==-3.532

1.5给定两矢量A=e<2+e.3-生4和B=-%6-ev4+e=，求Ax5在C=e、-ev+e二上的分量。

%4%

解AX〃=23-4=-ex13+ey22+e.10

-6-4I

(AxB)-C25

所以Ax3在C上的分量为(AxB)=十二-14.43

cKI6

1.6证明：如果A.5=A•。和4x6=AxC，那么5=C；

解由Ax〃=AxC，那么有Ax(4x〃)=Ax(AxC),即

由于A.5=A・C，于是得到(44)b=(A・A)C

故b=C

1.7如果给定一未知矢量与一矢量的标量积和矢量积，那么便可以确定该未知矢量。设A为一矢

量，〃=A・X而p=AxX，〃和尸，试求X。

解由尸=AxX，有

故得万二送二9

A>A

1.8在圆柱坐标中，一点的位置由(4,至,3)定出，求该点在：(1)直角坐标中的坐标；(2)球坐

标中的坐标。

解(1)在直角坐标系中x=4cos(2%/3)=—2、y=4sin(2%/3)=26、z=3

故该点的直角坐标为(一2,2百,3)。

⑵在球坐标系中,.=’4?+32=5、6>=tan-1(4/3)=53.1'。=2万/3=120

故该点的球坐标为(5,53.1,120)

1.9用球坐标表示的场£二%三，

rr~

⑴求在直角坐标中点(-3,4,-5)处的忸|和Ex;

(2)求在直角坐标中点(—3,4,-5)处£与矢量〃=%2-e、,2+e：构成的夹角。

解(1)在直角坐标中点(一3,4,-5)处，产=(-3)2+4?+(—5)2=50，故

(2)在直角坐标中点(一3,4,-5)处，r=-ex3+ey4-e:5,所以

-1-

故E与3构成的夹角为0ER=cos(W)=cos'(」9。0@)3.6

同以3/2=15

i.io球坐标中两个点(小巧,咐和5，%人)定出两个位置矢量.和凡。证明凡和凡间夹角的

余弦为

解由R]=ejjsin"cos。1+eyi\sin"sin必+ej\cos0x

z-.1R/R,

得QZ到8"二间两"

1.11一球面s的半径为5,球心在原点上，计算：J(e，3sinO)・dS的值。

，夕）・，。）・2

解J（e3sindS=J（e3sin4dS=jd^j3sin8x5sin8d0=75/

S$00

LI2在由r=5、z=0和z=4围成的圆柱形区域，对矢量A=or，+生2z验证散度定理。

解在圆柱坐标系中▽•A=」W("2)+0(2z)=3r+2

rdrdz

42K5

所以Jv・4d「=jdzJd°J(3r+2)〃dr=]200;r

rooo

2

又jA・dS=j(err+e_2z)<erdSr+e0dJ+e二dS：)=

ss

故有JAd。=1200)=JA・dS

TS

1.13求(1)矢量A=ej2+qx2)，2+约24x2)，z3的散度；(2)求\7・A对中心在原点的一个单位

立方体的积分；⑶求a对.立方标外表的面分，验证散度定理。

解⑴▽.人辿+5+/f=2/+2。+72心星

dxdydz

(2)▽・A对中心在原点的一个单位立方体的枳分为

13)A对此立方体外表的积分

故有/▽・Adr=*=gA・dS

；14计算矢量,对一个球心在原点、半径为。的球外表的积分，并求对球体积的枳分。

2行穴

解Jr・dS=jrqdS=jdaa2sin6d0=^7ia

ssoo

又在球坐标系中，▽»=272(/r)=3,所以

r"dr

1.15求矢量A=eH+e/+e：y2z沿口平面上的一个边长为2的正方形回路的线积分，此正方

形的两边分别与x轴和;轴相,重合。由求▽xA对此回路所包围的曲面积分，验证斯托克斯定理。

2222

解JA-d/=Jxdx-Jxdx+pdy-Jody=8

exrey,ez

_a_a_a

又Vx4==eX,2yz+ez.2x

dxdydz

xx2y2z

22

所以J▽xA«dS=JJ（。\2yz+。.2x）・e：dxdy=8

soo

故有,A«dZ=8=jVxA«dS

cs

1.16求矢量A=qx+e、,J9J沿圆周x2+y2=a2的线积分：再计算VxA对此圆面积的积分。

解JA«dZ=Jxdx+»~dy=J（-t/2cos^sin+cos2^sin2°）d°=^-

1.17证明：11〕▽・K=3；（2）▽xK=0；（3）V（A・K）=A。其中A=e“+e、.y+e：z,-为

一常矢量。'

解⑴V./?=—+^-+—=3

dxdydz

1.22方程〃=£+£+W给出一椭球族。求椭球外表上任意点的单位法向矢量。

a2b2c2

解由于▽〃="4+%斗+已与

a'b-'e

故椭球外表上任意点的单位法向矢最为

1.23现有三个矢量A、B、C为

(1)哪些矢量可以由一个标量函数的梯度表示？哪些矢量可以由一个矢量函数的旋度表示？

(2)求出这些矢量的源分布。

解(1)在球坐标系中

故欠量A既可以由一个标审函数的梯度表示，也可以由一个矢量函数的旋度表示；

在圆柱坐标系中

也矢量B可以由一个标量函数的梯度表示；

直角在坐标系中

故矢量C可以由一个矢量函数的旋度表示。

(2)这些矢量的源分布为

▽・A=0，Vx4=0；

V»B=2rsin^♦VxB=0;

▽・C=0，VxC=e,(2x-6y)

1.24利用直角坐标，证明

解在直角坐标中

1.25证明

解根据▽算子的微分运算性质，有

式中▽八表示只对矢量A作微分运算，V”表示只对矢量H作微分运算。

由。・(”。)=。・(〃乂》)，可得

同理

Vw.(AxH)=-A.(VHXH)=-A.(VxH)

故有▽・(Ax")=HA7xA-AA7xH

1.26利用直角坐标，证明

解在直角坐标中

所以

1.27利用散度定理及斯托克斯定理可以在更普遍的意义下证明▽x(V〃)=0及▽♦(▽xA)=0,试

证明之。

解(1)对于任意闭合曲线。为边界的任意曲面S，由斯托克

斯定理有

a

j(VxVw).dS=([Vw.d/=^d/=pi/=O

由于曲面S是任意嬴故有°0,

(2)对于任意闭合曲面s为边界的体积了，由散度定理有

其中岳和邑如题L27图所示。由斯托克斯定理，有

J(VxA).dS={A<iZ,题1.27图

S\G

j(Vx4)・dS=JA-dZ

由题1.27图可知G和G是方向相反的同一回路，那么有J4d/=-[A・dI

Gc2

所以得到]▽•(▽xA)dr二jA.dZ+jA.dZ=-jA<1/+jA<l/=0

GgGc2

由于体积z■是任意的，故有V・(VxA)=0

第二章习题解答

2.1一个平行板真空二极管内的电荷体密度为厂N3,式中阴极板位于工=(),阳极板位

2

于x=d,极间电压为Uo。如果Ub=40V、d=loin'横截而s=10cm，求：(1)x=0和x=d区

域内的总电荷量Q；(2)工=力2和x=d区域内的总电荷量。。

解(1)2=jpdr=f(--dx=-A=-4.72x1O^11C

ro93d

dAA।

(2)Qr=^pdr=j/3)sdx=」(l_")£oUoS=_0.97x](T"C

%J/293dyj2

2.2一个体密度为0=2.32x10-7c/nf的质子束，通过1(XX)V的电压加速后形成等速的质子束，质子

束内的电荷均匀分布，束直径为2mm，束外没有电荷分布，试求电流密度和电流。

解质子的质量〃=1.7x10-27j^、电量q=1.6xl()T9c。由

得u=]2mqU=1.37xl06m/s

故J=pv=0.318A/m2

2.31个半径为。的球体内均匀分布总电荷量为Q的电荷，球体以匀角速度“绕一个直径旋转，求

球内的电流密度。

解以球心为坐标原点，转轴[一直径)为z轴。设球内任一点尸的位置矢量为r,且r与z轴的夹

角为0,那么0点的线速度为

球内的电荷体密度为

..rQ.A3Qco.八

故J=G-----69/*sin0=e.----7rsin0

2.4一个半径为。的导体球带总电荷量为Q,同样以匀角速度。绕一个直径旋转，求球外表的面电

流密度。

解以球心为坐标原点，转轴(一直径)为z轴。设球面上任一点0的位置矢量为r,且r与z轴的

夹角为e，那么尸点的线速度为

球面的上电荷面密度为

故J、=av=e0斗。、(ixisinO=e0sin0

2.5两点电荷q=8C位于z轴上z=4处，%=-4C位于y轴上y=4处，求(4,0,0)处的电场强

度。

解电荷/在(4,0,0)处产生的电场为

电荷%在(4,0,0)处产生的电场为

故(4,0,0)处的电场为

2.6一个半圆环上均匀分布线电荷求垂直于圆平面的轴线上z=〃处的电场强度E(0,0M),设

半圆环的半径也为。，如题2.6图所示。

解半圆环上的电荷元gd/'=Plad"在轴线上z=。处的电场强度为

par-r

dE=-t----j=-6(p=

4乃%(42a)

在半圆环上对上式积分，得到轴线上z=a处的电场强度为

2.7三根长度均为L,均匀带电荷密度分别为P心Pm和P/3地线电荷构

成等边三角形。设4=2%=2自3,计算三角形中心处的电场强度。

解建立题2.7图所示的坐标系°三角形中心到各边的距离为

题2.6图

d=—tan30=—L

|那么26

故等边三角形中心处的电场强度为

2.8一点电荷位于(_〃,(),())处，另一点电荷一2q位于(a,0,())处，

/\空间有没有电场强度£=0的点？

A><A解电荷+4在(x,y,z)处产生的电场为

1/\二电荷—2q在(x,)，,z)处产生的电场为

(工,丁;)处的电场那么为£=£I+£2。令£=0，那么有

题2.7图由上式两端对应分量相等，可得到

(x+a)[(x-a)2+)?+z?产=2(x-fz)[(x+fl)2+y2+z2J32®

y[(x-a)2+y2+z2.=2y[(x+a)2+y2+z2]-2②

z[(x-a)2-y2+z2]3/2=2z[(x+a)24-y2+z?产③

当)，w0或zwO时，将式②或式③代入式①，得。=0。所以，当y工0或z/0时无解；

当y=0且z=0时，由式①，有

解得

但X=—3a+2缶不合题意，战仅在(—3a-2&a,0,0)处电场强度E=。。

2.9一个很薄的无限大导电带电面，电荷面密度为。。证明：垂直于平面的z轴上z=z0处的电场

强度E中，有一半是有平面上半径为后Z。的圆内的电荷产生的。

解半径为r、电荷线密度为自=<rdr的带电细圆环在z轴上z=Z。处的电场强度为

故整个导电带电面在z轴上z=z0处的电场强度为

’而半径为、Gz0的圆内的电荷产生在z轴上z=z0处的电场强度为

2.10一个半径为〃的导体球带电荷量为Q,当球体以均匀角速度①绕一个直

©径旋转，如题2.10图所示。求球心处的磁感应强度3。

解球面上的电荷面密度为

当球体以均匀角速度e绕一个直径旋转时,球面上位置矢量,=%.点处的电流面

密度为

将球面划分为无数个宽度为d/=ad。的细圆环，那么球面上任一个宽度为

(1/=6^。细圆环的电流为~/=4€1/=也5也。€1。

题2.10图4乃

细圆环的当径为/?=asin夕,圆环平面到球心的距离d=acos。,利用电流圆环

的轴线上的磁场公式，那么该细圆环电流在球心处产生的磁场为

故整个球面电流在球心处产生的磁场为B=e「从。曲0=e.

3兀a~6/ra

2.U两个半径为力、同轴的相同线圈，各有N匝，相互隔开距离为d，如题2.11图所示。电流/以

相同的方向流过这两个线圈。

(I)求这两个线圈中心点处的磁感应强度B=eR；

(2)证明：在中点处d8、/dx等于零；

(3)求出〃与"之间的关系，使中点处cP纥./d,也等于零。

解(1)由细圆环电流在其轴线上的磁感应强度3

2，2。”23一/2

2(a+z)

得到两个线圈中心点处的磁感应强度为B=eN。'行

*x(b~+?/4产

(9.)两线圈的电流在其轴建上x(Ovxvd)处的磁感应强度为

jNlb?

x[2(b2+V产22[b2+(d-工尸产

所以也.=3从oNIb%।3〃oNB“d-x)

"?7--2(一+_?产22[b2+(J-x)2]5/2

故在中点x=d/2处，有

222

⑶d_\5jLiuNIbx3〃°M〃2

r=221/2225/2+

1x2(b+x)~2(b^x)

令=o,有5"4___________1______

题2.11图d/11"厅+j2/4]7/2[h2+"2/4产

即5d2/4=〃+//4

故解得(/=b

2.12一条扁平的直导体带，宽为2〃，中心线与z轴重合，

通过的电流为/。证明在第一象限内的磁感应强度为

B、二-"a，及二丛£皿殳式中a、乙和心如题2.12

4万。4万a7;12

图所示。

解将导体带划分为无数个宽度为d£的细条带，每一细条带

的电流d/=4-ck'。由安培环路定理，可得位于/处的细条带的

2a

电流d/在点P(x,y)处的磁场为

题2.12图

,..〃0八'dx'

那么dBD、=一dBDsin0n=---------——；-----

*4MU-/)2+y2]

所以

2.13如题2.13图所示，有一个电矩为A的电偶极子，位于坐标原点上，另一个电矩为P?的电偶

极子，位于矢径为/•的某一点上。试证明两偶极子之间相互作用力为

式中a=<r,Pi〉，02=<r,p2>,"是两个平面(r,pj和(r,P2)间的夹角。并问两

个偶极子在怎样的相对取向下这个力值最大？

解电偶极子Pi在矢径为「的点上产生的电场为

所以Pi与P?之间的相互作用能为

因为4=<r,P[〉，ft=<r,p2>,那么

乂因为。是两个平面(r,pj和(r.pj间的夹角，所以有

另一方面，利用矢量恒等式可得

因

(Pi・02)=《[(rxn)・(rx小)一(厂・0)(r+P2)]=

r~

P]P?COSacosa

于是得至iJ叱=，"3(sin^sinftcos2cos&cos0)

£0r2

故两偶极子之间的相互作用力为

…=一翳(sinasin02cos^-2cos&cosft)Jg)=

--(sinqsin0.cos-2cos9、cosft)

•/*GQ/

由上式可见，当a=%=。时，即两个偶极子共线时，相互作用力值最大。

2.14两平行无限长直线电流人和。，相距为△，求每根导线单位长度受到的安培力居,。

解无限长直线电流(产生的磁场为男=畤丝

271r

直线电流入每单位长度受到的安培力为耳m=j八七x4dz=-e12

i-21d

式中々2是由电流乙指向电流I2的单位矢量。

同理可得，直线电流(每单位长度受到的安培力为《必=-尸，小=勺2”4

“27rd

2.15一根通电流乙的无限长直导线和一个通电流"的圆环在同一平面上，圆心与导线的距离为d，

如题2.15图所示。证明：两电沆间相互作用的安培力为

这里a是圆环在直线最接近圆环的点所张的角。

解无限长直线电流人产生的磁场为

圆环上的电流元Ad/2受到的安培力为

由题2.15图可知di?=(-evsin^4-e.cos0)ad0

所以居,=]夕一

(~e:sinexcos0)60=

02)(d+acos〃)

2.16证明在不均匀的电场中，某一电偶极子P绕坐标原点所受到的力矩为

rx(p-V)E+pxE。

解如题2.16图所示，设p=qd/(d/<vl),那么电偶极子P绕坐标原点所受

到的力矩为

当山《1时,有

故得到

第三章习题解答

3.1真空中半径为。的一个球面，球的两极点处分别设置点电荷。和一试

计算球赤道平面上电通密度的通量。(如题3.1图所示)。

解由点电荷^和一与共同产生的电通密度为

那么球赤道平面上电通密度的通量

3.21911年卢瑟福在实验中使用的是半径为

G的球体原子模型，其球体内均匀分布有总电荷量

为一Ze的电子云，在球心有一正电荷Ze(Z是原子序数,e足质子电荷

量J,通过实脸得到球体内的电通量密度表达式为A=e,乡43

4人广<

7

试证明之。

7P

解位于球心的正电荷Ze球体内产生的电通量密度为〃=e,一7

4万广

Ze3Ze

原子内电子云的电荷体密度

电子云在原子内产生的电通

题3.3图(a)

1___r_

故原子内总的电通量密度为。=〃+。2/藐

3.3电荷均匀分布于两圆柱面间的区域中，体密度为AC/n?,两圆柱面半径分别为。和八轴线

相距为C（cv〃-。），如题3.3驾3）所示。求空间各局部的电场。

解由于两圆柱面间的电荷不是釉对称分布，不能直接用高斯定律求解。但可把半径为。的小圆柱面

内看作同时具有体密度分别为±P。的两种电荷分布，这样在半径为〃的整个圆柱体内具有体需度为

的均匀电荷分布，而在半径为〃的整个圆柱体内那么具有体密度为-R）的均匀电荷分布，如题3.3图（历

所示。空间任一点的电场是这两种电荷所产生的电场的叠加。

在，•>〃区域中，由高斯定律1后旬5=幺，可求得大、小圆柱中的正、负电荷在点尸产生的电场

题3.3图S）

分别为用士警二裂4』：卢二-誓

2兀2%r2兀?£（/

.229

点P处总的电场为E=g+E：=0（空一室）

2forr

在rvb且区域中，同理可求得大、小圆柱中的正、负电荷在点。产生的电场分别为

2,

点P处总的电场为E=E。+E；=-色:）

2%r

在，的空腔区域中，大、小圆柱中的正、负电荷在点P产生的电场分别为

点P处总的电场为E=纥+司=争（厂-，）=争c

242%

3.4半径为。的球中充满密度「⑴）的体电荷，电位移分布为

r3+Ar2（r<a）

D54

r=\a+Aa其中A为常数，试求电荷密度夕（「）。

---s-{r>a）

r-

解:由▽・0二△，有夕

rdr

2

故在r<a区域p（r）=J二•且［，（，+Ar）］=外）（5,+4Ar）

rdr

4

在空。区域夕⑺=£0-^—［rm'+A"）］=0

rdr广

3.5一个半径为。薄导体球壳内外表涂覆了一薄层绝缘膜，球内充满总电荷量为。为的体电荷，球

壳上又另充有电荷量。。球内部的电场为E=er（〃a）4,设球内介质为真空。计算：（I）球内的电荷分

布；⑵球壳外外表的电荷面密度。

解（I）由高斯定律的微分形式可求得球内的电荷体密度为

(2)球体内的总电量0为。=J/xir=J6%^•4万/dr=4fq?

r0a

球内电荷不仅在球壳内外表上感应电荷-Q,而且在球壳外外表上还要感应电荷Q,所以球壳外外

表上的总电荷为2Q,故球壳外外表上的电荷面密度为a==2j

4不。~

3.6两个无限长的同轴圆柱半径分别为一=。和厂二〃S>。)，圆柱外表分别带有密度为0和内的

面电荷。(1)计算各处的电位移。0；(2)欲使厂>6区域内4=0,那么?和巴应具有什么关系？

解(1)由高斯定理JOo・dS=4,当，Y4时，有。01=。

s

当a<r<b时，有2/rrD=2乃。5,那么£>()，=，—L

O2r

当〃<厂<co时，有2仃Do?=2,7。。1+2几be、,那么O()3=er町””

/•

12)令〃=e也上史i二0,那么得到6=-2

r%a

3.7计算在电场强度£=《)+斗工的电场中把带电量为-2〃C的点电荷从点4(2,1,-1)移到点

旦(8,2,-1)时电场所做的功：(|)沿曲线工=2)九(2)沿连接该两点的直线。

解(])W=JjF・d/=qJ=E\dx+Evdy=

ccc

(2)连接点^(2,1,-1)到点7^(8,2,-1)直线方程为

x—2.x—8

----=-----即工-6y+4=0

y-iy-2

故

2

W=qjydx+xdy=gjyd(6v-4)+(6y-4)dy=qj(12)，-4)d)，=14q=-28xICT6(J)

3.8长度为L的细导线带有均匀电荷，其电荷线密度为go。(1)计算线电荷平分面上任意点的电位

0；(2)利用直接积分法计算线电荷平分面上任意点的电场E,并用E=核对。

解(1)建立如题3.8图所示坐标系。根据电位的积分表达式，线电荷平分面上任意点尸的电位为

“21,

刖°)=\4八二

-L/2a-+Z-

(2)根据时称性，可得两个劝称线电荷元q°dz'在点。的电场

为

故长为L的线电荷在点P的电场为

由E=求E,有

3.9无限长均匀线电荷化的电场£=e,•婚：，试用定义式

rp

9&)=j*E・d/求其电位函数。其中小为电位参考点。

E・d/=\-^—6r=Alnr”Al也

72吟r21%r21jr

由于是无限长的线电荷，不能将〃选为无穷远点。

3.10一点电荷+4位于(-〃,0,0),另一点电荷-2q位于(〃,0,0),求空间的零电位面。

解两个点电荷+q和-2q在空间产生的电位

12八

令以QZ)=O,那么有J-+y2+z2r(…)2+八工2

即4Kx+a)2+y2+z2]=(x-a)2+j2+z2

故得*+g4)2+y2+z2

54

由此可见，零电位面是一个以点(一一。,0,0)为球心、一。为半径的球面。

33

Ze1r3

3.11证明习题3.2的电位表达式为°(7*)=:；­(―+-—一二二)

r

4吟2〃2r(l

Ze

解位于球心的正电荷Ze在京子外产生的电通量密度为D,=e,—

44尸

电子云在原子外产生的电通量密度那么为O,=e,四磔=-。,一丝

所以原子外的电场为零。故原子内电位为

3.12电场中有一半径为。的圆柱体，柱内外的电位函数分别为

(0求圆柱内、外的电场强度；

12)这个圆柱是什么材料制成的？外表有电荷分布吗？试求之。

解[1)由£=-V。，可得到时，E=-V=0

a2a2

r>a时，E=7(p=~er—[A(r--)cos(/>]-e.-^—[A(r--)cos(f>]=

drrrd(jfr

(2)该圆柱体为等位体，所以是由导体制成的，其外表有电荷分布，电荷面密度为

3.13验证以下标量函数在它们各自的坐标系中满足▽/=()

(1)si-sin(8)"及其中〃2=，+/2；

(2)r”[cos(〃0)+Asin(〃。)]圆柱坐标；

(3)r"cos(〃。)圆柱坐标；

(4)rcos。球坐标；

(5)r*cos。球坐标。

解(1)在直角坐标系中V2°=詈+詈+答

dx-dy-dz-

而一-=—7[sm(履)sm(2)e']=-ksin(fcr)sin(fy)e'

dx'dx'

故▽/=(一/一/+h2)sin(履)sin(/y)e*=0

d2(pd2(p

⑵

।a^(D।aa2/,-2

而；加。言)=Tartar叫cos(〃。)+Asin(W)]}=nr[cos(^)4-AsinQz。)]

故▽》=()

⑶野10doo

---{r—[厂“cos(〃。)]}=n~r~"~cos(〃。)

rdrrdrdr

故▽》=()

,1(}__^Z®n8%+〈一空

(4)在球坐标系中▽~0==—(r

rdrr~sin0d0d0r~sin_0d(/)~

ia2a中1a2a/.2

而一r—(广—)=——[广一(rcos〃)[=—cos”

r~drdrr~drdrr

故▽》=()

,«、。/，(、©「，

(5)—1—(r-7d^p-)=—1—[r—3(,r-2-cos6>)]=­2cos<9

厂ororrororr

故力仁。

3.14.y>0的空间中没有电荷，以下几个函数中哪些是可能的电位的解?

⑴e'coshx;

⑵e~ycosx：

⑶e~^ycosxsinx

(4)sin.rsinysinzo

解⑴—7(e~ycoshx)+—(e~ycoshx)+—(e~ycoshx)=2e~ycosh"0

ex"3)广7dz~7

所以函数e-，coshx不是y>0空间中的电位的解；

^202

⑵—(e-ycosx)+—(e-ycosx)+—(eycosx)=--ycosx+e'ycosx=0

oxdy"dze

所以函数e-cosx是y>0空向中可能的电位的解；

(3)(e心cosxsinx)+-^-rcosxsinx)+乂(e~^ycossinx)=

a■dy1dz2

所以函数6-叵、,cosxsinA>不是)'>0空间中的电位的解；

(4)—(sinxsinysinz)+—(sinxsinysinz)+—(sinxsinysinz)=

dx-7dy~7dz"7

所以函数sinxsinysinz不是y>0空间中的电位的解。

3.15中心位于原点，边长为£的电介质立方体的极化强度矢量为尸=4(%大+外)，+幺2)。(1)计

算面束缚电荷密度和体束缚电荷密度：(2)证明总的束缚电荷为零。

解⑴PP=7・P=-3P«、

同理o>(y=马=o>(y=―寺)=aP(z=^)=o>(z=_q)=q4

2

(2)<7F=jp/»dr+j0-pdS=-36Z?+6Lx—=0

-rc2

3.16一半径为R0的介质球，介电常数为J跖，其内均匀分布自由电荷P,证明中心点的电位为

竽代

2%3%

解由jO・dS=q,可得到

5

Arr-

"凡时，4万，2=------p

3

即联给&=旦=乎

3J岛3与岛

r>R()时，4兀产。,=4万凡

-3

即D=吗，E2=PL=A

■3r-3跖厂

故中心点的电位为

3.17一个半径为R的介质球，介电常数为£,球内的极化强度尸=orK",其中K为一常数。（1）

计算束缚电荷体密度和面密度；[2）计算自由电荷密度；（3）计算球内、外的电场和电位分布。

解（1）介质球内的束缚电荷体密度为p〃=-V・P=—」rg（，4）二—。

rdrrr~

在r=R的球面上，束缚电荷面密度为%=n.P\r_R=er.P[__R=4

R

（2）由于O=/E+P,所以▽・D=£（y・E+▽•尸=&V・O+V・P

即（I一包）▽・D=\7・P

£

由此可得到介质球内的自由电荷体密度为2='•0=-^-5P=-----P„=（"

r.cKf1,14的RK

总的自由电荷量<7=pdr=---------4^-rdr=-----------

；£—苑;厂£一£。

（3）介质球内、外的电场强度分别为

介质球内、外的电位分别为

3.18m证明不均匀电介质在没有自由电荷密度时可能存在束缚电荷体密度；（2）导出束缚电荷密

度分的表达式。

解（1）由。=£（）£+2，野束缚电荷体密度为0>=-V・〃=-V・O+£OV・E

在介质内没有自由电荷密度时，▽・。