第十七章特殊三角形

第十七章特殊三角形

本/章/整/体/说/课

♦教学目标

物一写技能r

1.了解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理;探索并掌握等腰三角形的判定定理;探索

等边三角形的性质定理和判定定理.

2.探索并掌握宜角三角形的性质定理，掌握有两个角互余的三角形是直角三角形.

3.探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题.

4.探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理.

5.会利用基本作图方法作三角形:已知底边及底边上的高线作等腰三角形;已知一直角边和斜边作直角

三角形.

6.通过实例体会反证法的含义.

过程与方法

L经历由情境引出问题，探索、掌握有关数学知识,再运用于实践的过程，培养学生学数学、用数学的意

识与能力.

2.在教学过程中提供充足的时间和空间，让学生经历观察、操作、实验、猜想、验证等活动过程，培养

学生尝试探究的意识和能力.

F情写你剑

1.感受数学文化的价值和中国传统数学的成就,激发学生热爱祖国及祖国悠久文化的思想感情.

2.使学生从数学的角度思考问题，培养学生积极的学习态度，树立学习的信心，提高学生的学习兴趣.

G教材分析

本章知识既是三角形内容的深化再拓展，又是进一步研究特殊四边形的重要工具.同时，等腰三角形的

知识在今后探索线段相等、角相等、直线的垂宜关系等方面有着广泛的应用;勾股定理及其逆定理不仅是

数形结合思想的完美体现，更是我们今后解决数学问题和实际问题的有力工具.因此，本章起着承上启下的

桥梁作用.

(1)等腰三角形的性质与判定、直角三角形的性质和判定，主要通过观察与思考、操作与归纳等方法去

探索和发现结论，再通过演绎推理证明结论，最后举例证明，实现在发展学生合情推理能力的基础上把证明

作为探索活动的自然延续.较好体现了台情推理与演绛推理两种推理形式的相辅相成,实现了两种推理的有

机融合.

(2)对于勾股定理的获得，设计了观察、计算、思考、归纳、猜想等探究活动，符险证猜想的过程设计为“试

着做做“和,'做一做”等学生自主活动，让学生体验勾股定理发现的全过程,发展学生的推理能力和创新意识；

对于勾股定理的逆定理，通过让学生先操作(画直角三角形),再证明(利用全等)的方式来获得.

(3)在本章的尺规作图中，都增加了分析环节，使学生不仅要知道作图的步骤,而且还要了解作图的道理.

(4)在反证法一节中，除介绍反证法及证明命题的一般步骤外，还运用反证法对平行线的性质定理进行了

证明,体现了本套教材在内容上的完整性.同时对直角三角形全等的''斜边、直角边”定理也用反证法给出了

证明，使学生从中体会反证法的价值，

教学重难点

【重点】

1.等腰三角形、等边三角形的性质和判定.

2.直角三角形的性质和判定.

3.勾股定理、逆定理及其简单应用

4.反证法及其简单应用.

【难点】

L等腰三角形、等边三角形的性质及其应用.

2.勾股定理及其逆定理的应用.

♦教学建议

L关于等腰三角形和直角三角形性质和判定的教学，应引导学生在独立思考和合作交流的前提下，进行

观察与思考、操作与探究等活动并获得猜想,进而一起完成对猜想的证明，落实对今情推理和演绎推理的自

然结合，实现提升学生推理意识和推理能力的目的.

2.对于勾股定理的教学，教师要提供充足的时间和空间,让学生观察、猜想、推理,使定理的发现成为学

生认识活动的自然结果.

3.对于证明格式、方法和步骤，要让学生在亲身经历、体验的过程中去逐步理解和掌握,此过程切忌急

于求成，更不要以教师的讲解代替学生的活动，要给学生充足的时间和空间去探索,实践和总结.

4.提倡思维多样化，注重培养学生清晰表达自己思维过程的能力，对学生出现的多种思路和方法,应给予

充分肯定并在全班展示，使学生的求异思维和创新意识能得到及时的表现.

♦课时划分

17.1等腰三角形2课时

17.2豆角三角形1课时

17.3勾股定理3课时

17.4直角三角形全等的判定1课时

17.5反证法1课时

回顾与思考1课时

课/时/教/学/详/案

17.1等腰三角形

G）教学目标

『知识写技能」

1.了解等腰三角形、等边三角形的定义，掌握等腰三角形及等边三角形的性质

2.掌握等腰三角形和等边三角形的判定方法.

对程与方法

I,通过动手操作及等腰三角形、等边三角形的对称变换掌握其性质和特征，

2,掌握等腰三角形和等边三角形的判定方法，

能利用性质和判定方法解决问题.

旭礴与你翊

1.体会等腰三角形和等边三角形的对称美.

2.体会数学在现实生活中的广泛应用，认识数学无处不在，提高学生学习数学的兴趣.

教学重难点

【重点】等腰三角形和等边三角形的性质和判定方法.

【难点】等腰三角形和等边三角形的性质和判定方法的应用.

第HI课时

整体设：

，与教学目标

『知―

在动手操作的过程中，理解等腰三角形、等边三角形的性质定理.

产过程身制

L让学生通过动手操作，经历等腰三角形性质的探索过程，培养学生的动手、归纳、概括的能力.

2.培养学生的猜想能力，让学生经过推理证明得到等腰三角形、等边三角形的性质定理.

培养学生的逻辑思维能力，让学生树立良好的学习观,增强学生认真学习的态度.

学）教学重难点

【重点】等腰三角形、等边三角形的性质定理.

【难点】等腰三角形、等边三角形的性质定理的推理和证明.

教学准备

【教师准备】多媒体课件、各种形状的图形、剪刀,

【学生准备】长方形纸、剪刀,

□教学过程

新课导入

导入一:

教师预先做出各种几何图形，包括圆、长方形、正方形、等腰梯形、一般三角形、等边三角形、等腰

三角形等.

让同学们抢答哪些是轴对称图形，提问什么是轴对称图形，什么样的三角形才是轴对称图形.引入今天

所要讲的课题——等腰三角形、等边三角形的性质定理.

我们知道，有两条边相等的三角形是等腰三角形,下面我们利用轴对称的知识来研究等腰三角形.

［设计意图］通过辨别，让学生发现等腰三角形是轴对称图形，从而引出可以利用轴对称的性质来确定

等腰三角形.

导入二：

在前面的学习中，我们认识了轴对秣图形，探究了轴对称的性质,并且能够作出1个简单平面图形关于

某一直线的轴对称图形，还能够通过轴对称变换来设计一些美丽的图案，这节课我们就从轴对称的角度来认

识一些我们熟悉的几何图形.

思考:

三角形是轴对称图形吗？

有的三角形是轴对称图形，有的三角形不是.

问题:什么样的三角形是轴对称图形？

满足轴对称的条件的三角形就是轴对称图形，也就是将三角形沿某一条直线对折后，两部分能够完全重

合的就是轴对称图形.

这节课我们就来认识一种是轴对称图形的三角形一等腰三角形.

［设计意图］从三角形的角度，让学生通过思考，了解等腰三角形是轴对称图形，从而自然地引入到本节

课的学习之中，激发了学生的学习兴趣和求知欲里.

导入三：

L出示一组含有等腰三角形的生活图片,让学生感知图片主要部分形状的共同点.

2.出示自制的测平仪，告诉学生含45。角的三角板顶点固定一条拴着重物的绳子，标出底边中点标志，它

就变成了测平仪.激起学生的好奇心，从而引入课题.

［设计意图］活跃课堂气氛硝除学生的紧张情绪，让学生带着问题进入学习.

Q\

［过渡语］刚才我们知道等腰二角形是轴对称图形，那么它有哪些性质呢?现在我们就共同来研究它.

探究一:等腰三角形的性质定理

思路一

【活动1】

【课件1】如图所示，把一张长方形纸按图中虚线对折，并剪去阴影部分，再把它展开，得到的有

什么特点？

【学生活动】学生动手操作，观察A45C'的特点，可以发现AB=AC.

【教师活动】让学生回顾等腰二角形的概念：

有两边相等的三角形叫做等腰三角形.在等腰三角形中，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹

角叫做顶角,腰和底边的夹角叫做底角，

如图所示，在A/18C中，若H8=/1C,则A48C是等腰三角形/8/C是腰/C是底边，乙4是顶角和乙C

是底角.

【活动2】

【课件2】观察与思考：

如上图所示是等腰三角形，其中AB=AC.

(1)我们知道线段BC为轴对称图形，中垂线为它的对称轴，由46NC,可知点A在线段6c的中垂线上.

据此,你认为A4BC是轴对称图形吗?如果是，对称轴是哪条直线？

(2)/8和/C有怎样的关系？

(3)底边上的高、中线及//的平分线有怎样的关系？

【学生活动】学生经过观察，然后小组讨论交流，从中总结等腰三角形的性质.

【教师活动】引导学生归纳:

性质1等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角'）

［知识拓展］等腰三角形的“等边对等角”的特征是用来说明两角相等、计算用的度数的常用方法.

性质2等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合（简称"三线合一”）.

【活动3］你能用所学知识验证上述性质吗？

【课件3］如图所示，在ZM6C中/6XC求证

【学生活动】学生在独立思考的基础上进行讨论，寻找解决问题的办法，着证/B=NC,根据全等三角

形的知识可以知道只需要证明这两个角所在的三角形全等即可.于是可以作辅助线构造两个三角形，作8。

边上的中线HD,证明和全等即可,根据条件利用“边边边''可以证明.

【教师活动】让学生充分讨论,根据所学的数学知识，利用逻辑推理的方式进行证明，证明过程中注意

学生农述的准确性和涔谨性.

证明:作8C边上的中线4D,如图所示，则BD=CD,

AD=AD,

在418。和中,AB=AC,

BD=CD,

所以AJ8QgAJCD（SSS）,

所以

这样,就证明了性质1.

类比性质1的证明你能证明性质2吗?

由人^8。名根。。,还可得出/用短=/。力,/41）3=/4。。=90。.

从而】D_L8C,这也就证明了等腰三角形/BC底边上的中线平分顶角NA并垂直于底边BC.

添加辅助线的方法多样，让学生再去讨论、交流，即用类似的方法可以证明性质2.

说明:经过以上证明也可以得出等腰三角形底边上的中线的左右两部分经翻折可以重合,等腰三角形是

轴对称图形,底边上的中线(顶角平分线、底边上的高)所在直线就是它的对称轴.

［知识拓展］等腰三角形还有以下性质;(「)等腰三角形两腰上的中线、高线相等;(2)等腰三角形两个底

角平分线相等;(3)等腰三角形底边上任一点到两腰的距离之和等于一腰上的高.

［设计意图］通过折鞋等腰三角形让学生观察，在动手操作中掌握等腰三角形的性质，概括出性质，并引

导学生加以证明,让学生经历知识的形成和证明过程，加深了对知识的理解和掌握.

思路二

要求学生通过自己的思考来作一个等腰三角形.

［课件4］作一条直线/,在/上取点4在/外取点B,作出点B关于直线I的对称点C,连接AB,BC,CA.

以上活动所得三角形的两边相等吗?此三角形称为.

小结：【课件5】填出等腰三角形各部分名称.

归纳:等股三角形的定义:有两边相等的三角形叫做等腰三角形.在等腰三角形中，相等的两边叫做腰，另

一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，底边与腰的夹角叫底角.

同学们在自己作出的等腰：角形也注明它的腰、底边、顶角和底角.

【课件6】

问题1:等腰三角形是轴对称图形吗?请找出它的对称轴.

问题2:通过折叠或测量，看看等腰三角形的两底角有什么关系？

问题3：顶角的平分线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？

问题4：底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗?底边上的高所在的直线呢？

L学生通过刚才自主探究,大胆猜福以上问题的结果.

2.教师用几何画板直观演示并引导学生观察等腰三角形的性质.（对称性，等边时等角，三线合一.）

小结:等腰三角形的性质：

（1）等腰三角形的两个底角（简称“”）；

（2）等腰三角形的,、市合（简称“三线合一”>

3•你能证明以上性质吗？

问题：

（1）性质1（等腰三角形的两个底角相等）的条件和结论分别是什么？

（2）怎样用数学符号表示条件和结诒？

已知:在A46c中

求证:NB=NC;

请以“顶角的平分线”为辅助线，证明以上性质。组同学完成以下填空,8组同学独立证明.）教师巡视辅

导点评，

［课件6］证明:如图所示，作/胡C的平分线/=乙,与

_______=______（已知），

MCD中，7=4______/.*<MBD^MCD（）,:.Z5=Z.

M=力。（公共边），

A

4.受上述启发，能证明性质2吗？

即证明的平分线是底边上的中线和高.

证明:由根8力£根（7。知BD=,NBq//ADB=N,

VNADB+ZADC=

:.ZADB=ZADC=

因此/6/C的平分线AD也是MBC底边BC上的中线和高.

5.提问:作底边上的高,又如何证明?［让同学讲证明思路.）

［设计意图］通过作等腰三角形让学生感知其重点,通过几何画板让学生对照图形思考等腰三角形的

性质,同时掌握对性质的证明方法，培养学生的学习能力.

探究二;等边三角形的性质定理

［过渡语］我们知道三边都相等的三角形是等边三角形.等边三角形是特殊的等腰三角形，它有哪些性

质呢？

每位同学画一个等边三角形，并用量角器量一量每个内角的度数.

结论:等边三角形的三个角都相等声且每一个角都等于60。

【课件7］己知:如图所示，在&4RC中“B=8C=1C

求证;/4=/6=/C=60°.

指导学生利用等腰三角形的性质进行证明.

证明:在Ajac中，由得/步/c由/c=ac,得所以由三角形内角和定理

可得乙4=N8=NC=60。

［知识拓屣］等边三角形是特殊的等腰三角形，除了具有等腰三角形的性质外，等边三角形还具有自己

特有的性质:（1）等边二角形有三条对称轴（等边三角形三条边都相等，都可以作为底边）;（2）作等边三角形各

边的高线、中线、各角的平分线一共有三条.

［设计意图］让学生通过测量、证以发现等边三角形的性质，掌握等腰三角形和等边三角形的关系.

探究三:例题讲解

【课件8】

例1已知:如图所示，在A/IAC中工R=/C,BD,CE分别为的平分线.

求证必6。5.

（解析）根据角平分线定义得到NH6D=1NH6C；/4CE=1//C6,再根据茅边对等角得到

N48C/4C&从而得到然后通过ASA证得MSOgAJCE,就可以得到BD=CE.

教师巡回指导，在学生完成后,指名口述解答过程.

【课件9】

例2（补充例题）如图所示，在A4BC中HBNC,点D在NC上，且BD=BC=AD,求MBC中各角的度数.

（解析）根据等边对等角的性质，我们可以得到乙4=/46D//fBC=/C=N60C,再由

/月。0/"乙4以）,就可得到/4也'=/。=/即02/人再由三角形内角和为180。,就可求出必8（?的三个

角的度数.如果设乙4为M那么5cze都可以用x来表示，这样过程就更简捷工

解炳为AB=AC,BD=BC=AD,

所以/XBL/C=/6OC,

ZA=ZABD.

设//=x，则

从而NABC=NC=/BDC=2X.

在A4C中,

4+4ABC+ZC=x+2x+2x=180°,

解得尸36°.

所以4=36。,46c=972°.

［设il意图］通过对例题的讲解、分析，引导学生应用等腰三角形的性质，让学生掌握解题思路和方法,

提高学生对等腰三角形性质的应用能尢

降课堂小结

1.等腰三角形的性质1

等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）.

注意:等边对等角只限于在同一个三角形中使用.

2.等腰三角形的性质2

等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合（简称“三线合一”）.

说明:等腰三角形是轴对称图形,底边上的中线（底边上的高、顶角平分线）所右的直线是它的对称轴.

3.等边三角形的性质

等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于60°

0检测反馈

1.若等腰三角形的顶角为40。,则它的底角度数为（）

A.406B.50°C.600D.706

解析:因为等腰三角形的两个底角相等,顶角是40。,所以其底角为竺等丝70。.放选D.

2.一个等腰三角形的两边长分别是3和7,则它的周长为)

或17

解析:①当等腰三角形的腰为3,底边为7时,3+3<7,不能构成三角形;②当等腰三角形的腰为7,底边为3

时,周长为3+7+7=17.故这个等腰三角形的周长是17.故选A.

3.如图所示/D是等边三角形的中线/岸/。,则NEOC等于（）

A.3O0B.20°C,25°D.150

解析:：A/18C是等边三角形，，4是的申

线,••・ZDAC^ZBAC=30Q^4D±BC,AZ/4DC=90°,VAE=AD,AN4DE=4A*上产=180°-3°O-750,

，/"。。=/400///）£=90°・75。=15。.故选D.

4.如图所示，/〃肛等边三角形48C的顶点B在直线m上，边BC与直线m所成的锐角为20。,则/a的度

数为（）

A.60°B.45℃.40°D.30°

解析:如图所示，过。作CE/1线m；：l〃m,”〃m〃CE,：.NACE=/a,/RCE=/CRF=20o；：MRC是

等边三角形,，4cB=60°,；.Na+NCBF=N“B=60°,；,Na=40。.故选C.

5.如图所示，在&45c中/SNC/O-LbC于点。，若46=6,CD=4,则&45C的周氏是.

HI)

解析:V在A4BC中/8=4C,，MBC是等腰三角形，又；10_L6C于点

D,BD=CD.'：AB=6,CD=4,MBC的周长=6+4+4+6=20.故填20.

6.如图所示，在A/I5C中平分/4C8,求的度数.

解析:由48三4c及顶角/力的度数.利用等边对等角得到两底角相等，再利用三角形内角和定理求出底

%的度数，再由为底角的平分线，求9/力底的度数曲N4OC为三角形80的外角，利用外角性质即可

求出N/QC的度数.

解:V在M8C中,N4=70°/B=4C,

:.NB=4CB-i80；70°-556,

又・.・6平分乙4c6,

ZDCB=ZACD=27.5°,

•."4DC为A8CD的外角,

:.N4DC=NB+NDCB=82.5°.

7.如图所示，等边三角形中，D为HC边的中点，过C作CE4B,且IE-LCE,那么吗?

请说明理由.

解析:根据&48c为等边三角形，。为/C边上的中点得到4064/640/a力=60。,60_14(7,求出

/AD4=90。,由CE//AB得//CEm/&4D利用三角形内角和定理得出/。£=/助"

解:/C”=//8D理由如卜.:

,・'MBC为等边三角形刀为力。边上的中点,

：.AC=BA,ZBAC=ZBCA=60\BD.LACy

:.NBD4=90°,

'.7£_LCE、：,ZAEC=ZBDA=906,

又•:CE〃AB,

/./ACE=/BAD,

:.180°-90°-Z^C£=l80°-90°-Z5/fD,

A/Cq/ABD.

01

第।课时

探究一;等腰三角形的性质

探究二:等边三角形的性质

探究三:例题讲解

例1

例2

一、教材作业

【必做题】

L教材第142页练习第1,2,3题.

2.教材第143页习题A组第1,2,3题.

【选做题】

教材第143页习题B组第1,2题.

二、课后作业

【基础巩固】

1.如图所示，在A4BC中引以夕为圆心网?的长为半径圆孤，交/C于点。连接加厕4BZ）

等于（）

A.30°B,45℃.60°D.90°

2.如图所示，在&43c中.点D在BC上/6=/D=DC,/8=80。厕/C的度数为（）

A.30°B,4O0

C.45°D,60°

3.已知等腰三角形N8C的周长为13,且各边长均为整数，那么这样的等腰三角形/BC有（）

个个

个个

4.如图所示，在A48C中/8=4。，且D为BC上一点40/8=8。则28的度数为（）

A.30°B,36℃.40°D.45°

5.如图所示、是一房屋人字架，其4为使人字架更加坚固，房主要求在顶点A和横梁8。之间加

根柱子力。,可木工却不知将。点钉在3。何处才能使加)-LBC,请同学们都帮他,并说明理由.

【能力提升】

6.如图所示,A46c是等边三角形,£是AC上一点是BC延长线上一点，连接BEQE,若NABE=4V,BE=DE,

求/CEZ)的度数.

7,如图所示，在A/16C中为BC边上一。点,/6=30。2。16=45。.

(1)求/。/(7的度数；

(2)求证DC=AB.

【拓展探究】

8.已知等腰三角形一腰上的中线将三角形的周长分为9cm和15cm两部分，求这个等腰三角形的底边长和

腰长.

9.已知等边三角形/8C和点P,设点4到8C的距离为力，点P到&48c的三边/8/CSC的距离分别为加上，瓜

⑴如图⑴所示，若点P在边8C上，求证小3人

⑵如图⑵所示，当点P在必8C内时，猜想/“小用和人有什么关系?并证明你的结仑

(3)如图(3)所示，当点P在Mac外时，瓦加/3和h有什么关系？

【答案与解析】

1.B(解析:..•月期忙//=30。,・・・乙480/48=|(180。・/4)=/1800・30。)=75。,・・・以B为圆心,BC的长为半径

LL

圆弧，交4c于点

D,:.BC=BD、；・/CBD=180°・2ZACB=180Q-2x75°=30°,:.ZABD=ZABC-ZCBD=15Q-30Q=459.)

2.B(解

中/5=42/冷80°/・/6=//〃B=80°,，^ADC=180°-^ADB=100°,VAD=CD.：,ZO

13Q0-LADC1800-100°.

-2―=~2―=4A0)x

3.C(解析:周长为13,边长为整数的等腰三角形的边长只能为35,5;或4,4,5;或6,6,1.共3个.)

4.B(解

析:・.3B=/&.・./B=/C；：AB=BD,：.ZBAD=ZBDAtVCD=AD,：.NC=/CAD；：/BAD+/CAD+NB+N

C=180°,A5ZB=180°,AZfi=36°)

5.解泳工将D点钉在庆7中点处能使4。JLBC,理由如下:'.18=/lCaD=DC；4)_L8C

6.解:,.,AJ8C是等边三角

形,，ZABC=ZACB=60°SZABE=40°,：.NEBC=NABC-/ABE=60°-40°=20°；：BE=DE,：・/D=/EBC=20

°,ANCED=NACB-/D=4伊.

〃l)

解二NC,，ZS=ZC^309,VZC+Z5JC+Z5=I8O9,.S.ZBAC=\809-309-309=120\VZDAB=45\：.ZD

^C=Z^C-Z^>120M56=756.⑵证

明:丁ND/1B=45。,：.N4DC=NB+NO4B=75。,：.ZDAOZADC,DC=AC,'：AB=AC,ADC=AB.

&解:设等腰三角形的腰长为工如图所示,.••AJ8C是等腰三角形,••・48三力。，由8。娃/C边上的中线，有

48十4>9或46十彳/>15,分下面两种情况:(1吗=9,，尸6「・•三角形的周长为9+15=24(cm),，三边长分别为

6,6,12,6+6=12,不符合三角形的三边关系，，舍去;

I)

(2A#15,・••10「・•三角形的周长为24cm..••三边长分别为10,10,4.综上可知这个等腰三角形的底边长为

4cm,腰长为10cm.

9.⑴证明:如图(1)所示，连接仍则SMBUSMB卢SNAPC,•李珊切eg/8•加刈。也.

又•.•A4BC是等边三角形,1,5G=46=NC,...力二加十用.(2)解:/尸加十力2十瓜证明如下:如图(2)所示，连接

4P、BP,CP,则SMBLSMB卢SABPC呱m，；BC/IM=%BP*4CP吗BCPE,叫BC•吟IBhijch?4Ch

又*；MBC是等边三角形,♦'.BC=4B=4C：/=h+虹+人.(3)解:F加+必加理由如下：如图(3)所示，连接

P&PCP力.由三角形的面枳公式得SMLSA&/%>,QSMK,即黑。力小，及「吟。甲凡18GP瓦・・・&4BC是

国教学反思

成功之处

这节课是在学生已经学习了三角形的有美概念和“认识轴对称图形”的基础上进行学习的，学生已经学

握了三角形的相关知识，具有初步的探究学习经验.同时本节课的内容不仅是对前面所学知识的运用，也是

今后证明角相等、线段相等及直线垂直的重要工具，它在教材中处于非常重要的地位.因为等腰三角形的性

质在日常生活中有广泛的应用，所以探索发现等腰三角形的性质是这节课的重点同时，对“三线合一”性质的

理解和运用，学生有一定的难度，是这节课的难点.为了突出重点，教师充分创设问题情境，解决问题;为了突破

难点，教师引导学生经历动手折纸、动手画图、对比分析、提出猜想、小组讨论、发现、归纳总结等活动,

加以化解.教师在整个教学过程中主要通过动手操作、直观演示、小组讨论、自主探索、合作交流、发现

归纳等多种教与学的方式，确保学生是学习的主人，教师是组织者、引导者、合作者.同时为了更好地启发、

感染和调动学生,提高教学效率，采用课件辅助教学，充分开发和利用教育资源为课堂教学服务.在教学方法

上，本节课以学生为主体,教师真正成为学生学习的组织者、引导者、合作者.特别是在探究“三线合一'’的性

质时，老师给出探究主题，学生以小组为单位，合作交流，自主探究、发现.

⑧不足之处

本着“问题是数学的心脏”原则，教帅精心设计了一些问题，在教学过程中有半数的学生回答了教师的提

问，但碍于教学计划，有的问题在回答过程中还不时得到教师的提醒，这样导致的结果是难于发现学生真实

的思维过程.“多提问”固然有利于学生思考和理解知识，有利于了解学生掌握知识的程度.但在倡导培养创新

精神和实践能力的今天，更要重视对学生问题意识的培养.但教师在本节课的教学设计中留给学生的时间和

空间偏少,导致学生发现问题、提出问题太少，长此以往，会使学生问题意识淡化.

Q再教设计

问起于疑，疑源于思,课堂上教师要为学生质疑创造足够的空间和时间.在问题解决过程中培养学生问

题意识和发现问题、提出问题的良好习惯，在探究问题的过程中，教师一定要让学生自己去发现，只有由学生

自己发现的东西,才是最真实的，也是最容易掌握的.在学生回答问题时，教师要适当点拨，但不能代替学生回

答自己提出的问题，一定要让学生说，哪他是错误的,也是经过学生思考得来的，

旧教材习题解答

【练习】(教材第142页)

1.提示:⑴70。(2)45。.(3)35。.(4)60。图略.

2.提示:(1)20。.(2)80°.(3)90。.(4)120°.

3.解：(1)可以是锐角,不可以是直角和钝角.因为等腰三角形两底角相等，当底角为直角或钝角时，三角形内角

和大于180。,与三角形内角和等于180。相矛盾，所以底角不可以是直角或钝角.⑵都可以，因为都符合三角

形内角和定理，

【习题】(教材笫143页)

A组

1.解：(1)图中有3个等腰三角形，它们分别是(2)因为/B=/C,所以N/16ONC,因为

&ABC,所以/C=/8Z)C因为班)=4。所以设乙4=/。助=«,则/”C=/8Z)C=/C=2a在

MBC中十/C十/4=180°,所以2a十2a十0=180°,即5a=180。,所以行36°,即/4=36°

2,解;(1)80。,20。或50。,50。，(2)40\40。(3)设这个三角形的顶角为*。则其底角为"，由蹴;得

1r4号=180,・'・尸90*45.:.这个三角形三个内角的度数分别为90。,45。,45。，

3.解:为等边三角形,；.力8二/。,/84060°,又787)=0(7.，/。£>=/%叶/血耳乂60。=30。.

4.解：；/16=5C,/6=50°,；・NACB=/BAC~I8°；£B=闻丁飞二4。/*ZD

=NC/D又•：NACB=/D+NCAD,：・Z4C5=2ZD,A2ZD=65°,.\ZD=32.5°

B组

1.解:设腰长为xcm.①当腰长大于底边长时用#电.*12,此时底边长为15*15令12=9((疝).②当腰长

小于底边长时用#15,.210,此时底边长为18呆%xlg3(cm),综上可得等腰三角形的底边长为9cm

或13cm.

2.解湘等，相等.已知:如图所示，在AJBC中,分别是ACJB边上的中线,BG,。//分别是ACM

边上的高.求证8。=。£,56=。〃.证明:：45=疣,8。《七分别为ACM边上的中

线,."P=1HC/£=1/6,."P=/£在A/fM和由(2

(AB=AC,

中."=H.&4BD出&4CE,：.BD=CE.*：AB=4C,：・NACB=NABC；：BG,CH分别为AC^B边上的

(AD=AE,

乙BGC=乙CHB,

高,，NaGO/C，R=90。.在ABGC和AC〃B中，/-BCG=cCBH:MGgKCHB,：・BG=CH.

BC=CB,

日备课资源

q：教学建议

等腰三角形的性质与应用

等腰三角形“三线合一”的性质在初中几何证明和计算中占据了非常重要的地位，实际上这个性质的逆

定理在证明中的宜接或间接应用也不亚于这个性质的n接应用，可以作为判定等腰三角形的一种重要思路.

由于书上没有直接给出逆定理，所以很多学生在解题时很难想象到利用这一定理来解决问题，以至于在几何

证明过程中思维受阻，不能正确地作出辅助线.

因而在教学中，教师如果把握好等腰二角形“三线合一''性质的逆定理在辅助线教学中的应用，把握好化

归思想方法的渗透，将有助于让学生把握解题的关键，更好地培养和发展学生的思维能力，有助于学生突破

解题的难点，明确辅助线的添加，探明解题的方法，从而帮助学生提高解决问题的能力，

“三线合一”性质:等腰三角形的顶角平分线、底边上的中或、底边上的高直合，

逆定理:①如果三角形中任一角的平分线和它所对边的中战重合，那么这个三角形是等腰三角形.

②如果三角形中任一角的平分线和它所对边的高重合，那么这个三角形是等腹三角形.

③如果三角形中任一边的中线和这条边上的高重合，那么这个三角形是等腰三角形.

简言之:三角形中任意两线合一,必能推导出它是一个等腰三角形.

（私重难点突破

学习本节的关健之一是让学生通过剪切、折段,发现线段和角的关系，从图形中观察并总结出等腰三角

形的性质.教学中要注意引导，不要急于得出结论，在操作过程中，让学生翻折不同的等腰三角形，如顶角是锐

角、钝角或直角的等腰三角形，说明在翻折过程中相应的角的大小和线段的长短关系都没有发生变化;还可

以让学生探索一般的二角形是否一定有这种性质，进一步体会等腰三角形所具有的特点.

6T）经典例题

例1如图所示,AJ8C中/33QW是8。边上的高,，求的度数.

（解析）由等腰三角形“三线合一”知/胡。=/以。=26。,由等边对等角和三角形内角和定理可求得

//DE=77。,在RIAJ08中

解:,・】B=4C/0是高，

AZBAD=ZCAD=26°.

*：AD=AEf

:.Z.ADE=ZAED=(180°-26°)^2=77o.

例2小明做了一个如图所示的',风筝”骨架，其中46=4),C8=CD

(1)八年级王云同学观察了这个“风筝”骨架后,他认为XC_L8。垂足为点区并且BE=M,你同意王云的

判断吗?为什么？

(2)设4C=a£/＞瓦请用含a,b的式子表示四边形ABCD的面积.

(解析)⑴根据SSS证AJ80色MOC,推出/比根据等腰三角殄三线合一”推出即可;(2)

四边形ABCD的面积为S=SM8O+SAC8D=1%)X/C,代入求出即可.

(AB=AD,

解;(1)：在A/16C和A/IDC中，AC=AC,

BC=DC,

：.MBC^MDC(SSS),：.NBAC=/DAC,

1•彷他."C-LBD,BE=DE.

(2y.,AC=a,BD=b,

J四边形ABCD的面枳S=SMM>+S«层X5DXJE4xBOxC耳xBD^(AE^CE)=^BDUC=^ab.

例3用•条长为20cm的细绳圉成一个等腰三角形.

(I)如果腰长是底边长的2倍，那么各边的长是多少?

(2)能围成有•边长为5cm的等腰三角形吗?如果能，请求出它的另两边长.

（解析）⑴设底边长为Xcm,则接长为2*cm,根据周长公式列一元一次方程，解方程即可求得各边的

长;（2）题中没有指明5cm长的边走底边还是腰，故应该分情况进行讨论，注意利用三角形三边关系进行检验.

解:（1）设底边长为戈cm,则腰长为2rcm,

根据题意得2.r+2r+x=20,

解得产4,，2x=8,

；・各边长为*ctn.8cm,4cm.

⑵①当5cm为底边长时,腰长为cm：

②当5cm为腰长时，底边长为10cm,

•・・5£=10,・,•不能构成三角形，故舍去.

因此能构成有一边长为5cm的等腰三角形，另两边长为7.5cm,cm.

例4如图所示,两根钢绳一端用铁柱固定在地面上，另一端固定在电线杆上（电我杆垂直于地面），已

知两根钢绳的长度相等，则两个铁柱到电线杆底部的距离BO与CO相等吗?为什么?

（解析）已知两根钢绳的长度杆等，所以&4AC是等腰三角形，因为电线杆更直于地面,所以根据等腰

三角形"三线合''的性质可知

解:50与CO相等.理由如下：

■:AB;AC,

J41况是等腰三角形,

由题知4。J_6C,BO=CO,

因此两个铁柱到电线杆底部的距点BO与8相等，

第②课时

□整体设计

eI教学目标

『知识写技能」

1.理解并掌握等腰三角形、等边三角形的判定定理.

2.运用等腰三角形、等边三角形的判定定理进行证明和计算.

『过程一制

I.理解并掌握“等角对等边”,体会与“等边对等角”的互逆关系.

2.能够利用等腰三角形和等边三角形的判定定理解决问题.

POggM写脑画

L提高学生的动手能力，学会数学说理,发展初步的演绎推理能力.

2.引导学生观察，发现等腰三角形、等边三角形的判定定理，让学生从思考中获得成功，在这个过程中体

验学习的兴趣.

教学重难点

【重点】等腰三角形、等边三角形的判定定理.

【难点】边、角关系互相转化及运用.

Q）教学准备

【教师准备】课件1~5.

【学生准备】复习等腰三角形、等边三角形的性质，

□教学过程

01新课导入

导入一：

【课件I】某地质专家为估测一条东西流向的河流的宽度，选择河流北岸上一棵树（6点），然后在这棵

树的正南方/点插一小旗作标志，沿南偏东60。方向走一段距离到。处时，测得NXC8为30。,这时，地质专家

只要测得AC的长度就可知河流宽度.

学生们很想知道,这样估测河流宽度的根据是什么?带着这个问题，引导学生学习”等腰三角形、等边三

角形的判定定理”.

导入二：

教师提出问题，引导学生思考.

L什么样的三角形叫做等腰三角形？

2,等腰三角形的两底角有何关系？

谁能告诉我怎样去判定一个三角形是不是等腰三角形？

除用两边相等判定等腰三角形外,是否还有其他方法?由此引入课题.

等腰三角形的两个底角是相等的,反过来，如果一个三角形有两个角相等,那么这个三角形是否一定是

等腰三角形呢？

［设计意图］通过问题引入，激发学生的学习兴趣，同时使学生认识到等腰三角形的性质与等腰三角形

的判定方法是否存在•种特殊关系，从而掀起学生的探究欲望，使他们能更好地投入到学习中.

导入三：

对于一个三角形,怎样判定它是不是等腰三角形呢?我们已经知道的方法是看它是否有两条边相等.现

在我们将学习另一种判定方法.

aI新知构建

活动一:等腰三角形、等边三角形的判定定理

［过渡语］我们已经知道如果一个三角形有两条边相等，那么它们所对的角也相等，反过来，如果一个三

角形有两个角相等，那么它们所对的边是否相等呢?下面我们就•来研究这个问题.

1.等腰三角形的判定定理

思路一

［课件2］已知在MAC中/8=/C.

(1)请你作出/BdC的平分线HD

(2)将。伙;沿AD所在直线折叠A48C被直线AD分成的两部分能够重合吗？

(3)由上面的操作，你是否发现了边48和边4C之间的数量关系？

学生思考教师提出的问题，得出结论:A/I8C被直线AD分成的两部分能够重合

从上面的探究我们不难发现:如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等.

如何证明？

⑴在这一问题中,条件和结论是什么？

(2)用数学符号怎样表示？

教师引导提示，学生根据提示画出图形,并写出已知、求证.

已知:在&48c中,28=/C

求证：/8=/C

与学生一起回顾等腰三角形性质的证明过程，从作底边上的高、中线、顶角平分线三个方面分析.让学

生逐一尝试，发现可以作力。_La&或血)平分N4次;但不能作ac边上的中线.

学生口头证明后,选一种方法写出证明过程.

证明:如图所示，作AJSC的角平分线AD.

Zl=Z2,

在和AC40中，乙B=乙C,

AD=AD,

Z.A5/1D^ACJD(AAS),

：.AB=AC.

归纳等腰三角形的判定方法：

如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形，其中，两个相等的角所对的边也相等.简

称“等角对等边”.

说明:三角形的“两边相等''和“两角相等”都是指在同一个三角形中才能得到“等边对等角”及“等角对等

边”“等边对等角”是性质，”等角对等边”是判定方法.

［知识拓展］如果一个三角形一边上的高、中线和这条边所对的角的平分线中有任意两条线段互相重

合，那么这个三角形就是等腰三角形，这种方法是补充的一种方法,可以帮助我们解题时找思路，而在实际的

解题过程中往往要转化为判定方法来解决线段的垂直平分线的性质、角平分线的性质也可以判断相等，从

而进一步说明三角形是等腰三角形.

思路二

环节一:等腰二角形的判定方法

问题1:你会画等腰三角形吗？

可以让学生以小组为单位进行讨论如何画一个等腰三角形.学生可能会说在面出的三角形中使两边相

等，

总结:等腰三角形的判定方法1：有两边相等的三角形是等腰三角形.

问题2:有两边相等的三角形是等腰三角形，那么有没有其他的画等腰三角形的方法？

若学生回答可以画三角形，使得有两个角相等，引导学生思考问题3;若学生不能想到两角相等，则可以引

导学生回忆等腰三角形的性质.

问题3:三角形中的两个角相等，这个三角形是等腰三角形吗?为什么?

环节二:实验

实验目的:画一个三角形，使得其中的两个角相等，剪下来观察是不是等腰三角形.

【课件3】作法;⑴画一条线段5C;

(2)以BC为始边，分别以点B和点C为顶点，在BC的同侧，画两个相等的角；

(3)两角终边的交点为点力,那么，在中,/________=Z;

(4)找出BC的中点0,连接那么AD是MBC的线；

(5)沿AD对折，你有什么新发现吗?请把你的新发现记录下来：

(6)与同学们分享一下你的新发现；

(7)得出结论:

结论:等腰三角形的判定方法2:如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.其中，两

个相等的角所对的边相等(简称“等角对等边

如图所示，在A/18C中，若/B=NC,则你能证明这个命题成立吗？

教师引导学生加以证明，一名同学板演过程，教师讲评.

2,等边三角形的判定定理

［过渡语］我们知道等边三角形是恃殊的等腰三角形，那么怎样判定一个三角形是等边三角形呢?

探究1:如图所示,A45C中，如果N/1=NB=NC,那么A46C是什么三角形?

等边三角形.为什么？

,・'N4=NB=NC,

：.AB=BC=CA盗钝对等边）.

归纳:等边三角形的判定方法1：

三个角都相等的三角形是等边三角形.

探究2:A46c中，如果那么AJBC还需添加一个什么条件,才能使MBC为等边三角形？

有一个角为60。

等边三角形的判定方法2:有一个隹是60。的等腰三角形是等边三角形.

说明:先独立猜想，然后以小组为单位对本组成员的所有猜想通过画图进行险证.

［知识拓展］在判断一个三角形是不是等边三角形时，我们可从边或角的角度去判断，对于“有一个角是

60。的等腰三角形是等边三角形”在使用时应注意，其前提条件必须是“等腰三角形”，此时，无论60。是顶角还

是底角，都可以说明三角形是等边三角形.

活动二:判定定理的应用

［过渡语］刚才通过探究，我们掌握了等腰三角形的判定方法，利用等腰三角形的判定方法我们可以识

别一个三角形是不是等腰三角形，还可以利用它解决一些其他的问题.

1.【课件4】求证:如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形.

引导学生根据命题画出图形，利用角平分线的性质及“等角对等边“来证明.

学生讨论后,自己完成证明过程.

已知:/C4E是的外角,/（如图所示）.

D

BC

求证

解析:要证明/省4C,可以证明N8=NC.因为N1=N2,所以可以设法找出/B,/C与N1,N2的关系.

证明:•月Q〃8